8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

数学 必修第二册 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 明学习目标 知结构体系 相交直线 借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置 共面 课标 直线间的 平行直线 关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关 位置关系 要求 不共面 异面直线 系的定义 空间点 直线、 直线与平 直线在平面内 平面之 面间的位 直线与平面相交 间的位 置关系 直线与平面平行 素养 在学习空间点、直线、平面之间的位置关系及定义 置关系 要求 的过程中，发展数学抽象素养和直观想象素养 平面间的 平行 位置关系 相交 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)空间中两直线的位置关系 (二)空间中直线与平面的位置关系 1.异面直线的定义和画法 :1.直线与平面的位置关系 (1)定义：不同在 平面内的两条直线叫 直线a在平面a外 做异面直线。 位置 直线a在 (2)画法：如果直线a,b为异面直线，为了表示它 关系 平面a内 直线a与 直线a与 平面a相交 们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平 平面a平行 面来衬托，如图①② 有 有且只有 公共点 公共点 公共点 公共点 符号 aCa 图① 图② 表示 2.空间中直线与直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有三种： 图形 共面 相交直线：在同一平面内，有且只有 表示 公共点； 直线 平行直线：在同一平面内， 公共点； 2.直线与平面位置关系的画法要求 异面直线：不同在 平面内，没有公共点. (1)画直线a在平面a内：如图a所示. 即时小练 要求：表示直线a的线段只能在表示平面a的平 行四边形内，而不能有部分在这个平行四边 1.不平行的两条直线的位置关系是 形外 A.相交 B.异面 C.平行 (2)画直线a与平面a相交：如图b所示. D.相交或异面 2.判断下列结论的正误，并说明理由. 要求：表示直线a的线段必须有部分在表示平面 (1)和两条平行直线中的一条相交的直线与另一： α的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平 条必相交： 面内区分开来，又具有较强的立体感. (2)和两条平行直线中的一条异面的直线和另一 (3)画直线a与平面a平行：如图c所示 条也异面. 要求：最直观的画法是用来表示直线a的线段在 表示平面α的平行四边形之外，且与此平行四边 形的一边平行. 78 第八章立体几何初步 即时小练 :2.两个平面位置关系的画法 (1)两平行平面的画法：画两平行的平面时要注 1.若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是 意把表示平面的两个平行四边形画成对应边 ( 平行. A.直线上所有的点都在平面外 (2)两相交平面的画法： B.直线上有无数多个点都在平面外 ①先画表示两个平面的平行四边形的相交两边， C.直线上有无数多个点都在平面内 如图(1). D.直线上至少有一个点在平面内 ②画表示两平面交线的线段，如图(2) 2.三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平： ③过图(1)中线段的端点分别画线段使它平行且 面之间的关系是 等于②中表示交线的线段，如图(3). A.相交 B.平行 ④画图(3)表示平面的平行四边形的边，如图 C.直线在平面内 D.平行或直线在平面内 (4) (三)平面与平面的位置关系 1.平面与平面的位置关系 位置关系 两个平面平行 两个平面相交 有 个公共点 公共点 (在一条直线上) 即时小练 符号表示 a∩3=l 1.若M∈平面a,M∈平面3，则a与3的位置关系 是 A.平行B.相交 C.异面 D.不确定 图形表示 2.已知平面a∥平面B,直线aCa,则直线a与平面 β的位置关系为 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 :2.