8.5.3 平面与平面平行-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

又AB=CD,.PMLQN, (2)设EH=x,EF=y ∴.四边形PMNQ是平行四边形， ..PQ∥MN. EF∥CD,EH∥AB,:E是-CE,ER=AE AB CACD AC 又PQ吐平面CBE,MNC平面CBE, ! ∴.PQ∥平面CBE E是+CE-CE AE AC AB CD CAAC-AC-1. 题点二 典例证明连接MO 又：AB=4,CD=6,千+首=1. ·四边形ABCD是平行四边形， O是AC的中，点. y=61-子）且0<4 又M是PC的中点 ,∴.四边形EFGH的周长为 ..AP∥OM. 又.AP中平面BDM,OMC平面BDM, L=2(x+m=2[+6(1-)]=12-x ∴.AP∥平面BDM .812-x<12. 又，APC平面APGH,平面APGH∩平面BDM=GH,,∴.AP∥GH. ,∴.四边形EFGH周长L的取值范国是(8,12) 对点训练 8.5.3平面与平面平行 证明.四边形ABCD为矩形，∴.BC∥AD 又，ADC平面PAD,BCt平面PAD, 必备知识·自主梳理 (一)两条相交直线aC3,bC3,a∩b=P,a∥a,b∥a平行 ,.BC∥平面PAD :平面BCFE∩平面PAD=EF,∴BC∥EF :即时小练 1.C 又'AD=BC,AD≠EF,∴.BC≠EF 2.平行[在△PAB中，因为D,E分别是PA,PB的中点，所以DE ∴，四边形BCFE是梯形 ∥AB. 题点三 又DE吐平面ABC,AB二平面ABC, 典例解如图，连接AC交BE于点G,连接FG,则平面SAC∩平面 因此DE∥平面ABC EFB-FG. 同理可证EF∥平面ABC. SA∥平面BEF,SA平面SAC,平面SAC∩ 又DE∩EF=E,DE,EFC平面DEF, 平面EFB=FG, sA/G荒-0 所以平面DEF∥平面ABC.] (二)平行a∥b平行 .AE∥BC,∴.△GEA∽△GBC, 即时小练 怒能合 彩圆台的上，下底面互相平行，所以由平面生 2 质定理可知m. 2.平行四边形[因为平行六面体相对的面互相平行，所以由面面平 行的性质定理，得这个平面与相对的面的交线互相平行，即该裁面 四边形的两组对边分别平行，所以一定是平行四边形.门 即SF=3SC,=3 关键能力·合作探究 :题点 解因为EF∥平面ABC,EFC平面ABCD,平面ABCDO平面典例证明在△CEF中， 对点训练 因为G,H分别是CE,CF的中点， ABC=AC,所以EF∥AC.又因为点E是AD的中点，所以点F是 所以GH∥EF. CD的中点.因为在Rt△DEF中，DE-DF=1,所以EF=√2 又因为GHg工平面AEF,EF二平面AEF, 素养演练·提升技能 所以GH∥平面AEF, 1.B[MN∥平面PAD,平面PAD∩平面PAC=PA且MNC平面 设AC∩BD=O,连接OH,在△ACF中 PAC,故MN∥PA.] 因为OA=OC,CH=HF,所以OH∥AF 2.C[如图，连接AC,BD,交于点O,连接AC1,交 又因为OH工平面AEF,AF二平面AEF -M EF于M,连接OM,设正方体ABCD-A1BC1D 所以OH∥平面AEF. 的棱长为1，E,F分别为BC1,C1D1的中点，点 又因为OH∩GH=H,OH,GHC平面BDGH, P是底面A1BCD内一点，且AP∥平面 所以平面BDGH∥平面AEF. EFDB,则AP∥OM,易得四边形APMO为平行 :对点训练 证明(1)连接B1D, 四边形，AOLPM,∴AP=CM=AC-2 :E,F分别是边B1C,CD的中点， 4 4 ,EF∥BD. ② AP 而BD∥BD,BD∥EF ∴.os∠APA=AP VA P2AA 1十1 =3,即cos∠APA1 E,F,B,D四点共面 (2)易知MN∥B,D1,BD,∥BD,.MN∥BD. 又MN史平面EFDB,BDC平面EFDB,,∴.MN 的最小值是子] ∥平面EFDB. 连接MF.M,F分别是AB,CD的中点， 3.1[如图，取D为线段AG的中点，此时品 .MF∥AD1,MF=AD. ,'.MF∥AD且MF=AD. =1.