8.1 第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

5.足球被誉为“世界第一运动”，它是全球体育界最 具影响力的单项体育运动，足球的表面可看成是 由正二十面体用平面截角的方法形成的，即用如 图1所示的正二十面体，从靠近每个顶点的棱的 专处将其顶角截去，截去12个顶角后利下的如 图2所示的结构就是足球的表面结构.已知正二 十面体是由20个边长为3的正三角形围成的封 第二课时 圆柱、圆锥、圆台 明学习目标 1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识圆 课标 柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征. 要求 2,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的 结构. 在旋转体与简单组合体概念的形成中，经历由具体 素养 到抽象，由一般到特殊的过程，发展数学抽象素养 要求 和直观想象素养， 必备知识·自主梳理 (一)圆柱、圆锥、圆台的结构特征 1.圆柱的结构特征 圆柱及相关概念 图形及表示 以 所在直线为旋转轴，其余 定 三边旋转一周形成的面所围成的旋转 轴 底面 体叫做圆柱 侧面 轴： 叫做圆柱的轴： 母线 0 底面： 的边旋转而成的圆面： 底面 相 侧面： 的边旋转而成的曲面； 概 图中的圆柱 母线：无论旋转到什么位置， 记作： 都叫做圆柱侧面的母线； 柱体： 统称为柱体 2.圆锥的结构特征 圆锥及相关概念 图形及表示 以直角三角形的 所在直线为 定 旋转轴，其余两边旋转一周形成的面 合轴 所围成的旋转体叫做圆锥 侧面、 轴：旋转轴叫做圆锥的轴： 母线、 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面： 相 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的 底面 概 曲面： 图中的圆锥 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于 记作： 轴的边都叫做圆锥侧面的母线； 锥体：棱锥和圆锥统称为锥体 6 第八章立体几何初步 闭几何体，则如图2所示的几何体中所有棱的条 数为 图1 图2 温馨提示 请做课时分层检测（十八） 球与简单组合体的结构特征 知结构体系 圆柱的结构特征 圆柱、 圆锥的结构特征 旋转体 圆锥、 圆台、 圆台的结构特征 球 球的结构特征 简单 简单几何体拼接而成 组合体 简单几何体截去或挖去一部分而成 预习新知夯实基础 3.圆台的结构特征 圆台及相关概念 图形及表示 定 用 的平面去截圆 锥， 之间的部分叫做圆台 底面 轴 侧面 轴：圆锥的轴； 母线、 底面：圆锥的底面和截面： 相 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间 底面 的部分； 图中的圆台 念 母线：圆锥的母线在底面与截面之间 记作： 的部分： 台体：棱台和圆台统称为台体 即时小练 1.圆柱的母线长为10，则其高等于 ( A.5 B.10 C.20 D.不确定 2.圆锥的侧面展开图是 ( A.三角形 B.长方形 C.正方形 D.扇形 3.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得 几何体是 () A.圆柱 B.圆锥 C.圆台 D.两个圆锥 数学必修第二册 4.如图是一个几何体的表面展开图，则这个几何体 是 (二)球的结构特征 球及相关概念 图形及表示 所在直线为旋转 定 轴，旋转一周形成的曲面叫做球面， 球心 。半径 球面所围成的旋转体叫做球体，简 称球 球心：半圆的 叫做球的球心； 相 半径：连接 和球面上任意 直径 一点的 叫做球的半径； 图中的球记作： 因 直径：连接球面上 并且经 过球心的 叫做球的直径 即时小练 1.判断正误 (1)球的直径必过球心. (2)球能由圆面旋转而成 (3)用一个平面去截球，得到的截面是一个圆 2.给出以下说法： ①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段 的长； ②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长； 关键能力·合作探究 题点一旋转体的结构特征 [典例]下列说法正确的是 (填序号). ①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所 得的旋转体是圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为 旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的 几何体是圆锥； ④半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球； ⑤用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面， …/方法技巧/ 1.判断旋转体结构特征的方法 (1)明确由哪个平面图形旋转而成； (2)明确旋转轴是哪条直线. 