7.1.1 数系的扩充和复数的概念 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.1.1 数系的扩充和复数的概念 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 1.以2i－的虚部为实部，以i－2的实部为虚部的新复数是（　　） A.2＋i B.2－2i C.－＋i D.＋i 2.若z＝a＋（a2－1）i（a∈R，i为虚数单位）为实数，则a的值为（　　） A.0 B.1 C.－1 D.1或－1 3.若A，B，C分别表示复数集、实数集和纯虚数集，则（　　） A.A＝B∪C B.B∪C＝{0} C.B＝A∩C D.B∩C＝⌀ 4.下列复数中，满足方程x2＋10＝0的是（　　） A.±10 B.± C.±i D.±10i 5.（2025·湖南长沙阶段练习）复数z＝a2－b2＋（a＋｜a｜）i（a，b∈R）为实数的充要条件是（　　） A.a≤0 B.a＜0，且a＝－b C.a＞0，且a≠b D.a＞0，且a＝｜b｜ 6.下列结论中，正确结论的个数是（　　） ①两个复数不能比较大小； ②若z1和z2都是虚数，且它们的虚部相等，则z1＝z2； ③若a，b是两个相等的实数，则（a－b）＋（a＋b）i必为纯虚数. A.0 B.1 C.2 D.3 7.已知复数z1＝m＋（4－m2）i（m∈R），z2＝2cos θ＋（λ＋3sin θ）i（λ，θ∈R）.若z1＝z2，则λ的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8.（多选）对于复数z＝a＋bi（a， b∈R），下列结论中，错误的有（　　） A.若a＝0，则a＋bi为纯虚数 B.若a－bi＝3＋2i，则a＝3，b＝2 C.若b＝0，则a＋bi为实数 D.纯虚数z的共轭复数是－z 9.（多选）下列说法中，正确的有（　　） A.1＋i2＝0 B.若a，b∈R，且a＞b，则a＋i＞b＋i C.若x2＋y2＝0，则x＝y＝0 D.若z＝（a－1）＋（a2＋2a－3）i＞－2，a∈R，则a＝1 二、填空题 10.若复数z＝（m2－16）＋（m2－3m－4）i为实数0，则实数m的值是 . 11.定义：复数b＋ai是z＝a＋bi（a，b∈R）的转置复数，已知a，b∈R，i是虚数单位.若a＋2i＝1－bi，则复数z＝a＋bi的转置复数是 . 12.定义运算＝ad－bc，若（x＋y）＋（x＋3）i＝，x，y∈R，则z＝y－xi＝ . 13.已知复数z1＝2＋mi（m∈R），z2＝tan θ＋icos 2θ（θ∈R）.若z1＝z2，则实数m＝ . 三、解答题 14.已知复数z＝＋（m2－2m－15）i，求当实数m为何值时，复数z满足下列情况. （1）z是虚数； （2）z是纯虚数. 15.已知关于x的方程x2＋（2－3i）x＋5mi＋i＝0有实数根，求纯虚数m. 16.已知集合M＝{（a＋3）＋（b2－1）i，8}，集合N＝{3i，（a2－1）＋（b＋2）i}满足M∩N⊆M，且M∩N≠⌀，求整数a，b的值. 参 考 答 案 一、选择题 1.以2i－的虚部为实部，以i－2的实部为虚部的新复数是（　B　） A.2＋i B.2－2i C.－＋i D.＋i 解析： 以2i－的虚部2为实部，以i－2的实部－2为虚部的新复数是2－2i. 2.若z＝a＋（a2－1）i（a∈R，i为虚数单位）为实数，则a的值为（　D　） A.0 B.1 C.－1 D.1或－1 解析： 若z＝a＋（a2－1）i（a∈R，i为虚数单位）为实数，则a2－1＝0，∴a＝±1. 3.若A，B，C分别表示复数集、实数集和纯虚数集，则（　D　） A.A＝B∪C B.B∪C＝{0} C.B＝A∩C D.B∩C＝⌀ 解析： ∵A，B，C分别表示复数集、实数集和纯虚数集，∴A⊇B，A⊇C，B∩C＝⌀. 4.下列复数中，满足方程x2＋10＝0的是（　C　） A.±10 B.± C.±i D.±10i 解析： ∵x2＋10＝0，∴x2＝－10＝10i2，∴x＝±i. 5.（2025·湖南长沙阶段练习）复数z＝a2－b2＋（a＋｜a｜）i（a，b∈R）为实数的充要条件是（　A　） A.a≤0 B.a＜0，且a＝－b C.a＞0，且a≠b D.a＞0，且a＝｜b｜ 解析： 若复数z＝a2－b2＋（a＋｜a｜）i（a，b∈R）为实数，则有a＋｜a｜＝0，∴a≤0. 6.