7.1.1 数系的扩充和复数的概念-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

第七章 a P=20+2w 复数 lax 7.1.1数系的扩充和复数的概念 明学习目标 知结构体系 课标 通过方程的解，了解引进复数的必要性，认识复数 复数的概念 要求 理解复数的概念及复数相等的充要条件】 数系的扩充和 复数的概念 复数的分类 素养 通过理解复数的概念及复数相等的有关知识，发展 复数相等的含义 要求 数学抽象及数学运算素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)复数的概念及复数集 -- (二)复数相等及复数的分类 1.复数的定义及表示方法 1.复数相等 (1)定义：形如a十bi(a,b∈R)的数叫做复数，其 在复数集C={a+bila,b∈R}中任取两个数a+ 中i叫做 ,满足2=一1.其中a叫做复 数的 ,b叫做复数的 bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定：a+bi与c+di (2)表示方法：复数通常用字母 表示，即 相等当且仅当 之=a+bi. :2.复数的分类 2.复数集 实数( (1)定义： 所构成的集合C={a+bila,b∈ (1)复数a+bi R叫做复数集， 纯虚数()， (a,b∈R) 虚数( (2)表示：通常用大写字母C表示. 非纯虚数(a≠0). 即时小练 (2)集合表示： 1.下列说法正确的是 复数集 虚数集 A.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 纯虚 实数集 0,那么这两个复数相等 数集 B.ai是纯虚数(a∈R) C.如果复数x十yi(x,y∈R)是实数，那么x=0, 即时小练 y=0 D.复数a十bi(a,b∈R)不是实数 :1.复数(m2-5m十6)+(m2-3m)i是纯虚数，其中 2.以3i-√2的虚部为实部，以一3十√2的实部为虚： ⅰ是虚数单位，则实数m的值是 部的复数是 ( 2.若y为纯虚数，x为实数，且满足1十y=2x-1十 A.3-3i B.3+i 2i,则x= C.-√2+√2i D.√2+√2i y= 45 数学必修第二册 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 /方法技巧/ 题点一复数的概念 复数分类问题的求解方法与步骤 [典例]（多选)对于复数a十bi(a,b∈R),下列说： (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为 法正确的是 ( a十bi(a,b∈R)的形式，以确定实部和虚部. A.若a=0,则a十bi为纯虚数 (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的 B.若a十(b-1)i=3-2i,则a=3,b=-1 实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数 C.若b=0,则a十bi为实数 化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不 D.i的平方等于1 等式)即可 /方法技巧/ (3)下结论：设所给复数为之=a+bi(a,b∈R), l.对于复数的实部、虚部，不但要把复数化为a ①x为实数台b=0; 十bi的形式，更要注意这里a,b均为实数时，才 ②之为虚数b≠0： 能确定复数的实部、虚部. ③：为纯虚数台a=0且b≠0. 2.虚数不能比较大小，但实数可以.若两个复数 具有确定的大小关系（不含相等），则说明两个 对点训练 复数均为实数 1.若(y2-3y)+yi(y∈R)是纯虚数，则( 对点训练 A.y=3 B.y=3或y=0 C.y≠0 D.y≠3 (多选)下列命题正确的是 ( 2.已知复数之= A.以2i一5的虚部为实部，以√5i一2的实部为 。一十(a2-1)i是实数，则实数a 1 虚部的新复数是2一2i 的值等于 B.若a,b∈R,且a>b,则a十ib十i 题点三 复数相等及其应用 C.若(x2-4)+(x2+3.x十2)i是纯虚数，则实数 x=士2 [典例](1)已知x2-y2+2xyi=2i,求实数x,y D.