62 ③空间中到定点的距离等于定长的所有的点构 成的曲面是球面， 其中正确说法的序号是 三)简单组合体 1.简单组合体的定义 由 组合而成的几何体叫做简单组合体. 2.简单组合体的两种基本形式 (1)由简单几何体拼接而成： (2)由简单几何体截去或挖去一部分而成 即时小练 1.如图，日常生活中常用到的螺母 可以看成一个组合体，其结构特 征是 ( A.一个棱柱中挖去一个棱柱 B.一个棱柱中挖去一个圆柱 C.一个圆柱中挖去一个棱锥 D.一个棱台中挖去一个圆柱 .如图所示的物体是运动器材—一空竹， 你能描述它的结构特征吗？ 讲练设计探究重，点 2.(1)旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高 等体现旋转体结构特征的关键量. (2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化 空间图形为平面图形的转化思想」 对点训练 下列叙述中，正确的个数是 () ①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体 是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是 圆台； ③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个 圆台； ④圆面绕它的任一直径旋转形成的几何体是球. A.0 B.1 C.2 D.3 第八章立体几何初步 题点二简单组合体的结构特征 题点三几何体中的计算问题 [典例]如图①②所示的图形绕虚线旋转一周后：[典例]已知球的两个平行截面的面积分别为5π 形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组 和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这 成的？ 个球的半径 /方法技巧/ 判断旋转体结构特征的方法 …/方法技巧/ (1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由 (1)用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何 平面图形绕哪条直线旋转所得. 体，注意抓住截面的性质（与底面全等或相似）， (2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成 同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面（轴截 的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出 面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构造 平面图形的模型来分析旋转体的形状. : 相关几何变量的方程（组）而得解· 对点训练 (2)利用球的截面，将立体问题转化为平面问题 是解决球的有关问题的关键 1.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线 旋转一周，所得的几何体包括 ( 对点训练 A.一个圆台、两个圆锥 一个圆台的母线长为12cm,两底面面积分别为 B.两个圆柱、一个圆锥 4πcm2和25πcm2,求： C.两个圆台、一个圆柱 (1)圆台的高； D.一个圆柱、两个圆锥 (2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长. 2.描述下列几何体的结构特征. 。。 图(1) 图(2) 图(3) 63 数学 必修第二册 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知圆锥的底面半径为，√2，其侧面展开图为一个 在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人或 半圆，则该圆锥的母线长为 ( 动物推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动.若人或动 A.2 B.2√2C.4 D.4√2 物推动木柄绕圆盘转动一周，碌碡恰好滚动了3 2.若圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3： 圈，则该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比 倍，轴截面的面积等于392cm2,母线与轴的夹角： 为 是45°，则这个圆台的高为 cm. A.1:2 B.1:3 3.如图所示，已知圆锥SO中，底面 C.1:4 D.2:3 半径r=1,母线长1=4，M为母 5.如图是某机械零件的几何结构， 线SA上的一个点，且SM=x, 该几何体是由两个相同的直四 从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧 棱柱组合而成的，且前后、左右、 面转到点A.则绳子的最短长度 上下均对称，每个四棱柱的底面 的平方f(x)的表达式为 都是边长为2的正方形，高为4， 4.