8.6.2 第1课时 直线与平面垂直的判定-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

数学必修第二册 8.6.2直线与平面垂直 第一课时直线与平面垂直的判定 明学习目标 知结构体系 1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面垂直的判 课标 要求 定定理，并加以证明. 直线与平面垂直的定义 2.会应用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直. 直线与 直线与平面垂直的判定定理 平面垂直 素养 在发现、推导和应用直线与平面垂直的判定定理的过程中， 线面角 要求 发展数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 一)直线与平面垂直的定义及有关概念 即时小练 般地，如果直线（与平面α内的 直线都 定义 垂直，我们就说直线1与平面α互相垂直 1.判断正误 (1)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂 记法 直，那么这条直线与这个平面垂直. () 有关 直线1叫做平面α的 ,平面α叫做直线（的 (2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面， ,直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 概念 那么另一条也垂直于这个平面. () 叫做 2.(多选)如果一条直线垂直于一个平面内的下列 各种情况，能保证该直线与平面垂直的是( 图示 A.三角形的两边 B.梯形的两边 C.圆的两条直径 D.正六边形的两条边 性质 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条 (三)直线与平面所成的角 1.直线和平面所成角的有关概念 垂线段 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与 与点 间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂 有关概念 对应图形 面距 线段的 叫做这个点到该平面的距离 一条直线l与平面a 斜线 但不与这个平面 ,这 即时小练 条直线叫做这个平面的斜线 1.若直线l⊥平面&，直线nCa,则l与m不可能 斜足 斜线和平面的 叫做 斜足 ( A.平行B.相交 C.异面 D.垂直 过斜线上斜足以外的一点P向 2.如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，： 平面a引 PO,过垂足 射影 那么这条直线是否与这个平面垂直？ O和斜足A的直线AO叫做斜 线在这个平面上的射影 2.直线与平面所成角的定义 (二)直线与平面垂直的判定定理 平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 定义 如果一条直线与一个平面内的 直线垂 角，叫做这条直线和这个平面所成的角 文字语言 直，那么该直线与此平面 条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 规定 ；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它 图形语言 们所成的角是 直线与平面所成的角0的取值范围是 范围 符号语言 la,lb,a二,ba →la 92 第八章立体几何初步 即时小练 (2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小 为 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， (3)直线A1B与平面AB,C,D所成的角的大小 (1)直线A1B与平面ABCD所成的角的大小为： 为 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一直线与平面垂直定义的理解 /方法技巧/ 证线面垂直的方法 [典例]下列命题中，正确的序号是 (1)线线垂直证明线面垂直： ①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥； ①定义法不常用，但由线面垂直可得出线线 ②若直线1与平面a内的一条直线垂直，则⊥a; 垂直； ③若直线l不垂直于平面a,则a内没有与l垂直 ②判定定理最常用：要着力寻找平面内的两条 的直线； 相交直线（有时作辅助线），结合平面图形的性 ④若直线l不垂直于平面a,则α内也可以有无 质（如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线 数条直线与l垂直 ⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条. 