8.3.1 棱柱，棱锥、棱台的表面积和体积-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

第八章立体几何初步 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 明学习目标 知结构体系 课标 1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式. 侧面展开图 要求 2.能用公式解决简单的实际问题. 表面积 侧面面积 表面积 表面积 在计算棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的过程中，要把实际 与体积 棱柱体积 素养 要求 问题转化为数学问题，并进行计算，发展数学建模、数学运算 体积 棱锥体积 和直观想象素养 棱台体积 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)棱柱、棱锥、棱台的表面积 3.正四面体的侧面积是表面积的及，对吗？为什么？ 图形 表面积 D A 多面体的表面积就是 (二)棱柱、棱锥、棱台的体积 面 ,也就是 几何体 体积 说明 体 面积 S为棱柱的 ,h为 棱柱 V棱柱=Sh 棱柱的 即时小练 V货能=子S% S为棱锥的 ,h为 棱锥 棱锥的 1.判断正误 (1)几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和. S',S分别为棱台的 ( ) 棱台 V传6=i(S+ ,h为棱台的 (2)几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积： √SS+S) 的和 即时小练 (3)棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中1为： 侧棱长，c为底面周长 ( ):1.正方体的表面积为96，则正方体的体积为( 2.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1， A.486 B.64 C.16 D.96 2,3,则该长方体的表面积为 )2.已知棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3， A.22 B.20 C.10 D.11 则棱台的体积为 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 /方法技巧/ 1.求多面体的表面积和侧面积二者不同，要分清 [典例门现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体： 二者区别 对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧： 2.棱锥或棱台的表面积计算常借助侧面三角形 面积. 或梯形的高、侧棱及其在底面的射影与高、底面 边长等构成的直角三角形（或梯形）求解 对点训练 1.一个直棱柱的底面是菱形，它的体对角线的长分 别为9cm和15cm,高是5cm,则这个直棱柱的 侧面积是 cm2. 67 数学必修第二册 2.已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S-ABCD2.如图，已知ABCD一 D C 如图所示，求它的侧面积、表面积， A1B1C1D1是棱长为a A 的正方体，E为AA1的 B:F 中点，F为CC1上一点， E-- D 求三棱锥A1一D1EF的 体积. 题点二棱柱、棱锥、棱台的体积 [典例]正四棱台两底面边长分别为20cm和10cm, 侧面面积为780cm2.求其体积. 题点三简单组合体的表面积与体积 :[典例门一个造桥用的钢筋混 24.8 凝土预制件的尺寸如图所示 (单位：米)，浇制一个这样的 0.3 预制件需要多少立方米混凝 0.3 土？（钢筋体积略去不计，精 0.30.10.30.10.3 确到0.01立方米) /方法技巧/ 求棱柱、棱锥、棱台体积的常用方法 公式法 直接代入公式求解 例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只 等积法 需选用底面积和高都易求的形式即可 将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱 补体法 柱，三棱柱补成四棱柱等 分割法 将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积 对点训练 1.(2023·全国甲卷)在三棱锥P一ABC中， △ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2, PC=√6，则该棱锥的体积为 ( ) A.1 B.√3 C.2 D.3 68 第八章立体几何初步 [拓展]若本例中的条件不变，求钢筋混凝土预制件： 对点训练 的表面积是多少平方米？（精确到0.01平方米） ! 