8.4.1 平面-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

数学必修第二册 /方法技巧/ : (2)球外接于正方体，正方体的顶点均在球面 L.常见几何体与球的切、接问题的解决策略 上，正方体的体对角线长等于球的直径 (1)处理有关几何体外接球或内切球的相关 (3)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的 问题时，要注意球心的位置与几何体的关系. 一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊 直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的 位置，比如中心、对角线的中点等！ 直径. (2)解决此类问题的实质就是根据几何体的 相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切 对点训练 点”和“接点”作出轴载面图，把空间问题转化 1.若圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8， 为平面问题来计算. 则球的表面积为 2.几个常用结论 (1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的 2.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分 中心，正方体的棱长等于球的直径， 别为1，√2，√3，则其外接球的表面积是 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.长方体的一个顶点处的三条棱长分别是√3,3,4.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥 √6，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面 内半径最大的球的体积为 上，则这个球的表面积是 )5.一个高为16的圆锥内接于一个体积为972x的 A.12元B.18π C.36π D.6π 球，在圆锥里又有一个内切球.求： 2.(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、 (1)圆锥的侧面积； (2)圆锥内切球的体积」 下底面边长分别为3√3和4√3，其顶点都在同一 球面上，则该球的表面积为 ( A.100πB.128πC.144π D.192π 3.某保鲜封闭装置由储物区与充氨区 (内层是储物区，用来放置新鲜易变质 物品；充氮区是储物区外的全部空间， 用来向储物区输送氮气从而实现保鲜 功能).如图所示，该装置外层上部分 是半径为2的半球，下面大圆刚好与 高度为3的圆锥的底面圆重合，内层是一个高度为： 4的倒置小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底： 面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，为了保存： 更多物品，充氮区空间最小可以为 ( ) A.4π B.16x C.28x 温馨提示 请做课时分层检测（二十三） 3 8.4.1 平 面 明学习目标 知结构体系 1.借助几何体的直观图认识平面， 课标 2.了解平面的基本事实1~3（基本事实1~3也称公理）和 要求 平面的概念及表示 推论 基本事实1 在学习平面的概念和基本事实1一3的过程中，把现实生活 基本事实2 素养 一个推论 中的平面形状的物体及其具有的性质抽象出来，发展数学抽 基本事实3 要求 象素养和直观想象素养。 74 第八章立体几何初步 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)平面 1.平面的概念 A在a内 A a A 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静 的水面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的 : A在&外 A 平面是向四周 的. 2.平面的画法及表示方法 l在a内 l a 我们常用矩形的直观图，即 表示平面 1在&外 画 当平面水平 当平面竖直 在画两个相交平面 时，如果其中一个平 法 放置时，常把 放置时，常把 面的一部分被另一 1,m相交于A 平行四边形 平行四边形 个平面挡住，通常把 的一边画成 的一边画成 被挡住的部分画成 1,a相交于A aA又 a,3相交于l 图 BB 示 图① 图② 即时小练 ①用希腊字母a,B,y等表示平面，如平面a、平面B、平 1.