等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一 /方法技巧/… 条垂直等结论来论证线线垂直· 1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直 (2)平行转化法（利用推论）： 线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与 ①a∥b,a⊥a→b⊥a; “所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时， ②a∥B,a⊥a→a⊥B. 该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此 可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线 对点训练 不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面 如图，在三棱锥SABC中，∠ABC 垂直 =90°，D是AC的中点，且SA=SB 2.由定义可得线面垂直→线线垂直，即若a⊥ SC. a,b二a,则a⊥b. (1)求证：SD⊥平面ABC; 对点训练 (2)若AB=BC,求证：BD⊥平面SAC. 设l,m是两条不同的直线，a是一个平面，则下列 命题正确的是 A.若1⊥m,mCa,则l⊥a B.若l⊥a,l∥m,则m⊥a C.若l∥a,mCa,则l∥m D.若l∥a,m∥a,则l∥m 题点二线面垂直判定定理的应用 [典例]如图，四棱锥P-ABCD 的底面是菱形，且PA=PC,PB =PD.若O是AC与BD的交 点.求证：PO⊥平面ABCD. 93 数学必修第二册 题点三直线与平面所成的角 …/方法技巧/… 求直线与平面所成角的一般步骤 [典例]如图所示，在Rt△BMC (1)作图：作（或找）出斜线在平面内的射影，作 中，斜边BM=5,它在平面 射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足 ABC上的射影AB长为4， 和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足 ∠MBC=60°，求MC与平面 的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算. CAB所成角的正弦值. (2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成 的角. (3)计算：通常在垂线段、斜线段和射影所组成 的直角三角形中计算， 对点训练 三棱锥SABC的所有棱长都相等且为a,求SA 与底面ABC所成角的余弦值. 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中：4.如图所示，在正三棱柱ABC 点，则 A1B1C1中，若AB:BB1=√2： A.A1E⊥DC B.A1E⊥BD ! 1,则AB1与平面BB1C1C所成 C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC 角的大小为 2.如图，设平面a∩平面B=PQ,EG⊥平面a,垂足5.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA 为G,FH∥GE,FH交平面a于点H.为使PQ⊥ ⊥平面ABCD,PA=AB=2, GH,则需增加的一个条件是 ( ) BC=CD=1,PC=3, 从①CD⊥BC,②CD∥平面 PAB这两个条件中选一个，补 充在上面问题中，并完成解答， (1)求证：四边形ABCD是直角梯形； (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值. A.EF⊥平面a B.EF⊥平面3 C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH 3.如图，a∩B=l,点A,C∈a,点B∈B,且BA⊥a, BC⊥B,那么直线l与直线AC的关系是 温馨提示 请做课时分层检测（三十） 94当∠EOF=60°时，EF=OE-OF=2 8.6.2直线与平面垂直 第一课时直线与平面垂直的判定 当∠EOF=120°时，取EF的中，点M,连接OM, 必备知识·自主梳理 则OM LEF,EF-2EM=2×5=3 (一)任意一条⊥α垂线垂面垂足垂足长度 4 2 、 即时小练 故EF的长为宁或 11.A 不一定.