8.5.2 直线与平面平行-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

第二类：如图(2)所示，四个定点分布在α的两侧各两个，此类中α共！素养演练·提升技能 有3个 综上，a共有4十3=7（个）.] 1D[连接BD(因略.因为铝-把-A,需-品-，所以EH/ 4.平行或异面[如图，由于ABCD是梯形，AB∥CD BD,且EH=ABD,FG∥BD,且FG=BD,所以若入=，则EH 所以AB与CD无公共点，又CD中平面a,所以CD FG,四边形EFGH是平行四边形；若入≠h,则EH∥FG,但EH≠ 与平面a无公共点，当n∥AB时，则m∥CD:当m FG,四边形EFGH是梯形.故选D.] 与AB相交时，则m与CD异面.] 2.D 5.相交[，点A∈a,B氏a,C年a,∴.平面ABC与平面a有公共点，且：3.解如图所示，在面A1C内过P作直线EF∥BC1,交A1B1于点 不重合，.平面ABC与平面α的位置关系是相交.] E,交CD1于点F,则直线EF即为所求 8.5.1直线与直线平行 理由如下：因为EF∥BC,BC∥BC,所以EF∥BC. 必备知识·自主梳理 0 (一)平行 即时小练 1.C[假设c与b平行，由于c∥a,根据基本事实4可知a∥b,与a,b 是异面直线矛盾，故C与b不可能是平行直线，门 2.矩形[如图所示， 7 点M,N,P,Q分别是四条边的中点，.MN∥ :4.解连接BM并延长交AD于E,连接PE,则E在MN,PB确定的 AC且MN=号AC,PQ∥AC且PQ=号AC,即 平面内，且E在AD上，所以E在平面PAD上，则 M D PE即为直线MN和PB确定的平面与平面PAD MN∥PQ且MN-PQ,∴.四边形MNPQ是平行 的交线1. 四边形.又.BD∥MQ,AC⊥BD,.MN⊥MQ, 直线l∥MN.证明如下： .平行四边形MNPQ是矩形，门 因为底面ABCD是平行四边形， (二)相等互补 所以AE∥BC. 即时小练 1.D 所以△AE△CBM,所以器-瑞 2.C[当∠BA'C'与∠BAC开口方向相同时，∠BA'C=30°，方向 因为点M,N分别在AC,PB上， 相反时，∠BA'C'=150.故选C.] 关键能力·合作探究 且AM=子MC,BN=BP, 题点 所以兴、所以器器 EM PN 典例证明(1)因为空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为AB, BC,CD,DA的中点， 所以MN∥PE,即直线L∥MN. 8.5.2直线与平面平行 所以EF∥AC,HG∥AC,EF=HG= AC, 必备知识·自主梳理 所以EF∥HG,EF=HG, 、:《仁)此平面内的二条直线平行 所以四边形EFGH是平行四边形. (二)交线a∥a,a二3，a∩g=b (2)因为室间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA即时小练 的中点， 1.(1)×(2)/(3)×(4)× 所以EH∥BD,EH=合BD, :2.D[由线面平行的判定定理可知，D正确.] :3.B[不在平面内的直线还可与平面相交，故A错误；一条直线与平 因为EF=号AC,AC=BD,所以EH=EF 面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，故C错误：直线 也可能在平面内，故D错误. 又因为四边形EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形， !4.D[由题意得b∥a和b与a相交都有可能.] 对点训练 关键能力·合作探究 证明如图所示，取DD的中，点Q,连接EQ,QC1 题点一 E是AA1的中点， 典例证明法一连接BC,AC, 因为ABC一A1B1C1是斜三棱柱， ∴.EQLA1D1. 所以四边形BCCB,为平行四边形 在矩形A1B1C1D中， E 由平行四边形性质得点E也是BC1的中点。 A D LB C,..EQLB C, A 因为，点D是AB的中点， .四边形EQCB1为平行四边形，B ELC Q. 所以DE∥AC1 又Q,F分别是D1D,CC的中点， 又DE寸平面ACC1A1,AC1C平面ACCA, ..QDLC F, 所以DE∥平面ACC1A1 '.四边形DQCF为平行四边形， A .C QLFD. 又B ELC Q, ∴B ELFD, 故四边形BEDF为平行四边形. 