7.1.2 复数的几何意义 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.1.2 复数的几何意义 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 1.（2025·黑龙江学业考试）如图所示，复平面内点P所表示的复数为（每个小方格的边长为1）（　　） A.2＋2i B.3＋i C.3＋3i D.3＋2i 2.（2024·云南红河阶段练习）已知复数z在复平面内对应的点的坐标为（－1， 2），则等于（　　） A.－1＋2i B.1＋2i C.1－2i D.－1－2i 3.设x＋xi＝1＋yi，其中x，y∈R，i为虚数单位，则x－yi在复平面内对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为（　　） A.－1＋i B.1－i C.－5－5i D.5＋5i 5.已知复数z的模为2，则｜z－i｜的最大值为（　　） A.1 B.2 C. D.3 6.已知复数z满足｜z｜2－2｜z｜－3＝0，则复数z对应的点的集合是（　　） A.1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆 7.（2024·河南开封阶段练习）若复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且 z1＝1＋i，则复数z2等于（　　） A.－1－i B.－1＋i C.1＋i D.1－i 8.（多选）已知复数z＝1＋i（其中i为虚数单位），则下列说法中，正确的有（　　） A.复数z的虚部为i B.｜z｜＝ C.复数z的共轭复数＝1－i D.复数z在复平面内对应的点位于第一象限 9.（多选）已知z1，z2为复数，则下列说法中，正确的有（　　） A.若z1＝z2，则｜z1｜＝｜z2｜ B.若z1≠z2，则｜z1｜和｜z2｜可能相等 C.若z1＞z2，则｜z1｜＞｜z2｜ D.若｜z1｜＞｜z2｜，则z1＞z2 10.欧拉公式eix＝cos x＋isin x（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占据非常重要的地位.特别是当x＝π时，eix＋1＝0被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，e5i表示的复数在复平面内位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 二、填空题 11.复数z＝x－2＋（3－x）i在复平面内的对应点位于第四象限，则实数x的取值范围是 . 12.复数z＝2＋ai（a∈R，i为虚数单位），在复平面内对应的点在直线x－3y＋1＝0上，则＝ . 13.（2025·广东广州期末）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，且｜z｜＝2，则z＝ （写出一个即可）. 三、解答题 14.在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模. ①z1＝1－i；　②z2＝－＋i；　③z3＝－2；　④z4＝2＋2i. 15.在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量＋与对应的复数及A，B两点之间的距离. 16.在复平面内画出复数z1＝＋i，z2＝－1，z3＝－i对应的向量，，，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面内的位置关系. 参 考 答 案 一、选择题 1.（2025·黑龙江学业考试）如图所示，复平面内点P所表示的复数为（每个小方格的边长为1）（　D　） A.2＋2i B.3＋i C.3＋3i D.3＋2i 解析： 由题意可知，点P的坐标为（3， 2），∴复平面内点P所表示的复数为3＋2i. 2.（2024·云南红河阶段练习）已知复数z在复平面内对应的点的坐标为（－1， 2），则等于（　D　） A.－1＋2i B.1＋2i C.1－2i D.－1－2i 解析： 由题意知，z＝－1＋2i，故＝－1－2i. 3.设x＋xi＝1＋yi，其中x，y∈R，i为虚数单位，则x－yi在复平面内对应的点位于（　D　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析： ∵x＋xi＝1＋yi，∴x＝y＝1，∴x－yi＝1－i，∴复数1－i在复平面内对应的点在第四象限. 4.设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为（　D　） A.－1＋i B.1－i C.－5－5i D.5＋5i 解析： 由题意知，＝（2，3），＝（－3，－2），∴＝－＝（5，5）， ∴向量对应的复数为5＋5i. 5.已知复数z的模为2，则｜z－i｜的最大值为（　D　） A.1 B.2 C. D.3 解析：∵｜z｜＝2，∴复数z对应的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 而｜z－i｜表示圆上一点到点（0，1）的距离，∴｜z－i｜的最大值为圆上一点 （0，－2）到（0，1）的距离，易知此距离为3. 