如图所示，在长方体ABCD D' 一A'BC'D'中，用截面截下 A 、B 一个棱锥C-A'DD',求棱锥 D C一A'DD'的体积与剩余部 分的体积之比， /方法技巧/ 求组合体的表面积和体积，首先应弄清它 :的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该 怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后 再相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出 各简单几何体的体积，然后再相加或相减， 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.(2022·新高考I卷)南水北调工程缓解了北方：4.如图，在多面体ABCDEF中，已知 一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某： 四边形ABCD是边长为4的正方 水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应： 形，EF∥AB,EF=2,EF上任意一 水面的面积为140.0km;水位为海拔157.5m 点到平面ABCD的距离均为3，则 时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这： 该多面体的体积为 两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位：5.如图，某种水箱用的“浮球” 从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量： 是由两个半球和一个圆柱 约为（√7≈2.65） ( 筒组成，已知半球的直径是 A.1.0×109m3 B.1.2×109m3 6cm,圆柱筒长2cm C.1.4×109m3 D.1.6×109m3 (1)这种“浮球”的体积是 2.一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干 多少cm3? 6 cm (如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒（如图： (2)要在100个这样的“浮 乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交： 球”表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶 点E,F,F1,E1分别为所在棱的中点，则图甲中 20克，那么共需涂胶约多少克？ 水面的高度为 ( 甲 A B C.2 D.9 3.把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小 正方体，则所有小正方体的表面积为 温馨提示 请做课时分层检测（二十一） 69E, (2)以O为中点在x轴上取A'B=AB,在y轴上取O'E'=1 由斜二测画法可知，A'B'=AB=a,0C'=1 4a,在图②中 以E为中点画C‘D'∥x'轴，并使CD'=CD. (3)连接BC,DA',所得的四边形A'B'CD'就是水平放置的等腰！ 梯形ABCD的直观图. 作CDLAB'于点D,则CD-号0C-a.所以Sae 对点训练 解(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高！ 线AO所在的直线为y轴. !素养演练·提升技能 1.C[根据“斜二测画法”可得BO=B')=1,C0=CO'=1,AO= 2A'O'=25,∴.由勾股定理得AB=AC=13,又BC=2,∴.原 △ABC是一个等腰三角形.] :2.2√2[四边形ABCD的实际图形如图所示，因为A'C在 /0 C 水平位置，四边形A'B'CD'为正方形，所以∠DA'C ① ② ∠A'CB=45,所以在原四边形ABCD中，AD LAC, (2)画对应的x轴、y轴，使∠x')v'=45 ;' AC⊥BC,因为AD=2D'A'=2,AC=A'C=√2，所以 在x'轴上截取O'B'=(C=2cm, Sg边sAcD=AC·AD=2√2.] 在y轴上藏取0A'=2OA, !3.D「圆锥顶，点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距 离为2十3一5cm,在直观图中与z轴平行的线段长度不 连接A'B',A'C',则三角形A'B'C即为正三角形ABC的直观图，如！ 变，仍为5cm.门 图②所示， 4.40.53.6工由比例可知长方体的长、宽，高分别为4cm,1cm, 题点二 2cm,四棱锥的高为l.6cm,所以长方体的直观图的尺寸应为4cm, 典例解画法步骤： 0.5cm,2cm,四棱锥的直观图的高为1.6cm.所以直观图中建筑物 (1)画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于 D 的高为2十1.6-3.6(cm).] 点O,使∠x0y=45°，∠xOz-90° 5.解如图，建立平面直角坐标系xOy,在x轴上 (2)画底面.