如图，长方体ABCD-A1B1CD 中，在棱AB上任取一点E,过点E作EF∥AD交 答案之或 CD于点F,则这样的直线能作出无数条，显然AB 2 垂直于平面ABCD内的无数条直线，但ABC平 对点训练 面ABCD,故直线AB与平面ABCD不垂直，不仅 解如图，连接CD1,AC.由题意得，四棱柱AB 如此，因为AB,∥AB,所以直线A1B,也垂直于平面ABCD内的 CDAB,CD中，AD∥BC,AD,=BC, 无数条直线，但是直线A1B1∥平面ABCD. .四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥CD (二)两条相交垂直a∩b=P .∠ADC(或其补角)为A1B和AD1所成的角. 即时小练 ,异面直线AB和AD1所成的角为90°， 1.(1) (2)/ .∠ADC=90°.又AB=BC=2√3， 2.AC [由线面垂直的判定定理知，直线垂直于A,C图形所在的平 ，对于B,D图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们 ∴△ACD是等腰直角三商形，AD,=号AC 所在的平面不一定垂直.] :(三)1.相交垂直交点A垂线2.射影90°0°0≤≤90 .底面四边形ABCD是菱形且AB=BC=2√3， 即时小练 ∠ABC=120°，∴.AC=2√3×sin60°×2=6， 解析(1)由线面角的定义知，∠ABA为A1B与平面ABCD所成 -巨AC=3E, 的角，易得∠ABA=45 AD=2 (2)如图，连接A1D, 设A,D∩AD,=O,连接BO, .AA=√AD-AD=√(3√2)-(23)-√6. 则易证AD⊥平面ABCD1, 素养演练·提升技能 ,A1B在平面ABCD1内的射影为OB, 1.BCD[将正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B,C)-DEF, ∴.A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO 如图.对于A,G,H分别为DE,BE的中，点，则GH∥ A(B,C) AD,而AD与EF异面，故GH与EF不平行，故A A:0=2AD=2AB,∠AB0=30 错误：对于B,BD与MN为异面直线，正确（假设 (3)在正方体ABCD-A B C1D中，易证得AB⊥AB1,AB⊥ BD与MN共面，则A,D,E,F四，点共面，与 H(N) BC1,.A1B⊥平面ABC1D,即A1B与平面AB,C1D所成的角的 ADEF为正四面体矛盾，故假设不成立，故BD与 大小为90°」 MN异面)：对于C,依题意，GH∥AD,MN∥AF, 答案(1)45°(2)30°(3)90 ∠DAF=60°，故GH与MN成60°角，故C正确： 关键能力·合作探究 对于D,连接GF,A点在平面DEF的射影A1在 题点 GF上，∴DE⊥平面AGF,DE⊥AF,而AF∥MN,∴DE与MN垂！典例④⑤[当直线1与平面a内的无数条平行直线垂直时，l与a 直，故D正确.故选B、C、D. 不一定垂直，所以①不正确；当1与a内的一条直线垂直时，不能保 2.609 [如图，延长DO交底面圆于点E,连接BE,CE,由AB,DE均 证1与平面。垂直，所以②不正确；当与a不垂直时，l可能与a内 为圆的直径知AD∥BE,且AD=BE,所以∠CBE 的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确：过一，点有且只有一 即为异面直线AD与BC所成的角或其补角，在 条直线垂直于已知平面，所以⑤正确.故填④⑤.] △AOD中，AD=2 OAsin60°-2√3，在△CBE中， 对点训练 于A,直线l上n,m并不代表平面a内任意一条直线，所以不 CB=CE=BE=/22+(2√2)2=2√3，所以 能判定线面垂直；对于B,因为La,则垂直。内任意一条直线，又 △CBE为正三角形，所以∠CBE=60°，所以直线 【月n,由异面直线所成角的定义知，n与平面a内任意一条直线所 AD与BC所成的角为60°. 成的角都是90°，即na,故B正确；对于C,也有可能是1，m异面； 3.y6 对于D,l,n还可能相交或异面.故远B.] 「因为骨架把圆柱底面8等份，所以四棱柱 题点二 A2A,AA。B2B,B,B,为长方体，且上、下底面为 典例证明在△PBD中，PB=PD,O为BD的中点，.POLBD 在△PAC中，PA=PC,O为AC的中，点， 正方形，如图.