8.6.3 平面与平面垂直-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

第八章立体几何初步 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.若直线a与平面a不垂直，那么在平面a内与直4.如图，直升机上一点P在地面a 线a垂直的直线 ( 上的正射影是点A(即PA⊥a), A.只有一条 从点P看地平面上一物体B(不 B.有无数条 同于A),直线PB垂直于飞机 C.是平面内的所有直线 玻璃窗所在的平面β. D.不存在 求证：平面3必与平面a相交， 2.如图，四面体A-BCD中，AB,BC,BD两两垂直， BC=BD=2,点E是CD的中点，若直线AB与： 平面ACD所成角的正弦值为号，则B到平面 ACD的距离为 5.过△ABC各边的中点D,E,F分别作各边的垂 面，这三个垂面能否交于同一条直线？若能，这 C.21 条直线有何特点？若不能，请说明理由. 3 号 3.已知m,n是两条不同的直线，a,3是两个不同的 平面 ①若m∥a,m⊥n,则n⊥a;②若m⊥a,n∥a,则m ⊥n;③若mCa,nCB,且a∥B,则m∥n;④若m, n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面. 其中为真命题的是 .(填序号) 温馨提示 请做课时分层检测（三十一） 8.6.3 平面与平面垂直 明学习目标 知结构体系 1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的判 定定理，并加以证明，会应用平面与平面垂直的判定定理 课标 二面角的平面角 证明平面与平面垂直， 二面角 要求 2.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的性 直二面角 质定理，并加以证明，能用平面与平面垂直的性质定理解 平面与 平面垂直 决一些简单的空间线面位置关系问题. 面面垂直的判定定理 面面垂直 面面垂直的性质定理 素养 在发现，推导和应用平面与平面垂直的判定定理的过程中， 要求 发展数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养。 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)二面角 1.二面角 Q 从一条直线出发的 所组成的图形叫做 图形 定义 二面角，这条直线叫做二面角的 ,这两 个半平面叫做二面角的 97 数学必修第二册 二面角 或二面角 或二面角 2.平面与平面垂直的判定定理 表示法 或二面角 文字语言 图形语言 符号语言 作用 2.二面角的平面角 如果一个平面 在二面角c1B的棱1上 一点O,以点O 过另一个平面 为垂足，在半平面α和B内分别作 棱1的 证面面 定义 的 ,那 →a⊥3 射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB 么这两个平面 垂直 叫做二面角的 垂直 3.平面与平面垂直的性质定理 图形 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直 文字语言 于这两个平面的 ,那么这条直线与另 ax∩3=1，O∈1 个平面 符号 OACa.OBCB >∠AOB是二面角的平面角 OA⊥1，OB⊥1 符号语言 a⊥3，a∩3=l →a⊥B 范围 ≤∠AOB≤ 图形语言 二面角的大小可以用它的 来度量，二面 规定 角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度. 平面角是直角的二面角叫做 ①面面垂直→ 垂直； 作用 ②作平面的垂线 即时小练 1.在二面角rlB的棱l上任选一点O,若∠AOB 即时小练 是二面角aβ的平面角，则必须具有的条件是 ) 1.判断正误 A.AO⊥BO,AOCa,BOC3 (1)平面a和3分别过两条互相垂直的直线，则a B.AO⊥I,BO⊥1 ⊥3. () C.AB⊥L,AOCa,BOCB (2)若平面α内的一条直线垂直于平面3内两条 D.AO⊥1，BO⊥l,且AOCa,BOC3 平行线，则a⊥3. ( ) 2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A: (3)二面角的平面角所确定的平面与二面角的棱 BCA1的平面角等于 垂直 ( (4)对于确定的二面角，平面角的大小与顶点在 D 棱上的位置有关. () 2.已知直线l⊥平面a,则经过l且和a垂直的平面 ( A.