6.4.3 第1课时 余弦定理-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

数学必修第二册 6.4.3余弦定理、正弦定理 第一课时 余弦定理 明学习目标 知结构体系 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向 课标 量方法 定理及其推论 要求 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 余弦定理 解三角形 应用 素养 借助于向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，发 三角形形状的判断 要求 展逻辑推理及数学运算素养， 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.余弦定理 (2)在△ABC中，若a2>b2+c2,则△ABC一定 在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c, 为钝角三角形 () 则有 (3)在△ABC中，已知两边及其夹角时，△ABC 文字 三角形中任何一边的平方，等于 不唯一 () 语言 2.在△ABC中，已知a=9,b=2√3，C=150°，则c 等于 () 符号 a2= ,b2 语言 c2= A.√39 B.8√3C.102D.73 3.在△ABC中，己知a2=b2十c2+bc,则角A等于 cos A= b2+c2- 2bc -cos B=ta2-b2 () 2ca 推论 cos C=a2+62-c2 A.60° B.45°C.120°D.30 2ab 4.在△ABC中，若a2-c2+b2=ab,则cosC= 2.解三角形的定义 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边：5.已知三角形的两边及其夹角，三角形的其他元素 a,b,c叫做三角形的 已知三角形的几 是否唯一确定？ 个元素求其他元素的过程叫做 即时小练 1.判断正误 (1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关： 系，因此，它适用于任何三角形. 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 …/方法技巧/ 题点一已知两边及一角解三角形 1.已知两边及其中一边的对角解三角形的方 [典例]在△ABC中，a=35,b=3,B=30°，解这 法：用余弦定理列出关于第三边的等量关系建 个三角形. 立方程，运用解方程的方法求出此边长，再用余 弦定理和三角形内角和定理求出其他两角 2.已知两边及其夹角解三角形的方法： 首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和 三角形内角和定理求出其他两角. 32 第六章平面向量及其应用 对点训练 对点训练 1.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若1.在△ABC中，若a:b:c=1:3:2,求A,B,C. a=3,b=2,c0s(A+B)=3则c= () A.4 B./15C.3 D.√17 2.在△ABC中，a=2√3，c=√6+√2，B=45°，解这 个三角形 2.已知△ABC中，a:b:c=2:√6：(3十1)，求 △ABC中各角的度数. 题点二已知三边解三角形 [典例]在△ABC中，已知a=2√6，b=6+2√3， c=43,求A,B,C的大小. 题点三判断三角形的形状 [典例]在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B= 2 becos B·cosC,试判断△ABC的形状. /方法技巧/ 已知三角形的三边求角的基本步骤 求第一 先利用余弦定理的推论求一个角的 余弦值，再判定此角的取值，求得第 个角 一个角（一般先求最小角） 求第二个角继续用余弦定理求另一个角 求第三个角|最后用三角形内角和定理求出第三 个角 33 数学必修第二册 …/方法技巧/ A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形 判断三角形形状的基本思想和三条思路 C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形 基本判断三角形的形状，要从“统一”入手，体现转化 2.