8.6.2 第2课时 直线与平面垂直的性质-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

第八章立体几何初步 第二课时直线与平面垂直的性质 明学习目标 知结构体系 1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线和平面 课标 垂直的性质定理，并加以证明. 要求 2,会应用直线和平面垂直的性质定理证明一些空 直线与平面垂直的性质定理 间的简单线面关系， 直线与平面垂直 直线与平面、平面与平面的距离 线面垂直的判定与性质的综合 素养 在发现、推导和应用直线与平面垂直的性质定理的 过程中，发展数学抽象素养、逻辑推理素养和直观 要求 想象素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.直线与平面垂直的性质定理 即时小练 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线 1.判断正误 符号语言 b⊥aJ (1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行. (2)垂直于同一平面的两条直线互相平行.（ ) 图形语言 (3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面 垂直，则这两条直线互相垂直. () 作用 ①线面垂直→线线平行，②作平行线 2.从圆柱的一个底面上任取一点（该点不在底面圆 2.线面距与面面距 周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线 (1)一条直线与一个平面平行时，这条直线上 与圆柱的母线所在直线的位置关系是() 到这个平面的距离，叫做这条直线到这 A.相交 B.平行 个平面的距离. C.异面 D.相交或平行 (2)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的3.做一做若直线AB∥平面α，且点A到平面α 到另一个平面的距离 ,我们把 的距离为2，则点B到平面α的距离为 它叫做这两个平行平面间的距离. 关键能力·合作探究 讲练设计探究重，点 题点一直线与平面垂直的性质的应用 /方法技巧/ 关于线面垂直性质定理的应用 [典例]如图所示，在正方体 D 在证明与垂直相关的平行问题时，可以考虑线 ABCD-A1B1C1D1中，M是 面垂直的性质定理，利用已知的垂直关系构造 AB上一点，N是A1C的中点， 线面垂直，关键是确定与要证明的两条直线都 MN⊥平面A1DC. 垂直的平面 求证：MN∥AD1. 对点训练 如图，a∩3=I,PA⊥a,PB⊥B, 垂足分别为A,B,aCa,a⊥AB. 求证：a∥l. 95 数学必修第二册 题点二线面垂直的判定与性质的综合 题点三距离问题 [典例]如图所示，四边形ABCD [典例] 如图，在三棱锥P-ABC 为正方形，SA⊥平面ABCD,过 中，AB=BC=2√2，PA=PB= A且垂直于SC的平面分别交 PC=AC=4,O为AC的中点. SB,SC,SD于点E,F,G (1)证明：PO⊥平面ABC; 求证：AE⊥SB. (2)若点M在棱BC上，且MC =2MB,求点C到平面POM的距离. [拓展]本例中“过A且垂直于SC的平面分别交 SB,SC,SD于点E,F,G”改为“过A作AF⊥SC 于点F,过点F作EF⊥SC交SB于点E”,结论 :…/方法技巧/ 不变，如何证明？ (1)从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与 垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离. 当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用 线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面 等距离的点作垂线，然后计算. (2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件， 将一个点到平面的距离，借助中点（等分点），转 /方法技巧/… 化为另一点到平面的距离 线线、线面垂直问题的解题策略 (3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几 (1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直 何体的高；二是将底面扩展（分割），以方便求底 于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察 面积和高. 