7.1.2 复数的几何意义-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

第七章复数 /方法技巧/… :2.求解下列各题： 复数相等问题的解题技巧 (1)若(4x-2y)i=x+1,求实数x,y的值； (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与 (2)若不等式m2-(m2-2m)i<9+m一21成立， 实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解！ m (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实 求实数m的值. 数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也 是复数问题实数化思想的体现： 对点训练 1.已知关于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0 有实数根，则实数m的值为 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.若复数(a2-a-2)十(a-1|-1)i(a∈R)不是5.已知i是虚数单位，若m为实数，1=m2十1十 纯虚数，则a的取值范围为 ( (m3+3m2+2m)i,2=4m+2+(m3-5m2+ A.a≠-1或a≠2B.a≠-1且a≠2 4m)i,那么使1>之2的m值的集合是什么？使 C.a≠-1 D.a≠2 1<之2的m值的集合又是什么？ 2.欧拉公式e0=cos0+isin0(e为自然对数的底： 数，i为虚数单位，0∈R)是瑞士著名数学家欧拉 发明的，ér十1=0是英国科学期刊《物理世界》！ 评选出的十大最伟大的公式之一.根据欧拉公式 可知，复数c1的虚部为 ( A.一 2 B号 C停D 3.已知复数之1=4-m2十(m-2)i,之2=入十2sin0十 (cos0一2)i(其中i是虚数单位，m,入，0∈R).若 之1为纯虚数，则实数m的值为 ;若之1= 之2，则实数入的取值范围为 a b 4.定义运算 =ad-bc,如果(x+y)+(x+3) c d 3x+2y i= (为虚数单位)，那么实数x,y -y 1 温馨提示 请做课时分层检测（十四） 的值分别为 7.1.2 复数的几何意义 明学习目标 知结构体系 复平面的概念 课标 理解复数的代数表示及其几何意义，掌握用向量的模表示复数模 要求 的方法，理解共轭复数的概念 复数 复数的几何意义 素养 通过对复数的代数形式及其几何意义的理解、复数模的运用、共 几何意 复数与向量的对应 复数的模 要求 轭复数的概念的理解，发展数学抽象及数学运算素养。 共轭复数 47 数学必修第二册 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)复数的几何意义 (2)记法：复数之=a十bi的模记作 1.复平面 (3)公式：|z|=|a+bi= 复平面 (4)模的几何意义：复数之的模就是复数之=a十 bi(a,b∈R)所对应的点之(a,b)到原点(0,0)的 实轴 -Z:a+bi 距离 2.共轭复数 (1)定义：当两个复数的实部 ,虚部 虚轴 时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不 2.复数的几何意义 等于0的两个共轭复数也叫做 一一对应 (1)复数之=a+bi(a,b∈R)← →复平面内 (2)表示：复数之的共轭复数用之表示，即如果之 的点 =a十bi(a,b∈R),那么= (2)复数之=a十bi(a,b∈R)一对 (3)性质：①()=之.②实数的共轭复数是它本 →平面向量 身，即=曰→x∈R 即时小练 即时小练 1.(1)原点是实轴和虚轴的交点. 1.已知复数之=一，则复平面内对应点Z的坐标为 ) (2)互为共轭的两复数的和是实数. () (3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚 A.(0,-1) B.(-1,0) 数 ( C.(0,0) D.(-1,-1) (4)复数2i的模为2. ( 2.若OZ=(0,-3),则OZ对应的复数为 A.0 B.-3 C.-3iD.3 :2.已知复数之=√2一3i,则复数的模之是( A.5 B.√5 C.6 3.已知O是坐标原点，向量OA,OB对应的复数分： D.√1I 3.若复数之=一2十i,则复数之的共轭复数乏等于 别是2十3i,1+2i,那么向量BA对应的复数是 () A.-2+i B.-2-i (二)复数的模及共轭复数 C.2+i D.2-i 1.复数的模 4.