若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和 题点一直线与直线位置关系的判断 c的位置关系是 ( [典例]如图，己知正方体AB D A.平行 B.异面 CD-A1B1CD1,判断下列直 C.相交 D.平行、相交或异面 线的位置关系： 题点二空间中直线与平面位置关系的判断 (1)直线A1B与直线D1C的 位置关系是 [典例]下列命题中，正确命题的个数是 (2)直线A1B与直线B1C的 ①如果a,b是两条平行直线，那么a平行于经过 位置关系是 b的任何一个平面； (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是 ②如果直线a和平面a满足a∥a,那么a与平面 (4)直线AB与直线B1C的位置关系是 α内的任何一条直线平行； /方法技巧/ ③如果直线a,b满足a∥a,b∥a,则a∥b; 判断空间中两直线的位置关系可利用定义，常 ④如果直线a,b和平面a满足a∥b,a∥a,b寸a, 常借助空间几何体，把要判断的直线和平面放 那么b∥a; 在某些具体的空间图形（如长方体、正方体）中， ⑤如果平面a的同侧有两点A,B到平面a的距 有利于作出正确的判断，同时对于错误的说法 离相等，则AB∥a 也便于找出反例 A.0 B.1 C.2 D.3 /方法技巧/… 对点训练 直线与平面位置关系的判断 (1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问 1.四面体ABCD的六条棱所在直线成异面直线的 题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方 有 法解决.另外，借助模型（如正方体、长方体等） A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 也是解决这类问题的有效方法， 79 数学必修第二册 (2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点 ②在图中分别画出三个两两相交的平面. 在平面内；要证明直线与平面相交，只需说明直 线与平面只有一个公共点；要证明直线与平面 平行，则必须说明直线与平面没有公共点. 对点训练 /方法技巧/… 1.平面与平面的位置关系的判断方法 给出下列说法： (1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事 ①若直线a在平面a外，则a∥a; 实3为依据找出一个交点. ②若直线a∥b,bC平面a,则a∥a; (2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个 ③若直线a∥平面a,则直线a平行于平面a内的： 平面没有公共点. 无数条直线； 2.常见的平面和平面平行的模型 ④若直线a平行于平面a内的无数条直线，则a∥a. (1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行. 其中正确的个数为 ( (2)长方体的六个面中，三组相对面平行. A.0 B.1 C.2 D.3 对点训练 题点三 平面与平面位置关系的判断 1.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线 [典例](1)已知a,b,c为三条不重合的直线，a,B: 互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是 为两个不重合的平面： ( ①若a∥B,aCa,bC3,则a∥b; A.平行 B.相交 ②若a∩B=b,a二a,则a与B一定相交； C.平行或相交 D.垂直 ③若a∥c,c∥a,则a∥a; 2.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，平 ④若a∥B,a∥a,则a∥B. 面ABC与其余的面之间有什么位 其中正确的个数为 置关系？ A.0 B.1 C.2 D.3 (2)完成下列作图. ①在图中画出一个平面与两个平行平面相交. 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.如图，在正四棱柱ABCD C.AD∥EF A1B1C1D1中，AB=2,AA1= B D.AB与CD相交 √5，点G为正方形ABCD的 3.