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别 思想 思想 a,b;c,(a+b+c)(b+c-a)=3bc. (1)求角A的大小； 化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间 (2)若sinA=2 sin Bcos C,试判断△ABC的 的数量关系式 形状， 化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间 的数量关系式 三条 思路 化为不等关系，如△ABC为锐角三角形台a2+b2 >c2(cosC>0)且b2+c2>a2(cosA>0)且c2+ a262(cos B-0). △ABC为钝角三角形台a2+b2<c2(cosC<0)或 b2+c2<a2(cos A<0)c2+a2<62(cos B<0) 对点训练 1.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 c2-a2-b2 >0,则△ABC 2ab 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.某学校体育馆的“人”字形屋架 !3.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 为等腰三角形，如图，测得AC 309 若bcos A十acos B=c2,a=b=2,则△ABC的周 =4m,∠A=30°，则其跨度 B 长为 ( AB的长为 ( A.7.5 B.7 C.6 D.5 A.12m B.8 m C.2√5mD.4√5m :4.在△ABC中，∠B=60°，AB=2,M是BC的中 2.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度 点，AM=2√3，则AC= ,cos∠MAC= 分划为记品写，则此人 ( 5.(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC A.不能作出这样的三角形 上，∠ADB-120,AD-2,GD=2BD.当S取 B.能作出一个锐角三角形 得最小值时，BD= C.能作出一个直角三角形 D.能作出一个钝角三角形 温馨提示 请做课时分层检测（十一） 第二课时 正弦定理 明学习目标 知结构体系 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系. 课标 正 定理及其推论 2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形 要求 解的个数 弦定理 解三角形 应用 素养 通过对任意三角形边角关系的探索，证明正弦定理并运用正 实现三角形边 角关系的转化 要求 弦定理解三角形，发展逻辑推理及数学运算素养 34法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长 ·对点训练 为2，则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),AF 解因，建立平面直角坐标系红轴的正方向 (2,1),DE-(1,-2). 为东，y轴的正方向为北).风力的方向为北偏 东30°，速度大小U1-20km/h,水流的方向 因为AF.D正=(2,1)·(1，-2)=2-2=0，所以 为正东，速度大小=20km/h,帆船行驶的 AF⊥DE,即AF⊥DE. 速度为v,方向为北偏东90°一a, 对点训练 则=山十 证明如图，以E为坐标原点，AB所在直线为 由题意可得向量y1=(20cos60°，20sin60)=(10,10√3)，向量v2= x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐 (20,0), 标系 则帆船行驶的速度 令|AD=1, v=1+=(10,10√3)+(20,0)-(30,10√3)， 则DC=1,AB=2. ∴.v=√302+(103)2-20√3(km/h). CE⊥AB,AD=DC, ∴.四边形AECD为正方形， .tan a=103_3 30 3 .各，点的坐标分别为E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0). a为锐角，∴.a=30 (1).ED=(-1,1)-(0,0)=(-1,1), .帆船向北偏东60°方向行驶，速度大小为20√5km/h BC=(0,1)-(1,0)=(-1,1), :2.解以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立 1北 .ED=BC,∴ED∥BC 平面直角坐标系，如图所示，则F1=(1,√5)，F2= E B,C,D三点不共线，DE∥BC (2√5,2)，F3=(-3,3√3)，所以F=F1十F2+Fg E (2)连接MB,MD. =(2√3-2,2+4√5). M为CE的中点M(0,2) 又位移s=(4√2,4√2)，故合力F所做的功为W=F·s=(2√5一2) ∴市=(-1,1)-(0，）=（-1，） ×42+(2十4√3)×4√2=42×63=24√6(J).即合力F所做的功为 24√6J. 应=1.0)-(0，)=（1.