图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的 平面. 对点训练 (2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线 :1.△ABC的三个顶点A,B,C到平面a的距离分别 垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题 为2cm、3cm、4cm,且它们在a的同侧，则 时一定要体现出来， △ABC的重心到平面a的距离为 对点训练 2.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AA1= 12,AB=5. 如图，在四棱锥P一ABCD (1)求点B1到平面A1BCD1的距离； 中，底面ABCD是矩形，AB⊥ E》 (2)求B1C1到平面A1BCD1的距离. 平面PAD,AD=AP,E是PD D 的中点，M,N分别在AB,PC 上，且MN⊥AB,MN⊥PC. 证明：AE∥MN. 96 第八章立体几何初步 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.若直线a与平面a不垂直，那么在平面a内与直4.如图，直升机上一点P在地面a 线a垂直的直线 ( 上的正射影是点A(即PA⊥a), A.只有一条 从点P看地平面上一物体B(不 B.有无数条 同于A),直线PB垂直于飞机 C.是平面内的所有直线 玻璃窗所在的平面β. D.不存在 求证：平面3必与平面a相交， 2.如图，四面体A-BCD中，AB,BC,BD两两垂直， BC=BD=2,点E是CD的中点，若直线AB与： 平面ACD所成角的正弦值为号，则B到平面 ACD的距离为 5.过△ABC各边的中点D,E,F分别作各边的垂 面，这三个垂面能否交于同一条直线？若能，这 C.21 条直线有何特点？若不能，请说明理由. 3 号 3.已知m,n是两条不同的直线，a,3是两个不同的 平面 ①若m∥a,m⊥n,则n⊥a;②若m⊥a,n∥a,则m ⊥n;③若mCa,nCB,且a∥B,则m∥n;④若m, n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面. 其中为真命题的是 .(填序号) 温馨提示 请做课时分层检测（三十一） 8.6.3 平面与平面垂直 明学习目标 知结构体系 1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的判 定定理，并加以证明，会应用平面与平面垂直的判定定理 课标 二面角的平面角 证明平面与平面垂直， 二面角 要求 2.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的性 直二面角 质定理，并加以证明，能用平面与平面垂直的性质定理解 平面与 平面垂直 决一些简单的空间线面位置关系问题. 面面垂直的判定定理 面面垂直 面面垂直的性质定理 素养 在发现，推导和应用平面与平面垂直的判定定理的过程中， 要求 发展数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养。 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)二面角 1.二面角 Q 从一条直线出发的 所组成的图形叫做 图形 定义 二面角，这条直线叫做二面角的 ,这两 个半平面叫做二面角的 97对点训练 !关键能力·合作探究 解如图，过S作S)⊥平面ABC于点O,连接AO, 、 题点 BO.CO. 典例证明因为四边形ADDA为正方形， 则S)⊥AO,S)⊥BO,SO⊥C0. 所以AD⊥A1D. ,'SA=SB=SC=a,.△SOA≌△SOB≌△S0C, 又因为CD⊥平面ADD1A,ADC平面ADD1A,所以CD⊥AD1. ∴.AO=BO=CO,∴.O为△ABC的外心. 