题点二 D 典例证明如图，连接CB,CD· .CDLLA B, 法二连接AC,AC1交于O,连接OE ∴，四边形ABCD是平行四边形， 则D是AC的中点 .A1D∥B1C 又E是BC的中点， ,M,N分别是CC1,BC的中点， 所以OE∥AB,OE=2AB, .MN∥BC,.MN∥A1D. BCLA D, 又AD/ABAD=zAB, ∴，四边形ABCD是平行四边形， 所以OELAD. .AB∥CD 所以四边形ADE)是平行四边形， M,P分别是CC1,C1D1的中点， 所以AO∥DE. .MP∥CD,∴.MP∥AB, 因为AOC平面ACC1A1,DE吐平面ACC1A1, ,∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反， 所以DE∥平面ACCA1· ,.∠NMP=∠BAD. :对点训练 对点训练 证明如图，作PM∥AB交BE于点M,作QN∥ 证明因为P,N分别为AB,AC的中点，所以PN∥BC,① 又因为M,V分别为A1C1,AC的中点， CD交BC于点N,连接MN,则PM/QN, 所以AMLNC,所以四边形ANCM为平行四边形，于是AN∥； EP QN_BQ EA'CD BD MC,② .EA=BD,AP=DQ,.'.EP=BQ. 由①②及∠PNA与∠BCM对应边方向相同，得∠PNA-∠BCM 262 又AB=CD,.PMLQN, (2)设EH=x,EF=y ∴.四边形PMNQ是平行四边形， ..PQ∥MN. EF∥CD,EH∥AB,:E是-CE,ER=AE AB CACD AC 又PQ吐平面CBE,MNC平面CBE, ! ∴.PQ∥平面CBE E是+CE-CE AE AC AB CD CAAC-AC-1. 题点二 典例证明连接MO 又：AB=4,CD=6,千+首=1. ·四边形ABCD是平行四边形， O是AC的中，点. y=61-子）且0<4 又M是PC的中点 ,∴.四边形EFGH的周长为 ..AP∥OM. 又.AP中平面BDM,OMC平面BDM, L=2(x+m=2[+6(1-)]=12-x ∴.AP∥平面BDM .812-x<12. 又，APC平面APGH,平面APGH∩平面BDM=GH,,∴.AP∥GH. ,∴.四边形EFGH周长L的取值范国是(8,12) 对点训练 8.5.3平面与平面平行 证明.四边形ABCD为矩形，∴.BC∥AD 又，ADC平面PAD,BCt平面PAD, 必备知识·自主梳理 (一)两条相交直线aC3,bC3,a∩b=P,a∥a,b∥a平行 ,.BC∥平面PAD :平面BCFE∩平面PAD=EF,∴BC∥EF :即时小练 1.C 又'AD=BC,AD≠EF,∴.BC≠EF 2.平行[在△PAB中，因为D,E分别是PA,PB的中点，所以DE ∴，四边形BCFE是梯形 ∥AB. 题点三 又DE吐平面ABC,AB二平面ABC, 典例解如图，连接AC交BE于点G,连接FG,则平面SAC∩平面 因此DE∥平面ABC EFB-FG. 同理可证EF∥平面ABC. SA∥平面BEF,SA平面SAC,平面SAC∩ 又DE∩EF=E,DE,EFC平面DEF, 平面EFB=FG, sA/G荒-0 所以平面DEF∥平面ABC.] (二)平行a∥b平行 .AE∥BC,∴.△GEA∽△GBC, 即时小练 怒能合 彩圆台的上，下底面互相平行，所以由平面生 2 质定理可知m. 2.平行四边形[因为平行六面体相对的面互相平行，所以由面面平 行的性质定理，得这个平面与相对的面的交线互相平行，即该裁面 四边形的两组对边分别平行，所以一定是平行四边形.门 即SF=3SC,=3 关键能力·合作探究 :题点 解因为EF∥平面ABC,EFC平面ABCD,平面ABCDO平面典例证明在△CEF中， 对点训练 因为G,H分别是CE,CF的中点， ABC=AC,所以EF∥AC.又因为点E是AD的中点，所以点F是 所以GH∥EF. CD的中点.因为在Rt△DEF中，DE-DF=1,所以EF=√2 又因为GHg工平面AEF,EF二平面AEF, 素养演练·提升技能 所以GH∥平面AEF, 1.B[MN∥平面PAD,平面PAD∩平面PAC=PA且MNC平面 设AC∩BD=O,连接OH,在△ACF中 PAC,故MN∥PA.] 因为OA=OC,CH=HF,所以OH∥AF 2.C[如图，连接AC,BD,交于点O,连接AC1,交 又因为OH工平面AEF,AF二平面AEF -M EF于M,连接OM,设正方体ABCD-A1BC1D 所以OH∥平面AEF. 的棱长为1，E,F分别为BC1,C1D1的中点，点 又因为OH∩GH=H,OH,GHC平面BDGH, P是底面A1BCD内一点，且AP∥平面 所以平面BDGH∥平面AEF. EFDB,则AP∥OM,易得四边形APMO为平行 :对点训练 证明(1)连接B1D, 四边形，AOLPM,∴AP=CM=AC-2 :E,F分别是边B1C,CD的中点， 4 4 ,EF∥BD. ② AP 而BD∥BD,BD∥EF ∴.os∠APA=AP VA P2AA 1十1 =3,即cos∠APA1 E,F,B,D四点共面 (2)易知MN∥B,D1,BD,∥BD,.MN∥BD. 又MN史平面EFDB,BDC平面EFDB,,∴.MN 的最小值是子] ∥平面EFDB. 