已知复数之=(m一3)十(m一1)i的模等于2，则 (1)定义：向量OZ的模叫做复数之=a十bi(a,b∈ 实数m的值为 R)的 或 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 /方法技巧/ 题点一复数与复平面内的点的关系 复数实部、虚部分别对应了复平面内相应点的横 [典例]在复平面内，若复数之=(m2一2m-8)十 坐标和纵坐标，在复平面内复数所表示的点所处 (m2+3m-10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在 的位置，决定了复数实部、虚部的取值特征. 第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y=x 上，分别求实数m的取值范围. 对点训练 1.复数之=2022-i在复平面内对应的点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 :2.(多选)给出下列复平面内的点，这些点中对应的 复数为虚数的是 ( A.(3,1) B.(-2,0) C.(0,4) D.(-1,-5) 48 第七章复数 2.已知复数1=-1十2i,2=1-i,x3=3-2i,它 题点二复数与复平面内向量的对应关系 们所对应的点分别是A,B,C,若OC=xOA+ [典例]在复平面内，A,B,C三点对应的复数分 yOB(x,y∈R),求x+y的值. 别为1,2+i,-1+2i. (1)求向量AB,AC,BC对应的复数； (2)判定△ABC的形状. 题点三复数的模的计算及其应用 [典例们已知复数1=5+i2=一2十气 1+3 (1)求之1及|之2|并比较大小； (2)设之∈C,满足条件之|=z1的复数之对应的 点Z的集合是什么图形？ /方法技巧/ 复数与平面向量的对应关系 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平 /方法技巧/ 面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复 (1)复数之=a+bi模的计算：|z=√a2十b2 数即为向量对应的复数.反之，复数对应的点确 (2)复数的模的几何意义：复数的模的几何意义 定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为 是复数所对应的点到原点的距离， 复数对应的向量. (3)转化思想：利用模的定义将复数模的条件转 (2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一 化为其实、虚部满足的条件，是一种复数问题实 般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实 现复数、复平面内的点、向量之间的转化 数化思想 对点训练 对点训练 !1.已知i为虚数单位，(1十i)x=2+yi,其中x,y∈ 1.设O是原点，向量OA,OB对应的复数分别为2一 R,则|x十yi= 3i,一3十2i,那么向量BA对应的复数是( A.2√2 B.2 C.4 D.2 A.-5+5i B.-5-5i 2.满足条件|之一=1十√3的复数之在复平面上 C.5+5i D.5-5i 对应的点(x,y)的轨迹方程为 49 数学必修第二册 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.若复数a+1十(1-a)i在复平面内对应的点在第5.设全集U=C,A={x||之-1|=1-x|,之∈ 二象限，则实数a的取值范围是 ( C),B={x|<1,x∈C},若之∈A∩(CUB),则 A.(-∞，1) B.(-0∞，-1) 复数之在复平面内对应的点组成的集合是什么 C.(1,+∞) D.(-1,+0∞) 图形？ 2.设复数之=(x十1)十(x-3)i,x∈R,则|x|的最 小值为 )1 A.1 B.2 C.22 D.4 3.已知复数1=x2十√2十1i,之2=(x2十a)i对于 任意x∈R均有|z1|>|2成立，则实数a的取 值范围是 4.已知复数0=1g(a2-4a+4)+(a2-3a十2)i (i为虚数单位，a∈R)为纯虚数，o和b是关于x 的方程x2一(3+2i)x十6i=0的两个根，则a十b 的值为 温馨提示 请做课时分层检测（十五） 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 明学习目标 知结构体系 课标 熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则，理解复数 复数加、减法的运算法则 要求 加、减法的几何意义。 复数的加、减运算 及其几何意义 复数加法的运算律 素养 通过本节课的学习，发展数学运算素养及数学抽象 复数加、减法的几何意义 要求 素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)复数加法与减法的运算法则 :3.