因为AD∩CD=D,ADC平面ADC,CDC平面ADC,所以AD⊥平 △ABC为正三角形，.O为△ABC的中心 面A,DC SO⊥平面ABC, ,∴.∠SAO即为SA与平面ABC所成的角. 又因为MN⊥平面A,DC,所以MN∥AD. 在Rt△SAO中， 对点训练 3 证明 PA⊥a,lCa,∴.PA⊥L. SA=a,AO=2> 24→ 34, 同理PB⊥L PA∩PB=P,PAC平面PAB,PBC平面PAB,∴.l⊥平面PAB. ,∴.cos∠SAO= 又PAa,aCa,..PAa. SA 3' ,a⊥AB,PA∩AB-A,PAC平面PAB,ABC平面PAB, ∴SA与底面ABC所成角的余弦值为 ∴a⊥平面PAB.a∥l. · 题点二 素养演练·提升技能 典例证明SA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD, 1.C[由正方体的性质，得AB1⊥BC1,B,C⊥BC,A1B1∩BC- ∴.SA⊥BC. B1,AB,C平面ABCD,B,CC平面AB,CD,所以BC⊥平面 四边形ABCD是正方形，.AB⊥BC A1B,CD.又A1EC平面A1BCD,所以A1E⊥BC.] ,SA∩AB=A,SAC平面SAB,ABC平面SAB, 2.B[EG⊥平面a,PQC平面a,∴EG⊥PQ.EG∥FH,∴.EG与 ,∴.BC平面SAB. FH共面，为使PQLGH,只需PQL平面EGHF.若EFL平面3，！ AEC平面SAB,,.BCLAE. 由PQC平面3，得EF⊥PQ,又，EG与EF相交于点E,从而PQ⊥： SC⊥平面AGFE,AEC平面AGFE, 平面EGHF,则PQ⊥GH.] ∴.SC⊥AE. 3.l⊥AC[.AB⊥a,lCa,∴.AB⊥l,又BC⊥3，lC3,∴.BC⊥l,又AB∩ 又：BC∩SC=C,BCC平面SBC,SCC平面SBC,∴AE⊥平 BC=B,且AB,BCC平面ABC,∴.直线l⊥平面ABC,又ACC平面！ 面SBC ABC,故1AC] 而SBC平面SBC,.AE⊥SB. 4.45°[如图，取BC的中，点D,连接AD,B1D,AD 拓展 ⊥BC且AD⊥BB1,BC∩BB,=B,BCC平面 证明连接AE(图略)，SA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD, BBCC,BB1C平面BBC1C,∴.AD⊥平 公 ,.SA⊥BC. 四边形ABCD是正方形，.AB⊥BC BB,CC,∴∠ABD即为AB,与平面BBCC所成 ,SA∩AB=A,SAC平面SAB,ABC平面SAB, 的角.设AB=反，则AA,=1,AD=,AB-尽， ,.BC平面SAB. :AEC平面SAB,.BCLAE. ,'AF⊥SC,EF⊥SC,AF∩EF=F,AFC平面AEF,EFC平 si∠AB D-AD-号，∠ABD=45.即AB与平面BBGC所 面AEF, 成的角为45°.] ∴，SC⊥平面AEF,AEC平面AEF,,SC⊥AE 5.解远择①， 又BC∩SC=C,BCC平面SBC,SCC平面SBC, (1)证明：连接AC(图略)，因为PA⊥平面ABCD, ∴.AE⊥平面SBC 所以PAAC. 而SBC平面SBC,.AE⊥SB. 因为PA-2,PC=3,所以AC=PC-PA2=5, :对点训练 因为AB=2,BC=1,所以AC2=AB2+BC, 证明因为AB⊥平面PAD,AEC平面PAD,所以AE⊥AB, 所以AB⊥BC. 又AB∥CD,所以AE⊥CD. 因为CD⊥BC,所以AB∥CD, 因为AD=AP,E是PD的中点， 又AB≠CD,所以四边形ABCD是直角梯形. 所以AE⊥PD. (2)由(1)可知，四边形ABCD是直角梯形， 又CD∩PD=D,CD,PDC平面PCD, 如图，将四棱锥P-ABCD补成一个长方体 所以AE⊥平面PCD. ABCE-PFGH,连接PE,CF,则PB与平面PCD 因为MN⊥AB,AB∥CD, 所成的角即PB与平面PCE所成的角. 所以MN⊥CD. 过B作BO⊥CF于)，由长方体的性质知，EC 又因为MN⊥PC,PC∩CD=C,PC,CDC平面PCD. 平面BCGF, 所以MN⊥平面PCD, 所以ECOB,又CF∩EC=C, 所以AE∥MN, 所以OB平面PFCE.连接OP, :题点三 则∠BPO即为直线PB与平面PCD所成的角. 