不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样 中心，点E为A1D1的中点， 的平面α共有 ( 点F为AE的中点，则( ) A.3个 B.4个 A.C,E,F,G四点共面，且CF=EG C.6个 D.7个 B.C,E,F,G四点共面，且CF≠EG 4.己知在梯形ABCD中，AB∥CD,ABC平面a, C.C,E,F,G四点不共面，且CF=EG CD￠平面a,则直线CD与平面a内的任意一条 D.C,E,F,G四点不共面，且CF≠EG 直线m的位置关系是 2.(多选)如图是一个正方体的 5.若点A∈a,B氏a,C任a,则平面ABC与平面a的 展开图，则在原正方体中 位置关系是 A.CD∥GH 温馨提示 请做课时分层检测（二十五） B.AB与EF异面 80法二：纳入平面法 ·对点训练 因为a∥b,所以a,b确定一个平面a. :1.A[如图，四面体A-BCD的六条棱所在直线中，成异 因为A∈a,B∈b,所以A∈a,B∈a. 面直线的有：AB和CD,AD和BC,BD和AC,所以四 又A∈l,B∈l,所以l二a. 面体ABCD的六条棱所在直线成异面直线的有3对」 则a,b,l都在平面a内，即b在a,1确定的平面内. 故选A, B 同理可证c在a,l确定的平面内. :2.D「如图，在长方体ABCDA'B'CD'中，设A'D'所在 因为过a与l只能确定一个平面， 直线为a,AB所在直线为b,已知a和b是异面直线，b 所以a,b,c,l共面于a,l确定的平面 和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD-A'B'CD'中的B'C', 对点训练 DD',CC.故a和c可以平行、相交或异面. 证明因为PQ∥a,所以PQ与a确定一个平面3，所以直线aCB,1 点P∈ 因为P∈b,bCa,所以P∈a. 又因为aCa,P在a,所以a与3重合 所以PQCa. 题点二 题点三 典例解析如图，在正方体ABCDA'B'C'D'中，AA 典例证明因为梯形ABCD中，AD∥BC, ∥BB ,AA'在过BB'的平面ABB'A'内，故命题①不 所以AB,CD是梯形ABCD的两腰 正确：AA'∥平面BCCB',BCC平面BCCB', 所以AB,CD必定相交于一点， AA'不平行于BC,故命题②不正确；AA'∥平面 设AB∩CD=M BCC'B' ,A'D'∥平面BCCB',但AA'与A'D'相交 又因为ABCa,CDC3,所以M∈a,M∈3. 所以③不正确：④中，假设b与a相交，因为a∥b,所 所以M∈a∩3. 以a与a相交，这与a∥a矛盾，故b∥a,即④正确：⑤显然正确，故选 又因为a∩3=l,所以M∈1. 即AB,CD,1共点（相交于一点） 答案C 对点训练 对点训练 证明若EF,GH交于一点P, B[对于①，直线a在平面a外包括两种情况，即a∥a或a与a相 交，，a和a不一定平行，故①说法错误.对于②，，直线a∥b,bC平 则E,F,G,H四点共面 面a,只能说明a和b无公共点，但a可能在平面a内，∴a不一定平 又因为EFC平面ABD,GHC平面CBD, 行于α，故②说法错误.对于③，比如在正方体ABCD-A1BCD1中， 平面ABD∩平面CBD-BD,所以P∈平面ABD,且P∈平面！ AD1∥平面ABCD,AD1∥AD,'.平面ABCD内任一条平行于 CBD,由基本事实3可得P∈BD, AD的直线都与A1D1平行，故③说法正确.对于④，当aCa时，a内 所以点P在直线BD上」 也存在无数条直线与直线a平行，故④说法错误.] 素养演练·提升技能 题点三 1.B[若B,C,D共线，则这五个点不一定共面：若B,C,D不共线，则典例解(1)①错，a与b也可能异面.②错，a与B也可能平行.③ 这五个点一定共面.] 错，也可能aCa.④错，a与3也可能相交 2.C[因为MNCy,R∈MN,所以R∈Y.又a∩3=l,MN∩l=R,所1 (2)①如图所示， 以R∈3.又P∈3，P∈Y,所以P,R均为平面Y与3的公共点，所以！ 3∩y=PR.故远C.] 3.D[如图所示，在正方体ABCD-A,BCD1中，平面 ABCD和平面A1B,CD1都与平面BB1D1D相交，这 三个平面有两条交线：平面ABB1A和平面BBD1D 都与平面BB,CC相交，这三个平面有一条交线：平面 ②如图所示， ABB1A1和平面AA1D1D都与平面BB1D1D相交，这 三个平面有三条交线，故若平面α与平面3、Y分别相交，则这三个平 面的交线有1条或2条或3条.故远D.] 4.1或4L若有三点共线，则这四点可以确定一个平面.