若复数1，之2满足之1一之2>0，能否认为1>之2？ 1.复数加法、减法的运算法则 设1=a+bi,x2=c十di(a,b,c,d∈R)是任意两 个复数，则 （1)21十2= （2)之1一2= 2.复数的加法运算律 对任意1，之2，之3∈C,有 （1)之1十2= (二)复数加、减法的几何意义 (2)(1十2)十之3= 复数1十2是以02， 即时小练 复数加 法的几 OZ2为邻边的平行四边 1.已知复数之1=3十4i,2=3一4i,则1十2等于 何意义 形的 所对应 ( 的复数 A.8i B.6 复数1一之2是从向量 C.6+8i D.6-8i 复数减 OZ2的 指向向 2.已知复数+3i一3=3一3i,则之= 法的几 量0Z1的 的向 A.0 B.6i 何意义 C.6 D.6-6i 量Z2Z1所对应的复数 502.解依题意，A,B,C,D四岛的位置如图所示.设 北 A,C两岛相距x海里 （3m2- m-1=0解得{m=2 (m=- 2 因为C在A的北偏东60°方向，所以∠BAC (10-m-2m2=0, a=11 71 -60° 在△ABC中，由余弦定理得， 东 212=152+x2-2×15.xc0s60°， ∴a=11或a=-71 5 化简得x2-15.x-216=0, !对点训练 解得x-24或x 一9（舍去） 1 又因为C在D的东北方向， 1.2设a是原方程的实根，则d+I-2a+(3m-D=0,即(a2+a中 所以∠ADC=135°， 3n)-(2a+1)i=0, 在△ADC中，由正弦定理得 CD 所以{0土a十3m=0,解得 a= 2 sin 30 sin 135 12a+1=0, 所以m=] m=2' 所以CD=AC·sin30° 24×2 :2解(1)由两个复数相等的充要条件， sin135° ② 2 得8o.解得2： {y=-2, =12√2（海里）. 故实数x,y的值分别为-1，一2. 故C,D两岛间的距离为12√2海里. m2<9, 第七章复数 (2)依题意 m2-2n=0, m一2=0， 7.1.1数系的扩充和复数的概念 必备知识·自主梳理 -3<n3, (一)1.(1)虚数单位实部虚部(2)x2.(1)全体复数 得 n=0或n=2,因此m=2. 即时小练 (m=2,n≠0. 1.A,[两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则它们的实部、虚素养演练·提升技能 部分别相等，故A正确：B中，当a=0时，ai-0是实数，故B错误；！1.C[当复数(a2-a-2)十(a-1一1)i是纯虚数时，a-a一2=0 要使复数x十yi(x,y∈R)是实数，只需y=0,所以C错误；D中，当 且a-1-1≠0，解得a=-1,∴.复数(a2-a-2)+(a-1-1)i b=0时，复数a十bi是实数，故D错误.] (a∈R)不是纯虚数时，a≠-1.] 2.A[3i一√2的虚部为3，一3十√2i的实部为一3.∴.所求的复数z= 3-3i] 2.B[由欧拉公式得e=60s音n亭=号+共虚年为， (二)1.a=cb=d2.(1)b=0b≠0a=0 故选B.」 即时小练 1.2[因为复数(m一5m十6)+(m-3mi是纯虚教，所以㎡-5m十6=3.一-2[2,6][：1为纯虚数，4二0解得m=一2. m-2≠0， 0,m-3n≠0，解得n-2.] 2.12i[设y-ai(a是不为0的实数)，则1十ai=2.x-1十2i,所以{ 由=，得{4-m=+2sin0, m-2=cos0-2, {公二，一”解得2：所以=1=] 1a=2, ∴.λ=4-cos20-2sin0=sin0-2sin0+3=(sin0-1)2+2. 关键能力·合作探究 .-1sin1, 题点一 ∴.当sin0-1时，min=2;当sin0=-1时，入max=6, 典例BC[对于A,当b=0时，a十方=0为实数，故A错误；对于B,1 ,.实数λ的取值范圆是[2,6].] 若a十(b-1)i=3-2i,则a=3,b=-1,故B正确：对于C,若b=0, 4.-1,2[由ab =ad一bc,得 3x+2y i c d -y1 =3.x+2y+yi, 则a十i=a为实数，故C正确：对于D,i的平方为一1，故D错误.] 对点训练 故有(x+y)+(x+3)i=3.x+2y十vi AD[对于A,2i一√5的虚部为2，W5i-2的实部为一2，故所求复数 因为x,y为实数，所以{十v=3x十2y, 为2一2i,故A正确：对于B,两个虚数不能比较大小，故B错误；对 x+3=y, 于C,若x=一2，则x2-4=0,x2十3x十2=0，此时(x2一4)十(x2十1 3x十2)i=0,不是纯虚数，故C错误：显然，D正确，] 即经0解得{21门 1x+3=y, 题点二 15.