连接AB交AB于点O,连接OD.由棱柱的 .四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF 性质知，四边形A1ABB,为平行四边形，所以点O 又AME平面EFDB,DFC平面EFDB, 为A1B的中点.在△ABC1中，点O,D1分别为 ,∴AM∥平面EFDB. A1B,A1C1的中点，所以OD∥BC,又因为OD 又.'AM∩MN-M,AMC平面MAN,MNC平面MAN, C平面ABD,BC史平面ABD,所以BC∥平面ABD1.所以 ,∴.平面MAN∥平面EFDB. AD=1时，BC∥年面ABD] 题点二 D 典例证明因为D,E分别是PA,PB的中点， 4.P是CC1中点[取CC1中，点P,连接A1P,因为 A 所以DE∥AB. 又DEE平面ABC,ABC平面ABC, 在直三棱柱ABCA1B,C1中，D为AA1中点，点 所以DE∥平面ABC, P在侧面BCC,B上运动，所以当点P满足条件 同理DF∥平面ABC,且DE∩DF=D,DEC平面DEF,DFC平 P是CC1中，点时，A1P∥CD,因为A1P中平面 面DEF, BCD,CDC平面BCD,所以当点P满足条件P是 所以平面DEF∥平面ABC CC中，点时，A1P∥平面BCD. 又平面PCM∩平面DEF=NF, 5,解(1)证明：，四边形EFGH为平行四边形， 平面PCM∩平面ABC-CM, ∴.EH∥FG. 所以NF∥CM. ,EH寸平面ABD,FGC平面ABD !对点训练 ..EH∥平面ABD. (1)证明PB∩PD=P, 又'，EHC平面ABC,平面ABC∩平面ABD=AB, ,∴直线PB和PD确定一个平面Y, ∴.EH∥AB. 则a∩y=AC,3∩y=BD. 又·EHC平面EFGH,ABT平面EFGH 又a∥B,∴.AC∥BD. ,'AB∥平面EFGH. 263 2解由1)得AC/BD.则器品 :2.C[①在正方体ABCD-A1BC1D1中，由图可知DA1与BC1异 面，故①不正确：②因为DD∥CC1,BC与CC1不垂直，所以DD 又PA=4,AB=5,PC=3, 与BC不垂直，故②不正确：③正确.门 13.45° 关键能力·合作探究 故PD=PC+CD=22 题点 4· 典例解(1)如图，因为CG∥BF 题点三 典例证明(1)连接AC,CD, 所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所 成的角， 因为ABCD是正方形，N是BD的中点， 又在△BEF中，∠EBF=45°， 所以N是AC的中，点， 又因为M是AD1的中点，所以MN∥CD1, 所以BE与CG所成的角为45°. (2)连接FH,因为HD∥EA,EA∥FB, 因为MN中平面CCD,D,CDC平面CC1DD, 所以HD∥FB. 所以MN∥平面CC1DD. 又HD=FB, (2)连接BC1,CD, 所以四边形HFBD为平行四边形， 因为B,BCC是正方形，P是B,C的中点， 所以HF∥BD, 所以P是BC的中点， 所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角 又因为N是BD的中点， 连接HA,AF,易得O为AH的中点，且FH=HA=AF, 所以PN∥CD, 所以△AFH为等边三角形， 因为PV中平面CC1DD,CDC平面CCDD, 所以∠HF)=30°， 所以PN∥平面CCDD, 故FO与BD所成的角为30° 由(I)得MN∥平面CC,DD,且MN∩PN=N,MN,PNC平对点训练 面MNP, 解如图，取BD的中点M,连接EM,FM 所以平面MVP∥平面CC1DD. 因为E,F分别是AB,CD的中点， 对点训练 解(1)证明：如图，取PD的中点F,连接AF,FN, 所以EML7AD,FML2BC, 在△PCD中，易得FN∥DC,FN= DC. 