若任意三点 均不共线，则空间四点可以确定4个平面.门 答案(1)A 5.解作法如下：(1)连接MN并延长交DC的 ·对点训练 延长线于F,连接DF交CC1于Q,连接QN; 1.C[根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面 (2)延长NM交DA的延长线于E,连接D1E 的位置关系.如图所示，门 交AA1于P,连接MP: (3)依次在正方体各个面上画线D1P,PM, a MN,NQ,QD,,即为木工师傅所要画的线 B /B 8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系 必备知识·自主梳理 2.解几何体ABCA,BC为三棱柱，.平面ABC与平面A,BC (一)1.(1)任何一个2.一个没有任何一个 平行.，平面ABC与平面ABBA有公共直线AB,.平面ABC与 即时小练 平面ABBA1相交.同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面 1,D[由于空间两条直线的位置关系是平行、相交、异面，则不平行的 BCC1B1均相交. 两条直线的位置关系是相交或异面.故选D.] :素养演练·提升技能 2.解(1)是错误的.可以是异面直线」 ·1.B[如图，连接AC,FG,EC,因为G为正方形AB (2)是错误的.可以是相交直线， CD的中心，所以AG=GC.又因为F为AE的中，点， (二)1.无数个 一个没有a∩a-Aa∥a 所以AF一FE,所以由三角形的中位线定理可知 即时小练 FG∥EC,所以由推论3知，C,E,F,G四，点共面.过 1.B「直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数： 点E作EH⊥AD于H,连接HG,则EG= 多个点在平面外. √EH+HG=√3+1-2.过，点F作FT⊥AD于 2.A「延长各侧棱可恢复成棱锥的形状，所以三棱台的一条侧棱所在 直线与其对面所在的平面相交，故选A.] 工，连接CT,剥CF=①+DT+FT-√2+（受）+() (三)1.没有公共点无数a∥3 √7，所以CF≠EG,故选B] 1.BM∈平面a,M∈平面B,a与月相交于过点M的一条2.小D诗起展开图还原成正方体，如图所示，由正方 即时小练 体的性质得CD∥GH,AB与EF异面，AD与EF 直线.门 异面，AB与CD相交，故远A、B、D. 2.a∥3 :3.D「把不共面的四个定，点看作四面体的四个顶，点 关键能力·合作探究 平面a可以分为两类：第一类：如图(1)所示，四个 题点一 定点分布在α的一侧1个，另一侧3个，此类中a共(E)C 典例(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面[根据题目条件知道 有4个」 直线D,D与直线D,C相交于D1点，所以(3)应该填“相交”：直线 AB与直线D1C在平面ABCD1中，且没有交点，则两直线“平 行”，所以(1)应该填“平行”：点A1、B、B1在平面A1BB,内，而C不 在平面ABB内，则直线A,B与直线BC“异面”，同理，直线AB 与直线B1C“异面”，所以(2)(4)都应该填“异面”. 图(1) 图(2) 261 第二类：如图(2)所示，四个定点分布在α的两侧各两个，此类中α共！素养演练·提升技能 有3个 综上，a共有4十3=7（个）.] 1D[连接BD(因略.因为铝-把-A,需-品-，所以EH/ 4.平行或异面[如图，由于ABCD是梯形，AB∥CD BD,且EH=ABD,FG∥BD,且FG=BD,所以若入=，则EH 所以AB与CD无公共点，又CD中平面a,所以CD FG,四边形EFGH是平行四边形；若入≠h,则EH∥FG,但EH≠ 与平面a无公共点，当n∥AB时，则m∥CD:当m FG,四边形EFGH是梯形.故选D.] 与AB相交时，则m与CD异面.] 2.D 5.相交[，点A∈a,B氏a,C年a,∴.平面ABC与平面a有公共点，且：3.解如图所示，在面A1C内过P作直线EF∥BC1,交A1B1于点 不重合，.平面ABC与平面α的位置关系是相交.] E,交CD1于点F,则直线EF即为所求 8.5.1直线与直线平行 理由如下：因为EF∥BC,BC∥BC,所以EF∥BC. 必备知识·自主梳理 0 (一)平行 即时小练 1.C[假设c与b平行，由于c∥a,根据基本事实4可知a∥b,与a,b 是异面直线矛盾，故C与b不可能是平行直线，门 2.