达标演练27 平面与平面平行&达标演练28 直线与直线垂直-【百汇大课堂·高中学习测试卷】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

达标演练二十七平面与平面平行 [能力提升] [基础巩固] .P最△AC所在平面外一点，半面a∥平真ABC,￥交线型PA,PB,C于A', 1,在下刘条计中，可判定平由▣与平面分平行的是 ,C‘,若PAAA=23,联S2rt5aa= A.2·25 且4·29 C2·5 D4·9 A.x·g都平行干直线a 我■内存在不共线的宫点到9的犀离相等 C(,m是g内的两条直线，且了分m行D,1m是两条界顶直线，且1aw你m的 10,如图，在下列四个定方体中.P.,QM.N,G,H为所在校的中点.期在这四个 正方体中，川影平面与PQ新在平面平行的是 2.下列命避中，墙议的是 A,平行于同一直线的两个平面互相平行 B.零行于其一平国的两个平面互相平行 二，若一条直线与再个平行平面中的一个相交，则这条直线与另一个平龙也附 D类在两半行半雀闻的半行线段相等 3,六棱柱ABCDEP-A B,C,D,￡，F,的底面是正大边形，则此六棱柱的面中互相平行的有() A.1对 B2对 C.3对 D1对 11,在正四载柱ACD-A,BCD,中，)为联面AD的中心，P是DD的中 4,如图，已知平面：平面月，点P为a,3外一点，直线P4,P山分衡与a,日交下A,B和C,D.则 点，改Q是℃，上的点，则点Q纳是备件 时，有半国D,Q∥平 AC与BD的位蓝关系为 面PAO A.平行 且相交 C,异而 山平行或异面 12,轴图，在正方体ABCD-A,B,CD,中.E.F,G.H分刿是棱CC1,CD 5,(多速)已每：，本表然再条不重合的直线，a,,了表尔三个不重合的平育，给出下列的题，其中正确 D,D,CD的中点，N是C的中点，点M在医边形EFH及其内露运动，期 的是 N满足 时，有MN半雀BDD,B, A.若a门y-,3ny=b,且ah,则w9 13如图，在三棱住ACA,B,C中，E,P,G分别为B,C,A,B,A的中点. 且.若a,b相交且都在年外，进ebe,b3,用=经 (1)求证：半自A,CG半自BE下， C、若aw的，则度 2)若平面ACG门BC-H,求证，H为C的中点 D.若aCs.a/p.u门9-，w￥格 瓦，如用，在长方体ABDA,B,C,D,中，过B,的中点E作一个与平面A书平行的平值交AB 于点M,交于点N,期 A四 元如图，平圆，直线1m分别与y相交于点A,B.C和友D,EF,去被-号DF-0, 博EF 14,如图所示.在四棱推CABED中，因边彩AED是正方形，点G,F分别是线段r C,BD的中点 (1)求证：GF平而A: (2)线2C上是香存在一点H,复得平图GFH平面ACD.若存在，请求出点 H并证明：置不往在，请说明理山 第4超南 第4题厘 第7题用 ,如M所示，在三校柱ACA:B,C,中，E,F,G.H分别是AB.AC,A:B,A,C 的中点.求证，平面EFA平面BCG. a 8 达标演练二十八直线与直线垂直 [能力提升] [基础巩园 9.已知a和是成 $$6 0 ^ { \circ }$$ 角的两条异面直线，过空间一点且与a都成 $$6 0 ^ { \circ }$$ 角的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4 1.如图所示，在正方体 $$A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$$ 中， E，F，G，H 分别为 $$A A _ { 1 } ， A B ， B _ { 1 } B .$$ $$C _ { 1 }$$ 10.(多选)如图，在空间四边形 ABCD 中， ，AB=CD， 且 AB 与 CD 所成的角为 $$3 0 ^ { \circ } ，$$ $$B . C _ { 1 }$$ 的中点，导面直线 EF 所成的角等于 $$A . 