9 章末复习提升-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

第九章统计 章末复习提升 一、系统认知·形成数学思维 (一)贯通知识体系和联系 实际问题 简单随机抽样 分层随机抽样 总体 抽样 样本 总体的取 样本的取 普查 值规律 值规律 总体的百 样本的百 分位数 分位数 总体 样本观 数据 总体的集 计 样本的平均数 测数据 中趋势 中位数、众数 总体的离 样本的方差、 散程度 标准差、极差 (二)把握数学思想和方法 :2.转化与化归思想，就是在研究和解决数学问题时采 1.数形结合是统计中一个很突出的特点.获取了一： 用某种方法，借助已知条件将问题通过变换加以转 个样本后，需要对样本数据进行整理分析.为了 化，进而解决问题的一种思想，统计中充分体现了 使样本的数据特征更直观，我们经常需要作图、 转化与化归思想，如从总体到样本，再从样本到总 读图，既要精确地作出样本数据的频率分布直方 体，由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化. 图、散点图等，还要理解各种图所包含的意义，通3.函数思想是中学数学的重要思想，是统计中把握 过图看出样本数据的分布状况、变化趋势、变量： 数据、用数据说话的有力工具，在解决方差与标 间的关系等，进而估计总体的状况 准差时常用到 二、把握重点·常考题型集训 :3.一个单位有职工800人，其中具有高级职称的 题型一随机抽样 160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的 1.某学校有教师200人，男学生1200人，女学生 200人，其余人员120人.为了解职工收入情况， 1000人.现用分层随机抽样的方法从全体师生： 决定采用分层随机抽样的方法，从中抽取容量为 中抽取一个容量为n的样本，若女学生一共抽取： 40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别 了80人，则n的值为 是 () A.193B.192C.191 D.190 A.12,24,15,9 B.9,12,12,7 2.以下抽样方法是简单随机抽样的是 ( ) C.8,15,12,5 D.8,16,10,6 A,在某年明信片销售活动中，规定每100万张为4，某企业三月中旬生产A,B,C三种产品共300 一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的： 件，根据分层随机抽样的结果，企业统计员制作 后四位为2709的为三等奖 了如下的表格： B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上， 每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格 产品类别 A B C C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2： 产品数量（件） 1300 人、14人、4人了解对学校机构改革的意见 样本数量（件） 130 D.用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验： -125 数学必修第二册 由于不小心，表格中A,C产品的有关数据已被： (1)列出频率分布表； 污染看不清楚，统计员记得A产品的样本数量比 (2)画出频率分布直方图； C产品的样本数量多10，根据以上信息，可得C: (3)由上述图表，估计数据在[109,121)范围内的 产品的数量是 可能性。 /题型技法/ 1.抽样方法的适用范围 当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用 抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时， 可采用随机数法；当总体中个体差异较显著 时，可采用分层随机抽样. 2.分层随机抽样的特点 “按比例分配”，即每层中抽取的个体数 该层的个体数 样本容量 题型三样本数字特征的计算 总体容量 1.从某中学抽取10名同学，得到他们的数学成绩 题型二 频率分布直方图及应用 如下：82,85,88,90,92,92,92,96,96,98（单位： 分)，则可得这10名同学数学成绩的众数、中位 1.某学校组织学生参 个频率/组距 数分别为 ( 0.02 ) 加英语测试，成绩 0.015 A.92,92 B.92,96 的频率分布直方图 0.01 C.96,92 D.92,90 如图，数据的分组 0.005 2.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计 依次为[20,40)， 020406080100成绩/分 [40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人 如表，则这100人成绩的标准差为 ( 数是15人，则该班的学生人数是 ( 分数 4 3 A.45 B.50 C.55 D.60 人数 20 四 30 30 10 2.统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩（满 分150分)，根据成绩依次分成六组：[90,100)， A.3 B.2I0 C.3 5 n [100,110),[110,120),[120,130),[130,140),3.