6.4.3 第3课时 余张定理，正弦定理应用举例-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

素养演练·提升技能 3.3V反[由题意知，AB=24X1=6(km),∠BAS=30,∠ASB= 1,C[由正孩定理得n B-sinA店 -是=25，所以sinB=b,因 4 2√3 75°-30°=45.由正弦定理，得BS=ABsin∠BAS-6sin30 sin 45 = 2 sin∠ASB 3√2(km).] 1, 为三角形有两个，所以sinB<1且b>a,即 325 解得3<b! 关键能力·合作探究 (b>3, 题点一 2√5.] 典例解在△ACD中，∠ADC=30°，∠ACD=120°，.∠CAD= 30°，.AC=CD=√3. 2.A[△ABC中，tanA= 3,cos B=25 5 A,Be(0,) 在△BDC中，∠CBD=180°-45°-(45°+30)=60°， 六mB=-o万=5，amB=nB= 由正弦定理得 cos B =之，可得sinA BC=3sin 75 sin 60 =2sin(30°+45) 0.∴.tanC=an(元一A-B)=-tan(A+B)= tan A+tan B =2sin30°cos45°+2cos30°sin459 1-tan Atan B 1上1 =6+2 3+2 =-1,C∈(0，π)，C-3元.设角A,B,C所对的边 4 在△ACB中，由余弦定理得 1-×2 AB2-AC+BC-2AC·BC·cos∠BCA, 分别是a,b,c,:C是钝角，∴A,B都是锐角，又tanA<tanB,∴最 AB=(W3)2+ 6+E) :-2X5×6,E.c075 长边为二V而，最短边为a由正孩定理品C得a=盟是 2 2 sin C =5+√3-(32+V6)(cos30°cos45°-sin30°sin45)=5, V10X0 .AB-5. 10 =√厄，∴最短边长为√厄. 故两目标A,B间的距离为√5千米。 :对点训练 3.A[因为c2sinA=4sinC,所以由正弦定理得c2a=4c,即ac=4.由余弦！ 1.√39[由余弦定理，得AB=CA+CB-2CA·CB·cosC= 定理可得=a十c一2 accos B=a十c一4，所以a十c2一=4.所以i 7+5-2×7×5X7=39.∴AB=√39.] Sr√-(2门一√宁[F一（合门=20达点A作AD老意于B的送长绕。足为因，则在 46 故选A.] Rt△ABD中，∠ABD=67,AD=46,则AB=sn67,在△ABC中， 4.号[在△AC中，由eosA=号，osC-高：可得inA=号， 据正弦定理得BC-AEsin37”-46 sin 37 sin30° sin67sin30≈60(m).] 12 sin C-sin B-sin(A+C)-sin Acos C+cos Asin C- ，又题点二 63 2 2一1，故由正弦定理得b=-asin B-] 典例解设AC=xm,则BC=x7×340=(x-40)m sin A 在△ABC中，根据余弦定理得(x一40)2=10000十x2一100x,解得 5.解若远①：(1)如图，过C作CD⊥AB,垂足为D, x=420. 则CD- ,∠CBD=60°，所以a=CB=1, 在△ACH中，AC=420m,∠CAH=30°+15°=45°，∠AHC=90°- 2 30°=60. 由正弦定理，得】 CH AC 由in∠CAHsin∠AHC' 2 sin∠CAH 得CH=AC,nAHC140,6(m. 所以sinA=②T 14 故该仪器的垂直弹射高度CH为140√6m, ·对点训练 (2)由(1)知sinA= 区，所以cosA=5 C[设水流速度与船速的合速度为v,方向指向对岸， 14 4 因为sinC=sin(60=A)=空×-号X②红-√21 214 14 所以△ABC的面积 又a(0,受)所以a=]. 2 sinC=号X1X7x匹_E 7 若选②：(1D1amA=5,则A为锐角， 1 1 A cos2A= 25 1+tamA1+25 328 !题点三 典例解如图所示，设预报时台风中心为B,开始影 北D 响基地时台风中心为C,基地刚好不受影响时台风 所以cosA 5√ √21 M'sin A-14. 中心为D,则B,C,D在同一直线上，且AD=20(海 里)，AC=20(海里). 60 b (2)由nBnA,得a=1. 由题意AB=20(√/3+1)（海里），DC=20√2（海里）， 国为mC=in(60-A=号×-7×任=牙， BC=(W3+1)×10w2=10(W6+√2)（海里）. 14 在△ADC中，因为DC=AD十AC, 所以△ABC的面积 所以∠DAC=90°，∠ADC=45°. S= alsin C 在△ABC中，由余弦定理的推论得 cos∠BAC=ACAB-BC-Y 第三课时余弦定理、正弦定理应用举例 2AC·AB 2 必备知识·自主梳理 所以∠BAC=30°， 1.(1)线段(2)基线长度高2.(1)顺时针(2)小于90 又因为B位于A南偏东60°，60°十30°+90°=180°， (3)水平视线目标视线仰角俯角(4)视角 所以，点D位于A的正北方向， 即时小练 又因为∠ADC=45°，所以台风移动的方向为北偏西45° 1.A[由题意知，在△ABC中，AC=BC=a,∠ACB=90°，∴.AB= ·对点训练 解如图所示，设经过t小时两船在C点 北 √2a.] 相遇， A[∠ABC=180°-45°105=30，在△ABC中，由m5 则在△ABC中，BC=at(n mile),AC=西 √3at(n mile), 南 n90得AB=100×号=50vm.] 50 BC AC 2 B=180°-60°-120，由sin/CAB sin B' 250 !