碌碡是我国古代人民发明 且两个四棱柱的侧棱互相垂直，则这两个四棱柱 的一种把米、麦、豆等粮食 的表面相交的交线段总长度为 加工成粉末的器具，如图， 温馨提示 请做课时分层检测（十九） 近似圆柱形碌碡的轴固定 8.2 立体图形的直观图 明学习目标 知结构体系 课标 能用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、球、圆 由平面图形的直观 斜二测画法 平行性原则 要求 柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图 图画原图 平面图形的 个 直观图 长度变化原则 立体图形的直观图 简单几何体 在应用斜二测画法画几何体的直观图的过程中，经 0 的直观图 画直观图的步骤 素养 平面图形的面积与 历由空间到平面，再由平面到空间的转换过程，发 要求 其直观图的面积间 简单组合体 展数学抽象素养和直观想象素养。 的关系 的直观图 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.直观图 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中 直观图是观察者站在 观察一个空间几 画线 分别画成平行于 的线段 何体获得的图形.在立体几何中，立体图形的直 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持 观图通常是在 下得到的平面图形 长度 ,平行于y轴的线段，长度为原来的 2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图 规则 的步骤 3.空间几何体直观图的画法 步骤 画法要求 (1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一 个 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交 轴，直观图中与之对应的是 于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴与y 轴 建系 轴，两轴相交于点O',且使∠x'Oy'= (或 (2)画底面：平面 表示水平平面，平面 ),它们确定的平面表示 和 表示竖直平面，按照平面图 形的画法，画底面的直观图. 64拓 :2.解图(1)所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体：图(2)所 解 (1)该几何体是四棱台 示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体：图(3)所 2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程” 的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体， 对点训练 题点三 1.D[将正三棱柱ABC-A1B,C沿侧棱展开，再拼 典例解如图，设这两个截面圆的半径分别为1,2， 接一次，如图所示，最短距离是六个小矩形拼成的 球心到截面的距离分别为d1,d,,球的半径为R, 矩形对角线的连线的长度，即为三棱柱的侧面上所 求路线的最小值.由已知，拼成的矩形的长等于6X4=24cm,宽等 则元r1=5元，元r=8元， 于10cm,所以最短路线为1=√24十10=26cm,故选D.] .=5,r5=8, 2.②④将正方体的六个面分别用“前”“后”“左”“右”“上”“下”标 又R=r+d=r十d 记，若记面NPGF为“下”，面PSRN为“后”，则面PQHG,MNFE, ∴.d-d=8-5=3, EFCB,DEBA分别为“右”“ 左”“前”“上” 按各面的标记折成正方 即(d1-d)(d1十d)=3, 体，则点D,M,R重合；点G,C重合；点B,H重合：点A,S,Q重合 故②④正确，①③错误，门 又d,-d,=1,4十4=8解得d=2, 1d-d2=1, d=1. 素养演练·提升技能 1,A[当摆放的几何体为正四面体时，所需木棒的根数最少，且满足！ ∴.R=√/+d=5+4=3, 由4个正三角形构成，此时需要木棒的根数为6.] 即球的半径等于3. 2.D[设正六棱柱为ABCDEF-A,BC,DE1F,以侧面AAB,B, ·对点训练 AAFF为底面矩形的阳马有E-AA1B1B,E,-AA1B,B,D-解 (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所 AA BB,D-AA BB,C-AA FF,C-AA FF,D-AA FF, 示) D1-AA1F1F,共8个；以对角面AA1CC,AAE1E为底面矩形的 由已知可得O1A=2cm,OB=5cm 阳马有F-AACC,F1-AACC,D-AACC,D1-AACC,B 又由题意知腰长为12cm, AA,EE,B1-AAEE,D-AA1EE,D1-AAEE,共8个，所以 所以高AM=/12-(5-2)2=3√/15(cm) 共有8+8-16（个）. (2)如图所示，延长BA,OO,CD,交于点S, 3.四棱柱[由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体 设截得此圆台的圆锥的母线长为1， 的形状应为四棱柱. 