8 章末复习提升-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

第八章立体几何初步 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.在Rt△ABC中，C=90°，CA=√6，CB=√3，CD 是斜边的高线，现将ACD沿CD折起，使平面： ACD⊥平面BCD,则折叠后AB的长度为( ) A.2 B.5C.5 D.3 图1 图2 2.我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中， 把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱4.已知矩形ABCD中，AB=4,AD=3,点E是边 锥称为“阳马”.今有“阳马”P-ABCD,PA=AB= CD上的动点，将△ADE沿AE折起至△PAE, AD,E,F分别为棱PB,PD的中点.以下四个 使得平面PAB⊥平面ABC,过P作PG⊥AB,垂 结论： 足为G,则AG的取值范围为 ①PB⊥平面AEF,②EF⊥平面PAC,③平面5.已知△ABC中，∠A=交，AB=3,AC=6.如图， PBD⊥平面AEF;④平面AEF⊥平面PCD. 点D为斜边BC上一个动点，将△ABD沿AD 其中正确的是 ( A.①③B.①④C.②③D.②④ 翻折，使得平面AB'D⊥平面ACD.当BD= 时，B'C取到最小值 3.如图1，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,E,F 分别是BC,AD的中点，将四边形ABEF沿EF: 折起，使得二面角A1-EF-D的大小为120°（如图 B-7 2),则B1C= ;三棱锥B1-CDE的外接 球的表面积为 温馨提示 请做课时分层检测（三十二） 章末复习提升 一、系统认知·形成数学思维 (一)贯通知识体系和联系 现实世界中的物体 T 柱、锥、台、球的结构特征 空间几何体 立体图形的直观图 斜二测画法 柱、锥、台的表面积、体积 柱、锥、台、球的表面积和体积 球的表面积与体积 平面的基本性质 空间点、直线、 空间中直线与直线的位置关系 空间中直线、平面的平行 平面的位置关系 空间中直线与平面的位置关系 空间中直线、平面的垂直 空间中平面与平面的位置关系 空间平行、垂直关系之间的转化 直线与直线平行 判定 性质 直线与平面平不判定 平面与平面平行 性质 性质 性质 直线与直线垂直 判定 判定 一直线与平面垂直 平面与平面垂直 性质 性质 (二)把握数学思想和方法 1.在研究直观图的画法，求几何体的表面积和体积以及在判断空间几何体的点、线、面的位置关系，直线 与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系的证明中，根据图形运算求解或证明体现了数形结 合的思想. 101 数学必修第二册 2.在本章中化归思想无处不在，解决空间问题的基本思想就是将空间问题转化为平面问题解决，如平面 图形与直观图形的互化，“要证线面平行，先证线线平行”“要证面面平行，先证线面平行”“要证线面垂 直，先证线线垂直”“要证面面垂直，先证线面垂直”，求二面角的大小，应先化为平面角的大小，求线面 角，应化为求直线与其平面内的射影所成的角，求异面直线所成的角，应化为求其平行线所成的角.都 体现了转化与化归思想. 3.在立体几何中，求几何体的棱长、角、底面半径，常用方程思想；求一些几何体的面积或体积的最值时， 一般要先表示出其面积和体积，常常要用到函数的思想 二、把握重点·常考题型集训 题型一空间几何体的表面积与体积 /题型技法/ 空间几何体的表面积与体积的求法 1.将边长为4cm和8cm的矩形纸片卷成一个圆： (1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合 柱的侧面，则圆柱的轴截面的面积为( 体的表面积注意衔接部分的处理. A.32 cm2 B.32 cm2 (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的 元 应用 C.32 cm2 D16 cm2 (3)求复杂几何体的体积常用割补法、等积法求 解 2.《九章算术》是我国古代 内容极为丰富的数学名 题型二空间中的平行关系 著，书中有如下问题：“今 有委米依垣内角，下周八 1.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列直线 或平面与平面ACD1平行的是 ( 尺，高五尺.问：积及为米 A.直线A1B B.直线BB1 几何？”其意思为：“在屋 C.平面A1DC D.