7.2.1 复数的加，减运算及其几何意义-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

关键能力·合作探究 题点 解之得-1<a<安 典例解复数z=(m2-2m一8)+(m2+3m-10)i的实部为m2一 2m-8,虚部为m2+3n-10. 故实数a的取值范因为(1，]门 (1)由题意得m2-2m一8=0，解得m=-2或m=4. 14.6[因为=lg(a2-4a十4)千(a2-3a十2)i为纯虚数，所以 (2)由题意，m2m-8<0, lg(0-4十0=0即C-40十解得a=3,此时=2i,由 3m2+3m-10>0, a2-3a十2≠0， 1a2-3a+2≠0,1 所以2<m<4,即m的取值范围为(2,4). 根与系数的关系得{b3十21，解得=3，所以4十=6.] (3)由题意，(m2-2n-8)(n2十3n-10)<0, 12ob=6i, 所以2<m<4或-5<m<一2， 5.解z∈C,zER,∴1-x∈R.由z-1=1-z得1 即n的取值范周为(2,4)U(一5，一2). z≥0，即z1,.A={xx1}. 2 （4④)由已知得m2-2m-8=m2+3m-10,故m=亏， :B={zz<1,z∈C,∴CuB=(zlz≥1，z∈C. A∩(CuB)等价于z∈A,且x∈CB, 对点训练 ∴.z1且z≥1，即z=1, 1.D[复数z=2022一i在复平面内对应的，点的坐标为(2022，一1)， 由复数模的几何意义知，复数：在复平面内对应的点组成的集合是 故在第四象限] 以原点O为圆心，1为半径的圆. 2.ACD「易知选项A、B、C、D中的点对应的复数分别为3+i,一2， 7.2.1复数的加、减运算及其几何意义 4i,一1一5i,因此A、C、D中的点对应的复数为虚数.] 必备知识·自主梳理 题点二 (一)1.(1)(a+c)+(b+d)i(2)(a-c)+(b-d)i2.(1)x十 典例解(1)由复数的几何意义知： (2)z1+(2十xg) 0A=(1,0),0B=(2,1),0C=(=1,2): :即时小练 ∴.AB-OB-OA=(1,1),AC-0C-OA=(-2,2), :1.BL根据复数的加法法则得1+2=(3十4i)十(3一4i)=6.] 12.D BC=OC-OB=(-3,1), :3.提示不能.如2十i->0,但2十i与i不能比较大小. ∴，AB,AC,BC对应的复数分别为1+i,-2十2i,-3+i !(二)对角线O2终点终点 (2).AB=√2，AC=2√2，|BC=/10, 即时小练 ∴.AB2+AC2=BC2, 11.B[:a=1十3,4=3十i,-=-2+2i,故-2在复平 ∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形. 面内对应的点（一2,2）在第二象限.] 12.提示 对点训练 z一(x,2∈C)的几何意义是复平面内的点Z到点Z。的 距离 1,D.[由复数的几何意义，得OA-(2,-3),O店=(-3,2)，BA=关键能力·合作探究 OA一OB=(2,-3)一（一3,2）=(5，一5)，所以BA对应的复数是5i题点 -5i.J 典例1+i（2w2①)原式=1-2+2)+3+1-3i1+i 2.解由复数的几何意义可知，O心=xOA+yOi (2)因为z1-=[(3x-4y)+(y-2x)i门-[(-2x十y)十(x-3y) 即3-2i-x(-1+2i)+y(1-i), =[(3.x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)ji=(5.x-5y) .3-2i=(y-x)+(2.x-y)i, +(-3.x十4y)i=5-3i, 2x=2,解得{， 由复数相等可得一x=3, 1y=4, 二3，年得{： 所以5x。5y=5, x+y=5. 所以=3-2i,2=一2十i, 题点三 则十2=1-i,所以十=√2.] 典例解(1)-5+i=√W3)+1=2,141=对点训练 解(1)原式=(3-10+2)+(-2+5+17)i=-5+201 (2)原式-(1-2+3-4+…+2009-2010+2011)+(-2+3 4+5--2010+2011-2012)i=1006-1007i. 所以x>2. !