(多选)PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国 [140,150],并得到频率分布直方图如图所示.若 PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 不低于140分的人数为110，有以下说法：①m= PM2.5日均值在35ug/m3以下空气质量为一 0.031;②n=800;③100分以下的人数为60； 级，在35g/m3~75g/m3之间空气质量为二 ④分数在区间[120,140)上的人数占大半.其中： 级，在75g/m3以上空气质量为超标.如图是某地 正确的是 ) 11月1日到10日PM2.5日均值（单位：g/m3)的 ↑频率/组距 统计数据，则下列叙述正确的是 ( 0.020 PM2.5日均值 100 0.016 80 0.011F- 57 0.006 0 .7358 10 45 49 90100110120130140150分数/分 20 32 3430.33 A.①② B.①③C.②③D.②④ 12345678910日期 3.某花木公司为了调查某种树苗的生长情况，抽取 A.这10天中有4天空气质量为一级 了一个容量为100的样本，测得树苗的高度(cm) B.这10天中PM2.5日均值最高的是11月5日 数据的分组及相应频数如下：[107,109)，3株； C.从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低 [109,111),9株；[111,113)，13株；[113,115)， D.这10天的PM2.5日均值的中位数是45 16株；[115,117)，26株，[117,119)，20株；[119,4.已知样本9,10,11，xy的平均数是10，标准差是 121),7株；[121,123)，4株；[123,125]，2株. √2，则xy= -126 第九章统计 /题型技法/ 2.某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中 用样本的数字特征估计总体的方法 不超过心立方米的部分按4元/立方米收费，超 为了从整体上更好地把握总体的规律，我们还 出立方米的部分按10元/立方米收费.从该市 可以通过样本数据的众数、中位数、平均数和标 随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用 准差等数字特征对总体相应的数字特征作出 水量数据，整理得到如图所示的频率分布直 估计. 方图： 众数就是样本数据中出现次数最多的那个值； 个频率/组距 0.5 把样本数据按照由小到大（或由大到小）的顺序 0.4 排列，如果数据的个数是奇数，处于中间位置的 0.3 0.2 数就是中位数，如果数据的个数是偶数，中间两 0.1 个数据的平均数就是中位数； 00.511.522.533.544.5用水量/立方米 平均数就是所有样本数据的平均值，用x表示； (1)如果为整数，那么根据此次调查，为使 标准差是反映样本数据离散程度大小的最常用 80%以上的居民该月的用水价格为4元/立方 统计量，其计算公式是s= 米，心至少定为多少？ [(1-)2+(x2-)2+…+(x.-x)2]. (2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点 代替，则=3时，估计该市居民该月的人均 有时也用标准差的平方即方差来反映样本数据 水费 的离散程度 题型四用样本分布估计总体分布 1.为了保护学生视力，教室内的日光灯在使用一段 时间后必须更换.已知某校使用的100只日光灯 在必须更换前使用的天数如下： 天 「150，「180， 「210， 「240，「270， [300, [330, 厂360 180) 210) 240) 270) 300) 330) 360) 390] 灯管数 11 元 25 16 (1)试估计这种日光灯的平均使用寿命； (2)若定期更换，可选择多长时间统一更换比较 合适？ 127所以总样本的平均数=号×5+号×45=5， =6×0.2+0.32+02+0.2+0.1r+0.2+0+0.1+ 总样本的方差 0.22+0.32)=0.036, 2=是+-51]+号+(g-5为 号=10×(0.2+0.12+0.2+0.32+0.22+02+0.32+0.2+ =是×15+4)+号×[20+(-60门=41. 0.12+0.22)=0.04. (2)y-x=10.3-10=0.3, 对点训练 解依题意xA=130,s-115,xg=110,s始=215， +=2 10 30 210 /0.036+0.04=2√0.0076， 10 六1=10十30X130十10十30×10=115，心金体学生的平均成绩为 .y-E=0.3=2×0.15=2×√0.15=2×√0.0225>2× 115分. 好+s 全体学生成绩的方差为=[十（元A一x)]十[s后十（行B-x)2]= 0.0016,满足y-≥2√10， 0 30 10+30×(15+225)+1030×(215+25)=85+180=265. ∴新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高· 章末复习提升 题点三 二、把握重点·常考题型集训 典例解(1)甲高中学生一周内平均每天课外学习数学的时间的中！