题型二 得sin∠CAB=BCsin B_atX sin120°2 1 1.A[由四边形ABCD为平行四边形知，AC-A店+AD=(3,-1), AC √3at 故AD.AC-(2,1)·(3,-1)=5.] .0°<∠CAB60°，∴.∠CAB=30°， ,∴.∠DAC=60°-30°=30°， 2.B[:C-AC-A成，A正=AD+D亦=号A成+号i=分A+ ,.甲船应沿着北偏东30的方向前进，才能最快与乙船相遇， 素养演练·提升技能 AC成.A萨-(c-A(3A+子C)=寻衣 D由条件及题图可知，A=B=40,又∠BCD=60,所以∠CBD=30, 所以∠DBA=10,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.门 2峦-花.AB=是×1×1-号×1×1-十×1X1… 2.150[在△ABC中，AC-100√2m.在△MAC中，由正弦定理得 1 sn0=in行，解得MA=100Em在△MNA中，MN=MA· MA AC 、 c0s60=8] !3.CD[aLb,∴.a·b=cos acos B叶sin asin3=0,即cos(a-m=0, sin60°=150m.即山高MN为150m.] 3.50(√6-√2)[如图，BD=100,∠BDA=45°， “a,长(0，x),∴a-B=±受，故A、B错误；又(a+b)·(a-b)= ∠BCA=30°.设CD=x,所以(x十DA)·tan30°= a2-b2=1-1=0,.(a+b)⊥(a-b),故C正确；(a+b)2=a DA.tan45，°.又DA=BD·cos45°=100X 30°45 +2a·b+b2=a2+b2=2,(a-b)2=a2-2a·b+b=a+b=2, 2 Cx D A 故D正确.] 50V2,所以E=DA:tan45°-DA=50EX1-50反=506- 4.D。[a+b=a-b,.a2+2a·b+b=a2-2a·b+,.a· tan30° b=0.又：a+b=2a,∴a2+2a·b+b2=4a2,.b2= 3 2)m] : 3a.设a十b与a-b的夹角为0，则cos0=(a+b)·(a-b_ a+b a-b 4.6 a[:∠ADC=∠ADB+∠BDC=60,又∠DCA=60, a2-b2_-2a2 4a2 a0-又0e[00-J i∠DAC-60∴AD=CD-AC=gS=S !5.√5[因为a=(-1,3),b=(1,t),所以a-2b=(-3,3-21).图为 (a-2b)⊥a,所以(a-2b)·a=0,即(-3)×(-1)十3(3-2t)=0, ..BC=6 a.在△ABC中，由余弦定理，得AB=AC+BC-2AC· 解得t=2,所以b=(1,2),所以b=√1+22=√5.] !题型三 BCo45=号d+是c-2×号a×a×号=是di,AB=1D四为8c=3,A=60,所以=士c2次cosA=61+9 。“直方这两支精锐年队之间的距离为气。] 2X8X3×号=49，所以a=7,所以此三角形外接圆的直径2R= 5.解(1)选用测角仪与米尺即可，如图所示. =名=145，所以R=75 sin A 3 3 31 ①选择一条水平基线HG,使H,G,B三，点在同一 条直线上： ②在G,H两点用测角仪测得A的仰角分别为a, !2.B「如图，在△ABC中，BD为边AC上的高，且 B,CD=a,测得测角仪的高度是h; AB=3,BC=√13，AC=4.:cosA= ③经计算得建筑物的高度AB=nasn2+h或 H G B 32+4-(√13)21 sin(a-B) 2×3×4 ,又A∈(0，x),sinA= atan atanh tan a-tan B BD=AB·mA=8X9-35] 2 2 (2)①测量工具问题； ②两次测量时位置的间距差； 3.75°由题意得6B=snC,即sinB=sinC6XS 2 ③用身高代替测角仪的高度 3 -, 2 (答案不唯一) 合b<c可得B=45°，则A=180°-B-C=75°.] 章末复习提升 :4.解在△ABC中，由正弦定理得， 二、把握重点·常考题型集训 csin C sin 2A 题型一 sin A sin A 1,ABC[先从实数的正负判断两向量方向的关系，再找两向量模的！ ∴.3a=2c. 关系，从而得出结论，A正确，因为2>0，所以2a与a的方向相同， 又a十c=10,所以a=4,c=6. 且2a-2a.B正确，因为5>0，所以5a与a的方向相同，且5a一 由余弦定理的推论得， 5a,又一20，所以-2a与a的方向相反，且-2a=2a,所以5a 与-2a的方向相反，且-2a的模是5a的模的号.C正确，接照相反 cos A-bito-a3 2bc 4 向量的定义可以判断.D不正确，因为一(b一a)与b一a是一对相反 代入数据化简得：b2一9b十20=0， 向量，而a-b与b一a是一对相反向量，所以a-b与一(b一a)是相！ .b=4或b=5. 等向量.] 若b=4,且在△ABC中，a=4,.△ABC为等腰三角形，且A-B, 2.C[因为C市=4D成=rA正+sAC,所以C市=4成=4(A花- 又C=2A,且A+B+C=180°，∴.A=B=45°，C=90°，△ABC为等 腰直角三角形. 西=r庙+所以=号=一告，所以3叶=是-青- 由勾股定理得c=4√2，这与已求出的c=6相矛盾，故要舍去. 经检验b=5满足题意.故b的值为5， 3.D[a-2b十3c=(5,-2)-2(-4,-3)+3(x,y)=(5+8十3x,!