题点二 (2)法一：设z-x十yi(x,y∈R),则点Z的坐标为(x,y). 典例解(1)：A0=-OA,.A0所表示的复数为-3-21. 由x=z=2得/x+y=2, ,BC=AO,.BC所表示的复数为一3一2i. 即x2十y2=4. (2):CA=OA-OC,.CA所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)= 所以满足条件的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆 5-2i. 法二：由x=x1=2知OZ=2(0为坐标原点)， (3)对角线OB=OA+心，它所对应的复数x=(3+21)+(-2+4i)= 所以Z到原，点的距离为2. 1+6i,0B=/12+6=√W37. 所以满足条件的，点Z的集合是以原，点为圆心，2为半径的圆 !对点训练 对点训练 解(1)由于四边形ABCD是平行四边形，所以AC-Ai+AD,于 1.A[由题意可得x十i一2十yi,结合复数相等的充要条件可知 {T二2，则x=y=2.故x十yil=2+25=√4+4=22.] 是AD=AC-AB,又(1十4i)-(3+2i)=-2+2i,即AD对应的复数 x=y,1 是-2+2i. 2.x2+（y-1)2=4[法-：设x=x十i,x,y∈R : (2)由于DB-AB-AD,又(3+21)-(-2+2i)=5,所以DB对应的 z-i=1+3i=2,∴x+(y-1)i=2, 复数是5. 题点三 .√x+(y-1)=2,.x2+(y-1)2=4 典例解法一：设x1=a十i,x2=c十di(a,b,c,d∈R), 法二：由z一i=2,∴z到，点(0,1)的距离为2，∴2在复平面上对应 由题设知a2+b2=1,c2十2=1，(a十c)2+(b+d)2=2. 点(x,y)的轨迹方程为x2十（y一1)=4.] (ac)2+(bd)2=a2+2acc2+b2+-2bd+d2,:'.2ac2bd 素养演练·提升技能 =0. 1.BL设之=a十1十(1-a)i,则它在复平面内对应的点为(a十1,1一 :x1-22=(a-c)2+(i-d)2=a2+2+2+d2-(2ac+2bd)= ),又此点在第二象限，所以二8：解得a<-1门 2,21-2=√2. 2.C[:z=(x+1)+(x-3)i,x∈R,∴.|z=√/(x+1)2+(x-3)2 法二：作出x1,对应的向量OZ,OZ,使0Z+0Z,=O2, =√2x2-4x十10=√/2(x-1)2+8≥√8=2√2(x=1时取等号). a=a=1,又0Z,0Z不共线（若0Z,0Z共线，则a十=2 或0与题设矛盾)， ,.x的最小值为2√2.] ∴.平行四边形OZZZ,为菱形. 3(1,][由>，得++1>(+a, 又a1十=2，∠ZOZ=90°，即四边形OZ1ZZ2为正方形，故 则(1-2a)x2+(1一a)>0对x∈R恒成立， 当1一2a=0,即a=时，不等式子>0成立. :对点训练 !1.C[由z-4i=z十2，得x+(y-4)i=(x十2)+i,∴.x2+ 当1-2a≠0，即a≠号时， (y-4)2=(x+2)2+y,即x+2y=3,.2+4=2+2≥ 当且仅当1-2a>0, 2V2西=2√F-4厄，当且仅当x=2=是时，2r十型取得最 1-4(1-2a)(1-a2)<0, 小值4√2.] 253 2.解由于x+3-4i=x一(-3+4i)=1,所以在 1-i(1-i0(1-i0==- 复平面上，复数2对应的，点Z与复数一3十4ⅰ对应 (2)因为=2+22(1+)(1-D 4 2i,所以=之，即 的，点C之间的距离等于1，故复数之对应的，点Z的 z=一i故选A 集合是以C(一3,4)为圆心，1为半径的圆.而：表 答案(1)D(2)A 示复数之对应的点Z到原，点O的距离，又OC=5, -3 主！对点训练 所以点Z到原点O的最大距离为5十1=6，最小距 离为5-1=4. !1.0[原式=-2i- 4±》9+器+4i=-2-9+i=--2+ (1-2i)(1+21) 即xmx=6,zmim=4. 4i=0.] 素养演练·提升技能 1+i04+32_1+2i1+m1+31=-2+i. 1.AL设复数x与复平面内的点Z相对应，由△ABC的三个顶点所 2.