6.已知复数z满足｜z｜2－2｜z｜－3＝0，则复数z对应的点的集合是（　A　） A.1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆 解析： 由题意知（｜z｜－3）（｜z｜＋1）＝0，即｜z｜＝3，或｜z｜＝－1.∵｜z｜≥0，∴｜z｜＝3，∴复数z对应的点的集合是以坐标原点为圆心，3为半径的圆. 7.（2024·河南开封阶段练习）若复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且 z1＝1＋i，则复数z2等于（　B　） A.－1－i B.－1＋i C.1＋i D.1－i 解析： 根据复数的几何意义，z1＝1＋i对应复平面的点是（1， 1），关于y轴对称得到的点是（－1，1），对应的复数是z2＝－1＋i. 8.（多选）已知复数z＝1＋i（其中i为虚数单位），则下列说法中，正确的有（　BCD　） A.复数z的虚部为i B.｜z｜＝ C.复数z的共轭复数＝1－i D.复数z在复平面内对应的点位于第一象限 解析： ∵复数z＝1＋i，∴其虚部为1，A错误；｜z｜＝＝，B正确；复数z的共轭复数＝1－i，C正确；复数z在复平面内对应的点为（1， 1），显然位于第一象限. 9.（多选）已知z1，z2为复数，则下列说法中，正确的有（　AB　） A.若z1＝z2，则｜z1｜＝｜z2｜ B.若z1≠z2，则｜z1｜和｜z2｜可能相等 C.若z1＞z2，则｜z1｜＞｜z2｜ D.若｜z1｜＞｜z2｜，则z1＞z2 解析： ∵当两个复数相等时，模一定相等，∴A正确；当两个复数不相等时，它们的模有可能相等，比如1－i≠1＋i，但｜1－i｜＝｜1＋i｜，∴B正确；若z1＞z2，则z1，z2为实数，当z1＝1，z2＝－2时，满足z1＞z2，但｜z1｜＜｜z2｜，C错误；∵两个虚数之间的关系只有相等与不相等，不能比较大小，∴D错误. 10.欧拉公式eix＝cos x＋isin x（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占据非常重要的地位.特别是当x＝π时，eix＋1＝0被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，e5i表示的复数在复平面内位于（　D　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析： ∵＜5＜2π，即5弧度的角位于第四象限，则cos 5＞0，sin 5＜0， ∴复数e5i＝cos 5＋isin 5在复平面内对应的点位于第四象限. 二、填空题 11.复数z＝x－2＋（3－x）i在复平面内的对应点位于第四象限，则实数x的取值范围是　（3，＋∞）　. 解析： ∵复数z在复平面内对应的点位于第四象限，∴解得x＞3. 12.复数z＝2＋ai（a∈R，i为虚数单位），在复平面内对应的点在直线x－3y＋1＝0上，则＝　2－i　. 解析： ∵复数z＝2＋ai（a∈R）在复平面内对应的点（2， a）在直线x－3y＋1＝0上，∴2－3a＋1＝0，即a＝1.∴z＝2＋i，则＝2－i. 13.（2025·广东广州期末）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，且｜z｜＝2，则z＝　－1＋i（答案不唯一）　（写出一个即可）. 解析： 设z＝a＋bi，a，b∈R，∵复数z在复平面内对应的点位于第二象限， ∴a＜0，b＞0，又｜z｜＝2，∴a2＋b2＝4，显然当a＝－1，b＝时，符合题意. 三、解答题 14.在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模. ①z1＝1－i；　②z2＝－＋i；　③z3＝－2；　④z4＝2＋2i. 解：在复平面内分别画出点Z1（1，－1），Z2， Z3（－2， 0），Z4（2， 2），则向量，，，分别为复数z1，z2，z3，z4对应的向量，如图所示. 各复数的模分别为｜z1｜＝＝；｜z2｜＝＝1； ｜z3｜＝＝2；｜z4｜＝＝2. 15.在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量＋与对应的复数及A，B两点之间的距离. 解：∵复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点， ∴＝（－3，－1），＝（5，1），∴＋＝（－3，－1）＋（5，1）＝（2，0）， ∴向量＋对应的复数是2， 又＝－＝（－3，－1）－（5，1）＝（－8，－2）， ∴对应的复数是－8－2i，A，B两点之间的距离｜｜＝＝2. 16.在复平面内画出复数z1＝＋i，z2＝－1，z3＝－i对应的向量，，,并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面内的位置关系. 解：根据复数与复平面内的点一一对应，可知点Z1，Z2，Z3的坐标分别为，（－1，0），，则向量，，， 如图所示. ｜z1｜＝＝1，｜z2｜＝｜－1｜＝1，｜z3｜＝＝1. 在复平面xOy内，点Z1，Z3关于实轴对称，且Z1，Z2，Z3三点在以原点为圆心， 1为半径的圆上. 学科网（北京）股份有限公司 $