4 5 ^ { \circ }$$ $$B . 5 0 ^ { \circ }$$ $$C . 1 0 0 ^ { \circ }$$ $$D . 1 2 0 ^ { \circ }$$ in E.F 分别为 BC，AD 的中点，则 EF AE 所成的角的大小可以是 $$A . 1 5 ^ { \circ }$$ $$B . 3 0 ^ { \circ }$$ 已知空间三条直线 a⊥b，a⊥a $$C . 6 0 ^ { \circ }$$ $$D . 7 5 ^ { \circ }$$ A.与 平行 .在正方体， $$A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$$ 中，面对角线中与 $$A D _ { 1 }$$ 成 $$6 0 ^ { \circ }$$ 的有条 C.与 D.6 与平行、异面，相交都有可能 3.如图，空间四边形 ABCD 的时角线 AC=8，BD=6，M，N 分别为 AB，CD 的中 12.如图，已知圆锥 的轴藏面是正三角形， AB 是底面 的直径，点D在 ∠AOD= 点，并且异面直线 AC 与BD所成的角为 $$9 0 ^ { \circ } ，$$ MN= 2∠BOD， .则异面直线AD与 BC 所成角的余弦为. A.3 B.4 C. D.6 4.如图，三棱柱 $$A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$$ 中，真三角形 $$A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$$ 是正三角形，E是 BC 的中 () $$A . C C _ { 1 }$$ 与 $$B _ { 1 } E$$ 是异面直线 $$B . C _ { 1 } C$$ 与AE 共面 C.AE 与 $$B _ { 1 } C _ { 1 }$$ 是异面直线 D.AE 与 $$B _ { 1 } C _ { 1 }$$ 所成的角为 $$6 0 ^ { \circ }$$ 13.如国，在四柱 $$A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$$ 中，侧面都是矩形，底面 ABCD 是菱形，且 0.(多选)如图，在正四棱柱 $$A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$$ 中， 分别为 $$A C _ { 1 } ， B C _ { 1 }$$ 的中点，则 $$A B = 2 \sqrt 3 ， \angle A B C = 1 2 0 ^ { \circ } ， A _ { 1 } B \bot A D _ { 1 } ，$$ $$A A _ { 1 }$$ 以下结论成立的是 () A.EF 与 $$B E _ { 1 }$$ B.EF 与 所成的角为 $$4 5 ^ { \circ }$$ C.EF 与C 异面 D.EF 与 $$A _ { 1 } C _ { 1 }$$ 6.在正四面体 ABCD 中 分别为 AC+AD 的中点，则异面直线 BM，CN 所成角的余弦值为. 14.如，已知点 在圈柱 $$O O _ { 1 }$$ 的底面 $$\odot O \bot A A _ { 1 } \bot A B ， B P \bot { A _ { 1 } } P ， A B ， A _ { 1 } B _ { 1 }$$ 7.如图，已知正方体 ABCD-A'B'C'D'. $$B _ { 1 }$$ 分别 的直径，且 $$A B \parallel A _ { 1 } B _ { 1 } ，$$ 若圆柱 $$O C _ { 1 }$$ 的体积 V=12x，OA= $$2 ， \angle A O P = 1 2 0 ^ { \circ } ，$$ 回答下列问题， (1) 求三校作 $$A _ { 1 } - A P B$$ 的体积； 42)在线程 AP 上是否存在一点 ，使异面直线OM与 $$A _ { 1 } B$$ 所成的角的余营 $$\frac { 8 } { 5 } y$$ 若存在，请指出点M的置，并证明，若不存在，请说明现由 (D)BC' CD' 所成的角为： 与 BC' 所成的角为 A.