平面A1BC 内墙角处堆放米（如图所示，米堆为一个圆锥的： 四分之，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为2.如图所示，在直四棱柱ABCD 5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知： A1B1C1D1中，底面ABCD是梯 形，AB∥CD,CD=2AB,P,Q分 1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3， 估算出堆放的米约有 别是CC1,C1D1的中点，求证：平 ( ) A.14斛B.22斛 C.36斛 D.66斛 面AD1C∥平面BPQ. 3.如图，在多面体ABCDEF E 中，已知ABCD是边长为1 的正方形，且△ADE, D △BCF均为正三角形，EF ∥AB,EF=2,则该多面体 的体积为 A号 B.③ c号 D是 4.球面上有A,B,C,D四个点，若AB,AC,AD两3.已知M,N分别是底面为平行四边形的四棱锥 3 P-ABCD的棱AB,PC的中点，平面CMN与平 两垂直，且AB=AC=AD=4,则该球的表面积： 面PAD交于PE. ) 求证：(1)MN∥平面PAD; .0 B.32π C.42π D.48π (2)MN∥PE. 5.已知底面半径为√3cm,母线长为√6cm的圆柱，： 挖去一个以圆柱的上底面圆心为顶点、下底面为 底面的圆锥，则所得几何体的表面积为 cm2. 6.用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面： 积为π，则球的体积为 102 第八章立体几何初步 题型三空间中的垂直关系 : 题型四空间角的求法 1.把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则1.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1 折叠后的△ABC是 ( 中，D为A1B1的中点，AB=BC A.等边三角形 B.直角三角形 =2,BB1=1,AC=2√2，则异面 C.锐角三角形 D.钝角三角形 直线BD与AC所成的角为 2.（多选)在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列说法正确 B 2.如图，在三棱锥PABC中，PA=AC 的是 =BC,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°， A.A1C1⊥BD O为PB的中点，则直线CO与平面 B.B1C与BD所成的角为60 PAC所成角的余弦值为 C.二面角A1-BCD的平面角为45 3.如图，正方体的棱长为1，B'C∩BC D.AC1与平面ABCD所成的角为45 =O,求： 3.如图所示，已知AF⊥平面 (1)AO与A'C'所成角的 D ABCD,四边形ABEF为矩 大小； A 形，四边形ABCD为直角梯 (2)AO与平面ABCD所成 形，∠DAB=90°，AB∥CD, 角的正切值； D. AD=AF=CD=2,AB=4. (3)平面AOB与平面AOC 求证：(1)AC⊥平面BCE; 所成角的大小 (2)AD⊥AE. /题型技法/ 求角度问题时，无论哪种情况最终都归结到两 条相交直线所成的角的问题上，求角度的解题 步骤是： (1)找出这个角；(2)证该角符合题意；(3)构造 出含这个角的三角形，解这个三角形，求出角. 空间角包括以下三类： ①找两条异面直线所成的角，关键是选取合适 /题型技法/ 线线垂直、线面垂直、面面垂直相互间的转化 的点引两条异面直线的平行线，这两条相交直 线所成的锐角或直角即为两条异面直线所成 线线垂直 的角. 线面垂直判定定理 垂直定义 面面 ②求直线与平面所成的角关键是确定斜线在平 面内的射影. 定 ③求二面角关键是作出二面角的平面角，而作 面面垂直性质定理 二面角的平面角时，首先要确定二面角的棱，然 、线面垂直： 面面垂直判定定理 (面面垂直 后结合题设构造二面角的平面角. 103题点四 ABCE,所以PG⊥AG,在△PAG中，PA=3,AG=x,所以PG= 典例证明(I)在平面ABC内取一点D,作DFLAC于点F, PA2-AGY=9-x2,① ,平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC,DFC平 因为EG=9+(y-x)2,PE=y,在△PGE中，PG=PE-EG= 面ABC, H y2-9-(y-x)2,② ∴.DF⊥平面PAC PAC平面PAC,∴，DF⊥PA 联立①②可得9-x2=y-9-(y一x2,即x=9,因为3<y≤4， 作DG⊥AB于点G,同理可证DG⊥PA ,DG,DF都在平面ABC内，且DG∩DF=D, 所以9 <x<3.