有一个 B.有两个 (二)平面与平面垂直 C.有无数个 D.不存在 1.面面垂直的定义 3.若平面a⊥平面B,平面B⊥平面Y,则 ( A.a∥y B.a⊥Y 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 定义 ,就说这两个平面互相垂直 C.α与Y相交但不垂直D.以上都有可能 4.如图所示，在长方体ABCD- 画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个 A1B1C1D1的棱AB上任取一点 平行四边形的一组边画成垂直.如图 E,作EF⊥AB1于F,则EF与平 画法 面A1B1C1D1的关系是( A.平行 B.EFC平面A1B1C1D1 C.相交但不垂直 记作 a⊥3 D.相交且垂直 98 第八章立体几何初步 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一二面角的求法 题点二 平面与平面垂直的判定 [典例]如图，四边形ABCD是 [典例]如图，在菱形ABCD中， 正方形，PA⊥平面ABCD. PC⊥平面ABCD,求证：平面 (1)求二面角A-PD-C平面角的 PDB⊥平面PAC. 度数； (2)求二面角BPA-C平面角的 度数 /方法技巧/… 证明面面垂直常用的方法 定义法 即说明两个半平面所成的二面角是直二面角 判定 在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平 定理法 面垂直，即把问题转化为线面垂直 两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则 性质法 /方法技巧/ 另一个也垂直于此平面 1.求二面角大小的步骤 (1)找出这个平面角； 对点训练 (2)证明这个角是二面角的平面角； :1.如图，已知AB⊥平面BCD,BC⊥ (3)作出这个角所在的三角形，解这个三角 CD,则图中互相垂直的平面共有 形，求出角的大小， 对 2.确定二面角的平面角的方法 2.如图所示，圆锥的侧面积是底面积 (1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点， 的2倍，AB为⊙O的直径，在底面 在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的 内以线段AO为直径作⊙M,点P为⊙M上异于 射线. 点A,O的动点. (2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该 (1)证明：平面SAP⊥平面SOP; 平面与二面角的两个半平面产生交线，这两 (2)已知OS=√5，当三棱锥 条交线所成的角，即为二面角的平面角. SAPO的体积最大时，求点 对点训练 B到平面SAP的距离. (2023·新课标Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为P,底面 圆心为O,AB为底面直径，∠APB=120°，PA= 2,点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，： 则 ( )1 A.该圆锥的体积为元 B.该圆锥的侧面积为4√3π C.AC=2√2 D.△PAC的面积为√3 99 数学必修第二册 题点三平面与平面垂直的性质的应用 题点四垂直关系的相互转化 [典例]如图，在三棱锥PABC中， [典例]如图，平面PAB⊥平面 PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面 ABC,平面PAC⊥平面ABC, PBC.求证：BC⊥AB. AE⊥平面PBC,点E为垂足. (1)求证：PA⊥平面ABC; (2)当点E为△PBC的垂心时， 求证：△ABC是直角三角形. …/方法技巧/ 利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题 …方法技巧/ 时，要注意以下三点： (1)在有关垂直问题的证明过程中要注意线线 (1)两个平面垂直. 垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.因此，判 (2)直线必须在其中一个平面内. 定定理与性质定理的合理应用是证明垂直问题 (3)直线必须垂直于它们的交线， 的关键 (2)空间问题转化成平面问题是解决立体几何 对点训练 问题的一个基本原则，解题时，要通过几何图形 如图，在三棱柱ABC-A1B1C 自身的特点，如等腰（等边）三角形的“三线合 中，BC=CC1,平面A1BC1⊥平 一”、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等，得 面BCCB1. 