用符号表示“点A在直线1上，l在平面α外”，正 表 面y等. 确的是 ( 示 ②用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文 A.A∈l,l在a B.A∈l,lta 方 字母表示，如平面ABCD. C.ACl,iCa D.ACl,la 法 ③用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大 2.根据图形填入相应的符号： 写英文字母表示，如平面AC或者平面BD A 平面ABC,A 平面BCD,BD 平面 即时小练 ABD,BD 平面ACD, BD∩平面ACD= 1.(多选)下列说法正确的是 A.平面是处处平的面 (三)平面的基本性质及作用 B.平面是无限延展的 1.三个基本事实 C.平面的形状是平行四边形 基本 内容 图形 符号 作用 D.一个平面的厚度可以是0.001cm 事实 2.下列说法正确的是 A,B,C三 A.平面的形状是平行四边形 过不在一条直 点不共线 B.任何一个平面图形都可以表示平面 基本 线上的三个点， 用来确 →存在唯 C.平面ABCD的面积为100cm2 事实 一个 a8C 定一个 一的平面 1 平面 D.空间图形中，后作的辅助线都是虚线 平面 a使A,B, (二)点、直线、平面之间的基本位置关系及语言 CEa 表达 如果一条直线 A∈1，B 文字语言 符号语言 图形语言 用来证 基本 上的 ∈，且A 明直线 事实 在一个平面内， A在1上 A ∈&，B∈ 在平面 2 那么这条直线 a→ 内 在 A在1外 Ai A 75 数学必修第二册 :2.过不共线的四点有且只有一个平面对吗，为 如果两个不重 用来证 合的平面有一 P∈a,且 什么？ 基本 明空间 个公共点，那么 事实 P∈3P& 的点共 它们有且只有 ∩B=1, 线和线 条过该点的 且P∈L 共点 即时小练 1.三点可确定平面的个数是 A.0 B.1 C.2 D.1或无数个 关键能力·合作探究 讲练设计探究重，点 题点一 文字语言、图形语言、符号语言的相互 题点二 点线共面问题 转化 [典例]用符号语言表示下列语句，并画出图形. [典例]如图，已知直线a∥b∥c, (1)平面α与3相交于直线l,直线a与a,3分别： l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求 相交于点A,B; 证：直线a,b,c和l共面. (2)点A,B在平面a内，直线a与平面a交于点 C,点C不在直线AB上. …/方法技巧/… /方法技巧/… 1.用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先 (1)纳入平面法：先用部分点、线确定一个平面， 仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之 再证明其余的点、线都在此平面内】 间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用 (2)辅助平面法：分别用部分点、线确定两个平 符号语言表示. 面（或多个）平面，再证明这些平面重合。 2.根据符号语言或文字语言画相应的图形时， (3)反证法：假设不共面，结合题设推出矛盾 要注意实线和虚线的区别， 对点训练 对点训练 如图，已知aCa,b二a,a∩b= 用符号语言表示下面的语句，并画出图形 A,P∈b,PQ∥a,求证：PQCa. a (1)三个平面Q,3,y相交于一点P,且平面a与平 面B相交于PA,平面a与平面Y相交于PB,平 面3与平面Y相交于PC; (2)平面a与3相交于直线l,直线a与a,B分别 相交于点A,B. 76 第八章立体几何初步 题点三点共线、线共点问题 /方法技巧/ 1.证明三点共线的方法 [典例]如图，已知平面a,3,且 (1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是 a∩B=l.设梯形ABCD中， 这两个平面的公共点，根据基本事实3可知， AD∥BC,且ABCa,CDCR. 这些点都在两个平面的交线上· 求证：AB,CD,l共点（相交于 (2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另 一点) 一点也在此直线上。 2.