如图，在正三棱柱 ABC-A'B'C' 中， 为 AB的中点， AC=A'A=2， 求证 $$、 C D \bot A B ^ { 2 } ，$$ 55因为平面a∥9∥Y,a∩x=AD,3∩x=BE,y∩x=CF,所以 等腰梯形AEFD,的商为/25)2- 4v2-221 2 AD∥BECF, 3√2 所以银-距-号又DF-0,所议EP-16 ∴所求截面的面积为S=(22+42)×3巨=18. (2)直线1和m不在同一平面内，即（和m异面，过D作DH∥ 13.证明：在正方体中ABCD,AB∥A,B,所以A,B,CD. AC,如图， 因为CDC平面CDE,A,B,丈平面CDE, 所以A,B,∥平面CDE. 因为直线B,C,交平面CDE于点F, 所以EFC平面AB,C,D,,且平面A,B,C,D,∩平面CDE =EF. 因为A,B1C平面A1B,C,D, 所以AB,EF, 因为点E为AD,中点，底面AB,C,D是正方形， 所以F为B,C,中点 平面a3∥Y,.AB=DG,BC=GH, 设直线DH与DF所确定的平面为， 14.解：因为PA∥平面EFGH,PAC平面PAB,平面PAB∩平 又nB=GE,ny=HF,又B∥y,所以GE∥HF, 面EFGH=EH,所以PA∥EH. 司理，PAFG,BC∥EF,BC∥HG, 利用平行我分我及成北你，可用公记-品-器-号又DF 所以EH∥FG,EF∥HG, =20,所以EF=15. 所以四边形EFGH为平行四边形. 8.证明：：E,F分别是AB,AC的中点， 因为EFC,青货侣 ..EF//BC. :EF￠平面BCHG,BCC平面BCHG. 所以EF=AE·BC ∴EF∥平面BCHG. AB :G是A,B,的中点， 国为HE/PA,所以肥-跃 .AG=EB,且AG∥EB, 所以HE=BE·PA ∴四边形A1EBG是平行四边形， BA ..A E//GB. 所以四边形EFGH的周长l=2(EF十HE) :A1E丈平面BCHG,(GBC平面BCHG· 2(AE·BC+BE·PA)_ 12AE+8BE 8AB+4AE-8 ∴.A,E∥平面BCHG. AB AB AB :A,E∩EF=E,A,E,EFC平面EFA, 4AE ∴.平面EFA1∥平面BCHG. AB' 9.B解析：由题意知平而ABC∥平而A'B'C', 图为0<A51.所以8<1<12 所以AC∥A'C',BC∥B'C',AB∥A'B', 所以△A'B'C△ABC,又因为PA':AM'=2:3, 故1的取值范围为(8,12). 达标演练二十七平面与平面平行 10.D解析：由题意可知经过P,Q,R三点的平面即为平面 1.D2.A3.D4.A5.BD PSRHNQ,如图所示， 号解折：平面MNE/平面ACB, 由面面平行的性质定理可得EN∥B,C,EM∥B1A, 又E为BB,的中点，∴M,N分别为BA,BC的中点， MN=4C,C-日 7.15解析：分两种情况： (1)直线1和m在同一平面内，设该平面为t,连接AD,BE, CF,如图， 对于B,C,可知N在经过P,Q、R三点的平面上，所以B,C 错误： 对于A,MC,与QN是相交直线，所以A错误： 对于D,如图，因为A,C,∥RH,BC,∥QN,A,C,∩BC =C1, 又易却RH,QN也相交， A,C,BC,C平面A,CB:RH.QNC平面PSRHNQ, 故平面A,C,B∥平面PSRHNQ. ·22· 11.Q为CC,的中点解析： 理由如下：由点G,H分别为CE,CB中点可得，GH∥EB 如图在正四校柱ABCD-A,B,C,D,中， ∥AD, ) ,GH中平面ACD,ADC平面ACD, ∴.GH∥平面ACD, 工B 由(1)可知，GF∥AC,GF丈平面ACD,ACC平面ACD, ∴.GF∥平面ACD. 