解已知m为实数，1=m2+1十(m3十3m+2m)i,,=4m+2+ 典例解(1)当m,十3≠0， (n3-5n2+4n)i, {n2-2m-15≠0， 1>2,,为实数 即m≠5且n≠一3时，2是虚数. 当之1为实数时，m3+3n2十2m=0, 2当m-0, 解得n=0或m=-1或n=-2, ∴2=1或a=2或=5. (n一2n-15≠0， 当z。为实数时，m3一5n十4m=0, 即m=3或m=一2时，z是纯虚数 (3)当∫m十3≠0， 解得m=0或m=1或m=4, {m-2m-15=0,即m=5时，2是实数. .x2=2或=6或2=18. 上面n的公共值为n=0,此时1，同时为实数，即1=1,2=2， 拓展 解因为2>0，所以之为实数，需满足 ,使之1>的m值的集合是空集，使名1<2的m值的集合是{0. m2-m-6>0, 7.1.2复数的几何意义 n+3 必备知识·自主梳理 n2-2m-15=0, 解得n=5. :(-)2.(1)Z(a,b)(2)O2 m十3≠0 :即时小练 对点训练 1.A[复数z=一i的实部为0，虚部为-1，故复平面内对应点Z的坐 1.A[由(y-3y)+i(y∈R)是纯虚数，得y2-3y=0且y≠0，因此 标为(0，一1).故远A.] y=3.] 2.C[由复数的几何意义可知OZ对应的复数为-3i故选C.] 2.一1[因为复数之=1 +(-1)i是实数，且a为实数，则3.1+i[易知0i=(2,3),O成=1,2)，故BA-Oi-O成=(1,1)，所 5a2-1=0,解得a=-1.] 以向量BA对应的复数是1+i] a-1≠0， (二)1.(1)模绝对值(2)z或a十bi(3)√a2+2.(1)相等 题点三 典例解(1)x2-y2+2xyi=2i, 互为相反数共轭虚数(2)a一bi 六位20解得或 即时小 1,(1)√(2)√(3)×(4)W (y=1 1y=-1. (2)设方程的实数根为x=m, 2.D[x=√(W2)2+(-3)2=√T.] !3.B[因为复数x=一2十i,所以复数x的共轭复数x=一2-i1.] 则3m-受m-1=（10-m-2mi 14.1或3[依题意可得/(n-3)2十(m-1)2=2,解得m=1或3.] 252 关键能力·合作探究 题点 解之得-1<a<安 典例解复数z=(m2-2m一8)+(m2+3m-10)i的实部为m2一 2m-8,虚部为m2+3n-10. 故实数a的取值范因为(1，]门 (1)由题意得m2-2m一8=0，解得m=-2或m=4. 14.6[因为=lg(a2-4a十4)千(a2-3a十2)i为纯虚数，所以 (2)由题意，m2m-8<0, lg(0-4十0=0即C-40十解得a=3,此时=2i,由 3m2+3m-10>0, a2-3a十2≠0， 1a2-3a+2≠0,1 所以2<m<4,即m的取值范围为(2,4). 根与系数的关系得{b3十21，解得=3，所以4十=6.] (3)由题意，(m2-2n-8)(n2十3n-10)<0, 12ob=6i, 所以2<m<4或-5<m<一2， 5.解z∈C,zER,∴1-x∈R.由z-1=1-z得1 即n的取值范周为(2,4)U(一5，一2). z≥0，即z1,.A={xx1}. 2 （4④)由已知得m2-2m-8=m2+3m-10,故m=亏， :B={zz<1,z∈C,∴CuB=(zlz≥1，z∈C. A∩(CuB)等价于z∈A,且x∈CB, 对点训练 ∴.z1且z≥1，即z=1, 1.D[复数z=2022一i在复平面内对应的，点的坐标为(2022，一1)， 由复数模的几何意义知，复数：在复平面内对应的点组成的集合是 故在第四象限] 以原点O为圆心，1为半径的圆. 2.ACD「易知选项A、B、C、D中的点对应的复数分别为3+i,一2， 7.2.1复数的加、减运算及其几何意义 4i,一1一5i,因此A、C、D中的点对应的复数为虚数.] 必备知识·自主梳理 题点二 (一)1.(1)(a+c)+(b+d)i(2)(a-c)+(b-d)i2.(1)x十 典例解(1)由复数的几何意义知： (2)z1+(2十xg) 0A=(1,0),0B=(2,1),0C=(=1,2): :即时小练 ∴.AB-OB-OA=(1,1),AC-0C-OA=(-2,2), :1.BL根据复数的加法法则得1+2=(3十4i)十(3一4i)=6.] 12.D BC=OC-OB=(-3,1), :3.提示不能.如2十i->0,但2十i与i不能比较大小. ∴，AB,AC,BC对应的复数分别为1+i,-2十2i,-3+i !(二)对角线O2终点终点 (2).AB=√2，AC=2√2，|BC=/10, 即时小练 ∴.AB2+AC2=BC2, 11.B[:a=1十3,4=3十i,-=-2+2i,故-2在复平 ∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形. 