8.5.1 直线与直线平行-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

第八章立体几何初步 8.5.1 直线与直线平行 明学习目标 知结构体系 1.了解基本事实4和定理。 课标 2.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线平行 要求 的关系 基本事实4 直线与 等角定理 在学习和应用基本事实4和定理的过程中，通过判定和证明 直线平行 素养 空间两条直线的位置关系，发展数学抽象素养、逻辑推理素 证明两直线平行 要求 养和直观想象素养， 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)基本事实4 A B 名称 文字语言 图形语言 符号语言 作用 图形 C. 平行于同 判断空间 语言 基本 一条直线 ab1 b∥cj 两条直线 事实4 的两条直 a∥c 平行的依 (1) (2) 据 作用 判断或证明两个角相等或互补 即时小练 即时小练 1.已知a,b是异面直线，直线c∥直线a,那么c与b ( )1.两等角的一组对应边平行，则 A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 A.另一组对应边平行 C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线 B.另一组对应边不平行 2.对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分： C.另一组对应边不可能垂直 别为M,N,P,Q,则四边形MNPQ是 D.以上都不对 (二)空间等角定理 :2.已知∠BAC=30°，AB∥A'B,AC∥A'C',则 ∠BA'C'= 文字 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这 ! A.30° B.150° 语言 两个角 或 C.30°或150 D.大小无法确定 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 (1)求证：四边形EFGH是平行四边形； 题点一证明直线与直线平行 (2)如果AC=BD,求证：四边形EFGH是菱形 [典例]如图所示，在空间四边形ABCD(不共面： 的四边形称为空间四边形)中，E,F,G,H分别为 AB,BC,CD,DA的中点. 81 数学必修第二册 /方法技巧/ 、 题点二等角定理的应用 证明两直线平行，目前有两种途径：一是应用基 本事实4，即找到第三条直线，证明这两条直线 [典例]在平行六面体ABCD 都与之平行；二是证明同一个平面内这两条直 -A1B1C1D1中，M,N,P分 线无公共点 别是CC1,B1C1,CD1的中 点.求证：∠NMP=∠BA1D. 对点训练 如图，E,F分别是长方体AB- D CDA1B1C1D1的棱A1A,C1C A 的中点.求证：四边形B1EDF D 为平行四边形 /方法技巧/ 1.根据空间中相应的定理证明角的两边分别平 行，即先证明线线平行 2.根据角的两边的方向判定两角相等 对点训练 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中， M,N,P分别为AC1,AC和AB 的中点.求证：∠PNA1=∠BCM. 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.如图，设E,F,G,H依次是空间 A.当入=时，四边形EFGH是平行四边形 四边形ABCD的边AB,BC, B、 B.当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形 CD,DA上除端点外的点，沿 C.当A≠u时，四边形EFGH一定不是平行四边形 D.当入=u时，四边形EFGH是梯形 --器-品=，则下 2.在三棱锥PABC中，PB⊥BC,E,D,F分别是 AD AB,PA,AC的中点，则∠DEF= () 列结论不正确的是 A.30° B.45° C.60 D.90 82 第八章立体几何初步 3.如图所示为一长方体木料，木料 .如图，在四棱锥P-ABCD中，底 、 的面A1C1内有一点P,经过点P P。 面ABCD是平行四边形，点M, B 作棱BC的平行线，应该怎样画？ N分别在AC,PB上，且AM= 并说明理由 3MC,BN-=是BP,作出直线 MN和PB确定的平面与平面PAD的交线I.直 线1与MN是否平行，如果平行，请给出证明；如 果不平行，请说明理由. 温馨提示 请做课时分层检测（二十六） 8.5.2 直线与平面平行 明学习目标 知结构体系 1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面平行的判定定 课标 理和性质定理，并会证明性质定理. 要求 2.会应用直线与平面平行的判定定理与性质定理证明一些空间 直线 直线与平面平行 与平 的判定定理 的简单线面关系 平 行 直线与平面平行 综合应用 素养 在发现、推导和应用直线与平面平行的判定定理与性质定理的过 的性质定理 要求 程中，发展数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养， 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)直线与平面平行的判定定理 (二)直线与平面平行的性质定理 如果平面外一条直线与 ,那么 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面 文字语言 文字语言 该直线与此平面平行 与此平面相交，那么该直线与 平行 ata、 符号语言 →a∥b 符号语言 bCa→a∥a a∥b】 图形语言 图形语言 作用 证明两条直线平行 作用 证明直线与平面平行 83第二类：如图(2)所示，四个定点分布在α的两侧各两个，此类中α共！