出一些题目所需要的条件.对于一些较复杂的 证明：平面AB1C⊥平面A1BC1· 问题，注意应用转化思想解决问题， 对点训练 如图，在四棱锥P-ABCD中， AB∥CD,AB⊥AD,CD= 2AB,平面PAD⊥平面AB CD,PA⊥AD,点E,F分别是 CD,PC的中点， 求证：(1)PA⊥平面ABCD: (2)BE∥平面PAD: (3)平面BEF⊥平面PCD. 100 第八章立体几何初步 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.在Rt△ABC中，C=90°，CA=√6，CB=√3，CD 是斜边的高线，现将ACD沿CD折起，使平面： ACD⊥平面BCD,则折叠后AB的长度为( ) A.2 B.5C.5 D.3 图1 图2 2.我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中， 把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱4.已知矩形ABCD中，AB=4,AD=3,点E是边 锥称为“阳马”.今有“阳马”P-ABCD,PA=AB= CD上的动点，将△ADE沿AE折起至△PAE, AD,E,F分别为棱PB,PD的中点.以下四个 使得平面PAB⊥平面ABC,过P作PG⊥AB,垂 结论： 足为G,则AG的取值范围为 ①PB⊥平面AEF,②EF⊥平面PAC,③平面5.已知△ABC中，∠A=交，AB=3,AC=6.如图， PBD⊥平面AEF;④平面AEF⊥平面PCD. 点D为斜边BC上一个动点，将△ABD沿AD 其中正确的是 ( A.①③B.①④C.②③D.②④ 翻折，使得平面AB'D⊥平面ACD.当BD= 时，B'C取到最小值 3.如图1，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,E,F 分别是BC,AD的中点，将四边形ABEF沿EF: 折起，使得二面角A1-EF-D的大小为120°（如图 B-7 2),则B1C= ;三棱锥B1-CDE的外接 球的表面积为 温馨提示 请做课时分层检测（三十二） 章末复习提升 一、系统认知·形成数学思维 (一)贯通知识体系和联系 现实世界中的物体 T 柱、锥、台、球的结构特征 空间几何体 立体图形的直观图 斜二测画法 柱、锥、台的表面积、体积 柱、锥、台、球的表面积和体积 球的表面积与体积 平面的基本性质 空间点、直线、 空间中直线与直线的位置关系 空间中直线、平面的平行 平面的位置关系 空间中直线与平面的位置关系 空间中直线、平面的垂直 空间中平面与平面的位置关系 空间平行、垂直关系之间的转化 直线与直线平行 判定 性质 直线与平面平不判定 平面与平面平行 性质 性质 性质 直线与直线垂直 判定 判定 一直线与平面垂直 平面与平面垂直 性质 性质 (二)把握数学思想和方法 1.在研究直观图的画法，求几何体的表面积和体积以及在判断空间几何体的点、线、面的位置关系，直线 与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系的证明中，根据图形运算求解或证明体现了数形结 合的思想. 101对点训练 :关键能力·合作探究 1.3cm[设点A,B,C在平面a上的射影分别为A',B',C,△ABC题点- 的重心为G,连接CG交AB于E,则E为BA的中点.又设E,G在典例解(1)：PA⊥L平面ABCD,CDC平面ABCD. 平面a上的射影为E,G,由EE⊥a,GG'⊥a,CC⊥a,知EE∥GG∥ .PA⊥CD.又四边形ABCD为正方形， C.在梯形AM'BB中，EE=号(AM'+BB)-之(2+3)= '.CD⊥AD.又PA∩AD=A,PAC平面PAD,ADC平面PAD, 21 .CD平面PAD 又CC=4,CG:GE=2:1.在直角梯形EECC中，可得GG=3.] 又CDC平面PCD, 2.解(1)如图，过点B1作BE⊥AB于点E. D ,.平面PAD⊥平面PCD. 由题意知BC⊥平面AABB,且BEC平面A1ABB, ,∴.二面角4PD-C平面角的度数为90° .BC⊥BE.BC∩A1B=B,BCC平面A1BCD1, (2)PA⊥平面ABCD, ABC平面A,BCD, ∴.ABLPA,AC⊥PA ,.BE⊥平面A1BCD, ',∠BAC为二面角B-PA-C的平面角 ,线段BE的长即为所求 又四边形ABCD为正方形，.