证明三线共点的步骤 证明三线共点问题可把其中一条作为分别过 其余两条直线的两个平面的交线，然后再证 两条直线的交点在此直线上， 对点训练 如图，在空间四边形各边AD, AB,BC,CD上分别取E,F,G, H四点，如果EF,GH交于一 点P 求证：点P在直线BD上. 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知空间中有A,B,C,D,E五个点，如果点A,:4.空间不共线的四点可以确定平面的个数是 B,C,D在同一个平面内，点B,C,D,E在同一个5.如图，今有一正方体木料AB D 平面内，那么这五个点 ( ) CD-A1B1C1D1,其中M,N分 A.共面 B.不一定共面 别是AB,CB的中点，要过 C.不共面 D.以上都不对 D1,M,N三点将木料锯开，请 2.如图，平面a∩平面B=l,P∈3且 你帮助木工师傅想办法，怎样 R 人 Pl,M∈a,N∈a,又MN∩l= 画线才能顺利完成？ R,M,N,P三点确定的平面记为 C y,则3∩Y是 () A.直线MP B.直线NP C.直线PR D.直线MR 3.已知平面a与平面3、y分别相交，则这三个平面 的交线有 ) A.1条或2条 B.2条或3条 C.1条或3条 D.1条或2条或3条 温馨提示 请做课时分层检测（二十四） 77设(OO=xcm,则(OO2=(9-x)cm 15.解(1)如图所示，作出轴裁面，则等腰三 在Rt△O0A中，R=x2+400. 角形SAB内接于圆O,而圆O内切 在Rt△OO,B中，R2=(9-x)2+49. 于△SAB. ,x2十400=(9一x)2十49，解得x=一15，不合题意，舍去. 设圆0的丰径为R,则有号R=972, 综上所述，球的表面积为2500πcm2 答案2500π ∴.R=9,SE=2R=18. 对点训练 SD=16,∴.ED=2. A 连接AE,又SE是圆O的直径， 如图，圆M面积为3元，则圆M半径 .SA⊥AE, E V5,0A=2,则球0的体积等于号×元X23= 4 ∴.SA2=SD×SE=16×18=288, 3元 SA=12√2. 题点三 ,AB⊥SD,D为AB中点， 典例解设正方体的棱长为a ∴.AD=SD·DE=16X2=32, (1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面（正方形） AD=42, 的中心，经过四个切点及球心作截面，如图①，所以有2m一a,r1= ∴.Sw雠=π×ADXSA=π×4√2X12√2 受，所以S=4r=. =96元 (2)设内切球的半径为r,即圆O的半径为r, ,△SAB的周长为 2×(12√2+4√2)-32√2 ② ∴号rX32巨-号×82X16,解得r=4 (2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对： 故圆锥内切球的体积 角面得裁面，如图②， 所以有2，=2a,n=号a 8.4.1平面 所以S2=4元r2=2πa2. !必备知识·自主梳理 (3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得裁面，；一)1，无限延展2.平行四边形横向竖向虚线或不画 如图③， t即时小练 所以有2一。店。所以S==3d. ,1.AB[平面是无限延展的，没有大小、形状、厚薄，AB两种说法是正 确的：CD两种说法是错误的. 对点训练 2.B「因为平面是无限延展的，不计面积，而平行四边形是平面的一 1.100π[如图，由条件知，OA=3,O01=4,所以OA=5,所以球的表 部分，它是不能无限延展的，所以A、C错误；在空间图形中，我们一 面积为100元.] 般把看得见的线画成实线，把被遮住的线画成虚线或不画，故D错 误；有时根据具体情况，可以用其他的平面图形，如矩形、圆、正方形 等表示平面，故B正确.] (二)∈在∈年Ctl∩m=Al∩a=Aa∩3=l 即时小练 1.B 2.6π[根据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， 2.∈在C中D[由题图可知，点A在平面ABC内，不在平面 心把这个三棱维可以补成一个同一顶点处三条棱长分别为1√25：BCD内，直线BD在平面ABD内，不在平面ACD内，直线BD与平 的长方体，于是长方体的外接球就是三棱锥的外接球， 面ACD相交于点D,即A∈平面ABC,A年平面BCD,BDC平面 设其外接球的半径为R, ABD,BD寸平面ACD,BD∩平面ACD=D.] 则有(2R)2=12+(√2)2+(5)2=6. (三)1.有且只有两个点这个平面内Ca公共直线 即时小练 ∴R=是 :1.D[当这三点共线时，可确定无数个平面：当这三点不共线时，可确 定一个平面.故远D.] 