连接MF.M,F分别是AB,CD的中点， 3.1[如图，取D为线段AG的中点，此时品 .MF∥AD1,MF=AD. ,'.MF∥AD且MF=AD. =1.连接AB交AB于点O,连接OD.由棱柱的 .四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF 性质知，四边形A1ABB,为平行四边形，所以点O 又AME平面EFDB,DFC平面EFDB, 为A1B的中点.在△ABC1中，点O,D1分别为 ,∴AM∥平面EFDB. A1B,A1C1的中点，所以OD∥BC,又因为OD 又.'AM∩MN-M,AMC平面MAN,MNC平面MAN, C平面ABD,BC史平面ABD,所以BC∥平面ABD1.所以 ,∴.平面MAN∥平面EFDB. AD=1时，BC∥年面ABD] 题点二 D 典例证明因为D,E分别是PA,PB的中点， 4.P是CC1中点[取CC1中，点P,连接A1P,因为 A 所以DE∥AB. 又DEE平面ABC,ABC平面ABC, 在直三棱柱ABCA1B,C1中，D为AA1中点，点 所以DE∥平面ABC, P在侧面BCC,B上运动，所以当点P满足条件 同理DF∥平面ABC,且DE∩DF=D,DEC平面DEF,DFC平 P是CC1中，点时，A1P∥CD,因为A1P中平面 面DEF, BCD,CDC平面BCD,所以当点P满足条件P是 所以平面DEF∥平面ABC CC中，点时，A1P∥平面BCD. 又平面PCM∩平面DEF=NF, 5,解(1)证明：，四边形EFGH为平行四边形， 平面PCM∩平面ABC-CM, ∴.EH∥FG. 所以NF∥CM. ,EH寸平面ABD,FGC平面ABD !对点训练 ..EH∥平面ABD. (1)证明PB∩PD=P, 又'，EHC平面ABC,平面ABC∩平面ABD=AB, ,∴直线PB和PD确定一个平面Y, ∴.EH∥AB. 则a∩y=AC,3∩y=BD. 又·EHC平面EFGH,ABT平面EFGH 又a∥B,∴.AC∥BD. ,'AB∥平面EFGH. 263第八章立体几何初步 3.如图所示为一长方体木料，木料 .如图，在四棱锥P-ABCD中，底 、 的面A1C1内有一点P,经过点P P。 面ABCD是平行四边形，点M, B 作棱BC的平行线，应该怎样画？ N分别在AC,PB上，且AM= 并说明理由 3MC,BN-=是BP,作出直线 MN和PB确定的平面与平面PAD的交线I.直 线1与MN是否平行，如果平行，请给出证明；如 果不平行，请说明理由. 温馨提示 请做课时分层检测（二十六） 8.5.2 直线与平面平行 明学习目标 知结构体系 1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面平行的判定定 课标 理和性质定理，并会证明性质定理. 要求 2.会应用直线与平面平行的判定定理与性质定理证明一些空间 直线 直线与平面平行 与平 的判定定理 的简单线面关系 平 行 直线与平面平行 综合应用 素养 在发现、推导和应用直线与平面平行的判定定理与性质定理的过 的性质定理 要求 程中，发展数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养， 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)直线与平面平行的判定定理 (二)直线与平面平行的性质定理 如果平面外一条直线与 ,那么 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面 文字语言 文字语言 该直线与此平面平行 与此平面相交，那么该直线与 平行 ata、 符号语言 →a∥b 符号语言 bCa→a∥a a∥b】 图形语言 图形语言 作用 证明两条直线平行 作用 证明直线与平面平行 83 数学必修第二册 即时小练 :3.下列命题正确的是 A.如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这 1.判断正误 个平面平行 (1)若直线l上有无数个点不在平面a内，则l∥a. B.过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线 ( 平行 (2)若l与平面a平行，则l与a内任何一条直线： C.如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任 都没有公共点. ) 何直线平行 (3)若a∥b,a∥平面a,则b∥a. ( D.如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则 (4)平行于同一平面的两条直线平行. ( 2.能保证直线a与平面a平行的条件是 ( 该直线与平面平行 A.bCa,a∥b :4.