实数集是复数集的真子集 的值； 题点二复数的分类 (2)关于x的方程3x2-号x-1=(10-x-2x2)万 有实根，求实数a的值. [典例门 当m为何实数时，复数之=m2一m-6 m+3 (m2-2m-15)i:(1)是虚数；(2)是纯虚数；(3)是 实数？ [拓展]若本例中条件不变，当m为何值时，之>0？ 46 第七章复数 /方法技巧/… :2.求解下列各题： 复数相等问题的解题技巧 (1)若(4x-2y)i=x+1,求实数x,y的值； (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与 (2)若不等式m2-(m2-2m)i<9+m一21成立， 实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解！ m (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实 求实数m的值. 数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也 是复数问题实数化思想的体现： 对点训练 1.已知关于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0 有实数根，则实数m的值为 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.若复数(a2-a-2)十(a-1|-1)i(a∈R)不是5.已知i是虚数单位，若m为实数，1=m2十1十 纯虚数，则a的取值范围为 ( (m3+3m2+2m)i,2=4m+2+(m3-5m2+ A.a≠-1或a≠2B.a≠-1且a≠2 4m)i,那么使1>之2的m值的集合是什么？使 C.a≠-1 D.a≠2 1<之2的m值的集合又是什么？ 2.欧拉公式e0=cos0+isin0(e为自然对数的底： 数，i为虚数单位，0∈R)是瑞士著名数学家欧拉 发明的，ér十1=0是英国科学期刊《物理世界》！ 评选出的十大最伟大的公式之一.根据欧拉公式 可知，复数c1的虚部为 ( A.一 2 B号 C停D 3.已知复数之1=4-m2十(m-2)i,之2=入十2sin0十 (cos0一2)i(其中i是虚数单位，m,入，0∈R).若 之1为纯虚数，则实数m的值为 ;若之1= 之2，则实数入的取值范围为 a b 4.定义运算 =ad-bc,如果(x+y)+(x+3) c d 3x+2y i= (为虚数单位)，那么实数x,y -y 1 温馨提示 请做课时分层检测（十四） 的值分别为 7.1.2 复数的几何意义 明学习目标 知结构体系 复平面的概念 课标 理解复数的代数表示及其几何意义，掌握用向量的模表示复数模 要求 的方法，理解共轭复数的概念 复数 复数的几何意义 素养 通过对复数的代数形式及其几何意义的理解、复数模的运用、共 几何意 复数与向量的对应 复数的模 要求 轭复数的概念的理解，发展数学抽象及数学运算素养。 共轭复数 472.解依题意，A,B,C,D四岛的位置如图所示.设 北 A,C两岛相距x海里 （3m2- m-1=0解得{m=2 (m=- 2 因为C在A的北偏东60°方向，所以∠BAC (10-m-2m2=0, a=11 71 -60° 在△ABC中，由余弦定理得， 东 212=152+x2-2×15.xc0s60°， ∴a=11或a=-71 5 化简得x2-15.x-216=0, !对点训练 解得x-24或x 一9（舍去） 1 又因为C在D的东北方向， 1.2设a是原方程的实根，则d+I-2a+(3m-D=0,即(a2+a中 所以∠ADC=135°， 3n)-(2a+1)i=0, 在△ADC中，由正弦定理得 CD 所以{0土a十3m=0,解得 a= 2 sin 30 sin 135 12a+1=0, 所以m=] m=2' 所以CD=AC·sin30° 24×2 :2解(1)由两个复数相等的充要条件， sin135° ② 2 得8o.解得2： {y=-2, =12√2（海里）. 故实数x,y的值分别为-1，一2. 故C,D两岛间的距离为12√2海里. m2<9, 第七章复数 (2)依题意 m2-2n=0, m一2=0， 7.1.1数系的扩充和复数的概念 必备知识·自主梳理 -3<n3, (一)1.(1)虚数单位实部虚部(2)x2.(1)全体复数 得 n=0或n=2,因此m=2. 即时小练 (m=2,n≠0. 1.A,[两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则它们的实部、虚素养演练·提升技能 部分别相等，故A正确：B中，当a=0时，ai-0是实数，故B错误；！