8.3.2 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积-【名师大课堂】2025-2026学年高中数学必修第二册同步小作业（人教A版）

课时2圆柱、圆锥 A级基础练 1.若圆锥的侧面展开图为一个半圆面，则它的 底面面积与侧面面积之比是 A.√2：1 B.2:1 C.1:√2 D.1:2 2.陀螺是中国民间最早的娱乐 A B 工具之一，在山西夏县新石器 时代的遗址中，就发掘了石制 -'D 的陀螺.如图所示的是一个陀 螺的立体结构图，已知圆柱体部分的高BC =6cm,底面圆的直径AB=12cm,圆锥体 部分的高CD=4cm,则这个陀螺的表面积 (单位：cm2)是 () A.(144+12√13)元B.(144+24√13)π C.(108+1213)πD.(108+24√13)π 3.(多选)圆柱的侧面展开图是长12cm,宽 8cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是 ( A.288 B.192 π cm' C.288πcm D.192πcm3 B级 综合练 1.中国古代数学专著《九 A 章算术》中记载了一种 被称为曲池的几何体， 该几何体是上、下底面 均为扇环形的柱体，现 有一个如图所示的曲池，AA1垂直于底面， 且AA,=3,底面扇环的圆心角为罗，弧AD 的长度是弧BC的长度的3倍，若CD=2, 则该曲池的体积为 A B.5π c D.6π 圆台的表面积和体积 4.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S,,S2, 体积分别为V,,V2.若它们的侧面积相等， 略的 ( A.2 c n.号 5.折扇是我国古老文化的延续，“扇”与“善”谐 音，折扇也寓意“善良”“善行”.图1是一个 折扇的扇面，它可以看成是一个圆台的侧面 展开图（如图2），若两个圆弧DE,AC所在 圆的半径分别是3和6，且∠ABC=120°，则 该圆台的体积为 B 图1 图2 A.502 B.9π C.7π D 2.已知圆锥的母线长为2，侧面积为S,体积为 V,则取得最大值时，圆锥的体积V ( A B.42x 3 C.②x D.22x 6 3 3.如图，已知圆锥SO,其侧面展开图是半圆， 过SO上一点P作平行于圆锥底面的截面， 以截面为上底面作圆柱PO,圆柱的下底面 落在圆锥的底面上，且圆柱PO的侧面积与 37 圆锥S0的侧面积的比值为S,则圆柱P0 :5.如图，AB是圆柱的底面直径，PA是圆柱的 母线，且AB=PA=2,点C是圆柱底面圆 的体积与圆锥SO的体积的比值为() 周上的点. (1)求圆柱的侧面积和体积： (2)若AC=1,D是PB的中点，点E在线段 …p PA上，求CE+ED的最小值. P ! A含 --2 c号 n C 4.(多选)如图，直角梯形ABCD中，AB=2, CD=4,AD=2,则 ( A.以AD所在直线为旋转轴，将此梯形旋 转一周，所得几何体的侧面积为16√2π B.以CD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转 一周，所得儿何体的体积为 C.以AB所在直线为旋转轴，将此梯形旋转 一周，所得几何体的表面积为20π 十4√2π D.以BC所在直线为旋转轴，将此梯形旋转 一周，所得几何体的体积为28区x 3 38AA,E的高为定值，又S△A,E为定值，所以V,AM,E 为定值，即VEM,o为定值，故C正确；将平面 BB,CC展开至与平面AA,BB共面，则四边形 AA,CC为正方形，边长为2，连接AC1,交BB,于 点E(图略)，则E为BB1的中点，此时AE十EC 的值最小，为2√2，故D正确. 3.A如图，设正三棱柱为 EFG-EF'G',其下底面 的中心为O.由于△BCD 为正三角形，故O也为 △BCD的中心，连接O'B,BE“ D 则点E在O'B上.设正三 G 棱柱EFG一EF'G'的底面 正三角形的边长为x,x∈ (0,2).由题意可知△AEG为正三角形，故AE G=所以BE=2-x又0B=号×停×2 29,0E号×9BE-0B-0E 3 =25③L,所以正三棱柱EFG-EF'G的高h 3 3 =版-(RT-2--（(9) (2-),故正三棱柱EFG-E'F'G'的侧面积 3 s=8×92-z=6(2-)r=6(-+2a) =√6[1-(x-1)2].又x∈(0,2)，故当x=1时，S 取到最大值，为√6. 4.答案：√2 解析：由题知星形八面体的体积为一个棱长为2的 正四面体与四个棱长为1的正四面体的体积之和， 故体积为号×+4×号×1= 5.解：由题意，知这两个直三棱柱拼成一个三棱柱或 四棱柱，有如下四种情况： ①两个直三棱柱的底面重合在一起，拼成一个三棱 柱，如图1，表面积为12a2十48； - 4a. 30 5a 5a 图1 图2 ②边长为54,2的面重合在一起，拼成一个四棱 10 柱，如图2，表面积为24a2十28； ③边长为4如，号的面重合在一起，拼成一个三校柱 或四棱柱，如图3，图4，表面积为24a2+32; 4g. 3d、 5a 5a 图3 图4 ①边长为30，子的西变合在一起，拼成一个三楼柱 或四棱柱，如图5，图6，表面积为24a2+36. 