∴，∠BAC=45° 在Rt△AB,B中， 即二面角BPA-C平面角的度数为45 B,E=AB·BB 5×12 60 对点训练 AB √5+122131 AC[依题意，∠APB=120°，PA=2,所以OP= 成A到羊面A,BCD,的矩高为。 1,OA=OB=5,A选项，圆锥的体积为3× (2)B,C∥BC,且BC史平面ABCD, π×（√）×1=π，A选项正确；B选项，圆锥 BCC平面ABCD, 的侧面积为π×√3X2=2√3π，B远项错误： D ∴.BC1∥平面ABCD1 C远项，设D是AC的中点，连接OD,PD,则 ∴，点B到平面A1BCD1的距离即为所求， AC⊥OD,AC⊥PD,所以∠PDO是二面角P-ACO的平面角，则 ∴·直线BC到平面A1BCD,的距离为0. ∠PD)=45°，所以OP=OD=1,故AD=CD=3-1=√2，则AC 素养演练·提升技能 =22,C选项正确；D选项，PD=√十1正=√2，所以S△AC= l.B[当a∥平面a时，在平面a内有无数条直线与直线a是异面垂 2×22×2-2,D选项错误.故选AC.] 直直线：当a二a时，在a内有无数条平行直线与直线a相交且垂直； 当直线“与平面口相交但不垂直时，在平面：内有无数条平行直线题点二 与直线a垂直. 典例证明'PC⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,'.PC⊥BD 2.B「连接AE(图略).AB⊥BC,AB⊥BD,BC∩BD=B,BCC平 四边形ABCD为菱形， 面BCD,BDC平面BCD,,.AB⊥平面BCD,CDC平面BCD, .'.ACLBD. .AB⊥CD,BC=BD,E为CD的中点，∴.CD⊥BE,又CD⊥AB, 又PC∩AC=C,PCC平面PAC,ACC平面PAC, AB∩BE=B,ABC平面ABE,BEC平面ABE,..CD⊥平面ABE ,∴.BD⊥平面PAC ,.AB在平面ACD上的射影在直线AE上，.∠BAE就是直线AB ,BDC平面PDB,,.平面PDB⊥平面PAC 与平面ACD所成的角.在R△ABE中，由BE=√2，sin∠BAE=对点训练 1.3'AB⊥平面BCD,ABC平面ABC,.平面ABC⊥平面BCD, 3,可得AE=3区，AB=4,设点B到平面ACD的距离为五， 平面ABD平面BCD.BCCD,,.DC平面ABC.又DC二平 面ADC,.平面ADC⊥平面ABC.,共有3对互相垂直的平面.] 3S△DX,整理得2AB=2.解(I)证明：SO垂直于圆维的底面，AP在圆锥的底面内，S0 6h,解得h= ⊥AP,又AO为⊙M的直径，.PO⊥AP,,SO∩PO=O,SOC平面 3· SOP,POC平面SOP,.AP⊥平面SOP,又APC平面SAP,.平 3.②④①若m∥a,m⊥n,则n与a位置关系不确定，故为假命题. 面SAP平面SOP ②若n∥a,则a内存在直线1与n平行，因为m⊥a,所以m⊥1，所以 (2)设圆锥的母线长为1，底面半径为r,,,圆锥的侧面积为π，底面 m⊥n,故为真命题.③若nCa,n二3，且a∥B,则n,n可能异面，故为 积为π，由2元r2=πrl,得1=2r,∴.AB=AS=BS,∴·△ABS为正三 假命题，易知④为真命题，] 角形，又S)=√3，.r=1,I=2.连接MP(图略)，在三棱锥SAPO 4.证明假设平面a与平面3平行. 中，，OS=√3，△AOP面积最大时，三棱锥SAP)的体积最大， 因为PA⊥平面a,所以PA平面B. 因为PB⊥平面B, 此时MP⊥OA,AP=OP=.过O作OH⊥SP于点H(图略)， 由线面垂直的性质定理，可得PA∥PB, 与已知PA∩PB=P矛盾， 则OH= OS·OP=@I 所以平面B必与平面α相交 7会.平面SAPL平面S0P,OH⊥平 w√OS+OP2 5,解设过，点D,E,F作的AB,BC,CA的垂面分 面SAP,∴.OH即为点O到平面SAP的距离，，点O为AB的中 别为a,3,Y(如图)， 则有a∩3=l,否则若a∥3， 则AB⊥a,ABL3. 点点B到平面SAP的距离为20H=2Y四 7 又BC⊥3， 题点三 ∴.BC∥AB,这与BC∩AB=B矛盾，因此a∩ :典例证明如图，在平面PAB内， 3=l. 作AD⊥PB于点D. 设l∩平面ABC-O,l与OF确定的平面为Y ; ,平面PAB⊥平面PBC,且平面PAB∩平面PBC .AB⊥a,ODCa,∴.AB⊥OD, -PB, 同理BC⊥OE,O是AB,BC垂直平分线的交，点， ADC平面PAB, 即O是△ABC的外心，从而ACLOF. .ADL平面PBC .AB a.iCa,AB. 又BCC平面PBC,.AD⊥BC. 