以点O为中点，在x轴上取线段 A Q/B' 截取O)D=D,=1,C=OC,=2. MN,使MV=4cm; N 在过，点D的y轴的平行线上截取DA=2DA=2, 在y轴上取线段PQ,使PQ号cm A B 在过点A的x轴的平行线上截取AB=A1B 2， 分别过，点M和N作y轴的平行线，过，点P和Q作x轴的平行线， D O 连接BC,即得到了原图形 设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是长方体的底面 由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB ABCD的直观图. =2,CD=3,直角腰的长度AD=2. (3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行 线上分别裁取2cm长的线段AA',BB,CC,DD 故梯形面积SAD=23X2=5. (4)成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理（去掉辅助线，将被遮！ 8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图. 必备知识·自主梳理 D )围成多面体各个面的面积的和展开图 ·即时小练 1.(1)/ (2)/ (3)× 2.A[长方体的表面积S=2(1×2+1X3+2×3)=22.] !3.提示对.正四面体的各个面都是全等的等边三角形，设其中一个 对点训练 三角形面积为t,则侧面积、表面积分别为3,4，故正四面体的侧面 解(1)画出正六棱锥P-ABCDEF的底面.如图①所示， 在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN为： 积是表面积的子 y轴，两轴相交于O. (二)底面积高底面积高上、下底面面积高 (2)画相应的x'轴、y轴和z轴，三轴相交于O, 即时小练 在图②中，以O为中点，在x轴上取A'D-AD,在y轴上取M'N1.B[设正方体的棱长为a,则6a2=96,a=4.其体积V=a= 使/x')y'=45°，/x'O'x‘=90° =号MN 43=64.故远B.] 2.28 以为中点画BC平行于轴，且BC二BC再以M为中，点画E关键能力·合作探究 平行F轴且EFEF,连接ABCD,DE,FA,得正六题点一 边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'C'D'EF', 典例解如图，设底面对角线AC=α， D BD=b,交点为O, A 对角线AC=15, BD=9, .∴.a2+52=15,b2+52=92, 4 ,.a2=200,=56. B NC D A ,该直四棱柱的底面是菱形， C ① ② ③ AB=()+(2) -2+-200+56=64, 4 4 (3)画正六棱锥P-ABCDEF的顶点，在z轴上取，点P ∴.AB=8. (4)连线成图.连接P'A',P'B',PC,PD',P'E',P'F ,并进行整 理，便得到正六棱锥P-ABCDEF的直观图P'-A'B'C'D'EF',如 ,∴.直四棱柱的侧面积S=4×8×5=160. :对点训练 图③所示， 题点三 1.160 :[依题意可得，直棱柱底面的一条对角线长为√152一5一 典例解析如图所示，在原图形OABC中， l0√2(cm),另一条对角线长为√/⑨一5=2√I4(cm),又菱形的两条对 应有OA=0A'=6cm,OD=20D'=2×2√2 角线互相垂直平分，故该直棱柱底面边长为√（⑤2）+（√14）严= √2cm,CD=CD'=2cm. 8(cm),故这个直棱柱的侧面积S=4×8×5=160(cm).] 在Rt△OCD中，OC=√OD+CD 2.解四棱锥S-ABCD的各棱长均为5， “,各侧面都是全等的正三角形 J(4√2)2+22=6(cm), 设E为AB的中点，连接SE(图略)，则SELAB, '.OA=OC.又OA∥BC,OA=BC, 故四边形OABC是菱形. “S%=4SaMs=4X2 ABX SE=-2X5XJ5-（ =25√5， ∴.S菱wABo=OA·OD=6X4√2=24√2(cm). 答案菱形24√2 S表=S+S座=25V5+25=25(W/5+1). !题点二 对点训练 D「厂如图①②所示的分别是实际图形和直观图」 典例解正四棱台的大致图形如图所示，其中 A1B1=10cm,AB=20cm,取AB1的中点E, AB的中，点E,则E1E为斜高. 设O,O分别是上、下底面的中心，则四边形 B车 A O DB E(O1E1为直角梯形. ① ② 257 :S=4×2×(10+20)×EE,=780(cm), 12.D。[因为E,F,F1,E1分别为所在棱的中点，所以棱柱EFCB- .'EE =13 cm B,FG围的你教V=SmX3=是SacX3=号SAe设甲 在直角梯形E(OOE中， 中水西的高度为：则SacX=号SA,解得=号，故选D.] E=2A B=5 cm,OE-2AB-10 cm, :3.18a2[原正方体的棱长为a,切成的27个小正方体的棱长为3a, ∴.00=/132-(10-5)2=12(cm). 故该正四棱台的体积为 每个小正方体的表面积S=与。X6=号d,所以27个小正方休 V- -×12×(102+202+10×20)=2800(cm3). 的表面积是号a2×27=18d.] 