设上底面圆的圆心为O,又AA∥ .PO⊥AC B,B,所以∠OB,A8(或其补角)为异面直线所成 又.'AC∩BD=O,ACC平面ABCD,BDC平面ABCD,∴.POL平 的角，因为4个全等的矩形骨架总计耗用9.6米铁 面ABCD. 丝，所以每个矩形的周长为9.6÷4一2.4（米）.又 对点训练 底面圆的直径为0.6米，所以圆柱高为0.6米，即A2B2=0.6米.连 证明(1)，SA-=SC,D是AC的中点 ∴.SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD=BD, 接OA,AB.又R月-3恶来A,B=A及-66+( 由已知SA=SB,∴.△ADS≌△BDS.'.SDLBD, 10 10 又AC∩BD=D,ACC平面ABC,BDC平面ABC, =3E(米)，所以OA为等腰三角形AB,B2的高.在R△OB,A: .SD⊥平面ABC. 10 (2)AB=BC,D为AC的中点 中.m0BA=盟-】 ∴.BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD. 部面S8DC千面SAC,AGc年面SAC 4.{00°60}「如图，连接CD,AC,因为CD, 1 题点三 ∥BA1,所以CP与BA1所成的角就是CP与CD 典例解由题意知A是M在平面ABC上的射影， 所成的角，即0=∠D1CP.当，点P从D1向A运动 .MA⊥平面ABC, 时，∠D1CP从0增大到60°，但当，点P与D1重合 '.MC在平面CAB上的射影为AC, 时，CP∥BA1,与CP与BA1为异面直线矛盾，所 ,.∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角. 以异面直线CP与BA1所成的角日的取值范固是 又：在Rt△MBC中， 180°<0≤60}.] BM=5,∠MBC=60° 5.解如图所示，取AC的中点G,连接DG, .'.MC=BMsin/MBC=5sin 60 FG,则EG∥AB且EG=2AB,GF∥CD且 -5xE-53 2 2 在Rt△MAB中， GF=CD, D MA=√/MB2-AB2=/52-42=3. 由AB=CD知EG=FG, 在Rt△MAC中， 从而可知∠GEF或其补角为EF与AB所成 sin∠MCA-=MC MA32√3 角，∠EGF或其补角为AB与CD所成角. 5√5 5 ,AB与CD所成角为30°，，.∠EGF=30°或150 2 由EG=FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF=30°时，∠GEF= 75°：当∠EGF-150°时，∠GEF=15°， 故EF与AB所成角的大小为15°或75 即MC与平面CAB所成角的正孩值为25 265 对点训练 !关键能力·合作探究 解如图，过S作S)⊥平面ABC于点O,连接AO, 、 题点 BO.CO. 典例证明因为四边形ADDA为正方形， 则S)⊥AO,S)⊥BO,SO⊥C0. 所以AD⊥A1D. ,'SA=SB=SC=a,.△SOA≌△SOB≌△S0C, 又因为CD⊥平面ADD1A,ADC平面ADD1A,所以CD⊥AD1. ∴.AO=BO=CO,∴.O为△ABC的外心. 因为AD∩CD=D,ADC平面ADC,CDC平面ADC,所以AD⊥平 △ABC为正三角形，.O为△ABC的中心 面A,DC SO⊥平面ABC, ,∴.∠SAO即为SA与平面ABC所成的角. 又因为MN⊥平面A,DC,所以MN∥AD. 在Rt△SAO中， 对点训练 3 证明 PA⊥a,lCa,∴.PA⊥L. SA=a,AO=2> 24→ 34, 同理PB⊥L PA∩PB=P,PAC平面PAB,PBC平面PAB,∴.l⊥平面PAB. ,∴.cos∠SAO= 又PAa,aCa,..PAa. SA 3' ,a⊥AB,PA∩AB-A,PAC平面PAB,ABC平面PAB, ∴SA与底面ABC所成角的余弦值为 ∴a⊥平面PAB.a∥l. · 题点二 素养演练·提升技能 典例证明SA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD, 1.C[由正方体的性质，得AB1⊥BC1,B,C⊥BC,A1B1∩BC- ∴.SA⊥BC. B1,AB,C平面ABCD,B,CC平面AB,CD,所以BC⊥平面 四边形ABCD是正方形，.AB⊥BC A1B,CD.又A1EC平面A1BCD,所以A1E⊥BC.] ,SA∩AB=A,SAC平面SAB,ABC平面SAB, 2.B[EG⊥平面a,PQC平面a,∴EG⊥PQ.EG∥FH,∴.EG与 ,∴.BC平面SAB. FH共面，为使PQLGH,只需PQL平面EGHF.