同理I⊥BC,.l⊥平面ABC.OF⊥AC,.AC⊥y, ,PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,∴.PA⊥BC, 因此平面与Y是同一平面. 又PA∩AD=A,PAC平面PAB,ADC平面PAB,,∴，BC⊥平 .an8ny=1,..an80y=i. 面PAB. 即这三个垂面交于同一条直线」 又ABC平面PAB,.BC⊥AB, 由前面的证明可知LL平面ABC. :对点训练 因此I在平面ABC上的射影O就是△ABC的外心」 证明在三棱柱ABC一AB,C1中， 8.6.3平面与平面垂直 四边形BCCB为平行四边形， 必备知识·自主梳理 因为BC=CC1, (一)1.两个半平面棱面AB3 al-8 P-AB-Q P-1Q 所以四边形BCCB1为菱形， 2.任取垂直于平面角0°180°平面角直二面角 所以BC⊥BC, 即时小练 1.D2.45° 又平面ABC1L平面BCC,B, (二)1.直二面角2.垂线3.交线垂直aCaa⊥1线面 且平面A1BC1∩平面BCC1B,-BC, 即时小练 B1CC平面BCC1B1, 1.(1)×(2)×(3)/(4)× 所以BC⊥平面A1BC1, 2.C3.D.4.D 因为BCC平面ABC,所以平面AB,C⊥平面ABC1. 267 题点四 ABCE,所以PG⊥AG,在△PAG中，PA=3,AG=x,所以PG= 典例证明(I)在平面ABC内取一点D,作DFLAC于点F, PA2-AGY=9-x2,① ,平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC,DFC平 因为EG=9+(y-x)2,PE=y,在△PGE中，PG=PE-EG= 面ABC, H y2-9-(y-x)2,② ∴.DF⊥平面PAC PAC平面PAC,∴，DF⊥PA 联立①②可得9-x2=y-9-(y一x2,即x=9,因为3<y≤4， 作DG⊥AB于点G,同理可证DG⊥PA ,DG,DF都在平面ABC内，且DG∩DF=D, 所以9 <x<3.故AG的取植范国是[号，3）门 .PA⊥平面ABC (2)连接BE并延长交PC于点H. 5.后3尽[设∠BAD=a,a∈(0，受），作BE ,点E是△PBC的垂心，，PC⊥BE. 又AE⊥平面PBC,PCC平面PBC,.PCLAE. AD或AD的延长线于E,点，作CF⊥AD或AD .AE∩BE-E,AEC平面ABE,BEC平面ABE, 的延长线于F,点，则∠ACF=∠BAD=a,BE= ,∴，PC⊥平面ABE 3sin a,AE=3cos a,CF=6cos a,AF=6sin a,.'. 又ABC平面ABE,.PC⊥AB. EF=AF-AE=6sin a-3cos a,'B'C= 由(1)知PA⊥平面ABC,又ABC平面ABC, /BE+CF+EF=/45-18sin2a,∴.当sin2a ,∴.PA⊥AB. .PA∩PC=P,PAC平面PAC,PCC平面PAC, =1,即a=于时，BCm=3尽，此时AD是∠BAC的角平分线.由 ,.AB⊥平面PAC. 又ACC平面PAC, 角平分线定理或者面积比可得然-肥 ∴，AB⊥AC,即△ABC是直角三角形 对点训练 3BC-号VAB+AC=5.] 证明(1)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于这两个平面 章末复习提升 的交线AD,PAC平面PAD, 二、把握重点·常考题型集训 所以PA⊥平面ABCD. 题型一 (2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点， 1.A「当以4cm为母线长时，设圆柱底面半径为r,则2πr=8,.2r= 所以AB∥DE,且AB=DE, 8 所以四边形ABED为平行四边形， 是S。=4X员=3是(cm).当以8cm为母线长时，设图柱底 所以BE∥AD 又BE中平面PAD,ADC平面PAD 面半径为R,则2πR-4,2R=4 S我6=8X4=2(cm).综 所以BE∥平面PAD. (3)因为AB⊥AD,由(2)知四边形ABED为平行四边形，所以BE: 上，圆柱的轴截面的面积为32cm.] ⊥CD,ADCD. !2.B[米堆的体积即为四分之一圆锥的体积，设圆锥底面半径为r,则 由(1)知PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD 因为PA∩AD=A,PAC平面PAD,ADC平面PAD,所以CD⊥平 子×2xr=8,得，只，所以来堆的体积为号×X5(立 9 面PAD,又PDC平面PAD,所以CD⊥PD 因为，点E,F分别是CD,PC的中点，所以PD∥EF 方尺)，320÷1.62≈22（解）.] 