-) 素养演练·提升技能 i1.C[如图，连接MV. ∴Md=-Mi,.M市∥Mi. .BM=2 MA,CN-2 NA. MD与MB有公共点M,∴.D,M,B三点共线： 题点二 典例解法-：设Ad-a,Ai=b,则Bd=a-b,AC=a+b. '|BD|=|a-b|=Wa-2a·b+b=√1+4-2a·b MN/BC且瓷子 √5-2a·b=2, ∴BC-3MV-3(ON-OD ∴5-2a:b=4da:b=2 .BC·OM=3(ON.OM-OM) =3(2×1×c0s120°-12)=-6. 又AC2=a+b2=a2+2a·b+b=1+4+2a·b=6,AC = 2.B[设两只胳膊的拉力分别为fi,f2,且f1|=f2|=360,f1与 √6，即AC=W6. f:的夹角为60°，.1fi+f=√(f1+f2)尸= 法二：由平行四边形对角线长与边长之间的关系，得AC十BD= √f+fi+2f1·f:=√360+360+360=360√3≈624(N), 2(AD2+AB) .mg≈624，.n≈62. .AC2=2(12+22)-4=6,∴.AC=√6 3. 一1[以点A为坐标原点，AB,AD所在 对点训练 直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直 解如图所示，建立平面直角坐标系，设，点C(x,y) 角坐标系，则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0, 因为AB=2,所以B点坐标是(2,0)， 所以AB=(2,0),BC=(x-2,y). 2),市-号i+A)=(2,0)+(2, 因为AB·BC-1, 2)=(2,1),则点P(2,1),PD=(-2,1), 所以2(x一2)=1，所以x=号 5 PB=(0,-1),因此，PD=√-2)+1°- 5,PB·PD=0×(-2)+(-1)×1=二1.] 又S=所以·y=号 4.0.5「如图所示，设AC为水流速度，AD为航行速 度，以AC和AD为邻边作□ACED, 则 当AE与AB重合时能最快到达彼岸 根据题意知AC⊥AE, C点坐标为（受，是）从而花-（停是） 在Rt△ADE和□ACED中， DE-AC=2,AD=4,∠AED=90°， 所以花侵)+() ∴AE=√AD2-DE?=25, 1C边的长为回 5÷25=0.5h),sin∠EAD-, 题点三 ∴.∠EAD=30° 典例解析（1)因为F1=(3,一4)，Γ2=(2，-5)， ∴.船实际航行速度大小为4km/h,与水流成120°角时能最快到达B F=(3,1),所以合力F=F1十F2十F=(8,一8)， 码头，用时0.5h] AB=(-1,4), 5.5 10[:f=3,f:=2,f=1,三个力的方向两两成60 则F·AB=-1×8-8×4=-40, 角，∴.f十f:十f3=√(f+f2+f3)2=√9+4+1+6+2+3- 即三个力的合力所做的功为一40. 5,∴.物重为5. 答案一40 (2)①由题意F:=F1十F2, 设所求角为0，则ms0=:士+2 f3f1+f2+f3 因为F=1,F=2,且F与F2的夹角为2 3 1×3×2+1×2×7+1×1 7 1×5 所以E=F+E=√1+4+2X1×2×(-立)=原 10] 6.4.3余弦定理、正弦定理 ②设F2与F3的夹角为0， 第一课时余弦定理 因为F,一一(F,十F3),两边平方得 必备知识·自主梳理 1=4+3+2×2×√3cos0, 1.其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 所以c0s-5,所以0=5西 +c2-2 becos A c2+a2-2 cacos B a2+b-2 abcos C2.元素 2 6 解三角形 247 即时小练 !题点三 1.(1)/(2)/(3)× :典例解将已知等式变形为 2.D[由余弦定理，得c=/9+(2√3)2-2×9×2√3×cos150°=1 b2(1-cos C)+e2(1-cos"B)=2bccos Bcos C. √147=75.] 由余弦定理并整理，得 3.C[由osA=b+c-g 2bc 7,且0<A<180A=120.] 2ac 4.号[a-c2+护=ab,c=a+形-ab.又c=a+分- =2cxo+e-×c+B-e 2ac 2ab 2abcos C.2cos C-1.'cos C.] +c=[a+-)+(a+c2-F)] Aa 5.提示由余弦定理可知，不妨设a,b边和其夹角C已知，则c2- 4a a2+6-2ab0osC,e唯-，cosB=4士-花，因为0<B<元，所以 Zac ∴A=90°.∴△ABC是直角三角形. B唯一，从而A也唯一，所以三角形其他元素唯一确定. :对点训练 关键能力·合作探究 题点一 1.C[由--E>0得-cosC>0,所以0sC<0,从而C为能 2ab 典例解由余弦定理得b=c2+a2-2 cacos B, 角，因此△ABC一定是钝角三角形.] 