7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 1.若复数z满足z＋（3－4i）＝1，则z的虚部是（　　） A.－2 B.4 C.3 D.－4 2.（2024·贵州黔东南一模）已知复数z1＝12－3i，z2＝－9＋i，则z1＋z2的实部与虚部分别为（　　） A.3，－2 B.3，－2i C.2，－3 D.2，－3i 3.如图所示，在复平面内，复数z1，z2所对应的点分别为A，B，则｜｜等于（　　） A.｜z1｜－｜z2｜ B.｜z1｜＋｜z2｜ C.｜z1－z2｜ D.｜z1＋z2｜ 4.（2025·江苏南通阶段练习）在复平面内，O为原点，i为虚数单位，复数z对应的向量＝（1， 2），则｜z－i｜等于（　　） A.3 B. C.2 D. 5.（2024·丽水五校高一期中）已知复数z＝a＋bi（a，b∈R），i是虚数单位.若z－2＝2＋3i，则复数z的虚部为（　　） A. B.2 C.i D.2i 6.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足｜z－z1｜＝｜z－z2｜＝｜z－z3｜，则z对应的点是△ABC的（　　） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 7.复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则｜z1－z2｜的最大值是（　　） A.3－2 B.－1 C.3＋2 D.＋1 8.（多选）设复数z的共轭复数为，若z－＝－14i，｜｜＝5，则z可能为（　　） A.1－7i B.1＋7i C.－1－7i D.－1＋7i 9.（多选）已知复数z1＝2－2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P1，复数z2满足｜z2－i｜＝1，则下列结论中，正确的有（　　） A.点P1的坐标为（2，－2） B.＝2＋2i C.｜z1－z2｜的最大值是＋1 D.｜z1－z2｜的最小值是－1 10.著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601—1665）于1643年提出的平面几何极值问题：已知一个三角形，求作一点，使其到此三角形的三个顶点的距离之和最小.费马问题中所求的点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°的点P即为费马点.根据以上材料，若z∈C，则｜z－2｜＋｜z＋2｜＋｜z＋2i｜的最小值是（　　） A.2－2 B.2＋2 C.－1 D.＋1 二、填空题 11.计算：｜（3－i）＋（－1＋2i）－（－1－3i）｜＝ . 12.（2024·北京开学考试）已知复数z满足－z＝2i，则z的虚部为 . 13.（2025·河南开封模拟）已知复数z满足｜z＋2i｜＝｜z｜，写出一个满足条件的复数：z＝ . 三、解答题 14.计算：（1）（－7i＋5）－（9－8i）＋（3－2i）； （2）＋（2－i）－； （3）已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2. 15.在复平面内，A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求点D对应的复数z4及AD的长. 16.（2025·安庆一中高一期中）定义一种运算：（a，b）＝ac＋bd. （1）已知z为复数，且（3，＝7－3i，求｜z｜； （2）已知x，y为实数，（y＋sin 2x，2）－（1，sin2x）也是实数，将y表示为x的函数. 参 考 答 案 一、选择题 1.若复数z满足z＋（3－4i）＝1，则z的虚部是（　B　） A.－2 B.4 C.3 D.－4 解析： z＝1－（3－4i）＝－2＋4i. 2.（2024·贵州黔东南一模）已知复数z1＝12－3i，z2＝－9＋i，则z1＋z2的实部与虚部分别为（　A　） A.3，－2 B.3，－2i C.2，－3 D.2，－3i 解析： ∵z1＝12－3i，z2＝－9＋i，∴z1＋z2＝3－2i，其实部与虚部分别为3， －2. 3.如图所示，在复平面内，复数z1，z2所对应的点分别为A，B，则｜｜等于（　C　） A.｜z1｜－｜z2｜ B.｜z1｜＋｜z2｜ C.｜z1－z2｜ D.｜z1＋z2｜ 解析： ∵－＝，z1与对应，z2与对应，∴｜｜＝｜｜＝ ｜z1－z2｜. 4.（2025·江苏南通阶段练习）在复平面内，O为原点，i为虚数单位，复数z对应的向量＝（1， 2），则｜z－i｜等于（　D　） A.3 B. C.2 D. 解析： ∵复数z对应的向量＝（1， 2），∴z＝1＋2i，∴｜z－i｜＝｜1＋2i－i｜＝｜1＋i｜＝＝. 5.（2024·丽水五校高一期中）已知复数z＝a＋bi（a，b∈R），i是虚数单位.若z－2＝2＋3i，则复数z的虚部为（　A　） A. B.2 C.i D.2i 解析： z－2＝a＋bi－2（a－bi）＝－a＋3bi＝2＋3i，则解得则复数z的虚部为. 6.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足｜z－z1｜＝｜z－z2｜＝｜z－z3｜，则z对应的点是△ABC的（　A　） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析： ∵｜z－z1｜＝｜z－z2｜＝｜z－z3｜，∴复数z对应的点M到△ABC的三个顶点的距离相等，故复数z对应的点M是△ABC的外心. 7.