且GF∩GH=G,GF、GHC平面GFH, 故平面GFH∥平面ACD. B 达标演练二十八 直线与直线垂直 O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，PO∥BD, 1.B 2.D 3.C 4.C 5.ABD :Q是CC,上的点， 当点Q在CC,的中点位盟时，连接PQ,PQ∥AB,PQ=AB, 6.专解折：知图，取AN中点E,连接ME,BE,剥ME/CN,所以 ∴.四边形ABQP是平行四边形， ∠BME或其补角就是异面直线BM,CN所成的角，△ABC为正 .AP∥BQ, 由PO∥BD,,BD,C平面BQD,·PO过平面BQD1,得PO∥ 三角形，设AB=4a,AM=2a,BM⊥AM,则BM=23a,同理CN 平面BQD, =23a,EM为△ACN中位线，EM=√5a,在△ABE中，由余弦 同理可得AP∥平面BQD,· 定理有BE=√AB十AE-2AB·AEcos60,即BE= .AP∩PO=P,AP,POC平面APO, ∴.平面D,BQ∥平面PAO.综上，Q为CC1中点. √16a+a-4a=√13a,在△BME中由余弦定理有 I2.M∈FH解析：连接FH,HN, D NF,如图， cos∠BME=I +EME12匹+-18c-名则 2BM·EM 12a 因为F,H,N分别是棱C,D,· CD,BC的中点， 异面直线BM,CN所成角的余弦值为G 所以FH∥D,D,HN∥BD, D 因为FH丈平面BDD,B,, DD,C平面BDD,B1· 所以FH∥平面BDD1B,, 同理可得HN∥平面BDD,B,, 因为HN∩FH=H,HN,FHC平面FHN, 所以平面FHN∥平面BDD1B,, 又因为点M在四边形EFGH及其内部运动，FHC平面 7.(1)60°(2)45°解析：连接BA'(图略)，则BA'∥CD'.连接 EFGH. A'C',则∠A'BC'(或其补角)为BC与CD'所成的角.由 故当M∈FH时，MN∥平面BDD:B:, △A'BC'为正三角形，可知∠A'BC'=60.由AD∥BC,可知 13.证明(1)：E,F分别为BC1,A,B,的中点， ∠CBC(或其补角)为AD与BC‘所成的角，易知∠CBC=45. .EF∥AC1, 8.证明：如图，取BB'的中点E,连接DE,CE. :A,C,C平面A1C,G.EF丈平面A,C,G, .EF∥平面ACG, 又G为AB的中点， AF=BG. 又A,F∥BG. .四边形A,GBF为平行四边形，则BF∥A,G, :A1GC平面A,C,G,BF￠平面AC1G, ∴.BF∥平面AC,G, 又EF∩BF=F,EF,BFC平面BEF, 因为D为AB的中点，E为BB'的中点， .平面A,C,G∥平面BEF, 所以DE∥AB, (2):平面ABC∥平面A,B,C1,平面A,C,G∩平面 所以∠CDE为异面直线CD与AB'所成的角（或其补角）， A1B,C,=A1C1· 因为AC=A'A=2, 平面A,C,G与平面ABC有公共点G,平面A,C,G∩BC 所以DE=√2，CD=3,CE=5 =H, 因为CE=CD+DE,所以∠CDE=90. ,平面AC,G∩平面ABC=GH, 则A1C,GH,得GH∥AC, 所以异面直线CD与AB'所成的角为90°， G为AB的中点， 即CD⊥AB' ∴H为BC的中点. 9.C解析：把a平移至a'与b相交，其夹角为60°，60°角的补角 14.(1)证明由四边形ABED为正方形可知，连接AE必与 的平分线c与a,b成60°角，过空间这一点作直线e的平行线 BD相交于中点F(图略)， 即满足条件.在60°角的“平分面”上还有两条直线与a,b均成 故GF∥AC, 60°.过空间一点作它们的平行线印满足条件. GF寸平面ABC,ACC平面ABC,∴.GF∥平面ABC, 10.AD解析：取AC的中点G,连接EG,FG,如图，则EG∥AB (2)解：线段BC上存在一点H满足题意，且点H是BC 中点。 