题型四 -2+6+30)-(13+3,1+3w)-0,所以{行0所以.A如国，连接AC在△1BC中 13 AC=√/42+5=/4I,cos∠ACB= 3 4 sin∠ACB= 4 =,所以cOs∠ACD= y= 3 √41 .1209 4解=，且%-k成-成=e cos(120°-∠ACB)=cos120°cos∠ACB4km 90 .AB+BC+CD+DA=0,:BC=-AB-CD-DA=-AB+ +sin120°sin∠ACB= DC+AD=e+(k-1)e2 4 4W5-5 在△ACD中，由余弦定理，得AD= 又：+应+i+i=0,且Ni=-之武，成=市， √42√41 ∴M=-AM-BA-N店 √AC+CD-2AC·CD·OS/ACD= 41+3-2XV4mX3×43-⑤ 2v41 =-茄+丽+成-生。 2e2. =√65-125.故A,D间的距离为√65-123km.] 251数学必修第二册 3.秦九韶是我国南宋著名的数学家，在他的著作： 《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法： “以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于 上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一 为从隅，开平方得积.”也把这种方法称为“三斜 求积术”.设△ABC的内角A,B,C的对边分别 c2simA=4sinC,B=号，则用“三斜求积术”求得 的△ABC的面积为 ) A.√3 B.2 C.2√3 D.4 4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 4 5 cos A= 行，cosC=员a=1,则6 第三课时 余弦定理 明学习目标 1.能利用余弦定理、正弦定理解决简单的生产、生活中 课标 的实际问题， 要求 2.巩固深化余弦定理、正弦定理有关知识与方法。 素养 通过分析问题，利用余弦、正弦定理解决实际问题，发展 要求 数学建模及数学运算素养， 必备知识·自主梳理 1.基线的概念与选择原则 (1)定义：在测量过程中，我们把根据测量的需要 而确定的 叫做基线。 (2)性质：在测量过程中，应根据实际需要选取合 适的 ,使测量具有较高的精确度.一般 来说，基线越长，测量的精确度越 2.测量中的有关概念 (1)方位角：从正北方向 北 转到目标方向线的角.如图 所示的01,02即表示点A和点B 的方位角.故方位角的范围是0°≤0<360° (2)方向角：指以观测者为中心，正北或正南的方 向线与目标方向线所成的 的水平角，它 是方位角的另一种表示形式.如图，图1中表示 北偏东30°，图2中表示南偏西60°. 北 30 60 南 图1 图2 38 在△ABC中，B=120°，b=√7，再从条件①：AB 边上的高为9：条件@：amA-怎，这两个条件 中选择一个作为已知，求： (1)sinA的值； (2)△ABC的面积. 温馨提示 请做课时分层检测（十二） 正弦定理应用举例 知结构体系 测量距离 在实际中 测量高度 的应用 测量角度 预习新知夯实基础 (3)仰角和俯角： 目标视线 与目标视线在同一铅垂平面内 铅 的 和 的夹 灯仰角 线 、俯角 水平视线 角，目标视线在水平视线上方 、目标视线 时叫做 ;目标视线在 水平视线下方时叫做 ,如图所示。 (4)视角：观测者的两条视线之间的夹角叫做 (5)坡角与坡度：坡面的铅直 高度与水平宽度之比叫做坡 坡面 度，如图所示，α为坡角，坡比 a 水平面 =tan a. 即时小练 两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等于 akm,灯塔A在C的北偏东30°方向，B在C的 南偏东60°方向，则A,B之间的距离为() A.√2akm B.√3akm C.a km D.2a km 2.如图所示，设A,B两点在河的两岸，一测量者与 A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C, 测出A,C的距离为50m,∠ACB=45°，∠CAB =105°后，可以计算出A,B两点的距离为() 关键能力·合作探究 题点一测量距离问题 [典例]如图所示，隔河看 两目标A,B,但不能到 达，在岸边选取相距√3千 75X 45° 米的C,D两点，并测得 Z45°30☒D ∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°， ∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内)，求两目 标A,B之间的距离. …/方法技巧/… 求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是 :把问题转化为求三角形的边长问题，基本方 法是： :(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和 图形特点寻找可解的三角形 (2)把实际问题中的条件和所求转换成三角形 中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求 解. 对点训练 1.A,B两地之间隔着一个山岗， A- 如图，现选择另一点C,测得CA =7km,CB=5km,C=60°，则 A,B两点之间的距离为 km. 第六章平面向量及其应用 A.50√2m B.50√3m C.25√2m D.252m 2 3.