题型一 位数mp=20+0.5-0.+0.2X10≈26.67（分钟）. 1.B[由1000×200-1200+1000=80，得n=192.] 1 0.3 (2)xpx,s>2 !2.D[远项A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是同 xm=5×0.1十15×0.2+25×0.3+35×0.2+45×0.15+55× 定的：远项C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次：选 0.05=27.5(分钟)， 项D是简单随机抽样.] s=(5-27.5)2×0.1+(15-27.5)2×0.2+(25-27.5)2×0.3+ (35-27.5)2×0.2+(45-27.5)2×0.15+(55-27.5)2×0.05= 3.D[因为抽样比为品-品，所以各层中依次抽取的人教分别是 178.75(分钟). 对点训练 -8=16-10，=6] 解(1)A班成绩的平均数为 !4.800[设C产品的样本数量为n,则A产品的样本数量为n十10，由 玉=×0X1+1X3+2X5+3X1+4X6+5×8+6×6+7X4+8X 题意知”+(n+10)+130。,130 3000 1300,解得n=80.故C产品的数量为 3+9×2)≈4.53（分）. 130 所以A班成绩的方差为 80÷1300=80.] =×[0-)户+3X1-A)+5×(2-正4+7X(3-A)+题型月 1.B「根据颜率分布直方图的特点可知，低于60分的颜率是(0.005十 6×(4-元A)2+8X(5-元A)2+6×(6-A)2+4×(7-A)2+3×(8-: xA)2+2X(9-x4)2]≈4.96. Q0D×20=Q3,所以该班的学生人数是5-50] B班成绩的平均数为 :2.B[根据领率分布直方图的性质，得10×(m十0.020十0.016十 =言×1X3+2X3+3X8+4X18+5×10+6X3381分， 0.016+0.011十0.006)-1，解得m=0.031,故①正确：因为不低于 110 所以B班成绩的方差为 140分的频率为0.011X10=0.11,所以n=0.1=1000,故②错 误：由100分以下的颜率为0.006×10=0.06，所以100分以下的人 元=店×[3X(1-B)°+3X2-B)+8X3-a)2+18X(4- 数为1000×0.06=60，故③正确：分数在区间[120,140)上的人数 xB)2+10X(5-xB)2+3×(6-xg)2]≈1.51. 占0.031×10十0.016×10一0.47，占小半，故④错误.所以说法正确 的是①③.1 因为>虽，即B班成绩的方差较小，所以B班的成绩较为稳定. :3.解(1)颜率分布表如下： (2)由图表可知，两个班级得9分的学生共有2人，8分以上（含8 分)的学生共有5人，7分以上（含7分）的学生共有9人，6分以上· 分组 颜数 颜率 累积颜率 (含6分)的学生共有18人，5分以上（含5分）的学生共有36人，41 分以上（含4分）的学生共有60人. [107,109) 3 0.03 0.03 因为两个班级及格的总人数为60人，而4分以上（含4分）的学生共： [109,111) 9 0.09 0.12 有60人，所以参加者最少获得4分才能及格. 素养演练·提升技能 [111,113) 13 0.13 0.25 1.CD[设工x2,…,工n的平均数、中位数、标准差和极差分别为工， m,5,山，则M,必，…，y的平均数为十十十中十工土C- [113,115) 16 0.16 0.41 十十十十=工十c,中位数为m十6.由标准差和极差的性 [115,117) 26 0.26 0.67 [117,119) 20 0.20 0.87 质可知y,y,,y的标准差为s,极差为1.故选C、D.] 2.ABC[甲、乙两班学生成绩的平均数都是135，故两班成簧的平均！ [119,121) 7 0.07 0.94 数相同，所以A正确；s品=191>110=s号，所以甲班成绩不如乙班 稳定，即甲班的成绩波动较大，所以B正确；甲，乙两班人数相同，但！ [121,123) 4 0.04 0.98 甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班每分钟输 入汉字数不少于150个的人数要多于甲班，所以C正确；由题表看： [123,125] 2 0.02 1.00 不出两班学生成绩的众数，所以D错误.] 合计 100 1.00 33[由题唐得，该组数据的中位数为号×(2十x)=1十受，众数为 (2)领率分布直方图如下： 2,∴1十受=2X号，x=4,…孩组数据的平均数元=号×(1十 4颖率/组距 2+2+4+5+10)=4,方差=合×[1-4+(2-402+2-40 十(4-4)2十(5-4)2+(10-4)2门=9，∴.该组数据的标准差为3.] 43[由题意可得，1.96=200×[1+2.7-3门十0×[2+ 0107109111311511719121123125树苗高度/m (3)由上述图表可知数据落在[109,121)范围内的颜率为0.94一 81-3门+20×[+(8.3-3]，解得后=3] 0.03一0.91，即数据落在[109,121)范图内的可能性是91%. !