故AG的取植范国是[号，3）门 .PA⊥平面ABC (2)连接BE并延长交PC于点H. 5.后3尽[设∠BAD=a,a∈(0，受），作BE ,点E是△PBC的垂心，，PC⊥BE. 又AE⊥平面PBC,PCC平面PBC,.PCLAE. AD或AD的延长线于E,点，作CF⊥AD或AD .AE∩BE-E,AEC平面ABE,BEC平面ABE, 的延长线于F,点，则∠ACF=∠BAD=a,BE= ,∴，PC⊥平面ABE 3sin a,AE=3cos a,CF=6cos a,AF=6sin a,.'. 又ABC平面ABE,.PC⊥AB. EF=AF-AE=6sin a-3cos a,'B'C= 由(1)知PA⊥平面ABC,又ABC平面ABC, /BE+CF+EF=/45-18sin2a,∴.当sin2a ,∴.PA⊥AB. .PA∩PC=P,PAC平面PAC,PCC平面PAC, =1,即a=于时，BCm=3尽，此时AD是∠BAC的角平分线.由 ,.AB⊥平面PAC. 又ACC平面PAC, 角平分线定理或者面积比可得然-肥 ∴，AB⊥AC,即△ABC是直角三角形 对点训练 3BC-号VAB+AC=5.] 证明(1)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于这两个平面 章末复习提升 的交线AD,PAC平面PAD, 二、把握重点·常考题型集训 所以PA⊥平面ABCD. 题型一 (2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点， 1.A「当以4cm为母线长时，设圆柱底面半径为r,则2πr=8,.2r= 所以AB∥DE,且AB=DE, 8 所以四边形ABED为平行四边形， 是S。=4X员=3是(cm).当以8cm为母线长时，设图柱底 所以BE∥AD 又BE中平面PAD,ADC平面PAD 面半径为R,则2πR-4,2R=4 S我6=8X4=2(cm).综 所以BE∥平面PAD. (3)因为AB⊥AD,由(2)知四边形ABED为平行四边形，所以BE: 上，圆柱的轴截面的面积为32cm.] ⊥CD,ADCD. !2.B[米堆的体积即为四分之一圆锥的体积，设圆锥底面半径为r,则 由(1)知PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD 因为PA∩AD=A,PAC平面PAD,ADC平面PAD,所以CD⊥平 子×2xr=8,得，只，所以来堆的体积为号×X5(立 9 面PAD,又PDC平面PAD,所以CD⊥PD 因为，点E,F分别是CD,PC的中点，所以PD∥EF 方尺)，320÷1.62≈22（解）.] 0 所以CD⊥EF,又EF∩BE=E,EFC平面BEF,BEC平面BEF, ！3.A[如图，分别过点A,B作EF的垂线，垂足分 G H 所以CD⊥平面BEF. 别为G,H,连接DG,CH,容易求得EG=HF 因为CDC平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD 素养演练·提升技能 合AG=GD=BH=HC-复取AD的中点 1.C「在直角三角形ABC中，C=90°，CA=√石，CB √5，可得AB=√6+3=3，由射影定理可得AC= 0,连接G0,易得G0= 2 ,∴.SAAGD=S△BHe= AD·AB,即6=3AD,可得AD=2,BD=AB-AD 1 =3-2=1.如图，由于平面ACD⊥平面BCD,AD 2 行多面体的体积V=V三钟E-Ac十V三F-H十 CD,ADC平面ACD,平面ACD∩平面BCD=CD, C 所以AD⊥平面BCD,即有AD⊥BD,所以AB=√/AD+BD= V三AGD-BHC=2V三维E-ADG十V三柱AGD-BHC=了 √4+I=√5.] 2.D由PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,可得PAAB,又PAI =AB,E为PB的中点，可得AE⊥PB,由EF为△PBD的中位线，：4.D[由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，设球的 可得EF∥BD,而PB与BD不垂直，即PB与 半径为R,由题意可得(2R)2=42十42十4，据此可得R2=12,外接 EF不垂直，所以PB⊥平面AEF不成立，故①错 球的表面积S=4元R=4π×12=48元.] 误，排除A、B:因为四棱锥底面为矩形，且AB一 AD,所以四边形ABCD为正方形，可得BD 5.