解(1D法-：21--3 10 对应的复数分别为x1,2,x3及z一x1=x一2=z一3，可知 (1+i)(4+3i) 点Z到△ABC的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知， 法二：2-100-i (周)() i(4+3i)(2+i边= 5 点Z即为△ABC的外心， (-3+4i0(2+)=-10+5i--2+1 2.ACD[复数。-1十2i在复平面内对应的点为P,(1,2),A正确； 复数z。的共轭复数对应的点与点P。关于实轴对称，B错误：设z x十vi(x,y∈R),代入之-1=z-i,得(x-1)+i=x+(y 2原式-[1+·吉+[1-·景88气"0D (3-4i)i 1)i,即√/(x-1)2十y=√x2+(y-1),整理得y=x,即，点Z在 =(2i)9.1+（-21)·（-i）-8·21(1+2=8+8-16-16i= 直线y=x上，C正确；易知点P。到直线y=x的垂线段的长度即为 P,乙之间距离的最小值，结合平面几何知识知D正确.故选A,题点三 -16i. C、D. 3.100[因为x十i=(3十5cos0)+i(-4+5sin0),所以x2+y=典例解法-：因为x2+4x十6=0， (3+5cos02+(-4+5sin0)2=50+30cos0-40sin0=50+ 所以(x十2)2=一2， 因为（√2）2=(-2i)2=一2， 50cos(0+p,其中sin9=5,os9=号，又-1≤cos(0+p)≤1，所 所以x+2=2i或x十2=-V2i, 以(x2+y)mx=50+50=100.] 即x=一2十√2i或x=一2一√2i 4.2-i[复数，，所对应的点分别为A,B,C,设正方形的第四！ 所以方程x2十4x十6=0的根为x=一2士√2i. 个顶点D对应的复数为x十yi(x,y∈R).图为AD=O元一OA,所以！ 法二：由x2+4x十6=0知△=42一4×6=一80. AD对应的复数为(x十yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i,因为BC= 所以方程x2十4x十6=0无实数根. OC-OB,所以BC对应的复数为(-1一2i)一(-2十i)=1-3i因为 在复数范固内，设方程x2十4.x十6=0的根为x=a十bi(a,b∈R且 A市=花，所以它们对应的复数相等，即{二=1。解 b≠0)， y-2=-3, 则(a+i)2+4(a+bi)+6=0, 得x-2, 所以a2+2abi-b+4a+4bi+6=0, y=-1 整理得(a2-b2十4a十6)十(2ab十4b)i=0, 故点D对应的复数为2一i] 5.解设复数x=x十yi(x,w∈R), 所以8+40十6=0， 12ab+4b=0, 则x-4=(x-4)+yi, 又因为b≠0， 依题意，{V+y=25, {x-4=0且y≠0. 所以a-6+4a+6=0, 2a+4=0, 解得红=4或{=4 解得a=一2，b=土√2 y-2 y=-2, 故复数x=4十2i或4一2i. 所以x=一2士√2i, 7.2.2 复数的乘、除运算 即方程x2+4x+6=0的根为x=一2士√2i, 必备知识·自主梳理 法三：因为x2十4x十6=0 1.(1)(ac-bd)+(ad+bc)i(2)22311(2z3)a2+a13 x=二4生=4X6--2士/-2=-2士2 2.共轭复数 即时小练 对点训练 1.D[(2+2i)(1-2i)-2-4i+2i+4=6-2i.] 解设x=x是方程的实根，代入方程并整理得（后十k十2）十 21+)2(1+D_21+D=1+i.] 2.A[1台1-(1+D1- (2x。十k)i=0. 由复数相等的条件得x号十kxo十2-2xo十k-0, 21 212+号+ 5 解得{红。=B,或{=一区， k=-22k=22, =一 所以方程的实根为x=2或x=一√2， 关键能力·合作探究 相应的k的值为k=一2√2或k=2√② 题点一 素养演练·提升技能 典例(1)解(1-i)(1+i)十(2+i) =1-￥+4+4i+=5+4i. 1.A[x √/3+i -3+ii(1-√3i)i i(1十3i) (1-√5i)2(1-5i)2(1-√5)21-√5 4 (2)解析因为(1十3)(3一i)=3十8i一3-6十8i,则所求复数对应 的点为(6,8)，位于第一象限.