7 章末复习提升-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

第七章复数 4.若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复 (2)根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果， 数为理想复数”，已知=“2：十bi(a,b∈R)为 将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明 你的结论 “理想复数”，则 ( A.a-5b=0 B.3a-5b=0 C.a+5b=0 D.3a+5b=0 6现有以下三个式子：@2®4十3 : 3+4i9 ③十为虚数单位)，某同学在解题时发现 以上三个式子的值都等于同一个常数 (1)从三个式子中选择一个，求出这个常数； : 温馨提示 请做课时分层检测（十七） 章末复习提升 一、系统认知·形成数学思维 (一)贯通知识体系和联系 数系的扩充 虚数单位 复数的实部和虚部 系的 复数的 实数(b=0) 复数的分类 虚数(b≠0)（当a=0时为纯虚数） 充 念 复数相等：a+bi=c+di→a=c,b=d 复 共轭复数：z=a+bi与z=a-bi互为共轭复数 的 复数=a+bi 念 复数的几何意义 复平面内的点Z(a,b)< 平面向量0Z 复数z=a+bi的模1z=la+bil=/a2+b 复 复数代数 加法法则：(a+bi)+(c+di)= 几何意义：复数的加法可 复数 形式的加 (a+c)+(b+d)i 以按照向量的加法进行 代数 减运算及 形式 其几何意 减法法则：(a+bi)-(c+di)= 几何意义：复数的减法可 的四 义 (a-c)+(b-d)i 以按照向量的减法进行 则运 乘法法则：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i 算 复数代数形式 的乘、除运算 除法法则：(a+bi)÷(c+di)=ac+bd+bc-ad (c+di≠0) c2+d2c2+d2 乘法法则：模数相乘，辐角相加 复数的三角表示 复数乘、除运算的三角表示 除法法则：模数相除，辐角相减 (二)把握数学思想和方法 谐地结合起来，并充分利用这种“结合”寻找解题方 1.在研究复数模的最值问题时，需要转化为关于复： 法，使问题获得解决，这体现了数形结合思想 数之=x十yi(x,y∈R)的实部x和虚部y的二次：3.在复数问题中，利用复数的代数形式，将复数问 函数讨论，这体现了函数与方程的思想， 题转化为实数问题来解决，利用复数的相关性质 2.在求与复数相关的最值时，常常根据复数的几何意： 如“x·之=a2十b2→之·乏是实数”和“乏=之”的应 义画出图形，能够使数量关系和空间形式巧妙、和： 用充分体现了转化与化归思想. 55 数学 必修第二册 二、把握重点·常考题型集训 :5.(2020·江苏高考)已知i是虚数单位，则复数之 题型一 复数的概念 (1+i)(2一i)的实部是 1 1,复数-2十十二2的虚部是 /题型技法/… 进行复数代数运算的策略 A.司 C. D.- (1)复数代数形式运算的基本思路就是应用运 5 算法则进行计算。 2.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数 ①复数的加、减运算类似于实数中的多项式的 a的值为 ( 加、减运算（合并同类项）. A.1 B.2 C.1或2D.-1 ②复数的乘、除运算是复数运算的难点，在乘法 3.(2022·全国乙卷)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b 运算中要注意i的幂的性质，区分(a十bi)2=a2 为实数，则 ( ) +2abi-b2与(a+b)2=a2+2ab+b2;在除法运 A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1 算中，关键是“分母实数化”（分子、分母同乘分 C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1 母的共轭复数)，此时要注意区分(a十bi)(a 4.复数之=log3(.x2-3.x一3)十ilog2(x-3),当x为 何实数时： bi)=a2+62(a+b)(a-b)=a2-62 (1)之∈R;(2)之为虚数？ (2)复数的四则运算中含有虚数单位ⅰ的看作 一类同类项，不含ⅰ的看作另一类同类项，分别 合并即可，但要注意把ⅰ的幂写成最简单的 形式 (3)利用复数相等，可实现复数问题的实数化. 题型三复数的几何意义 /题型技法/ 处理复数概念问题的两个注意点 1.已知复数1=十9=一9则- 22 (1)当复数不是a+bi(a,b∈R)的形式时，要通 在复平面内对应的点位于 过变形化为a十bi的形式，以便确定其实部和 A.第一象限 B.第二象限 虚部. C.第三象限 D.第四象限 (2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要 2.已知i是虚数单位，复数m十1+(2-m)i在复平 求，否则容易产生增根. 面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围 是 题型二复数的四侧运算 A.(-o∞，-1) B.(-1,2) 1.(2022·全国甲卷)若之=1十i,则|i这十3z|= C.(2,+∞) ( D.(-∞，-1)U(2,+∞) A.45 B.42 C.25 D.2√2 3.复数4十3i与-2-5i分别表示向量OA与OB,则 2.(2022·北京高考)若复数之满足i·之=3一4i,则 |x|= ( 向量AB表示的复数是 A.1 B.5 C.7 D.25 :4.复数之满足|之十3一√3=√5，则之的最大值为 3.复数之满足之（之十1）=1+i,其中i是虚数单位， ,最小值为 则之等于 ( /题型技法/… A.1+i或-2+i B.i或1+i 在复平面内确定复数对应的点的步骤 C.i或-1+i D.-1-i或-2+i (1)由复数确定有序实数对，即之=a十bi(a,b∈ 4.已知=一，则m十0+1的值为( R)确定有序实数对(a,b); √2 (2)由有序实数对(a,b)确定复平面内的点 A.i B.-i C.1+i D.1-i Z(a,b). 