甲骑电动车以24km/h的速度沿着正北方向的 公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北 偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔 在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S的距离是 km. 讲练设计探究重点 2.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46， 则河流的宽度BC约等于 m.（用四舍五 入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈ 0.92,c0s67°≈0.39，sin37°≈0.60，c0s37°≈ 0.80,√3≈1.73) -067 46m 题点二测量高度问题 [典例]某气象仪器研究所按以下 方案测试一种“弹射型”气象观测 仪器的垂直弹射高度，如图，在CA 1561 160 处进行该仪器的弹射，观测点A, B两地相距100m,∠BAC=60°， 在A地听到弹射声音的时间比B地晚7s,A地 测得该仪器在C处时的俯角为15°，A地测得该 仪器在最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂 直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为 340m/s) 数学必修第二册 /方法技巧/ 解决测量高度问题的一般步骤 (1)画图：根据已知条件画出示意图； (2)分析三角形：分析与问题有关的三角形； (3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三 角形，逐步求解.在解题中，要综合运用几何知 识与方程思想 对点训练 在静水中划船的速度是每分钟40m,水流的速 度是每分钟20m,如果船从岸边A处出发，沿着 与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向： 指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的： 角为 ( ) A.晋 B晋 c晋 D.12 题点三 测量角度问题 [典例]某海上养殖基地A,接到气象部门预报，： 位于基地南偏东60°相距20（√3+1）海里的海面 上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小 时10√2海里的速度沿某一方向匀速直线前进， 预计台风中心将从基地东北方向刮过且（√3+1） 小时后开始影响基地持续2小时，求台风移动的 方向. 40 …/方法技巧/… 求解实际应用中的角度问题时，一般把求角的 问题转化为解三角形的问题，基本方法是： (1)明确各个角的含义； (2)分析题意，分析已知与所求，画出正确的示 意图； (3)将图形中的已知量与未知量之间的关系转 化为三角形的边与角的关系，运用正、余弦定理 求解， 对点训练 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船 以每小时a n mile的速度向北行驶，已知甲船的 速度是每小时√3 a n mile,问甲船应沿着什么方 向前进，才能最快与乙船相遇？ 素养演练·提升技能 1.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离 相等，灯塔A在观察站C的南偏西40°，灯塔B: 在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的： 0 西 40D B 南 A.北偏东10 B.北偏西10 C.南偏东80 D.南偏西80 2.如图，为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN= 60°，C点的仰角∠CAB=45以及∠MAC=75°；从C 点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m,则山高； MN= m. 3.坡度为45°的斜坡长为100m,现在要把坡度改为 30°，则坡底要伸长 m. 4.在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形 势，在两个相距为受。的军事基绝C和D处测得 蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且 ∠ADB=30°，∠BDC=30°，∠DCA=60°， ∠ACB=45°，如图所示，则蓝方这两支精锐部队： 之间的距离为 30° \459 30°60汉 5.如图，AB是底部不可到达的一个建筑物，A为建 筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具：测： 角仪（可测量仰角与俯角）、米尺（可测量长度）、 量角器（可测量平面角度）. B 第六章亚面向量及其应用 达标训练素养提高 (1)请你利用准备好的工具（可不全使用），设计 一种测量建筑物高度AB的方法，并给出测量 报告； 注：测量报告中包括你使用的工具测量方法的文 字说明与图形说明，所使用的字母和符号均需要 解释说明，并给出你最后的计算公式. (2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测 量，并将计算结果汇报给老师，发现计算结果与 该建筑物实际的高度有误差，请你针对误差原因 进行说明 温馨提示 请做课时分层检测（十三）