即c2-9c+18=0,解得c=3或c=6. !2.解(1).(a十b十c)(b十c-a)=3x, 当c=3时，c0sA=+4= ∴a2=+c2-r, 2bc 2· 而a2=+c2-2 bccos A, *0°<A<180°，.A=120°， 故C=180°-120°-30°=30°； 20sA=1,08A=2 当c=6时，0sA=+C-d=1 2bc 2 A∈(0，π)，A= 3· 0<A<180°，.A=60°， (2)因为sinA=sin(B+C)=sin Boos C+os Bsin C,且sinA= 故C=180°-60°-30°=90 2sin Bcos C, 综上所述，A=60°，C-90°，c=6或A=120°，C=30°，c=3. 所以sin Bcos C=cos Bsin C, 对点训练 则sin(B一C)=0. 1.D[osC=-os(A+B)=-号.又由余孩定理得c2=a2+ 因为一πB-C<π，所以B-C=0,即B=C 2 bsC=9+4-2X3X2×(-言）=17，所以c=Vm.故选D.] 又因为A=子，所以B+C=一A=要， 2.解根据余弦定理，得 即B=C=号，故△ABC为等边三角形. 6=a2+c2-2 accos B-(2W)+(W6+√2)2-2X25×(V6十2)素养演练·提升技能 Xc0s45°=8，∴.b=22, :1.D[因为△ABC是等腰三角形，所以BC=AC-4m,∠B=∠A=30, 又：cosA=+c2-a 所以∠C=120°，由余弦定理，得AB=√/4十4-2×4X4×c0s120°- 2bc -8+6+E2-子0<A<180, 43(m). !2.D[设三角形的三条高所在的三边长分别为a,b,c,利用三角形面 2×2√2×（√6+√2） ,.A=60°，C=180°-(A+B)=75° 积相等，得到34=b=,即a:6:c=13:11:5,故三角形三 题点二 边长可设为13m,11m,5m,n>0,因为13m是三角形中最长的边， 典例解根据余弦定理的推论，得 cos A=tca 设它的对角为A,由余弦定理得cosA=5m)户十11m)-(13m2 2×5n×11m 2bc _(6+23)2+(43)-(26)2_5 品<0，所以角A为纯角.故北人能作出一个能角三角形.] 2×(6+2√5)×4√5 2 A∈0.A=吾 :3.D[:beos A十acos B-=2,∴由余弦定理可得.+c-a+ 2bc 0sC=。+#c_26+(6+2-4 a.。+-&=,整理可得2c=22,解得c=1,则△ABC的周 2ac 2ab 2×2√6×(6+2√3) 长为a+b+c-2+2+1=5.] 2 :4.2√3 2√39 13 [在△ABM中，由余弦定理，得Af=AB+BF- :C∈0，mC=年.B=x-A-C=-若-牙=径A= 2BM·ABcos B,即(2V3)2=2+Bf-2BM·2cos60°，则Bf- 6 12 2BM一8=0，解得BM=4(负值已舍去).又，点M是BC的中点，所 以BC=2BM=8.在△ABC中，由余弦定理，得AC=AB2+BC- 2AB·BCcos B=22+82-2X2×8Xcos60°=52，所以AC=2√13 对点训练 (负值已舍去) 1.解，a:b:c=1:√3：2， 在△AMC中，MC=BM=4,由余弦定理，得cos∠MAC= 可设a=x,b=√5x,c=2x(x>0), AC+AM-MC 52+12-16 48_2√39 由余弦定理得： 2AC·AM cosA=+d-3+4r-2=区 2×2√13X2√5839 13] 5.√5一1「设BD=k(k>0),则CD=2k.根据题意 2b优 2X3x·2.x2' 作出大致图形，如图.在△ABD中，由余弦定理 0<A<元，∴A= 6 得AB=AD+BD-2AD·BDcos∠ADB=2 +k2-2×2k×(-立) 120 同理可求得B=答. ）=k2+2k十4.在△ACDB一D 中，由余弦定理得AC心=AD十CD一2AD·CDcos∠ADC=22十 “C=x-(A+B)=受 (2k)2-2X2×2k× 立=4k-4h+4,则AC=4—4k+4 2.解已知a:b:c=2:6:(√5+1)，可令a=2,b=√6，c=√5+1， AB=R:+2k+4 由余弦定理的推论，得 4k+2k+40-12k-12=4 12(k+1) 12(k+1) =4一 osA=+C-d-6+(5+1)-2-2 k2+2k+4 十2+4=4-十D+3 3 3 2bc 2×√6×(W3+1) 2 0°<A<180°，.A=45°. :+1十是≥25当且仅当十1=3，即k 12 cosB=+c-龙-g+(3+1)2-61 k十1十k十1 2ac ·AC 2×2×(w3+1) 2 3-1时等号成立，2≥4-2后三423=(5-1)…当指 2√3 0°<B180°，..B=60°. ∴.C=180°-A-B=180°-45°-60°=75. : 取得最小值√5一1时，BD=k=√5-1.] 248