典例解(1)证明：PA=PC=AC=4,O为AC的中，点，.OP 在R△CBF中，可求得OB=25 : AC,且OP=2√5 连接OB,如图， 5 在Rt△PAB中，可求得PB=2√2， :AB=C=号AC 2√5 ,∴△ABC为等腰直角三角形，且()B⊥AC,'OB 所以sin∠BPO=O 5 -√10 PB2√2 10 =2AC=2, B 选择②， .OP+OB2=PB2,∴.OP⊥OB (1)证明：连接AC(图略)，因为PA⊥平面ABCD, 又，'OP⊥AC,OB∩AC=O,OBC平面ABC,ACC平面ABC,∴.PO⊥平 所以PA⊥AC. 面ABC. 因为PA=2,PC=3,所以AC=PC-PA2=5, (2)作CH⊥OM,垂足为H,由(1)可得OP⊥CH, 因为AB=2,BC=1,所以AC2=AB+BC, 又OM∩OP=O,OMC平面POM,OPC平面POM,∴.CH⊥平面 所以AB⊥BC. POM,∴.CH的长即为点C到平面POM的距离 因为CD∥平面PAB,CDC平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD= AB,所以AB∥CD,又AB≠CD, 由题设可知，0C-AC-2,CM=号BC-4. ∠ACB=45, 31 所以四边形ABCD是直角梯形. (2)同远择①. 由余弦定理得0M=0C+CF-20C·CM.cos45°=4+32 9 第二课时 直线与平面垂直的性质 必备知识·自主梳理 2x2×1×号-g即0M=2 3 2 3 1.平行a∥b2.(1)任意一点(2)任意一点都相等 即时小练 CH=OC·MC:sin∠ACB_4 OM 5 1.(1)√/(2)√/(3)/ 2.B “点C到平面POM的距离为4 5 3.2[由线面间的距离，知点B到平面α的距离为2.] 266 对点训练 :关键能力·合作探究 1.3cm[设点A,B,C在平面a上的射影分别为A',B',C,△ABC题点- 的重心为G,连接CG交AB于E,则E为BA的中点.又设E,G在典例解(1)：PA⊥L平面ABCD,CDC平面ABCD. 平面a上的射影为E,G,由EE⊥a,GG'⊥a,CC⊥a,知EE∥GG∥ .PA⊥CD.又四边形ABCD为正方形， C.在梯形AM'BB中，EE=号(AM'+BB)-之(2+3)= '.CD⊥AD.又PA∩AD=A,PAC平面PAD,ADC平面PAD, 21 .CD平面PAD 又CC=4,CG:GE=2:1.在直角梯形EECC中，可得GG=3.] 又CDC平面PCD, 2.解(1)如图，过点B1作BE⊥AB于点E. D ,.平面PAD⊥平面PCD. 由题意知BC⊥平面AABB,且BEC平面A1ABB, ,∴.二面角4PD-C平面角的度数为90° .BC⊥BE.BC∩A1B=B,BCC平面A1BCD1, (2)PA⊥平面ABCD, ABC平面A,BCD, ∴.ABLPA,AC⊥PA ,.BE⊥平面A1BCD, ',∠BAC为二面角B-PA-C的平面角 ,线段BE的长即为所求 又四边形ABCD为正方形，.∴，∠BAC=45° 在Rt△AB,B中， 即二面角BPA-C平面角的度数为45 B,E=AB·BB 5×12 60 对点训练 AB √5+122131 AC[依题意，∠APB=120°，PA=2,所以OP= 成A到羊面A,BCD,的矩高为。 1,OA=OB=5,A选项，圆锥的体积为3× (2)B,C∥BC,且BC史平面ABCD, π×（√）×1=π，A选项正确；B选项，圆锥 BCC平面ABCD, 的侧面积为π×√3X2=2√3π，B远项错误： D ∴.BC1∥平面ABCD1 C远项，设D是AC的中点，连接OD,PD,则 ∴，点B到平面A1BCD1的距离即为所求， AC⊥OD,AC⊥PD,所以∠PDO是二面角P-ACO的平面角，则 ∴·直线BC到平面A1BCD,的距离为0. ∠PD)=45°，所以OP=OD=1,故AD=CD=3-1=√2，则AC 素养演练·提升技能 =22,C选项正确；D选项，PD=√十1正=√2，所以S△AC= l.B[当a∥平面a时，在平面a内有无数条直线与直线a是异面垂 2×22×2-2,D选项错误.故选AC.] 直直线：当a二a时，在a内有无数条平行直线与直线a相交且垂直； 当直线“与平面口相交但不垂直时，在平面：内有无数条平行直线题点二 与直线a垂直. 典例证明'PC⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,'.PC⊥BD 2.B「连接AE(图略).AB⊥BC,AB⊥BD,BC∩BD=B,BCC平 四边形ABCD为菱形， 面BCD,BDC平面BCD,,.AB⊥平面BCD,CDC平面BCD, .'