故选A. 4 4 4之·=4] 答案A 对点训练 :2.B[因为=(1甲)】 1-i =-1,所以w=-1+1-1+1-1=-1.] 1.B[因为2=(1-i)(a+i)=a+1十(1一a)i,所以它在复平面内对 ;3.解设x=a+bi(a,b∈R),则(1-2i)z=(1-2i)(a十i)=(a十2b) 应的点为(a+11-a,又此点在第二象限，所以亡0：解得 十(b一2a)i又因为(1一2i)x是实数，所以b-2a=0,即b=2a,又 a<-1.] 1=5,所以a+8=5.解得8或红二所以=1+21或 1b=2 b=-2. 2.解(1)(3+i)(5+4i) -1-2i,所以2-1-2i或-1十2i,即z=士(1-2i). a(1+2i) =(11+17i) 1 -2-21 4.D[e“+i=a2m2+i=台十（号+b)i由题意 17√5-1111√5+17 知，号=-号-6，则3a十5动=0.] 2 2 (2)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25. 据0选择①，岂2-2士2 (3)(1-i)2-1-2i+=-2i. -4+3i(-4+3i)(3-4i) =-12+16i+9i+12=i. 题点二 选择②，3+41 (3+4i)(3-4i) 25 典例解析0-得+号-号-g1 选择@，二千可 (-1-i)2 1+2i-1=i 2 254数学必修第二册 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.若复数a+1十(1-a)i在复平面内对应的点在第5.设全集U=C,A={x||之-1|=1-x|,之∈ 二象限，则实数a的取值范围是 ( C),B={x|<1,x∈C},若之∈A∩(CUB),则 A.(-∞，1) B.(-0∞，-1) 复数之在复平面内对应的点组成的集合是什么 C.(1,+∞) D.(-1,+0∞) 图形？ 2.设复数之=(x十1)十(x-3)i,x∈R,则|x|的最 小值为 )1 A.1 B.2 C.22 D.4 3.已知复数1=x2十√2十1i,之2=(x2十a)i对于 任意x∈R均有|z1|>|2成立，则实数a的取 值范围是 4.已知复数0=1g(a2-4a+4)+(a2-3a十2)i (i为虚数单位，a∈R)为纯虚数，o和b是关于x 的方程x2一(3+2i)x十6i=0的两个根，则a十b 的值为 温馨提示 请做课时分层检测（十五） 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 明学习目标 知结构体系 课标 熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则，理解复数 复数加、减法的运算法则 要求 加、减法的几何意义。 复数的加、减运算 及其几何意义 复数加法的运算律 素养 通过本节课的学习，发展数学运算素养及数学抽象 复数加、减法的几何意义 要求 素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)复数加法与减法的运算法则 :3.若复数1，之2满足之1一之2>0，能否认为1>之2？ 1.复数加法、减法的运算法则 设1=a+bi,x2=c十di(a,b,c,d∈R)是任意两 个复数，则 （1)21十2= （2)之1一2= 2.复数的加法运算律 对任意1，之2，之3∈C,有 （1)之1十2= (二)复数加、减法的几何意义 (2)(1十2)十之3= 复数1十2是以02， 即时小练 复数加 法的几 OZ2为邻边的平行四边 1.已知复数之1=3十4i,2=3一4i,则1十2等于 何意义 形的 所对应 ( 的复数 A.8i B.6 复数1一之2是从向量 C.6+8i D.6-8i 复数减 OZ2的 指向向 2.已知复数+3i一3=3一3i,则之= 法的几 量0Z1的 的向 A.0 B.6i 何意义 C.6 D.6-6i 量Z2Z1所对应的复数 50 第七章复数 即时小练 :2.类比绝对值x一xo|的几何意义，|之一o|(之， o∈C)的几何意义是什么？ 1.已知复数1=1十3i,2=3十i(i为虚数单位).