下列结论中，正确结论的个数是（　A　） ①两个复数不能比较大小； ②若z1和z2都是虚数，且它们的虚部相等，则z1＝z2； ③若a，b是两个相等的实数，则（a－b）＋（a＋b）i必为纯虚数. A.0 B.1 C.2 D.3 解析： 对于①，两个复数，当它们都是实数时，是可以比较大小的，①错误； 对于②，设z1＝a＋bi（a，b∈R，且b≠0），z2＝c＋di（c，d∈R，且d≠0），∵b＝d，∴z2＝c＋bi.当a＝c时，z1＝z2；当a≠c时，z1≠z2，②错误；对于③，当a＝b≠0时，（a－b）＋（a＋b）i是纯虚数；当a＝b＝0时，（a－b）＋（a＋b）i＝0是实数， ③错误. 7.已知复数z1＝m＋（4－m2）i（m∈R），z2＝2cos θ＋（λ＋3sin θ）i（λ，θ∈R）.若z1＝z2，则λ的取值范围是（　A　） A. B. C. D. 解析： ∵z1＝z2，∴消去m得4sin2θ＝λ＋3sin θ，∴λ＝4－.∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝时，λ取得最小值－，当sin θ＝－1时，λ取得最大值7，∴－≤λ≤7，即λ的取值范围是. 8.（多选）对于复数z＝a＋bi（a， b∈R），下列结论中，错误的有（　AB　） A.若a＝0，则a＋bi为纯虚数 B.若a－bi＝3＋2i，则a＝3，b＝2 C.若b＝0，则a＋bi为实数 D.纯虚数z的共轭复数是－z 解析： ∵z＝a＋bi（a，b∈R），∴当a＝0，且b≠0时复数z为纯虚数，此时＝－bi＝－z，A错误，D正确；当b＝0时，复数z为实数，C正确；a－bi＝3＋2i，则即B错误. 9.（多选）下列说法中，正确的有（　AD　） A.1＋i2＝0 B.若a，b∈R，且a＞b，则a＋i＞b＋i C.若x2＋y2＝0，则x＝y＝0 D.若z＝（a－1）＋（a2＋2a－3）i＞－2，a∈R，则a＝1 解析： 对于A，∵i2＝－1，∴1＋i2＝0，A正确；对于B，两个虚数不能比较大小，B错误；对于C，当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0，C错误；对于D，若z＝（a－1）＋（a2＋2a－3）i＞－2，则解得a＝1，D正确. 二、填空题 10.若复数z＝（m2－16）＋（m2－3m－4）i为实数0，则实数m的值是　4　. 解析： 由题意得解得m＝4. 11.定义：复数b＋ai是z＝a＋bi（a，b∈R）的转置复数，已知a，b∈R，i是虚数单位.若a＋2i＝1－bi，则复数z＝a＋bi的转置复数是　－2＋i　. 解析： 由a＋2i＝1－bi，得a＝1，b＝－2，∴复数z＝a＋bi＝1－2i，故复数z＝1－2i的转置复数是－2＋i. 12.定义运算＝ad－bc，若（x＋y）＋（x＋3）i＝，x，y∈R，则z＝y－xi＝　2＋i　. 解析： 由题意得（x＋y）＋（x＋3）i＝（3x＋2y）＋yi，∴x＋y＝3x＋2y，x＋3＝y，解得x＝－1，y＝2，∴z＝y－xi＝2＋i. 13.已知复数z1＝2＋mi（m∈R），z2＝tan θ＋icos 2θ（θ∈R）.若z1＝z2，则实数m＝　－　. 解析：∵复数z1＝2＋mi（m∈R），z2＝tan θ＋icos 2θ（θ∈R），且z1＝z2，∴∴m＝cos2θ＝＝＝＝－. 三、解答题 14.已知复数z＝＋（m2－2m－15）i，求当实数m为何值时，复数z满足下列情况. （1）z是虚数； 解：（1）当即m≠5，且m≠－3时，z是虚数. （2）z是纯虚数. 解：（2）当即m＝3，或m＝－2时，z是纯虚数. 15.已知关于x的方程x2＋（2－3i）x＋5mi＋i＝0有实数根，求纯虚数m. 解：由于m是纯虚数，可设m＝bi（b∈R，且b≠0）. 设方程的实数根为a，则代入原方程整理得（a2＋2a－5b）＋（1－3a）i＝0. ∵a，b∈R，∴由复数相等的充要条件， 得解得b＝，∴纯虚数m＝i. 16.已知集合M＝{（a＋3）＋（b2－1）i，8}，集合N＝{3i，（a2－1）＋（b＋2）i}满足M∩N⊆M，且M∩N≠⌀，求整数a，b的值. 解：由题意，得（a＋3）＋（b2－1）i＝3i①， 或8＝（a2－1）＋（b＋2）i②， 或（a＋3）＋（b2－1）i＝（a2－1）＋（b＋2）i③， 由①，得a＝－3，b＝±2， 由②，得a＝±3，b＝－2， ③中，a，b无整数解，不符合题意. 综上，a＝－3，b＝2，或a＝－3，b＝－2，或a＝3，b＝－2. 学科网（北京）股份有限公司 $