(3十6√2+3√)π[如图所示，圆锥的母线长为 AC,由PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,可 √/（√6）2+(W3)2=3(cm),所得几何体的表面积为S 得PA⊥BD,而PA∩AC=A,PAC平面PAC ACC平面PAC,所以BD⊥平面PAC,由EF∥ S点十S柱制十S继制=π（√3）+2π×V5×V6+元X3X3 BD,可得EF⊥平面PAC,故②正确：由PA=AD,PA⊥AD,F为 =(3十6√2+3√3)π(cm).] PD的中，点，可得AF⊥PD,由CD⊥AD,CD⊥PA,AD∩PA=A, 6.20y5π[用平面去截球所得截面的面积为，所以截 ADC平面PAD,PAC平面PAD,可得CD平面PAD,而AF二平 面PAD,所以CD⊥AF,又CD∩PD=D,CDC平面PCD,PDC平 面圆的半径为1.已知球心到该截面的距离为2，所以球的半径为 面PCD,则AF⊥平面PCD,而AFC平面AEF,则平面AEF⊥平面 PCD,故④正确，故远D.] V+2=5,所以球的体积为V-冬X(-20x.] 3.2V520π[B,C=√/EC+BE-2EC·B,Eaos120° !题型二 i1.AD如图，由A1B∥DC,且A1B吐平面ACD1 =√/4+4-2X2×2×(-)】 =25. DCC平面ACD1,故直线A1B与平面ACD,平 ,EF⊥BE,EF⊥EC,B1E∩EC-E,BEC平面BEC,ECC平面 行，故A正确：BB,∥DD1,DD1与平面ACD1相 B1EC,∴.EF⊥平面B1EC.又EF∥CD,∴.CD⊥平面B1EC. 交，故直线BB1与平面ACD1相交，故B错误；由 B C 图，显然平面A1DC1与平面ACD相交，故C错 △B,EC的外接圆半径r 2 sin/B,EC-2,则三棱锥B,-CDE的外 误：由A1B∥D1C,AC∥AC,且AB∩AC1 A,AC∩D,C=C,故平面ABC与平面ACD,平行，故D正确.] 接球半径R三十(C?)V4中T=√5，∴三棱维B-CDE的尔 2.证明：DQ∥CD,DQ=2CD, 接球的表面积为4π×（√5）2=20元.] 4.[号，3）[设AG=,DE=,因为E为CD上 AB∥CD,AB=2CD,∴.D1Q∥AB,且DQ=AB, ∴.四边形DQBA为平行四边形，DA∥QB. 的动点，平面PAB⊥平面ABC,PG⊥AB,PGC 又D1A中平面BPQ,QBC平面BPQ, 平面PAB,AB为平面PAB与平面ABCE的交 D ∴.DA∥平面BPQ 线，所以PG⊥平面ABCE,图为AGC平面 .Q,P分别为D1C1,CC的中点，∴.QP∥DC 268 同理可得D,C∥平面BPQ, 又D,C∩DA=D,DCC平面AD,C,DAC平面ADC,∴.平面 sin∠OAC-OC。1 AC ADC∥平面BPQ. ∴.∠OAC=30°.即AO与A'C‘所成角为30° 3.证明(1)如图，取DC的中点Q,连接MQ,NQ, (2)如图，作OE⊥BC于E,连接AE. ,NQ是△PDC的中位线， ,'平面BC⊥平面ABCD,平面BC∩平面AB .NQ∥PD. CD=BC,OEC平面BC, 'NQ中平面PAD,PDC平面PAD, ,.E⊥平面ABCD, .NQ∥平面PAD. ,.∠OAE为OA与平面ABCD所成的角. D. M是AB的中，点，四边形ABCD是平行四边形， 在Rt△OAE中， ,'.MQ∥AD. MQ吨平面PAD,ADC平面PAD, OE- ∴.MQ∥平面PAD. .'MQ∩VQ=Q,MQC平面MNQ,NQC平面MNQ, tan∠OAE-OE-5 AE 5 ,.平面MVQ∥平面PAD. .'MNC平面MNQ,.MN∥平面PAD. 即AO与平面ABCD所成角的正切值为 (2),平面MNQ∥平面PAD,平面PEC∩平面MNQ=MN,平面 51 PEC∩平面PAD=PE, (3)由(1)可知OC⊥平面A(OB. ∴.MN∥PE. 又OCG平面AOC, 题型三 .平面AOB⊥平面AOC 1.A[如图①，设正方形ABCD的边长为1，AC与BD相交于点O,1 故平面AOB与平面A(O℃所成的角为90° 则折成直二面角后如图②，AB=BC=1,AC=√C)'十AO= 第九章统计 √()+（慢） =1,则△ABC是等边三角形.] 9.1.1简单随机抽样 必备知识·自主梳理 (一)调查 抽取一部分个体调查对象那部分个体个体数 即时小练 ·1.C[了解玉米种子的发芽情况，是具有破坏性的调查，因而适合抽 样调查：了解全班同学是否给父母洗过脚，调查的对象比较少，容易 图①) 图② 调查，因而适合全面调查：了解某批东风导弹的射程是具有破坏性 2.ABC[连接BD,A1D,AC(图略).AC⊥BD且BD1∥： 的调查，因而适合抽样调查；了解全国中学生安全自救知识的掌握 情况，人数太多，不适合全面调查，应用抽样调查，故四位同学所列 BD,∴，AC1⊥BD,.A正确：BC∥A1D,BC与BD所成的角即为 ∠A1DB=60,B正确；∠ABA即为二面角A1-BCD的平面角，2.ACD 举的事例的调查方式错误的是小夏，] ∠ABA=45,C正确，：CC⊥平面ABCD,:∠CAC为AC(二)1.