.ACLBD. .AB⊥CD,BC=BD,E为CD的中点，∴.CD⊥BE,又CD⊥AB, 又PC∩AC=C,PCC平面PAC,ACC平面PAC, AB∩BE=B,ABC平面ABE,BEC平面ABE,..CD⊥平面ABE ,∴.BD⊥平面PAC ,.AB在平面ACD上的射影在直线AE上，.∠BAE就是直线AB ,BDC平面PDB,,.平面PDB⊥平面PAC 与平面ACD所成的角.在R△ABE中，由BE=√2，sin∠BAE=对点训练 1.3'AB⊥平面BCD,ABC平面ABC,.平面ABC⊥平面BCD, 3,可得AE=3区，AB=4,设点B到平面ACD的距离为五， 平面ABD平面BCD.BCCD,,.DC平面ABC.又DC二平 面ADC,.平面ADC⊥平面ABC.,共有3对互相垂直的平面.] 3S△DX,整理得2AB=2.解(I)证明：SO垂直于圆维的底面，AP在圆锥的底面内，S0 6h,解得h= ⊥AP,又AO为⊙M的直径，.PO⊥AP,,SO∩PO=O,SOC平面 3· SOP,POC平面SOP,.AP⊥平面SOP,又APC平面SAP,.平 3.②④①若m∥a,m⊥n,则n与a位置关系不确定，故为假命题. 面SAP平面SOP ②若n∥a,则a内存在直线1与n平行，因为m⊥a,所以m⊥1，所以 (2)设圆锥的母线长为1，底面半径为r,,,圆锥的侧面积为π，底面 m⊥n,故为真命题.③若nCa,n二3，且a∥B,则n,n可能异面，故为 积为π，由2元r2=πrl,得1=2r,∴.AB=AS=BS,∴·△ABS为正三 假命题，易知④为真命题，] 角形，又S)=√3，.r=1,I=2.连接MP(图略)，在三棱锥SAPO 4.证明假设平面a与平面3平行. 中，，OS=√3，△AOP面积最大时，三棱锥SAP)的体积最大， 因为PA⊥平面a,所以PA平面B. 因为PB⊥平面B, 此时MP⊥OA,AP=OP=.过O作OH⊥SP于点H(图略)， 由线面垂直的性质定理，可得PA∥PB, 与已知PA∩PB=P矛盾， 则OH= OS·OP=@I 所以平面B必与平面α相交 7会.平面SAPL平面S0P,OH⊥平 w√OS+OP2 5,解设过，点D,E,F作的AB,BC,CA的垂面分 面SAP,∴.OH即为点O到平面SAP的距离，，点O为AB的中 别为a,3,Y(如图)， 则有a∩3=l,否则若a∥3， 则AB⊥a,ABL3. 点点B到平面SAP的距离为20H=2Y四 7 又BC⊥3， 题点三 ∴.BC∥AB,这与BC∩AB=B矛盾，因此a∩ :典例证明如图，在平面PAB内， 3=l. 作AD⊥PB于点D. 设l∩平面ABC-O,l与OF确定的平面为Y ; ,平面PAB⊥平面PBC,且平面PAB∩平面PBC .AB⊥a,ODCa,∴.AB⊥OD, -PB, 同理BC⊥OE,O是AB,BC垂直平分线的交，点， ADC平面PAB, 即O是△ABC的外心，从而ACLOF. .ADL平面PBC .AB a.iCa,AB. 又BCC平面PBC,.AD⊥BC. 同理I⊥BC,.l⊥平面ABC.OF⊥AC,.AC⊥y, ,PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,∴.PA⊥BC, 因此平面与Y是同一平面. 又PA∩AD=A,PAC平面PAB,ADC平面PAB,,∴，BC⊥平 .an8ny=1,..an80y=i. 面PAB. 即这三个垂面交于同一条直线」 又ABC平面PAB,.BC⊥AB, 由前面的证明可知LL平面ABC. :对点训练 因此I在平面ABC上的射影O就是△ABC的外心」 证明在三棱柱ABC一AB,C1中， 8.6.3平面与平面垂直 四边形BCCB为平行四边形， 必备知识·自主梳理 因为BC=CC1, (一)1.两个半平面棱面AB3 al-8 P-AB-Q P-1Q 所以四边形BCCB1为菱形， 2.任取垂直于平面角0°180°平面角直二面角 所以BC⊥BC, 即时小练 1.D2.45° 又平面ABC1L平面BCC,B, (二)1.直二面角2.垂线3.交线垂直aCaa⊥1线面 且平面A1BC1∩平面BCC1B,-BC, 即时小练 B1CC平面BCC1B1, 1.(1)×(2)×(3)/(4)× 所以BC⊥平面A1BC1, 2.C3.D.4.D 因为BCC平面ABC,所以平面AB,C⊥平面ABC1. 267