矩形[如图所示， 7 点M,N,P,Q分别是四条边的中点，.MN∥ :4.解连接BM并延长交AD于E,连接PE,则E在MN,PB确定的 AC且MN=号AC,PQ∥AC且PQ=号AC,即 平面内，且E在AD上，所以E在平面PAD上，则 M D PE即为直线MN和PB确定的平面与平面PAD MN∥PQ且MN-PQ,∴.四边形MNPQ是平行 的交线1. 四边形.又.BD∥MQ,AC⊥BD,.MN⊥MQ, 直线l∥MN.证明如下： .平行四边形MNPQ是矩形，门 因为底面ABCD是平行四边形， (二)相等互补 所以AE∥BC. 即时小练 1.D 所以△AE△CBM,所以器-瑞 2.C[当∠BA'C'与∠BAC开口方向相同时，∠BA'C=30°，方向 因为点M,N分别在AC,PB上， 相反时，∠BA'C'=150.故选C.] 关键能力·合作探究 且AM=子MC,BN=BP, 题点 所以兴、所以器器 EM PN 典例证明(1)因为空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为AB, BC,CD,DA的中点， 所以MN∥PE,即直线L∥MN. 8.5.2直线与平面平行 所以EF∥AC,HG∥AC,EF=HG= AC, 必备知识·自主梳理 所以EF∥HG,EF=HG, 、:《仁)此平面内的二条直线平行 所以四边形EFGH是平行四边形. (二)交线a∥a,a二3，a∩g=b (2)因为室间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA即时小练 的中点， 1.(1)×(2)/(3)×(4)× 所以EH∥BD,EH=合BD, :2.D[由线面平行的判定定理可知，D正确.] :3.B[不在平面内的直线还可与平面相交，故A错误；一条直线与平 因为EF=号AC,AC=BD,所以EH=EF 面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，故C错误：直线 也可能在平面内，故D错误. 又因为四边形EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形， !4.D[由题意得b∥a和b与a相交都有可能.] 对点训练 关键能力·合作探究 证明如图所示，取DD的中，点Q,连接EQ,QC1 题点一 E是AA1的中点， 典例证明法一连接BC,AC, 因为ABC一A1B1C1是斜三棱柱， ∴.EQLA1D1. 所以四边形BCCB,为平行四边形 在矩形A1B1C1D中， E 由平行四边形性质得点E也是BC1的中点。 A D LB C,..EQLB C, A 因为，点D是AB的中点， .四边形EQCB1为平行四边形，B ELC Q. 所以DE∥AC1 又Q,F分别是D1D,CC的中点， 又DE寸平面ACC1A1,AC1C平面ACCA, ..QDLC F, 所以DE∥平面ACC1A1 '.四边形DQCF为平行四边形， A .C QLFD. 又B ELC Q, ∴B ELFD, 故四边形BEDF为平行四边形. 题点二 D 典例证明如图，连接CB,CD· .CDLLA B, 法二连接AC,AC1交于O,连接OE ∴，四边形ABCD是平行四边形， 则D是AC的中点 .A1D∥B1C 又E是BC的中点， ,M,N分别是CC1,BC的中点， 所以OE∥AB,OE=2AB, .MN∥BC,.MN∥A1D. BCLA D, 又AD/ABAD=zAB, ∴，四边形ABCD是平行四边形， 所以OELAD. .AB∥CD 所以四边形ADE)是平行四边形， M,P分别是CC1,C1D1的中点， 所以AO∥DE. .MP∥CD,∴.MP∥AB, 因为AOC平面ACC1A1,DE吐平面ACC1A1, ,∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反， 所以DE∥平面ACCA1· ,.∠NMP=∠BAD. :对点训练 对点训练 证明如图，作PM∥AB交BE于点M,作QN∥ 证明因为P,N分别为AB,AC的中点，所以PN∥BC,① 又因为M,V分别为A1C1,AC的中点， CD交BC于点N,连接MN,则PM/QN, 所以AMLNC,所以四边形ANCM为平行四边形，于是AN∥； EP QN_BQ EA'CD BD MC,② .EA=BD,AP=DQ,.'.EP=BQ. 由①②及∠PNA与∠BCM对应边方向相同，得∠PNA-∠BCM 262