题型三 5解z-品×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9十9，.8+10.0+1.Λ[这组数据的众数为92，中位数为号×(92+92)=92.] 10.1十10.2+9.7)=10， y=0×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+ 2.B[z=10+40+80+60+10=3,=0×(20×2+10× 100 10.4+10.5)=10.3, +30x1+10x2)-168号2] 5 274 3.ABC[由图易知：第3,8,9,10天空气质量为一级，故A正确；1 (2)条件为：从袋中任取2球. 11月5日PM2.5日均值为82，显然最大，故B正确：从5日到9日， 若记（红，白）表示一次试验中，取出的是红球与白球 PM2.5日均值分别为82,73,58,34,30，逐渐降低，故C正确；将101 则样本空间为{（红，白），（红，黄），（红，黑），（白，黄），（白，黑），（黄， 个数据按从小到大的顺序排列，易知中位数是45十49=47，故D 黑)， 2 题点二 错误.门 典例解(1)某人购买福利彩票一注，可能中奖，也可能不中奖，所 4.96[由平均数是10，得x十y=20,由标准差是厄，得号×[(9 以是随机事件 (2)所有三角形的内角和都为180°，所以是必然事件， 10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2]=(2)2= (3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生 2,所以(x-10)2+(y-10)2=8,所以xy=96. 存，所以是不可能事件 题型四 (4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机 1.解(1)各组组中值分别为165,195,225,255,285,315,345,375，由 事件 此可算得平均数约为165×1%+195×11%+225×18%十255× (5)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任意一张，所以是随机 20%+285×25%十315×16%+345×7%+375×2%=267.9≈！ 事件 268(天).故估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天， (6)由能量守恒定律可知，不需要任何能量的“永动机”不会出现，所 以是不可能事件。 (2)方差为10×[1×(165-268)+11X(195-268)2+18×(225- 对点训练 268)+20×(255-268)2+25×(285-268)y2+16×(315-268)2+7×1.B[①②③均是可能发生也可能不发生的事件，为随机事件，④是 一定发生的事件，为必然事件，故远B.] (345-268)2+2×(375-268)2]=2128.60. :2.(1)随机(2)不可能 故标准差为/2128.60≈46. 题点三 因为268-46=222（天），268十46=314（天），所以这100只日光灯典例解(1)事件A中所含的样本，点中的第二个数为3，根据样本 的使用寿命大部分落在222~314天之间，故可在第222天到第314！ 空间知第二个数为3的样本，点都在事件A中， 天内统一更换较合适， 故事件A的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，第二次掷出的，点 2.解(1)由用水量的颜率分布直方图知，该市居民该月用水量在区 数为3 间[0.5,1)，[1,1.5)，[1.5,2)，[2,2.5)，[2.5,3)内的颜率依次为1 (2)事件B中所含的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中两 0.1,0.15,0.2,0.25,0.15 数和为6的样本点都在事件B中， 所以该月用水量少于3立方米的居民占85%，用水量少于2平方米1 故事件B的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，2次掷出的点数 的居民占45%.所以0至少定为3. 之和为6. (2)由用水量的颜率分布直方图及题意，得居民该月用水资用的数 (3)事件C中所含样本点中两个数的差的绝对值为2，且样本空间中 据分组与颜率分布表如下： 两个数的差的绝对值为2的样本点都在事件C中， 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 故事件C的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，两次掷出的，点数 之差的绝对值为2 分组[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12)[12,17)[17,22) [22,27 ·对点训练 频率0.10.150.20.250.150.050.05 0.05 解(1)从左到右记这三个位置为1,2,3，则这个试验的样本空间是 2={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)},其中样本点中第1 根据题意，该市居民孩月的人均水费估计为4×0.1十6×0.15十8× 个数表示甲坐的位置号，第2个数表示乙坐的位置号 0.2+10×0.25+12×0.15+17×0.05+22×0.05+27×0.05= (2)①观察事件A中所含的样本点可知，每个样本点中两个数是连 10.5(元). 