6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 1.如图所示，在高速公路建设中，要确定隧道AB的长度，工程人员测得隧道两端的A，B两点到C点的距离分别为AC＝3 km，BC＝4 km，且∠ACB＝60°，则隧道AB的长度为（　　） A.3 km B.4 km C. km D. km 2.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4 m， A＝30°，则其跨度AB的长为（　　） A.12 m B.8 m C.2 m D.4 m 3.一艘轮船以18海里/时的速度沿北偏东40°方向直线航行，在行驶到某处时，该轮船的南偏东20°方向上10海里处有一灯塔，继续行驶20分钟后，轮船与灯塔之间的距离为（　　） A.17海里 B.16海里 C.15海里 D.14海里 4.如图所示，从山顶望地面上的C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB为（　　） A.100米 B.50米 C.50米 D.50（＋1）米 5.一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船的航行速度为（　　） A. n mile/h B.34 n mile/h C. n mile/h D.34 n mile/h 6.如图所示，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上的B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km），AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为（　　） A.7 km B.8 km C.9 km D.6 km 7.如图所示，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔19 km，速度为300 km/h，飞行员先在A处看到山顶C的俯角为45°，2 min后，又在B处看到山顶C的俯角为75°，则山顶C的海拔约为（结果精确到0.1，参考数据：≈1.732）（　　） A.4.3 km B.5.3 km C.6.3 km D.13.7 km 8.（多选）（2025·黑龙江哈尔滨检测）某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°方向，距离为12 n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向，距离为8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向，则下列说法中，正确的有（　　） A.A处与D处之间的距离是24 n mile B.灯塔C与D处之间的距离是8 n mile C.灯塔C在D处的西偏南60°方向 D.D在灯塔B的北偏西30°方向 9.（多选）如图所示，在山脚A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡AD的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡AD的斜度为45°.若CD＝50 m，山坡的坡角为θ，则下列说法中，正确的有（　　） A.cosθ＝－1 B.cosθ＝－1 C.山脚A处到建筑物CD的顶端C的距离为100 m D.山脚A处到建筑物CD的顶端C的距离为100 m 二、填空题 10.海上有三个小岛A，B，C，测得∠BAC＝135°，AB＝6，AC＝3.若在B，C两岛的连线上建一座灯塔D，使得灯塔D到A，B两岛的距离相等，则B，D之间的距离为 . 11.台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地的正东方向40 km处，城市B处于危险区内的持续时间为 h. 12.（2025·河北保定高一阶段检测）如图所示，在一场足球比赛中，甲同学从A处开始做匀速直线运动，到达B处时，发现乙同学踢着足球在C处正以自己速度的向A处做匀速直线运动，已知cos∠BAC＝，AB＝3 m， AC＝7 m.若忽略甲同学转身所需的时间，则甲同学最快拦截乙同学的地点是线段AC上离A处 m的点. 13.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”.若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在群岛上取两点C，D，测得CD＝80米，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为 米. 三、解答题 14.如图所示，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A处沿直线步行到C处；另一种是先从A处沿索道乘缆车到B处，然后从B处沿直线步行到C处.山路AC 长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝，求索道AB的长. 15.在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达C岛完成任务.已知军舰位于B市的南偏东25°方向上的A处，且在C岛的北偏东58°方向上，B市在C岛的北偏东28°方向上，且距离C岛372 km.此时，我方军舰沿着AC方向以30 km/h的速度航行，问：我方军舰大约需要多长时间到达C岛（结果保留整数）？参考数据：≈1.73，sin 53°≈，cos 53°≈，tan 53°≈. 图1　　图2 16.