面内对应的点（一2,2）在第二象限.] 12.提示 对点训练 z一(x,2∈C)的几何意义是复平面内的点Z到点Z。的 距离 1,D.[由复数的几何意义，得OA-(2,-3),O店=(-3,2)，BA=关键能力·合作探究 OA一OB=(2,-3)一（一3,2）=(5，一5)，所以BA对应的复数是5i题点 -5i.J 典例1+i（2w2①)原式=1-2+2)+3+1-3i1+i 2.解由复数的几何意义可知，O心=xOA+yOi (2)因为z1-=[(3x-4y)+(y-2x)i门-[(-2x十y)十(x-3y) 即3-2i-x(-1+2i)+y(1-i), =[(3.x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)ji=(5.x-5y) .3-2i=(y-x)+(2.x-y)i, +(-3.x十4y)i=5-3i, 2x=2,解得{， 由复数相等可得一x=3, 1y=4, 二3，年得{： 所以5x。5y=5, x+y=5. 所以=3-2i,2=一2十i, 题点三 则十2=1-i,所以十=√2.] 典例解(1)-5+i=√W3)+1=2,141=对点训练 解(1)原式=(3-10+2)+(-2+5+17)i=-5+201 (2)原式-(1-2+3-4+…+2009-2010+2011)+(-2+3 4+5--2010+2011-2012)i=1006-1007i. 所以x>2. !题点二 (2)法一：设z-x十yi(x,y∈R),则点Z的坐标为(x,y). 典例解(1)：A0=-OA,.A0所表示的复数为-3-21. 由x=z=2得/x+y=2, ,BC=AO,.BC所表示的复数为一3一2i. 即x2十y2=4. (2):CA=OA-OC,.CA所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)= 所以满足条件的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆 5-2i. 法二：由x=x1=2知OZ=2(0为坐标原点)， (3)对角线OB=OA+心，它所对应的复数x=(3+21)+(-2+4i)= 所以Z到原，点的距离为2. 1+6i,0B=/12+6=√W37. 所以满足条件的，点Z的集合是以原，点为圆心，2为半径的圆 !对点训练 对点训练 解(1)由于四边形ABCD是平行四边形，所以AC-Ai+AD,于 1.A[由题意可得x十i一2十yi,结合复数相等的充要条件可知 {T二2，则x=y=2.故x十yil=2+25=√4+4=22.] 是AD=AC-AB,又(1十4i)-(3+2i)=-2+2i,即AD对应的复数 x=y,1 是-2+2i. 2.x2+（y-1)2=4[法-：设x=x十i,x,y∈R : (2)由于DB-AB-AD,又(3+21)-(-2+2i)=5,所以DB对应的 z-i=1+3i=2,∴x+(y-1)i=2, 复数是5. 题点三 .√x+(y-1)=2,.x2+(y-1)2=4 典例解法一：设x1=a十i,x2=c十di(a,b,c,d∈R), 法二：由z一i=2,∴z到，点(0,1)的距离为2，∴2在复平面上对应 由题设知a2+b2=1,c2十2=1，(a十c)2+(b+d)2=2. 点(x,y)的轨迹方程为x2十（y一1)=4.] (ac)2+(bd)2=a2+2acc2+b2+-2bd+d2,:'.2ac2bd 素养演练·提升技能 =0. 1.BL设之=a十1十(1-a)i,则它在复平面内对应的点为(a十1,1一 :x1-22=(a-c)2+(i-d)2=a2+2+2+d2-(2ac+2bd)= ),又此点在第二象限，所以二8：解得a<-1门 2,21-2=√2. 2.C[:z=(x+1)+(x-3)i,x∈R,∴.|z=√/(x+1)2+(x-3)2 法二：作出x1,对应的向量OZ,OZ,使0Z+0Z,=O2, =√2x2-4x十10=√/2(x-1)2+8≥√8=2√2(x=1时取等号). a=a=1,又0Z,0Z不共线（若0Z,0Z共线，则a十=2 或0与题设矛盾)， ,.x的最小值为2√2.] ∴.平行四边形OZZZ,为菱形. 3(1,][由>，得++1>(+a, 又a1十=2，∠ZOZ=90°，即四边形OZ1ZZ2为正方形，故 则(1-2a)x2+(1一a)>0对x∈R恒成立， 当1一2a=0,即a=时，不等式子>0成立. :对点训练 !1.C[由z-4i=z十2，得x+(y-4)i=(x十2)+i,∴.x2+ 当1-2a≠0，即a≠号时， (y-4)2=(x+2)2+y,即x+2y=3,.2+4=2+2≥ 当且仅当1-2a>0, 2V2西=2√F-4厄，当且仅当x=2=是时，2r十型取得最 1-4(1-2a)(1-a2)<0, 小值4√2.] 253