已知a,b是两条相交直线，a∥a,则b与a的位置 B.ba,c∥a,ab,a∥c 关系是 ( C.bCa,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BD A.b∥a B.b与a相交 D.a￠a,bCa,a∥b C.bCa D.b∥a或b与a相交 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一直线与平面平行的判定定理的应用 对点训练 [典例门如图，在斜三棱柱 已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和 ABC-A1B1C1中，CA= ABEF不同在一个平面内，P,Q分别是对角线 CB,D,E分别是AB,BC的 AE,BD上的点，且AP=DQ.求证：PQ∥平 中点. 面CBE. 求证：DE∥平面ACC1A1· :…/方法技巧/… 1.证明直线与平面平行，可以用定义，也可以用 判定定理，但说明直线与平面没有公共点比较 难，所以更多的是用判定定理. 2.用判定定理证明直线与平面平行的步骤 如下： 找 在平面内找到或作出一条与已知直线平行 的直线 证一证明已知直线与该直线平行 结论一由判定定理得出结论 84 第八章立体几何初步 题点二直线与平面平行的性质定理的应用 题点三 与线面平行有关的计算问题 [典例]如图所示，在四棱锥P [典例门 如图，在四棱锥SAB 一ABCD中，底面ABCD是 CD中，底面ABCD是菱形，点 平行四边形，AC与BD交于 E是棱AD的中点，点F在棱 点O,M是PC的中点，在 DM上取一点G,过G和AP 5C上，且无=A,SA/平面 作平面交平面BDM于GH, BEF.求实数入的值. 求证：AP∥GH, /方法技巧/ 1.利用线面平行的性质定理解题的步骤 …/方法技巧/… 我面 找一个与平面相交且过该直线的平面 对于与平行有关的计算问题，解题的关键是利 定线 确定两平面的交线 用线面平行的判定和性质实现平面几何与立体 几何的转化，再依据平行关系确定线段的比例 <结论 由性质定理列条件，下结论 关系，然后解决平面图形的计算问题 2.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面 对点训练 平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相 交的交线，然后确定线线平行， 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1 中，AB=2,点E为AD的中点， 对点训练 点F在CD上，若EF∥平面 如图所示，四边形ABCD是矩 AB1C,求EF 形，P氏平面ABCD,过BC作 平面BCFE交AP于E,交DP D 于F 求证：四边形BCFE是梯形. 85 数学必修第二册 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.如图，在四棱锥P一ABCD中，M,N分别为AC,5.如图，四边形EFGH为四面体 PC上的点，且MN∥平面PAD,则 ( ) ABCD的一个截面，若四边形 EFGH为平行四边形 (1)求证：AB∥平面EFGH; (2)若AB=4,CD=6,求四边 形EFGH周长L的取值范围. A.MN∥PD B.MN∥PA C.MN∥AD D.以上均有可能 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为 B1C1,C1D1的中点，点P是上底面A1B1C1D1 内一点，且AP∥平面EFDB,则cos∠APA1的： 最小值是 ( ) A号 B⑤ 5 c D.22 3 3.如图，斜三棱柱ABCA1B1C1 中，点D1为A1C1上的点.若 BC∥平面ABD1,则AD的 DC 值为 4.在直三棱柱ABCA1B1C1中， D为AA1的中点，点P在侧面 BCC1B1上运动，当点P满足 ---cC 条件 时，A1P∥ 温馨提示 请做课时分层检测（二十七） 平面BCD. 8.5.3 平面与平面平行 明学习目标 知结构体系 1,借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的判定定 课标 理，平面与平面平行的性质定理，并加以证明。 平面与平面平行的判定定理 要求 2.会应用平面与平面平行的判定定理证明平面与平面平行，能利 用性质定理解决一些简单的空间线面位置关系。 面与平面平行 平面与平面平行的性质定理 素养 在发现、推导和应用平面与平面平行的判定定理的过程中，发展 应用 要求 数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内的 与另一个平面 图形语言 文字语言 平行，那么这两个平面平行 符号语言 →B∥a 作用 证明两个平面 86