如图所示，AB是底部不可到达的某建筑物，A为该建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具：测角仪（可测量仰角与俯角）、米尺（可测量长度）、量角器（可测量平面角度）. （1）请利用准备好的工具（不必全部使用），设计一种测量建筑物高度AB的方法，并给出测量报告； 注：测量报告中包括使用的工具测量方法的文字说明与图形说明，所使用的字母和符号均需要解释说明，并给出最后的计算公式. （2）该学习小组利用此测量方案进行了实地测量，并将计算结果汇报给老师，发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差.请针对误差原因进行说明. 参 考 答 案 一、选择题 1.如图所示，在高速公路建设中，要确定隧道AB的长度，工程人员测得隧道两端的A，B两点到C点的距离分别为AC＝3 km，BC＝4 km，且∠ACB＝60°，则隧道AB的长度为（　C　） A.3 km B.4 km C. km D. km 解析： 由余弦定理，可得AB＝＝＝ km. 2.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4 m， A＝30°，则其跨度AB的长为（　D　） A.12 m B.8 m C.2 m D.4 m 解析： 在△ABC中，由已知条件可得BC＝AC＝4，C＝180°－30°×2＝120°.由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°＝42＋42－2×4×4× ＝48，∴AB＝4 m. 3.一艘轮船以18海里/时的速度沿北偏东40°方向直线航行，在行驶到某处时，该轮船的南偏东20°方向上10海里处有一灯塔，继续行驶20分钟后，轮船与灯塔之间的距离为（　D　） A.17海里 B.16海里 C.15海里 D.14海里 解析： 记轮船行驶到某处的位置为A，灯塔的位置为B，20分钟后轮船的位置为C，如图所示. 则AB＝10，AC＝6，∠CAB＝120°，∴在△ABC中，由余弦定理得BC2＝102＋62－2×10×6×＝196，∴BC＝14.故20分钟后，轮船与灯塔之间的距离为14海里. 4.如图所示，从山顶望地面上的C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB为（　D　） A.100米 B.50米 C.50米 D.50（＋1）米 解析： 设AB＝h米，则由题意知CB＝h米，DB＝h米，∴h－h＝100，即h＝50（＋1）. 5.一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船的航行速度为（　A　） A. n mile/h B.34 n mile/h C. n mile/h D.34 n mile/h 解析： 如图所示，在△PMN中，＝， ∴MN＝＝34，∴v＝＝ n mile/h. 6.如图所示，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上的B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km），AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为（　A　） A.7 km B.8 km C.9 km D.6 km 解析： 在△ABC及△ACD中，由余弦定理得82＋52－2×8×5×cos（π－∠D）＝AC2＝32＋52－2×3×5×cos∠D，解得cos∠D＝－，∴AC＝＝7. 7.如图所示，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔19 km，速度为300 km/h，飞行员先在A处看到山顶C的俯角为45°，2 min后，又在B处看到山顶C的俯角为75°，则山顶C的海拔约为（结果精确到0.1，参考数据：≈1.732）（　B　） A.4.3 km B.5.3 km C.6.3 km D.13.7 km 解析： 过点C作直线AB的垂线，垂足为D.由题意得AB＝300×＝10 km，∠ACB＝30°.∵＝，∴BC＝AB·＝10 km，又sin75°＝sin（45°＋30°）＝，∴CD＝BC·sin∠CBD＝10×＝5（＋1）≈13.66 km，故山顶C的海拔约为19－13.66≈5.3 km. 8.（多选）（2025·黑龙江哈尔滨检测）某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°方向，距离为12 n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向，距离为8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向，则下列说法中，正确的有（　AC　） A.A处与D处之间的距离是24 n mile B.灯塔C与D处之间的距离是8 n mile C.灯塔C在D处的西偏南60°方向 D.D在灯塔B的北偏西30°方向 解析： 如图所示，在△ABD中，由已知条件得∠ADB＝60°，∠DAB＝75°， 则∠B＝45°，AB＝12，由正弦定理得AD＝＝＝24，∴A处与D处之间的距离为24 n mile，A正确；在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos30°，又AC＝8，解得CD＝8，∴灯塔C与D处之间的距离为8 n mile，B错误；∵AC＝CD＝8，∴∠CDA＝∠CAD＝30°，灯塔C在D处的西偏南60°方向，C正确；灯塔B在D的南偏东60°方向，D在灯塔B的北偏西60°方向，D错误. 9.（多选）如图所示，在山脚A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡AD的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡AD的斜度为45°.若CD＝50 m，山坡的坡角为θ，则下列说法中，正确的有（　AC　） A.cosθ＝－1 B.cosθ＝－1 C.山脚A处到建筑物CD的顶端C的距离为100 m D.山脚A处到建筑物CD的顶端C的距离为100 m 解析： ∵∠CBD＝45°，∠BAC＝15°，∴∠ACB＝30°.在△ABC中，由正弦定理得BC＝＝＝50（－） m.