平 面内，1一2对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一复数的加、减运算 (2)对角线CA所表示的复数； (3)对角线OB所表示的复数及OB的长度. [典例](1)(1+3i)+(-2+i)+(2-3i) (2)已知1=(3x-4y)+(y-2x)i,2=(-2x+ y)十(x-3y)i,x,y为实数，若1-2=5-3i,则 21十2|= /方法技巧/ 1.复数的加、减运算类似于多项式的合并同 类项 /方法技巧/ (1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相 1.用复数加、减运算的几何意义解题的技巧 加减 (1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图 (2)把ⅰ看作一个字母，类比多项式加减中的合 形的变换转化成复数运算去处理： 并同类项 (2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给 2.对应复数的加法（或减法）可以推广到多个复 予几何解释，使复数作为工具运用于几何 数相加（或相减）的混合运算，运算的结果仍然 之中 是-个复数. 2.常见结论 在复平面内，之1，之2对应的点分别为A,B(O, 对点训练 A,B不共线)，之1十2对应的点为C,O为坐 计算： 标原点，则四边形OACB为平行四边形；若 (1)(3-2i)-(10-5i)+(2+17i); |1十2|=|1一之2|，则四边形OACB为矩 (2)(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+ 形；若|1|=|x2|,则四边形OACB为菱形； (2011-2012i). 若|之11=|之21且1十2|=|之1一2，则四 边形OACB为正方形， 对点训练 已知平行四边形ABCD中，AB与AC对应的复数 分别是3+2i与1+4i,两对角线AC与BD相交 于O点 (1)求AD对应的复数； 题点二复数加、减运算的几何意义 (2)求DB对应的复数. [典例]如图所示，平行四边形 OABC的顶点O,A,C对应复数分 别为0,3十2i,一2+4i,试求： (1)AO所表示的复数，BC所表示 的复数； 51 数学必修第二册 题点三复数模的综合问题 对点训练 [典例]设1,2∈C,已知之1|=|之2|=1，之1+：1.若复数之=x十yi(x,y∈R)满足z一4i=|z十2，则 之2|=√2，求之1-21. 2x十4v的最小值为 () A.2 B.4 C.4√2 D.16 :2.已知之∈C,且之十3-4i=1,求|之的最大值与 最小值. /方法技巧/ 两个复数差的模的几何意义 (1)川之一0|表示复数之，0对应的点之间的距 离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的 形式 (2)|之一o|=r表示以之0对应的点为圆心， 为半径的圆】 (3)涉及复数模的最值问题以及点的集合所表 示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数 表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方 法进行求解. 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.ABC的三个顶点所对应的复数分别为之1,2，：5.若复数之满足|=25，且之一4是纯虚数，求复 之3，复数之满足之一之1=之一之2|=|之一之3|，则 数之 之对应的点是△ABC的 ( A.外心B.内心C.重心D.垂心 2.(多选)已知复数o=1十2(1为虚数单位)在复平 面内对应的点为P。,复数之满足|之一1=之一， 下列结论正确的是 A.点P。的坐标为(1,2) B.复数o的共轭复数对应的点与点P。关于虚： 轴对称 C.复数之对应的点Z在一条直线上 DP,与：对应的点2问的距离的最小值为号 3.设实数x,y,0满足以下关系：x十yi=3十5cos0+ i(-4+5sin),则x2+y2的最大值是 4.复数1=1十2i,之2=-2十，之3 =一1一2i,它们在复平面内的对 应点是一个正方形的三个顶点， 如图所示，则这个正方形的第四 温馨提示 请做课时分层检测（十六） 个顶点对应的复数为 52