素养演练·提升技能 有3个 综上，a共有4十3=7（个）.] 1D[连接BD(因略.因为铝-把-A,需-品-，所以EH/ 4.平行或异面[如图，由于ABCD是梯形，AB∥CD BD,且EH=ABD,FG∥BD,且FG=BD,所以若入=，则EH 所以AB与CD无公共点，又CD中平面a,所以CD FG,四边形EFGH是平行四边形；若入≠h,则EH∥FG,但EH≠ 与平面a无公共点，当n∥AB时，则m∥CD:当m FG,四边形EFGH是梯形.故选D.] 与AB相交时，则m与CD异面.] 2.D 5.相交[，点A∈a,B氏a,C年a,∴.平面ABC与平面a有公共点，且：3.解如图所示，在面A1C内过P作直线EF∥BC1,交A1B1于点 不重合，.平面ABC与平面α的位置关系是相交.] E,交CD1于点F,则直线EF即为所求 8.5.1直线与直线平行 理由如下：因为EF∥BC,BC∥BC,所以EF∥BC. 必备知识·自主梳理 0 (一)平行 即时小练 1.C[假设c与b平行，由于c∥a,根据基本事实4可知a∥b,与a,b 是异面直线矛盾，故C与b不可能是平行直线，门 2.矩形[如图所示， 7 点M,N,P,Q分别是四条边的中点，.MN∥ :4.解连接BM并延长交AD于E,连接PE,则E在MN,PB确定的 AC且MN=号AC,PQ∥AC且PQ=号AC,即 平面内，且E在AD上，所以E在平面PAD上，则 M D PE即为直线MN和PB确定的平面与平面PAD MN∥PQ且MN-PQ,∴.四边形MNPQ是平行 的交线1. 四边形.又.BD∥MQ,AC⊥BD,.MN⊥MQ, 直线l∥MN.证明如下： .平行四边形MNPQ是矩形，门 因为底面ABCD是平行四边形， (二)相等互补 所以AE∥BC. 即时小练 1.D 所以△AE△CBM,所以器-瑞 2.C[当∠BA'C'与∠BAC开口方向相同时，∠BA'C=30°，方向 因为点M,N分别在AC,PB上， 相反时，∠BA'C'=150.故选C.] 关键能力·合作探究 且AM=子MC,BN=BP, 题点 所以兴、所以器器 EM PN 典例证明(1)因为空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为AB, BC,CD,DA的中点， 所以MN∥PE,即直线L∥MN. 8.5.2直线与平面平行 所以EF∥AC,HG∥AC,EF=HG= AC, 必备知识·自主梳理 所以EF∥HG,EF=HG, 、:《仁)此平面内的二条直线平行 所以四边形EFGH是平行四边形. (二)交线a∥a,a二3，a∩g=b (2)因为室间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA即时小练 的中点， 1.(1)×(2)/(3)×(4)× 所以EH∥BD,EH=合BD, :2.D[由线面平行的判定定理可知，D正确.] :3.B[不在平面内的直线还可与平面相交，故A错误；一条直线与平 因为EF=号AC,AC=BD,所以EH=EF 面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，故C错误：直线 也可能在平面内，故D错误. 又因为四边形EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形， !4.D[由题意得b∥a和b与a相交都有可能.] 对点训练 关键能力·合作探究 证明如图所示，取DD的中，点Q,连接EQ,QC1 题点一 E是AA1的中点， 典例证明法一连接BC,AC, 因为ABC一A1B1C1是斜三棱柱， ∴.EQLA1D1. 所以四边形BCCB,为平行四边形 在矩形A1B1C1D中， E 由平行四边形性质得点E也是BC1的中点。 A D LB C,..EQLB C, A 因为，点D是AB的中点， .四边形EQCB1为平行四边形，B ELC Q. 所以DE∥AC1 又Q,F分别是D1D,CC的中点， 又DE寸平面ACC1A1,AC1C平面ACCA, ..QDLC F, 所以DE∥平面ACC1A1 '.四边形DQCF为平行四边形， A .C QLFD. 又B ELC Q, ∴B ELFD, 故四边形BEDF为平行四边形. 题点二 D 典例证明如图，连接CB,CD· .CDLLA B, 法二连接AC,AC1交于O,连接OE ∴，四边形ABCD是平行四边形， 则D是AC的中点 .A1D∥B1C 又E是BC的中点， ,M,N分别是CC1,BC的中点， 所以OE∥AB,OE=2AB, .MN∥BC,.MN∥A1D. BCLA D, 又AD/ABAD=zAB, ∴，四边形ABCD是平行四边形， 所以OELAD. .AB∥CD 所以四边形ADE)是平行四边形， M,P分别是CC1,C1D1的中点， 所以AO∥DE. .MP∥CD,∴.MP∥AB, 因为AOC平面ACC1A1,DE吐平面ACC1A1, ,∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反， 所以DE∥平面ACCA1· ,.∠NMP=∠BAD. :对点训练 对点训练 证明如图，作PM∥AB交BE于点M,作QN∥ 证明因为P,N分别为AB,AC的中点，所以PN∥BC,① 又因为M,V分别为A1C1,AC的中点， CD交BC于点N,连接MN,则PM/QN, 所以AMLNC,所以四边形ANCM为平行四边形，于是AN∥； EP QN_BQ EA'CD BD MC,② .EA=BD,AP=DQ,.'.EP=BQ. 由①②及∠PNA与∠BCM对应边方向相同，得∠PNA-∠BCM 262