逐个相等未进入样本的各个个体2.不透明搅拌 与平面ABCD所成的角，.CC1≠AC,∴.∠C1AC≠45，.D错误.] 3.(1)相等重复 3.证明(1)在直角梯形ABCD中， 即时小练 AD=CD=2,AB=4. 1.AC[A中，平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个 所以AC=BC=2√2， 体数有限不相符，故错误：B中，一次性抽取不符合简单随机抽样逐 所以AC+BC=AB,所以AC⊥BC 个抽取的要求，故错误：C中，50名战士是最优秀的，不符合简单随 因为AF⊥平面ABCD,AF∥BE, 机抽样的等可能性，故错误：D符合简单随机抽样的要求，] 所以BE⊥平面ABCD,又ACC平面ABCD, 2.B[若样本具有很好的代表性，则每一个个体被抽取的机会相等， 所以BE⊥AC. 故需要对号签搅拌均匀， 又BEC平面BCE,BCC平面BCE,BE∩BC=B 3.B[在简单随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性都相等，与第 所以AC平面BCE. 几次抽样无关，故A,C,D不正确，B正确，门 (2)图为AF⊥平面ABCD,ADC平面ABCD, 所以AF⊥AD. eY点y卡空y N 又∠DAB=90°，所以AB⊥AD. 又AFC平面ABEF,ABC平面ABEF,AF∩AB=A, 所以AD⊥平面ABEF. 即时小练 又AEC平面ABEF,所以AD⊥AE 题型四 1.45[z=4X3+3X8士5X4+6X2≈4.5.] 3+2+4+2 1.60°「取BC1的中点E,连接DE,BE,DE∥AC1,AC1∥AC, ,,DE∥AC,,',异面直线BD与AC所成的角为∠BDE或其补角. 2.177[根据题意，可用样本均值近似估计总体均值=22×(180十 在△BDE中，BD=√2，BE=√2，DE=√2，，△BDE为等边三角形， 158+170+185+189+180+184+185+140+179+192+185+ ∴.∠BDE=60. 190+165+182+170+190+183+175+180+185+147)=177.] 关键能力·合作探究 顺点一 典例解析从100个零件中随机依次抽取5个做质量检验，符合简 单随机抽样的要求，故A是简单随机抽样；从100个零件中有放回 地抽取5个做质量检验，而简单随机抽样是不放回抽样，因此B不 是简单随机抽样：由于实数集里面有无限个实数，故从实数集中随 2 ,[如图，取PC的中点为E,连接EO,则OE∥ 机抽取10个数分析奇偶性，故C不是简单随机抽样；简单随机抽样 是等可能抽样，而从100个运动员中挑远优秀的10人参加比赛不 BC.PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,∴.PA⊥BC 是等可能的，故D不是简单随机抽样 又AC⊥BC,AC∩PA=A,ACC平面PAC,PAC平 答案A 面PAC,..BC⊥平面PAC.又OE∥BC,.OE⊥平面 对点训练 PAC,∴∠OCE为直线CO与平面PAC所成的角.设 解(1)不是简单随机抽样，因为样本总体数目不确定 PA=AC=BC=2,则OE=1,CE=√2，OC=√3，，∴.cos∠OCE- CE (2)不是简单随机抽样，因为简单随机抽样要求逐个不放回地抽取 OC 样本」 (3)不是简单随机抽样，因为这10名跳水队员是挑选出来的最优秀 的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等概率 3.解(1)A'C'∥AC. 抽样”的要求 ,'.AO与AC所成的角就是∠OAC (4)是简单随机抽样，因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体 AB⊥平面BC,OCC平面BC, 中逐个进行抽取的，是不放回、等概率的抽样. ∴.C⊥AB,又C⊥BO,AB∩BO=B, 题点二 AB,BOC平面ABO, !典例解(1)将30名志愿者编号，号码分别是01,02，…，30. ,.OC⊥平面AB). (2)将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签 又OAC平面ABO,.(OC⊥OA. (3)将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀， 在R△A0C中.0C-号AC-E (4)从盒中不放回地逐个抽取6个号签，使与号签上编号相同的志 愿者进入样本， 269