对点训练 20[如图，连接B,C,AC 1公△C来务进赞6，嘴pA=PB Va袋0E-AD=X4X3=16. =2,∴PE⊥AB,CE⊥AB,又PE,CEC平面 AB=2EF,EF∥AB, PEC,PE∩CE=E,.AB⊥平面PEC,又PE ∴.SAEAB=2SAEF· =CE=2X号=B,PC=6,故PC=PE+ V三校单F-EBC=V三枝C-EFB CE,即PELCE,所以V=Vg-e十VA-=号SaPm·AB =之V三收0CABE=2V三装#EABC 合××Xx2=1,故选A] X2VaAD=4. 2 2.解由题意得SD,E=之EA·AD=子， .1 多面体的体积V=V。检E-A版D十V三投F-BC=16十4=20.] !5.解(1)，该半球的直径d=6cm, ,∴.“浮球”的圆柱筒直径也是6cm,R-3cm, 三棱锥F-A1D,E的高为CD=a, 两个半球的体积之和为V=子=合×27=36m, 4 V提F-AB,B=号·a…子a=zc 1 又Vg桂=πRh=π×9X2-18πcm3, 又V三楼维A,-D,E即=V三棱维F-A,DE, 该“浮球”的体积是V=V华+Vm:=36π十18m=54πcm。 六V三楼维4-月郎=20 (2)上下两个半球的表面积S华数=4R2=4πX9-36元cm°， 题点三 “浮球”的圆柱筒侧面积为S鹰程制=2πRh=2πX3X2-12πcm, ∴.1个“浮球”的表面积为36π十12π=48πcm2, 典例解将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的 四棱柱后剩下的儿何体. ,.100个“浮球”的表面积的和为100×48π=4800πcm2, 每平方厘米需要涂胶20克， S=0.6X1.1-号×(0.5+0.3)×0.3=0.54（平方米）， ,∴.共需要胶的质量为20×4800πcm2=96000π（克）. V=S4·h=0.54×24.8≈13.39（立方米）. 8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 所以浇制一个这样的预制件大约需要13.39立方米混凝土. 第一课时圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 拓展 必备知识·自主梳理 解长方体的上下底面积S意=24.8×1.1×2-54.56（平方米）， 1.2元22元l2ml+22元2元rlml十π2元r2m2元l(r+r) 长方体的左右两侧面积S1=24.8×0.6×2-29.76(平方米)， 长方体的前后两侧面积S2一1.1×0.6×2-1.32（平方米）， x+产+r1+)2.rh号rh3(r+r+) ·即时小练 四棱柱的左右侧面积和下底面积S=√0.1+0.3×24.8×2+1.B[S=元r1=15元] 24.8×0.3≈23.12（平方米）， ·2.C[S=π(32+4+3×6+4×6)-67π.] 所以钢筋混凝土预制件的表面积为 ·关键能力·合作探究 S=Sg+S1+S2+S1-24.8×0.5- ×(0.3+0.5)X0.3×2≈题点 2 96.12(平方米). !典例解析(1)如图所示， 对点训练 解法一设AB=a,AD=b,DD=, 则长方体ABCD-A'B'C'D'的体积V=abc, 又SAXDD=之c且三棱锥C-ADD'的高为CD=a 1 设圆柱和圆锥的底面半径分别为r,R,则有下=R,即F口， 所以V线C-AD=号-SAXRD·CD=合 ∴.R=2r,圆锥的母线长1=√2R, 则剩余部分的几何体体积 Vg=ahc-言ac=gahc 成成 4π πR·√2R+元R2(√2+1)元R 4r2 1 故技维Ve-D心tVw=合ak:吾ac=15 (2+1)42 √2+1 =2-1. 法二已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD'A'一 BCC'B', (2)设圆台的母线长为1， 设它的底面ADDA'面积为S,高为h, 则由题意得π(2+6)l=π×2十元×6， 则它的体积为V=S. ,.8πl=40π，.l=5, ,,该圆台的母线长为5. 又棱维C-ADD'的底面面积为号S, 圆台的表面积为 高为h,因此棱锥C一A'DD'的体积 S=π×(2+6)×5+π·22+π×6 =40π+4元十36元 =80元 答案(1)√2-1(2)580π 剩余部分的体积是SM-合S0=吾Sh. !对点训练 所以技维C-ADD的体积与剩余年分的体积之比为日S:号S !1.A[设圆锥的母线长为1，底面半径为r,则元l十元2=4元2，∴l= 3r,圆维的侧面展开图的圆心角为2-2红=120.故选A] 1:5. 3 素养演练·提升技能 :2.A[设圆柱与圆锥的底面半径为r因为圆锥的轴裁面是一个等腰 1.C[如图，由已知得该棱台的高为157.5-148.5 直角三角形，所以圆锥的高为r,母线长为√2r,所以圆柱的表面积为 =9(m,所以该棱台的体积V=3×9×(140+ 2r2+2r·r=4π2，圆维的表面积为7·2r·V2r十元2=(2+ √/140×180+180)×10=60×(16+3w7)× 1),所以圆锥和圆柱的表面积之比为巨)心-+1.故 10≈60×(16+3×2.65)×10=1.437×10≈1.4×10(m3).故 4元r2 4 选C,] 远A.] 258