且EG=号AB,PG/CD且FG=CD. ·23· 所以四边形ABCD,为平行四边形， 所以A,B∥CD1, 所以∠AD,C(或其补角)为A,B与AD:所成的角， 又A,B⊥AD, 所以异面直线A,B与AD,所咸的角为90， 所以∠AD,C=90°. 由题意可知，四棱柱ABCD-A,B,C:D,为直四棱柱， 由AB=CD,知EG=FG. 又底面ABCD是菱形，所以△ACD1为等腰直角三角形， 易知∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF (或它的补角)为AB与CD所成的角. 所以AD,-号AC.图为AB=2后，∠ABC=12四，所以AC AB与CD所成的角为30°， =2v3×sin60°×2=6， ∴.∠EGF=30或150°， 由EG=FG,知△EFG为等腰三角形， 所以A0,-号AC=v2. 当∠EGF=30°时，∠GEF=75°： 所以AA,=√AD-A,D=√(32)F-(23)=6. 当∠EGF=150°时，∠GEF=15°， 14,解：(1)由题意，得V=x·OA·AA,=4r·AA,=12元，解得 故EF与AB所成的角为15°或75 118解析：如图，在正方体ABCD-A,BC,D,中，△AD,B AA1=3 是等边三角形，故B,D1,AB,与AD,所成的角是60°，同理 由OA=2,∠AOP=120°，得∠BAP=30°，BP=2,AP= △ACD,也是等边三角形，AC,CD1与AD1也成60°角，则 25, 在面对角线中，与AC,CD1,B,DAB:分别平行的对角线 与AD,也成60°角. Saw-×2X2wg=2g. D VA,m=号5Mm·AM,=吉×25X3=2g. (2)当点M为AP的中点时，异面直线(OM与A:B所成的角 的余偿值为号 证明如下： O,M分别为AB,AP的中点，∴.OM∥BP, 129 解析：如图，取AC的中点E,劣弧BD的中点F,AO的 ·∠ABP就是异面直线OM与A,B所成的角（或其补角）. AA:=3.AB=4.AALAB.:.A B=5. 中点G,连接OF,OE。 又PLA,P∠A,BP--号 .当点M为AP的中点时，异面直线OM与A,B所成的角 的余盘位为导 达标演练二十九直线与平面垂直（一） 1.C2.B3.C4.D5.CD 易知，OE∥BC,ADOF,则异面直线AD与BC所成的角是 6,垂直解析：桌面所在平面为平面a,由题意知AB⊥BC,AB ∠EOF(成其补角). ⊥BE,且BCC平面a,BEC平面a.BC∩BE=B.所以AB⊥ 连接EG,GF,EF,易得EG⊥GF,不妨设OG=1,则OF=2, 平面g. OE=2,EG=3, 7.30°解析：取BC的中点E,连接DE,AE(图略)，则DE⊥平 GF=0G+0F-2·0G·0F·cos6 5x 面ABC,故DE⊥AE,∠DAE即为AD与平面ABC所成的 =5+23, 角，设三被柱ABCA,B,C,的袭长为1，别DE=号，AE= 则EF=EG+GF2=8+25, 在△OEF中，eos∠EOF=OE+OF-EF-- 所以m∠DAE=所以∠DAE=0 3 2OE·OF 4 8.证明：因为三棱柱ABCA,B,C,是直三棱柱，所以BB1⊥平 故异面直线AD与BC所虎角的余弦值为 面ABC,因为ADC平面ABC,所以AD⊥BB,·因为AB= 13.解：如图，连接CD,AC,在四棱柱ABCD-A1B,C,D1中， AC,D为BC的中点，所以AD⊥BC,又因为BC∩BB,=B, BCC平面BCC,B,BB,C平面BCC,B,·所以AD⊥平 面BCC:B1. 9.B解析：如图，连接BC1,因为正方形ABCD的百积为16，所 以AB=BC=4. 因为AB⊥平面BB,C,C,所以∠AC,B为AC1与平面 BB,C,C所成的角， 所以∠AC,B=30, 因为A,D1∥BC,A,D,=BC, 所以BC,=43,所以CC,=√BC-BC=42. ·24·