56(2)根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果，可以得到+：= b-ai 第八章立体几何初步 (a,b∈R,且a,b不同时为零)」 8.1基本立体图形 下面进行证明： 第一课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征 a-bi_(a+li)(b+ai)_ab-a'itb'i-ab_(a'+b)i-i. !必备知识·自主梳理 b-ai (b-ai)(b-ai) b2+a2 a+b2 (一)1.形状 大小2.平面多边形一条定直线旋转面多边形 章末复习提升 公共边定直线 二、把握重点·常考题型集训 :即时小练 1.A 2.AB 题型一 B之i四指公选边公 1 1 -2-1 1+2i 2.垂直正多边形平行四边形 5 :即时小练 1.C2.A 5 5 ·(三)多边形 三角形多边形面三角形面公共边公共顶点 2.B[由纯虚数的定义，可得“二32=0，解得a=2.] 四面体 正多边形垂直 1a-1≠0， :即时小练 !1.D「因为正六边形的边长与它的外接圆的半径相等，所以满足题意 3.A[由题意知a十b+2ai=21,所以{8十b0解得aL, 故 的棱锥一定不是六棱锥.] 12a-2, b=-1, 12.C 选A. :(四)平行于棱锥底面截面底面 4.解(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0， :即时小练 x-3x-3>0, 1.C2.C 所以)1og2(x一3)=0， 关键能力·合作探究 题点一 (x-3>0, 典例解(1)长方体是四棱柱.因为它有两个平行的平面ABCD与 解得x=4,所以当x=4时，z∈R. 平面A1B,CD,其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公 (2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0， 共边互相平行，这符合棱柱的定义 x2-3x-3>0, (2)用平面BCVM把这个长方体分成两部分，其中一部分有两个平 所以10g(x一3)≠0， 行的平面BBM与平面CC1N,其余各面都是四边形，并且每相邻 x-3>0, 两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义，所以是三棱柱， 可用符号表示为三棱柱BBM-CC1N.同理，另一部分也是棱柱， 解得>3+，四且≠4. 2 可以用符号表示为四棱柱ABMA1-DCND. ·对点训练 所以当>3十，√四且江≠4时，：为虚数 :1.CD[A选项不符合棱柱的侧棱平行的特点：对于B远项，棱柱的 底面可以是三角形；对于C远项，所有侧面都是正方形的四棱柱不 题型二 一定是正方体，如底面是菱形时，此时的四棱柱不是正方体：D选项 1.D[因为x=1+i,所以ix+3z=i(1+i)+3(1-i)=-1+i+3- 说明了棱柱的特点，只有选项C,D正确.] 3i=2-2i,所以iz+3z=2-2i=√2+(-2)严-2√2.故选D.]! 2.D[由棱柱的定义可知，只有D正确，分别构造图形如下： 2.B[依题意可得：=3-4i=3=4)i=-4-3i,所以：= √-4)2+(-3)严-5，故选B.] 3.C[设z-a+bi(a,b∈R),由z(z+1)=1+i,得a2+b2+a+bi=11 十i,所以b=1,a2十a十1=1，所以a=0或a=一1.故x=i或x=-1 图① 图② +i.] 图①中平面ABCD与平面A,B1CD平行，但相邻两个四边形公共 4.B[图为(1-i)2=1一2i+￥=-2i,所以zo0十0+1= 边不都相互平行，故A错误：图②中正六棱柱的相对侧面ABBA 与EDDE1平行，但不是底面，B错误：上、下底面是全等的菱形，各 (局)”+（后）+1()-+() 侧面是全等的正方形的几何体不是正方体，C错误：根据棱柱的定 义知D正确.] 1-)0+17(二2D0士（一20D+1=0一+1=f-计1：照高）A（2B「)0中的平面不一定平行 于底面，故①错误：②可用反例去检验，如图所 5.3[因为z=(1十i)(2-i)=3十i,所以复数x的实部是3.] 示，侧棱延长线不能相交于一点，故②错：棱台的 侧面为梯形，故③错，故远A 7 题型三 (2)由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形 故①正确；四面体就是由四个三角形面所围成的 1.D[调为=十94十所以= + 何体，因此四面体的任何一个面都可以作为棱 锥的底面，故②正确；棱锥的侧棱交于一点，故③错误.] 2T2 对点训练 :1,D「对于A,四棱锥共有八条棱，故A错误：对于B,五棱锥共有六 1+√3i 十3)（二1一3）三1-3i,所以复数x在复平面 个面，故B错误：对于C,六棱锥共有七个顶，点，故C错误：对于D,根 -1十√5i(-1+3)(-1-3)2 据棱锥的定义知D正确，故选D.] 内对应的点为（侵，一受）在第回象限，故透D] !2.①③④⑤[①正确，因为此几何体有六个面，符 合六面体的定义：②错误，因为侧棱的延长线不 2.A[因为复数m十1十(2-m)i在复平面内对应的点在第二象限， 能交于一点；③正确，把几何体放倒，就会发现该 几何体是一个四棱柱；④正确，如图1所示：⑤正 所以"十10解得m<-1.所以实数m的取值范国为（一0，题点】 确，如图2所示，门 {2-m>0, 图1 图2 -1).故远A.] ·典例解图①中，有5个平行四边形，而且还有 3.-6-8i[因为复数4十3i与-2-5i分别表示向量OA与Oi,所以： 两个全等的五边形，符合棱柱特点：图②中，有5个三角形，且具有 共同的顶，点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形， OA=(4,3),Oi=(-2,-5).又AB-Oi-OA=(-2,-5)-(4, 且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特 3)=(一6，一8)，因此向量AB表示的复数为x=一6一8i 点.把平面展开图还原为原几何体，如图所示 4.3√5√5[x十3一5i=√5表示以复数一3 十√i对应的，点P为圆心，以为半径的圆， 如图所示，则|OP|=一3十√i=√12= 25,显然zmx=OA=OP1十5=35， 3 zmn=OB=OP-√5=√3.] 所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台. 255