复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则｜z1－z2｜的最大值是（　D　） A.3－2 B.－1 C.3＋2 D.＋1 解析： ｜z1－z2｜＝｜（1－sin θ）＋（cos θ＋1）i｜＝＝＝.∵－1≤cos≤1， ∴｜z1－z2｜max＝＝＋1. 8.（多选）设复数z的共轭复数为，若z－＝－14i，｜｜＝5，则z可能为（　AC　） A.1－7i B.1＋7i C.－1－7i D.－1＋7i 解析： 设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi，由题意可得解得或∴z＝1－7i，或－1－7i. 9.（多选）已知复数z1＝2－2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P1，复数z2满足｜z2－i｜＝1，则下列结论中，正确的有（　ABC　） A.点P1的坐标为（2，－2） B.＝2＋2i C.｜z1－z2｜的最大值是＋1 D.｜z1－z2｜的最小值是－1 解析： 复数z1＝2－2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P1，则P1（2，－2），＝2＋2i，A，B正确；由复数z2满足｜z2－i｜＝1，可得z2在复平面内对应的点的集合是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆，连接CP1，则｜z1－z2｜的最大值是 ｜CP1｜＋1＝＋1＝＋1，最小值是｜CP1｜－1＝－1， C正确，D错误. 10.著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601—1665）于1643年提出的平面几何极值问题：已知一个三角形，求作一点，使其到此三角形的三个顶点的距离之和最小.费马问题中所求的点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°的点P即为费马点.根据以上材料，若z∈C，则｜z－2｜＋｜z＋2｜＋｜z＋2i｜的最小值是（　B　） A.2－2 B.2＋2 C.－1 D.＋1 解析： 设z＝x＋yi（x，y∈R），则｜z－2｜＋｜z＋2｜＋｜z＋2i｜表示点Z（x，y）到△ABC三个顶点A（2， 0），B（－2， 0），C（0， －2）的距离之和.依题意结合对称性可知△ABC的费马点P位于虚轴的负半轴上，且∠APB＝120°，则∠PAO＝∠PBO＝30°.此时｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜＝×2＋（2－2tan 30°）＝2＋2. 二、填空题 11.计算：｜（3－i）＋（－1＋2i）－（－1－3i）｜＝　5　. 解析： ｜（3－i）＋（－1＋2i）－（－1－3i）｜＝｜（2＋i）－（－1－3i）｜＝｜3＋4i｜＝＝5. 12.（2024·北京开学考试）已知复数z满足－z＝2i，则z的虚部为　－1　. 解析： 设z＝a＋bi，则＝a－bi，由－z＝2i可得－z＝－2bi＝2i，∴b＝ －1，故z的虚部为－1. 13.（2025·河南开封模拟）已知复数z满足｜z＋2i｜＝｜z｜，写出一个满足条件的复数：z＝　1－i（答案不唯一，虚部为－1即可）　. 解析： 设z＝a＋bi（a， b∈R），则｜z＋2i｜＝｜a＋bi＋2i｜＝｜a＋（b＋2）i｜＝，｜z｜＝｜a＋bi｜＝，∵｜z＋2i｜＝｜z｜， ∴＝，∴a2＋（b＋2）2＝a2＋b2，化简得4b＋4＝0，解得b＝－1，∴满足条件的一个复数z＝1－i（答案不唯一，虚部为－1即可）. 三、解答题 14.计算：（1）（－7i＋5）－（9－8i）＋（3－2i）； 解：（－7i＋5）－（9－8i）＋（3－2i）＝－7i＋5－9＋8i＋3－2i＝（5－9＋3）＋（－7＋8－2）i＝－1－i. （2）＋（2－i）－； 解：＋（2－i）－＝＋i＋2－i－＋i＝＋i＝ 1＋i. （3）已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2. 解：z1＋z2＝2＋3i＋（－1＋2i）＝1＋5i，z1－z2＝2＋3i－（－1＋2i）＝3＋i. 15.在复平面内，A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求点D对应的复数z4及AD的长. 解：如图所示. 对应复数z3－z1，对应复数z2－z1，对应复数z4－z1.由复数加减运算的几何意义，得＝＋， ∴z4－z1＝（z2－z1）＋（z3－z1）， ∴z4＝z2＋z3－z1＝（5＋i）＋（3＋3i）－（1＋i）＝7＋3i. ∴AD的长为｜｜＝｜z4－z1｜＝｜（7＋3i）－（1＋i）｜＝｜6＋2i｜＝2. 16.（2025·安庆一中高一期中）定义一种运算：（a，b）＝ac＋bd. （1）已知z为复数，且（3，＝7－3i，求｜z｜； 解：（1）设z＝a＋bi（a，b∈R）， ∵（3，＝3z＋4＝3（a＋bi）＋4（a－bi）＝7a－bi＝7－3i，∴ 即则z＝1＋3i，故｜z｜＝＝. （2）已知x，y为实数，（y＋sin 2x，2）－（1，sin2x）也是实数，将y表示为x的函数. 解：（2）（y＋sin 2x， 2）－（1， sin2x）＝（2y－sin x）＋（y＋sin 2x－2sin2x）i为实数，则y＋sin 2x－2sin2x＝0， ∴y＝－sin 2x＋2sin2x＝－sin 2x＋2×＝－（sin 2x＋cos 2x）＋＝－2sin（ 2x＋）＋. 学科网（北京）股份有限公司 $