若EFL平面3，！ AEC平面SAB,,.BCLAE. 由PQC平面3，得EF⊥PQ,又，EG与EF相交于点E,从而PQ⊥： SC⊥平面AGFE,AEC平面AGFE, 平面EGHF,则PQ⊥GH.] ∴.SC⊥AE. 3.l⊥AC[.AB⊥a,lCa,∴.AB⊥l,又BC⊥3，lC3,∴.BC⊥l,又AB∩ 又：BC∩SC=C,BCC平面SBC,SCC平面SBC,∴AE⊥平 BC=B,且AB,BCC平面ABC,∴.直线l⊥平面ABC,又ACC平面！ 面SBC ABC,故1AC] 而SBC平面SBC,.AE⊥SB. 4.45°[如图，取BC的中，点D,连接AD,B1D,AD 拓展 ⊥BC且AD⊥BB1,BC∩BB,=B,BCC平面 证明连接AE(图略)，SA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD, BBCC,BB1C平面BBC1C,∴.AD⊥平 公 ,.SA⊥BC. 四边形ABCD是正方形，.AB⊥BC BB,CC,∴∠ABD即为AB,与平面BBCC所成 ,SA∩AB=A,SAC平面SAB,ABC平面SAB, 的角.设AB=反，则AA,=1,AD=,AB-尽， ,.BC平面SAB. :AEC平面SAB,.BCLAE. ,'AF⊥SC,EF⊥SC,AF∩EF=F,AFC平面AEF,EFC平 si∠AB D-AD-号，∠ABD=45.即AB与平面BBGC所 面AEF, 成的角为45°.] ∴，SC⊥平面AEF,AEC平面AEF,,SC⊥AE 5.解远择①， 又BC∩SC=C,BCC平面SBC,SCC平面SBC, (1)证明：连接AC(图略)，因为PA⊥平面ABCD, ∴.AE⊥平面SBC 所以PAAC. 而SBC平面SBC,.AE⊥SB. 因为PA-2,PC=3,所以AC=PC-PA2=5, :对点训练 因为AB=2,BC=1,所以AC2=AB2+BC, 证明因为AB⊥平面PAD,AEC平面PAD,所以AE⊥AB, 所以AB⊥BC. 又AB∥CD,所以AE⊥CD. 因为CD⊥BC,所以AB∥CD, 因为AD=AP,E是PD的中点， 又AB≠CD,所以四边形ABCD是直角梯形. 所以AE⊥PD. (2)由(1)可知，四边形ABCD是直角梯形， 又CD∩PD=D,CD,PDC平面PCD, 如图，将四棱锥P-ABCD补成一个长方体 所以AE⊥平面PCD. ABCE-PFGH,连接PE,CF,则PB与平面PCD 因为MN⊥AB,AB∥CD, 所成的角即PB与平面PCE所成的角. 所以MN⊥CD. 过B作BO⊥CF于)，由长方体的性质知，EC 又因为MN⊥PC,PC∩CD=C,PC,CDC平面PCD. 平面BCGF, 所以MN⊥平面PCD, 所以ECOB,又CF∩EC=C, 所以AE∥MN, 所以OB平面PFCE.连接OP, :题点三 则∠BPO即为直线PB与平面PCD所成的角. 典例解(1)证明：PA=PC=AC=4,O为AC的中，点，.OP 在R△CBF中，可求得OB=25 : AC,且OP=2√5 连接OB,如图， 5 在Rt△PAB中，可求得PB=2√2， :AB=C=号AC 2√5 ,∴△ABC为等腰直角三角形，且()B⊥AC,'OB 所以sin∠BPO=O 5 -√10 PB2√2 10 =2AC=2, B 选择②， .OP+OB2=PB2,∴.OP⊥OB (1)证明：连接AC(图略)，因为PA⊥平面ABCD, 又，'OP⊥AC,OB∩AC=O,OBC平面ABC,ACC平面ABC,∴.PO⊥平 所以PA⊥AC. 面ABC. 因为PA=2,PC=3,所以AC=PC-PA2=5, (2)作CH⊥OM,垂足为H,由(1)可得OP⊥CH, 因为AB=2,BC=1,所以AC2=AB+BC, 又OM∩OP=O,OMC平面POM,OPC平面POM,∴.CH⊥平面 所以AB⊥BC. POM,∴.CH的长即为点C到平面POM的距离 因为CD∥平面PAB,CDC平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD= AB,所以AB∥CD,又AB≠CD, 由题设可知，0C-AC-2,CM=号BC-4. ∠ACB=45, 31 所以四边形ABCD是直角梯形. (2)同远择①. 由余弦定理得0M=0C+CF-20C·CM.cos45°=4+32 9 第二课时 直线与平面垂直的性质 必备知识·自主梳理 2x2×1×号-g即0M=2 3 2 3 1.平行a∥b2.(1)任意一点(2)任意一点都相等 即时小练 CH=OC·MC:sin∠ACB_4 OM 5 1.(1)√/(2)√/(3)/ 2.B “点C到平面POM的距离为4 5 3.2[由线面间的距离，知点B到平面α的距离为2.] 266