故其外接球的表面积S=4πR=6元，] !2.提示不对，过不共线的四点不一定存在一个平面，如过正方体上 素养演练·提升技能 底面的三个顶点和下底面的一个顶点，便无法作出一个平面.， A由题意可知，该长方体的体对角线即为球的直径，其长度为2关键能力·合作探究 √5，从而球的半径为√3，球的表面积为12元故远A.] 1题点一 2.A[由题意，得正三校台上、下底面的外接图的半径分别为子×典创解号果用符花表“C用品如图0. (2)用符号表示：A∈a,B∈a,a∩a=C,C年AB,如图②. ×3=3, ,昙×尽×43=4.设该棱台上、下底面的外接圆的 圆心分别为O1,O2,连接O1O2,则O1O2一1，其外接球的球心O在 直线O1O2上，设球O的半径为R,当球心O在线段O1O上时， aA R2=3+O=4+(1一00)2，解得0O=4(舍去)：当球心O不 ① 在线段O1O2上时，R=42+O=3十（1十O02)2,解得O2=3,!对点训练 所以R2=25,所以该球的表面积为4πR=100元.] 解(1)符号语言：an3ny=P,a∩3=PA,a∩y=PB,3∩y-PC. 3.B[设半球的半径为R,则R-2,小圆锥的高为4，大圆锥的高为3， 如图① 整个保鲜封闭装置的体积为V。=V*十V现维=之·子元·2十 言··2·3=2受，设小圈维的半径为，则户=尽一4一3)= 2-1=3,所以，故小圆维的体积为g=子·元·(· 图① 图② 4=4,所以充氯区空间最小可以为V。一V小国#= 28x-4m-g (2)符号语言：a∩3-l,a∩a=A,a几3=B.如图②. ↓题点二 4② [如图，记圆维的轴裁面为△ABC,其中AC=BC= 典例证明法一：辅助平面法 因为a∥b,所以a,b确定一个平面a. 3,AB=2,CD⊥AB.在Rt△BCD中，CD=√/BC-BD 因为A∈a,B∈b,所以A∈a,B∈a. =2√2，则S△Ax=2√2.设△ABC的内切圆O的半径为 又A∈l,B∈l,所以lCa R,对R等一号所以司整内半径展大的装的作 因为C∈l,所以C∈a,所以直线a与点C同在平面a内. 因为a∥c,所以直线a,c确定一个平面3. 因为C∈c,C3,所以C∈3，即直线a与，点C同在平面3内. 积为号R=9] 由推论1，可得平面a和平面3重合，则c二a 所以a,b,c,l共面. 260 法二：纳入平面法 ·对点训练 因为a∥b,所以a,b确定一个平面a. :1.A[如图，四面体A-BCD的六条棱所在直线中，成异 因为A∈a,B∈b,所以A∈a,B∈a. 面直线的有：AB和CD,AD和BC,BD和AC,所以四 又A∈l,B∈l,所以l二a. 面体ABCD的六条棱所在直线成异面直线的有3对」 则a,b,l都在平面a内，即b在a,1确定的平面内. 故选A, B 同理可证c在a,l确定的平面内. :2.D「如图，在长方体ABCDA'B'CD'中，设A'D'所在 因为过a与l只能确定一个平面， 直线为a,AB所在直线为b,已知a和b是异面直线，b 所以a,b,c,l共面于a,l确定的平面 和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD-A'B'CD'中的B'C', 对点训练 DD',CC.故a和c可以平行、相交或异面. 证明因为PQ∥a,所以PQ与a确定一个平面3，所以直线aCB,1 点P∈ 因为P∈b,bCa,所以P∈a. 又因为aCa,P在a,所以a与3重合 所以PQCa. 题点二 题点三 典例解析如图，在正方体ABCDA'B'C'D'中，AA 典例证明因为梯形ABCD中，AD∥BC, ∥BB ,AA'在过BB'的平面ABB'A'内，故命题①不 所以AB,CD是梯形ABCD的两腰 正确：AA'∥平面BCCB',BCC平面BCCB', 所以AB,CD必定相交于一点， AA'不平行于BC,故命题②不正确；AA'∥平面 设AB∩CD=M BCC'B' ,A'D'∥平面BCCB',但AA'与A'D'相交 又因为ABCa,CDC3,所以M∈a,M∈3. 所以③不正确：④中，假设b与a相交，因为a∥b,所 所以M∈a∩3. 以a与a相交，这与a∥a矛盾，故b∥a,即④正确：⑤显然正确，故选 又因为a∩3=l,所以M∈1. 即AB,CD,1共点（相交于一点） 答案C 对点训练 对点训练 证明若EF,GH交于一点P, B[对于①，直线a在平面a外包括两种情况，即a∥a或a与a相 交，，a和a不一定平行，故①说法错误.对于②，，直线a∥b,bC平 则E,F,G,H四点共面 面a,只能说明a和b无公共点，但a可能在平面a内，∴a不一定平 又因为EFC平面ABD,GHC平面CBD, 行于α，故②说法错误.