则∠EMF或其补角就是异面直线AD,BC所成 的角 在口ABCD中，易得AM∥CD,AM=之CD, 因为AD=BC=2,所以EM=MF=1, 在等腰△MEF中，过点M作MH⊥EF于H, 所以AM∥FN,AM=FN, 所以四边形AFNM为平行四边形，所以AF 在R△MHE中，EM-1,EH=之EF= 2 ∥MN, 又AFC平面PAD,MN吨平面PAD, 则sin∠EMH=5,于是∠EMH=60, 所以MN∥平面PAD. (2)存在.当H为PB中点时，平面KNH∥平面ABCD 则∠EMF=2∠EMH=120°. 证明如下：取PB的中点H,连接KH,NH. 所以异面直线AD,BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线 在△PBC中，易得NH∥BC,又NH吐平面ABCD,BCC平面ABCD, AD,BC所成的角为60°. 所以NH∥平面ABCD,同理可证KH∥平面ABCD. 题点二 又KHC平面KNH,NH亡平面KNH,KH∩NHH,所以平面典例证明法一：如图所示，连接AC,B,D1,并设它们相交于点 KNH∥平面ABCD. O,取DD1的中，点G,连接OG,A1G,C1G. (3)证明：因为BC∥AD,ADC平面PAD,BC过平面PAD,所以BCi 则OG∥BD,EF∥A1C1. ∥平面PAD, .∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其 又因为平面PAD∩平面PBC=I,BCC平面PBC,所以BC∥L, 补角 素养演练·提升技能 GA1=GC1,O为AC1的中点， 1.D[充分性：A,B,C,D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC! ,∴.GO⊥AC1. ∥BD.必要性显然成立，] ,.异面直线DB,与EF所成的角为90°. 2.平行[如图，PE-EC,PF=FD,EFCD,又 .DB⊥EF, CD∥AB,,.EF∥AB.又EF过平面PAB,..EF∥ 法二：如图所示，连接A1D,取A1D的中点H,连 平面PAB.同理可证EG∥平面PAB.又EF∩EG 接HE, =E,∴.平面PAB∥平面EFG. 3.24[因为ACO BD-=P,所以经过直线AC与BD 则HEL号DB.于是∠HEF为异面直线DB, 与EF所成的角或其补角.连接HF,设AA1=1, D 可确定平面PCD,因为a∥3，a∩平面PCD-AB,3 n手西PCD=CD,对以AB∥CD所以器-器即号-8巴 AC 0 BD 划EF-号，HE-, 所以BD=24.] 取AD的中点I,连接HI,IF, 5 则HI⊥IF 4. ,[,平面MNE∥平面ACB,由面面平行的性质定理可得EN∥： HF=HP+F=是 BC,EM∥BA,又E为BB1的中点，∴，M,N分别为BA,BC的中 ∴.HF=EF+HE.∴∠HEF=90 点MN=AC,脚-子] ∴.异面直线DB1与EF所成的角为90 ..DBLEF. 5.证明如图所示，连接MN. 对点训练 因为M,N分别是所在棱的中点， 证明如图，连接BD,交AC于O, 所以四边形AMBN和四边形MNCD都是平 设BB1的中点为E, 行四边形， 连接OE,则(OE∥DB1, 所以MB∥AN,CN∥MD. 所以OE与AC所成的角即为DB,与AC所成 又MBC平面MDB,AN寸平面MDB, 的角。 所以AN∥平面MDB,, 连接AE,CE,易证AE=CE, 同理可证CN∥平面MDB,, 又O是AC的中点， 又因为AN∩CN=N, 所以ACLOE,所以AC⊥B,D. ANC平面ANC,CNC平面ANC ,题点三 所以平面MDB∥平面ANC :典例解析如图，取BC的中点O,连接OE,OF 8.6.1直线与直线垂直 因为E,F分别是AB,CD的中点， 必备知识·自主梳理 所以OE∥AC,OF∥BD, 1.锐角（或直角）0°<0≤90°直角2.0°0°≤a≤90 所以OE与OF所成的锐角（或直角）即为AC与 即时小练 BD所成的角，而AC,BD所成的角为60°， 1, 所以∠FOF=60°或∠EOF=120°. 264数学必修第二册 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.如图，在四棱锥P一ABCD中，M,N分别为AC,5.