4.6[将三棱锥沿侧棱DA剪开，并将其侧面展 则由△SAO,∽△SB0,可得二12-2 开平铺在一个平面上，如图，线段AA,的长为所 解得l-20(cm), 求△AEF周长的最小值.取AA,的中点G,则 即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm DG⊥AA1,又∠ADG=60°，可求得AG=3,则 素养演练·提升技能 AA1一6，即截面三角形AEF周长的最小值 1.B「由题意知圆锥的底面周长为2②π.设圆锥的母线长为l,则πl 为6. 5.90[原来正二十面体的每一条棱都会保留，正二十面体每个面有3： =2√2π，即=2√2.故选B.] 条棱，每条棱属于两个面，所以共有3X20-30条棱，此外，每个面 2.14「圆台的轴裁面如图所示，设圆台上、下底面 半径分别为xcm,3.xcm,延长AA1交()，的延长 会产生3条新棱，共产生3×20=60条新棱，所以共有90条棱. 线于S.在Rt△S0A中，∠AS)=45°，则∠SA) 第二课时圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征 45°，所以S0=AO=3.x,所以(O1=2x,S赣面= 必备知识·自主梳理 (一)1.矩形的一边旋转轴垂直于轴平行于轴平行于轴的边 2(6x十2x)·2x=392,解得x-7.故圆台的高 棱柱和圆柱圆柱002.一条直角边圆锥S03.平行于 )1=14cm.] 圆锥底面底面与截面圆台O ·3.f(x)=x2+16(0≤x4)[将圆锥的侧面沿SA 即时小练 展开在平面上，如图所示，则该展开图为扇形，且 1.B2.D3.D4.圆柱 孤AA'的长度L就是圆O的周长，所以L一2π (二)半圆以它的直径圆心球心线段两点线段球O 即时小练 =2π，所以∠ASM= 2,由题意知绳子长度 1.(1)√/(2)/(3)× 2.①③ 的最小值为展开图中的AM,其值为AM=√/x2十16(0≤x4).所 (三)1.简单几何体 以f(x)=Af=x2+16(0≤x4). 即时小练 4.B[由题意，人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3图，因 1.B 为圆的周长为C一2πr,所以圆盘与碌碡底面圆的半径之比为3：1， 2.提示此几何体是由两个大圆柱、两个小圆柱和两个小圆台组合而· 所以圆柱形碌碡的高与其底面圆的半径之比约为3：1，所以该圆柱 成的 形碌碡的底面圆的半径与其高之比为1：3.门 关键能力·合作探究 :5,8√6「这两个四棱柱的表面相交，一共有8条线 题点一 段，根据对称性，每段都与OA相等.在等腰△(OAB 典例③④⑤[①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转 一周可得到圆台：②它们的底面为圆面：③④⑤正确.] 中，AB=2√2，AB边上的高为2，则OA=√6，所以 对点训练 交线段的总长度为8√6.] B 应以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转才可得 8.2立体图形的直观图 到圆锥，故①错：以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴 必备知识·自主梳理 旋转可得到圆台，故②错；用平行于圆锥底面的平面去裁圆锥，可得 1.某一点平行投影 到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面不能得到，故 2.45°135°水平面， 度不变一半3.(1)z (2)xO'y' 轴或轴原长 x'0'z1 (3)平 ③错：④正确.] 行性长度(4)虚线 题 典例解旋转后的图形如图所示，其中图①是由一个圆柱OO,和即时小练 两个圆台O0,Q,0,组成的：图②是由-个圆维O,0,-个圆柱1.S,「正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为 OO及一个圆台O1)3中挖去圆锥O,O组成的. 2:1. :2.A[平行于z轴（或在之轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都 与原来保持一致.] :3.D[因为∠DA'B=45°，由斜二测画法规则知∠DAB=90°，又四 边形ABCD'为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形，] 4.45°或135°[因为∠A的两边平行于x轴、y轴，故∠A=90°，在直 观图中，由斜二测画法规则知∠x'y'=45°或135°，即∠A'=45 或135， ① ② 对点训练 关键能力·合作探究 1.D 图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为典份解画法：Q)如图所示，取AB所在直线为轴，AB中点0为 旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2，包括一个圆柱、 两个圆锥.] 原点，建立平面直角坐标系，画对应的坐标系x'O'y',使∠x'O'y =45°. y D'ED 256