在△BCD中，由正弦定理得＝，即＝，∴sin∠BDC＝－1，即sin（θ＋90°）＝ －1，∴cosθ＝－1，A正确，B错误；在△ABC中，∠ABC＝135°，由正弦定理得，＝，AC＝＝＝100 m，C正确，D错误. 二、填空题 10.海上有三个小岛A，B，C，测得∠BAC＝135°，AB＝6，AC＝3.若在B，C两岛的连线上建一座灯塔D，使得灯塔D到A，B两岛的距离相等，则B，D之间的距离为　　. 解析： 设BD＝t，由余弦定理可得BC2＝62＋（3）2－2×6×3cos 135°＝90，∴BC＝3，则cos∠ABC＝＝，解得t＝. 11.台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地的正东方向40 km处，城市B处于危险区内的持续时间为　1　 h. 解析： 设t h时，城市B恰好处于危险区，则由余弦定理得（20t）2＋402－2×20t×40×cos 45°＝302.得4t2－8t＋7＝0，∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.从而 ｜t1－t2｜＝＝1 h. 12.（2025·河北保定高一阶段检测）如图所示，在一场足球比赛中，甲同学从A处开始做匀速直线运动，到达B处时，发现乙同学踢着足球在C处正以自己速度的向A处做匀速直线运动，已知cos∠BAC＝，AB＝3 m， AC＝7 m.若忽略甲同学转身所需的时间，则甲同学最快拦截乙同学的地点是线段AC上离A处　5　m的点. 解析： 如图所示，设甲同学最快拦截乙同学的地点是点D，CD＝x，则BD＝2x，AD＝7－x，∴在△ABD中，cosA＝＝，整理可得15x2＋52x－164＝（15x＋82）（x－2）＝0，解得x＝2，或x＝－（舍去）.故甲同学最快拦截乙同学的地点是线段AC上离A处5 m的点. 13.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”.若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在群岛上取两点C，D，测得CD＝80米，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为　80　米. 解析： 在△ACD中，∵∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，∴∠DAC＝15°，由正弦定理得AC＝＝＝40（＋）（米）.在△BCD中，∵∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，∴∠DBC＝30°，由正弦定理得BC＝＝40（－）（米）.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1 600×（8＋4）＋1 600×（8－4）＋1 600×（＋）×（－）＝1 600×16＋1 600×4＝ 32 000，∴AB＝80 米，∴A，B两点间的距离为80 米. 三、解答题 14.如图所示，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A处沿直线步行到C处；另一种是先从A处沿索道乘缆车到B处，然后从B处沿直线步行到C处.山路AC 长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝，求索道AB的长. 解：在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝，∴sin A＝，sin C＝.sin B＝sin[π－（A＋C）]＝sin（A＋C）＝sin A·cos C＋cos Asin C＝×＋×＝.由＝，得AB＝·sinC＝×＝1 040 m，∴索道AB的长为1 040 m. 15.在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达C岛完成任务.已知军舰位于B市的南偏东25°方向上的A处，且在C岛的北偏东58°方向上，B市在C岛的北偏东28°方向上，且距离C岛372 km.此时，我方军舰沿着AC方向以30 km/h的速度航行，问：我方军舰大约需要多长时间到达C岛（结果保留整数）？参考数据：≈1.73，sin 53°≈，cos 53°≈，tan 53°≈. 图1　　图2 解：设我方军舰大约需要x小时到达C岛，则AC＝30x， 由题得，∠ABC＝28°＋25°＝53°，∠ACB＝58°－28°＝30°， BC＝372 km，在△ABC中，∠BAC＝180°－53°－30°＝97°， 又sin 97°＝sin（180°－83°）＝sin 83°＝sin（53°＋30°）＝sin 53°·cos 30°＋ cos 53°sin 30°＝×＋×＝， 在△ABC中，由正弦定理可得＝， 即＝ ，解得x≈10， ∴我方军舰大约需要10小时到达C岛. 16.如图所示，AB是底部不可到达的某建筑物，A为该建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具：测角仪（可测量仰角与俯角）、米尺（可测量长度）、量角器（可测量平面角度）. （1）请利用准备好的工具（不必全部使用），设计一种测量建筑物高度AB的方法，并给出测量报告； 注：测量报告中包括使用的工具测量方法的文字说明与图形说明，所使用的字母和符号均需要解释说明，并给出最后的计算公式. 解：（1）选用测角仪与米尺即可，如图所示. ①选择一条水平基线HG，使H，G，B三点在同一条直线上； ②在G，H两点用测角仪测得A的仰角分别为α，β，CD＝a，测得测角仪的高度是h； ③经计算得建筑物的高度AB＝＋h. （2）该学习小组利用此测量方案进行了实地测量，并将计算结果汇报给老师，发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差.请针对误差原因进行说明. 解：（2）①测量工具问题；②两次测量时位置的间距差；③用身高代替测角仪的高度.（答案不唯一） 学科网（北京）股份有限公司 $