如图，四边形EFGH为四面体 PC上的点，且MN∥平面PAD,则 ( ) ABCD的一个截面，若四边形 EFGH为平行四边形 (1)求证：AB∥平面EFGH; (2)若AB=4,CD=6,求四边 形EFGH周长L的取值范围. A.MN∥PD B.MN∥PA C.MN∥AD D.以上均有可能 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为 B1C1,C1D1的中点，点P是上底面A1B1C1D1 内一点，且AP∥平面EFDB,则cos∠APA1的： 最小值是 ( ) A号 B⑤ 5 c D.22 3 3.如图，斜三棱柱ABCA1B1C1 中，点D1为A1C1上的点.若 BC∥平面ABD1,则AD的 DC 值为 4.在直三棱柱ABCA1B1C1中， D为AA1的中点，点P在侧面 BCC1B1上运动，当点P满足 ---cC 条件 时，A1P∥ 温馨提示 请做课时分层检测（二十七） 平面BCD. 8.5.3 平面与平面平行 明学习目标 知结构体系 1,借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的判定定 课标 理，平面与平面平行的性质定理，并加以证明。 平面与平面平行的判定定理 要求 2.会应用平面与平面平行的判定定理证明平面与平面平行，能利 用性质定理解决一些简单的空间线面位置关系。 面与平面平行 平面与平面平行的性质定理 素养 在发现、推导和应用平面与平面平行的判定定理的过程中，发展 应用 要求 数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内的 与另一个平面 图形语言 文字语言 平行，那么这两个平面平行 符号语言 →B∥a 作用 证明两个平面 86 第八章立体几何初步 (二)平面与平面平行的性质定理 即时小练 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相 文字语言 1.若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平 交，那么两条交线 面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是 符号语言 a∥B,a∩y=a,Bny=b→ ( A.一定平行 B.一定相交 图形语言 C.平行或相交 D.以上判断都不对 2.如图，已知在三棱锥P一ABC中，D,E,F分别是 棱PA,PB,PC的中点，则平面DEF与平面 作用 证明两条直线 ABC的位置关系是 即时小练 1.平面a与圆台的上、下底面分别相交于直线m, n,则m,n的位置关系是 A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 2.一平面截平行六面体，与两组相对的面相交，则 截面四边形的形状一定是 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一平面与平面平行的判定定理的应用 对点训练 [典例]如图，在多面体ABC 如图，在正方体ABCD DEF中，底面ABCD是平行 A1B1C1D1中，M,E,F,N分别 四边形，点G和点H分别是 是A1B1,B1C,CD1,D1A1的 CE和CF的中点.证明：平面 中点 BDGH∥平面AEF. 求证：(1)E,F,B,D四点共面； (2)平面MAN∥平面EFDB. …/方法技巧/ 1.证明两个平面平行主要方法： (1)根据定义证明两平面没有公共点（采用反证 法)；(2)判定定理；(3)利用平行平面的传递性. 2.利用面面平行的判定定理，关键是在一个平 面内找（或作出）两条相交直线与另一个平面平 行，在证明时一定要说明两条直线相交： 87 数学必修第二册 题点二平面与平面平行的性质定理的应用 题点三平行问题的综合应用 [典例]如图，在三棱锥PABC [典例]在正方体ABCD一 D 中，D,E,F分别是PA,PB, A1B1C1D1中，M,N,P分别 PC的中点，M是AB上一点， 是AD1,BD和B1C的中点， A 连接MC,N是PM与DE的 求证： 交点，连接NF,求证：NF∥CM. (1)MN∥平面CC1D1D; (2)平面MNP∥平面CCD1D. /方法技巧/ 利用面面平行的性质定理判断两直线平行的 /方法技巧/ 步骤 1.