0 所以CD⊥EF,又EF∩BE=E,EFC平面BEF,BEC平面BEF, ！3.A[如图，分别过点A,B作EF的垂线，垂足分 G H 所以CD⊥平面BEF. 别为G,H,连接DG,CH,容易求得EG=HF 因为CDC平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD 素养演练·提升技能 合AG=GD=BH=HC-复取AD的中点 1.C「在直角三角形ABC中，C=90°，CA=√石，CB √5，可得AB=√6+3=3，由射影定理可得AC= 0,连接G0,易得G0= 2 ,∴.SAAGD=S△BHe= AD·AB,即6=3AD,可得AD=2,BD=AB-AD 1 =3-2=1.如图，由于平面ACD⊥平面BCD,AD 2 行多面体的体积V=V三钟E-Ac十V三F-H十 CD,ADC平面ACD,平面ACD∩平面BCD=CD, C 所以AD⊥平面BCD,即有AD⊥BD,所以AB=√/AD+BD= V三AGD-BHC=2V三维E-ADG十V三柱AGD-BHC=了 √4+I=√5.] 2.D由PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,可得PAAB,又PAI =AB,E为PB的中点，可得AE⊥PB,由EF为△PBD的中位线，：4.D[由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，设球的 可得EF∥BD,而PB与BD不垂直，即PB与 半径为R,由题意可得(2R)2=42十42十4，据此可得R2=12,外接 EF不垂直，所以PB⊥平面AEF不成立，故①错 球的表面积S=4元R=4π×12=48元.] 误，排除A、B:因为四棱锥底面为矩形，且AB一 AD,所以四边形ABCD为正方形，可得BD 5.(3十6√2+3√)π[如图所示，圆锥的母线长为 AC,由PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,可 √/（√6）2+(W3)2=3(cm),所得几何体的表面积为S 得PA⊥BD,而PA∩AC=A,PAC平面PAC ACC平面PAC,所以BD⊥平面PAC,由EF∥ S点十S柱制十S继制=π（√3）+2π×V5×V6+元X3X3 BD,可得EF⊥平面PAC,故②正确：由PA=AD,PA⊥AD,F为 =(3十6√2+3√3)π(cm).] PD的中，点，可得AF⊥PD,由CD⊥AD,CD⊥PA,AD∩PA=A, 6.20y5π[用平面去截球所得截面的面积为，所以截 ADC平面PAD,PAC平面PAD,可得CD平面PAD,而AF二平 面PAD,所以CD⊥AF,又CD∩PD=D,CDC平面PCD,PDC平 面圆的半径为1.已知球心到该截面的距离为2，所以球的半径为 面PCD,则AF⊥平面PCD,而AFC平面AEF,则平面AEF⊥平面 PCD,故④正确，故远D.] V+2=5,所以球的体积为V-冬X(-20x.] 3.2V520π[B,C=√/EC+BE-2EC·B,Eaos120° !题型二 i1.AD如图，由A1B∥DC,且A1B吐平面ACD1 =√/4+4-2X2×2×(-)】 =25. DCC平面ACD1,故直线A1B与平面ACD,平 ,EF⊥BE,EF⊥EC,B1E∩EC-E,BEC平面BEC,ECC平面 行，故A正确：BB,∥DD1,DD1与平面ACD1相 B1EC,∴.EF⊥平面B1EC.又EF∥CD,∴.CD⊥平面B1EC. 交，故直线BB1与平面ACD1相交，故B错误；由 B C 图，显然平面A1DC1与平面ACD相交，故C错 △B,EC的外接圆半径r 2 sin/B,EC-2,则三棱锥B,-CDE的外 误：由A1B∥D1C,AC∥AC,且AB∩AC1 A,AC∩D,C=C,故平面ABC与平面ACD,平行，故D正确.] 接球半径R三十(C?)V4中T=√5，∴三棱维B-CDE的尔 2.证明：DQ∥CD,DQ=2CD, 接球的表面积为4π×（√5）2=20元.] 4.[号，3）[设AG=,DE=,因为E为CD上 AB∥CD,AB=2CD,∴.D1Q∥AB,且DQ=AB, ∴.四边形DQBA为平行四边形，DA∥QB. 的动点，平面PAB⊥平面ABC,PG⊥AB,PGC 又D1A中平面BPQ,QBC平面BPQ, 平面PAB,AB为平面PAB与平面ABCE的交 D ∴.DA∥平面BPQ 线，所以PG⊥平面ABCE,图为AGC平面 .Q,P分别为D1C1,CC的中点，∴.QP∥DC 268