1.C[当复数(a2-a-2)十(a-1一1)i是纯虚数时，a-a一2=0 要使复数x十yi(x,y∈R)是实数，只需y=0,所以C错误；D中，当 且a-1-1≠0，解得a=-1,∴.复数(a2-a-2)+(a-1-1)i b=0时，复数a十bi是实数，故D错误.] (a∈R)不是纯虚数时，a≠-1.] 2.A[3i一√2的虚部为3，一3十√2i的实部为一3.∴.所求的复数z= 3-3i] 2.B[由欧拉公式得e=60s音n亭=号+共虚年为， (二)1.a=cb=d2.(1)b=0b≠0a=0 故选B.」 即时小练 1.2[因为复数(m一5m十6)+(m-3mi是纯虚教，所以㎡-5m十6=3.一-2[2,6][：1为纯虚数，4二0解得m=一2. m-2≠0， 0,m-3n≠0，解得n-2.] 2.12i[设y-ai(a是不为0的实数)，则1十ai=2.x-1十2i,所以{ 由=，得{4-m=+2sin0, m-2=cos0-2, {公二，一”解得2：所以=1=] 1a=2, ∴.λ=4-cos20-2sin0=sin0-2sin0+3=(sin0-1)2+2. 关键能力·合作探究 .-1sin1, 题点一 ∴.当sin0-1时，min=2;当sin0=-1时，入max=6, 典例BC[对于A,当b=0时，a十方=0为实数，故A错误；对于B,1 ,.实数λ的取值范圆是[2,6].] 若a十(b-1)i=3-2i,则a=3,b=-1,故B正确：对于C,若b=0, 4.-1,2[由ab =ad一bc,得 3x+2y i c d -y1 =3.x+2y+yi, 则a十i=a为实数，故C正确：对于D,i的平方为一1，故D错误.] 对点训练 故有(x+y)+(x+3)i=3.x+2y十vi AD[对于A,2i一√5的虚部为2，W5i-2的实部为一2，故所求复数 因为x,y为实数，所以{十v=3x十2y, 为2一2i,故A正确：对于B,两个虚数不能比较大小，故B错误；对 x+3=y, 于C,若x=一2，则x2-4=0,x2十3x十2=0，此时(x2一4)十(x2十1 3x十2)i=0,不是纯虚数，故C错误：显然，D正确，] 即经0解得{21门 1x+3=y, 题点二 15.解已知m为实数，1=m2+1十(m3十3m+2m)i,,=4m+2+ 典例解(1)当m,十3≠0， (n3-5n2+4n)i, {n2-2m-15≠0， 1>2,,为实数 即m≠5且n≠一3时，2是虚数. 当之1为实数时，m3+3n2十2m=0, 2当m-0, 解得n=0或m=-1或n=-2, ∴2=1或a=2或=5. (n一2n-15≠0， 当z。为实数时，m3一5n十4m=0, 即m=3或m=一2时，z是纯虚数 (3)当∫m十3≠0， 解得m=0或m=1或m=4, {m-2m-15=0,即m=5时，2是实数. .x2=2或=6或2=18. 上面n的公共值为n=0,此时1，同时为实数，即1=1,2=2， 拓展 解因为2>0，所以之为实数，需满足 ,使之1>的m值的集合是空集，使名1<2的m值的集合是{0. m2-m-6>0, 7.1.2复数的几何意义 n+3 必备知识·自主梳理 n2-2m-15=0, 解得n=5. :(-)2.(1)Z(a,b)(2)O2 m十3≠0 :即时小练 对点训练 1.A[复数z=一i的实部为0，虚部为-1，故复平面内对应点Z的坐 1.A[由(y-3y)+i(y∈R)是纯虚数，得y2-3y=0且y≠0，因此 标为(0，一1).故远A.] y=3.] 2.C[由复数的几何意义可知OZ对应的复数为-3i故选C.] 2.一1[因为复数之=1 +(-1)i是实数，且a为实数，则3.1+i[易知0i=(2,3),O成=1,2)，故BA-Oi-O成=(1,1)，所 5a2-1=0,解得a=-1.] 以向量BA对应的复数是1+i] a-1≠0， (二)1.(1)模绝对值(2)z或a十bi(3)√a2+2.(1)相等 题点三 典例解(1)x2-y2+2xyi=2i, 互为相反数共轭虚数(2)a一bi 六位20解得或 即时小 1,(1)√(2)√(3)×(4)W (y=1 1y=-1. (2)设方程的实数根为x=m, 2.D[x=√(W2)2+(-3)2=√T.] !3.B[因为复数x=一2十i,所以复数x的共轭复数x=一2-i1.] 则3m-受m-1=（10-m-2mi 14.1或3[依题意可得/(n-3)2十(m-1)2=2,解得m=1或3.] 252