续的，即座位是相邻的.因此事件A的含义为：甲、乙相邻 第十章概率 ②观察事件B中所含的样本点可知，每个样本点中第2个数字比第 1个大，即乙的座位在甲的右边，但不一定相邻.因此事件B的含义 10.1.1有限样本空间与随机事件 为：甲在乙的左边，但不一定相邻 必备知识·自主梳理 !素养演练·提升技能 (一)1.(1)随机现象(2)①重复②明确可知不止一个2.每个11.C列表如下，则，=10：p,=36-10=26:p=18,故选C.7 可能的基本结果仙样本点2有限样本空间 即时小练 第二枚掷 出的点数 1.C 2.ab,ac,ad,be,bd,cd 1 2 3 4 第一枚掷 5 6 (二)子集 一个事件A发生总有一个样本点都不会发生 即时小练 出的点数 1.ABC2.①③② 2 3 5 7 关键能力·合作探究 题点 3 4 6 8 典例解(1)两次掷出的点数列表如下： 3 9 第二次 8 第一次 5 6 8 9 10 1 5 68 6 6 7 9 10 11 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 7 % 8 9 10 11 12 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 2.CD[☐gx≥1>x≥10，因为当x>10时，一定有x≥10成立，因此 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) A是必然事件，故A不符合题意：x”十x=0>x=0或x=一1，因此 当x∈R时，x2十x-0一定有解，因此B是必然事件，故B不符合题 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 意；只有当a≤0时，方程x2十a=0在实数集内才有解，因此C是随 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 机事件，故C符合题意：当a=0°，3=l81°时，显然sina>sin3成立， 但是α>3不成立，因此D是随机事件，故D符合题意，] 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 3.A [“至少一枚硬币正面向上”包括“1分向上，2分向下”、“1分向 下，2分向上”，“1分、2分都向上”三个样本点.] 所以其样本空间2={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，14.2 [设小明掷三次骰子的点数为(x,y,z),x,y,z∈{1,2,3,4,5， (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3, 6},则符合题意的情况有(3,4,5)，(3,5,4)，(3,6,3)，(1,3,5)，(1， 4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1), 4,4),(1,5,3),(1,6,2),(2,2,5),(2,3,4),(2,4,3),(2,5,2),(2 (5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6, 6,1),(4,1,4),(4,2,3),(4,3,2),(4,4,1),(5,1,3),(5,2,2),(5 5),(6,6)},也可写成2={(m,n)1n6,1≤6，n,n∈N"}. 3,1),(6,1,2),(6,2,1),共21种. (2)画树状图如图所示 正 !5.解分别用，x,工g表示语文、数学、英语的成绩，则样本点表示 因此这个试验的样本空间2一{（正，正，正）， 为(x1,,x).用1表示优秀，用0表示良好，则x,x2,x∈(0,1}. （正，正，反)，（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正 (1)该试验的样本空间可表示为2一{（无1，x2,x3)x1,x2,x3∈{0， 正)，（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}. 1}},用列举法表示为2={(0,0,0)，(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)， 对点训练 解(1)条件为：从袋中任取1球。 (1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}. (2)A={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}. 若“红”表示一次试验中，取出的是红球， 则样本空间为{红，白，黄，黑}， B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}, 275