对于③，比如在正方体ABCD-A1BCD1中， 平面ABD∩平面CBD-BD,所以P∈平面ABD,且P∈平面！ AD1∥平面ABCD,AD1∥AD,'.平面ABCD内任一条平行于 CBD,由基本事实3可得P∈BD, AD的直线都与A1D1平行，故③说法正确.对于④，当aCa时，a内 所以点P在直线BD上」 也存在无数条直线与直线a平行，故④说法错误.] 素养演练·提升技能 题点三 1.B[若B,C,D共线，则这五个点不一定共面：若B,C,D不共线，则典例解(1)①错，a与b也可能异面.②错，a与B也可能平行.③ 这五个点一定共面.] 错，也可能aCa.④错，a与3也可能相交 2.C[因为MNCy,R∈MN,所以R∈Y.又a∩3=l,MN∩l=R,所1 (2)①如图所示， 以R∈3.又P∈3，P∈Y,所以P,R均为平面Y与3的公共点，所以！ 3∩y=PR.故远C.] 3.D[如图所示，在正方体ABCD-A,BCD1中，平面 ABCD和平面A1B,CD1都与平面BB1D1D相交，这 三个平面有两条交线：平面ABB1A和平面BBD1D 都与平面BB,CC相交，这三个平面有一条交线：平面 ②如图所示， ABB1A1和平面AA1D1D都与平面BB1D1D相交，这 三个平面有三条交线，故若平面α与平面3、Y分别相交，则这三个平 面的交线有1条或2条或3条.故远D.] 4.1或4L若有三点共线，则这四点可以确定一个平面.若任意三点 均不共线，则空间四点可以确定4个平面.门 答案(1)A 5.解作法如下：(1)连接MN并延长交DC的 ·对点训练 延长线于F,连接DF交CC1于Q,连接QN; 1.C[根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面 (2)延长NM交DA的延长线于E,连接D1E 的位置关系.如图所示，门 交AA1于P,连接MP: (3)依次在正方体各个面上画线D1P,PM, a MN,NQ,QD,,即为木工师傅所要画的线 B /B 8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系 必备知识·自主梳理 2.解几何体ABCA,BC为三棱柱，.平面ABC与平面A,BC (一)1.(1)任何一个2.一个没有任何一个 平行.，平面ABC与平面ABBA有公共直线AB,.平面ABC与 即时小练 平面ABBA1相交.同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面 1,D[由于空间两条直线的位置关系是平行、相交、异面，则不平行的 BCC1B1均相交. 两条直线的位置关系是相交或异面.故选D.] :素养演练·提升技能 2.解(1)是错误的.可以是异面直线」 ·1.B[如图，连接AC,FG,EC,因为G为正方形AB (2)是错误的.可以是相交直线， CD的中心，所以AG=GC.又因为F为AE的中，点， (二)1.无数个 一个没有a∩a-Aa∥a 所以AF一FE,所以由三角形的中位线定理可知 即时小练 FG∥EC,所以由推论3知，C,E,F,G四，点共面.过 1.B「直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数： 点E作EH⊥AD于H,连接HG,则EG= 多个点在平面外. √EH+HG=√3+1-2.过，点F作FT⊥AD于 2.A「延长各侧棱可恢复成棱锥的形状，所以三棱台的一条侧棱所在 直线与其对面所在的平面相交，故选A.] 工，连接CT,剥CF=①+DT+FT-√2+（受）+() (三)1.没有公共点无数a∥3 √7，所以CF≠EG,故选B] 1.BM∈平面a,M∈平面B,a与月相交于过点M的一条2.小D诗起展开图还原成正方体，如图所示，由正方 即时小练 体的性质得CD∥GH,AB与EF异面，AD与EF 直线.门 异面，AB与CD相交，故远A、B、D. 2.a∥3 :3.D「把不共面的四个定，点看作四面体的四个顶，点 关键能力·合作探究 平面a可以分为两类：第一类：如图(1)所示，四个 题点一 定点分布在α的一侧1个，另一侧3个，此类中a共(E)C 典例(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面[根据题目条件知道 有4个」 直线D,D与直线D,C相交于D1点，所以(3)应该填“相交”：直线 AB与直线D1C在平面ABCD1中，且没有交点，则两直线“平 行”，所以(1)应该填“平行”：点A1、B、B1在平面A1BB,内，而C不 在平面ABB内，则直线A,B与直线BC“异面”，同理，直线AB 与直线B1C“异面”，所以(2)(4)都应该填“异面”. 图(1) 图(2) 261