常见的平行关系有线线平行、线面平行和面 (1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两 面平行，这三种平行关系不是孤立存在的，而是 条直线中的一条 相互联系、相互转化的，它们的联系如下： (2)判定这两个平面平行（此条件有时题目会直 判定 接给出). (3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平 践线手行资线西手行资西面手行 性质 性质 面上. (4)由定理得出结论， 2.判定是用低一级的平行关系证明高一级的平 行关系；性质是由高一级的平行关系推出低 对点训练 级的平行关系 如图，已知平面a∥平面B,点 对点训练 P是平面a,B外的一点（不在a 与B之间)，直线PB,PD分别 如图所示，已知点P是口ABCD 与a,3相交于点A,B和C,D. 所在平面外一点，M,N,K分别 (1)求证：AC∥BD: 为AB,PC,PA的中点，平面 (2)已知PA=4,AB=5,PC PBC∩平面PAD=l. 3,求PD的长 (1)求证：MN∥平面PAD; (2)直线PB上是否存在点H,使得平面KNH∥ 平面ABCD,并加以证明； (3)求证：l∥BC. 88 第八章立体几何初步 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.平面a∥平面B,点A,C∈a,B,D∈B,则直线AC:5.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1 ∥直线BD的充要条件是 的中点，N是BB1的中点.求证：平面MDB1∥ A.AB∥CD B.AD∥CB 平面ANC. C.AB与CD相交 D.A,B,C,D四点共面 2.如图所示，在直角梯形ABCP中，BC P ∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC F =PD,E,F,G分别为线段PC,PD, D BC的中点，现将△PDC折起，使点 P平面ABCD.则平面PAB与平 面EFG的关系为 3.如图，已知平面a∥平面B,P￠a 且PB,过点P的直线m与a,B A 分别交于A,C,过点P的直线n 与Q,B分别交于B,D,且PA= 6,AC=9,PD=8,则BD的长为 4.如图，在长方体ABCD-A1BCD 中，过BB1的中点E作一个与平 面ACB1平行的平面交AB于 M交C于N.则袋 温馨提示 请做课时分层检测（二十八） 8.6.1 直线与直线垂直 明学习目标 知结构体系 1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的 课标 要求 关系 2.掌握两异面直线所成的角的求法 异面直线的定义 直线与 直线垂直 素养 在计算两异面直线所成的角及证明直线与直线垂直的过程中，发 异面直线所成的角 要求 展逻辑推理素养、数学运算素养和直观想象素养。 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.异面直线所成的角 2.空间两直线所成的角 前提 两条异面直线a,b 当两条直线a,b相互平行时，规定它们所成的角 作法 为 ,所以空间两条直线所成角α的取值 定 经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b∥b 范围是 义 a'与b'所成的 叫做异面直线a与b所 结论 成的角（或夹角） 即时小练 范围 记异面直线a与b所成的角为0，则 1.在直三棱柱ABCA1B1C中，ABLAC,在三棱柱所 有的棱中，和AC垂直且异面的直线有() 如果两条异面直线所成的角是 ,那么 特例 我们就说这两条异面直线互相垂直 A.1条 B.2条C.3条D.4条 89