4a. 5a 5a 图5 图6 因为表面积最小的是一个四棱柱， 所以24a2+28<12a2+48,即12a2<20,解得0<a V1 3 即实数a的取慌范国为0，雪)。 课时2圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 A级基础练 1.D设圆锥的底面半径为r,母线长为.由题意可 得2πr=πl,所以l=2r,所以该圆锥的侧面积为S侧 =元r=2πr2,底面积为S底=元r2,所以该圆锥的底 面面积与侧面面积之比是S底：S侧=1：2. 2.C由题意可得圆锥体的母线长为l=√62+4= 2√3(cm),所以圆锥体的侧面积为πX6X2√13 =12√/13π(cm).圆柱体的侧面积为12π×6=72π (cm),圆柱的一个底面面积为元×62=36π(cm2), 所以此陀螺的表面积为12√/13π+72π+36π= (108+12√13)π(cm2). 3.AB当圆柱的高为8cm时，体积V=x×()× 8=288(cm3)；当圆柱的高为12cm时，体积V= xx(0)×12-1兴em) 4.B设两个圆柱的底面半径和高分别为r1,r2和 A心=号释时号期身=登白同往的 侧面积相等，得2πr,h1=2πr2h2,即r1h1=r2h2,所 V1=ih1=1=3 以宁7五方2 5.D设圆台上、下底面的半径分 别为，由题意可知写×2x× 3=2m3×2m×6=2m,解得 r1=1,r2=2.作出圆台的轴截面，如图所示，OD= r1=1,OA=r2=2,AD=6-3=3.过点D向AO 作垂线，垂足为T,则AT=r2一r1=1,所以圆台的 高DT=√/AD-AT=√32-1=2√2.又圆台上底 面面积S1=元X12=元，下底面面积S2=元×22= 4,所以国台的体积V=子(S,十S,十S·S): DT=}X7xX22=14@ 3 B级综合练 1.D不妨设弧AD所在圆的半径为R,弧BC所在 圆的半径为r.由孤AD的长度是孤BC的长度的3 倍，知R=3r,所以CD=R-r=2r=2,所以r=1, R=3.又AA,垂直于底面，底面扇环的圆心角为 受故该曲池的体积V=牙(R-)·AA=6元 2.D设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为1.由 题意得l=2,S=πrl=2rr,h=√-r=√4-r, 则V=号h=言”47，所以5 = 3r 2πr -4-7<×+- 2 3 当且仅当r=√/4-r,即r=√2时取等号，此时V= 3w4-7-}×xX2x42-24 3 3.A设圆锥SO的底面半径为r,母线长为1.依题 意，πl=2xr,则l=2r,所以高S0=√-r=√5r. 设圆柱PO的底面半径为r。,母线长为l。,则PO= 6:南-9得以.又 πrl 4 S0√3r 2得6=（则==号，所以国 柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为 元2年r2·3 2 3 3w2·s03,8 4.BCD延长DA,CB交于点E,如图1.由题意得， AE=AD=2,BE-BC-AD+(CP)=2 于A,以AD所在直线为轴旋转一周，得到一个圆 台，此圆台的侧面积S=(2十4)X2√2π=12√2π， 故A错误；对于B,以CD所在直线为轴旋转一周，： -10 得到一个以2为底面半径，以2为高的圆柱与一个 以2为底面半径，以2为高的圆锥的组合体，所以 该组合体的体积V,=V。十V=2×2元十号× 2×2元=号，放B正确：对于C以AB所在直线 为轴旋转一周，得到一个圆柱挖去一个圆锥的组合 体，所以该组合体的表面积S=4π十2πX2X4十 2√2X2x=20π十4√2π，故C正确；对于D,以BC 所在直线为轴旋转一周，得到一个圆锥和一个圆台 挖去一个小圆锥的组合体，如图2，所以该组合体 的体积为V=号×(22)X2Ex+}×[②)元 +W2×(22+(2)x]×万-号× 2)'X2元=282x,故D正确.故选BCD. 3 E D 图1 图2 5.解：(1)由题意得，圆柱的底面半径为1，高为2，则 圆柱的侧面积为2π×1×2=4π，圆柱的体积为π× 12×22=2元. (2)如图，连接PC,将△PAC 绕PA所在直线旋转到 △PAC的位置，使其与平面 PAB共面，且C'在BA的延长 线上，此时CD与PA的交，点 C 即为使CE十ED取得最小值的点E的位置. 因为PA=AB=2,PA⊥AB,所以∠PBA=T,PB 2N2. 又D为PB的中点，所以BD=PB=E。 又BC=BA+AC=2+1=3, 所以在△C'BD中，由余弦定理得C'D= √3+（②）-2x3x2×2=5. 2 所以CE+ED的最小值为√5. 课时3球的表面积和体积 A级基础练 1.B由题意知截面圆的半径r=√3cm,所以球的半 径R=√(W3)2+(√6)2=3(cm),则球的体积为V= 青R=台X3=36mem