6.4.3 第2课时 正弦定理 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3 第2课时 正弦定理 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列关系式中，一定成立的是（　　） A.a＞bsin A B.a＝bsin A C.a＜bsin A D.a≥bsin A 2.（2025·吉林白山月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝4a，A＋C＝，则sinA等于 （　　） A. B. C. D. 3.（2025·陕西咸阳阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若bcosA＝acosB，则△ABC的形状为（　　） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2b，则的值为（　　） A. B. C.2 D. 5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝45°，a＝6，b＝3，则B的大小为（　　） A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° 6.（2025·安徽合肥高一月考）在△ABC中，“sin A＞sin B”是“A＞B”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.（2025·河南周口检测）在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°.若利用正弦定理解△ABC有两个解，则x的取值范围是（　　） A.2＜x＜2 B.2＜x＜2 C.x＞2 D.＜x＜2 8.（多选）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列情况中，可能成立的有（　　） A.a＝1，b＝，A＝30°，B＝45° B.a＝4，c＝6，sinA＝，cosC＝－ C.a＝b，A＝2B D.a＋b＋c＝sinA＋sinB＋sinC 9.（多选）（2025·河北沧州检测）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中，能使△ABC恰有一个解的是（　　） A.A＝，c＝2，a＝ B.A＝，c＝2，a＝1 C.A＝，c＝2，a＝ D.A＝，c＝2，a＝2 10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝（cos A，cos B），n＝（a，c－b）.若m∥n，则内角A的大小为 （　　） A. B. C. D. 二、填空题 11.在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC的三边长分别为a，b，c，则＋＋＝ . 12.（2025·浙江金华检测）在△ABC中，a＝3，c＝3，A＝45°，则△ABC的最大内角等于 . 13.（2025·陕西西安检测） △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若满足a＝3，B＝的三角形有一个解，则b的取值范围是 . 3、 解答题 14. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝b，求C. 15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝30°，b＝，c＝2. （1）求角C的大小； （2）若角C为锐角，求a的值. 16.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－. （1）求B的大小； （2）若b＝，a＋c＝4，求a的值. 参 考 答 案 一、选择题 1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列关系式中，一定成立的是（　D　） A.a＞bsin A B.a＝bsin A C.a＜bsin A D.a≥bsin A 解析： 由正弦定理＝，得a＝.在△ABC中，∵0＜sin B≤1，∴≥1，∴a≥bsin A. 2.（2025·吉林白山月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝4a，A＋C＝，则sinA等于 （　C　） A. B. C. D. 解析： 在△ABC中，由A＋C＝，得B＝，由b＝4a及正弦定理，得sin A＝sin B＝×＝. 3.（2025·陕西咸阳阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若bcosA＝acosB，则△ABC的形状为（　B　） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 解析： ∵bcos A＝acos B，由正弦定理，sin Bcos A＝sin Acos B，即sin（A－B）＝0，又0＜A，B＜π，则－π＜A－B＜π，故A－B＝0，即A＝B，∴△ABC是等腰三角形. 4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2b，则的值为（　A　） A. B. C.2 D. 解析： 由正弦定理得＝＝＝. 5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝45°，a＝6，b＝3，则B的大小为（　A　） A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° 解析： 由正弦定理得＝，即＝，解得sin B＝，又B为三角形内角，∴B＝30°，或B＝150°，又a＞b，∴A＞B，即B＝30°. 6.（2025·安徽合肥高一月考）在△ABC中，“sin A＞sin B”是“A＞B”的（　C　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析： 设△ABC的内角A，B所对的边分别为a，b，＝k（k＞0），则由正弦定理得＝＝k，即sin A＝，sin B＝，由sin A＞sin B，得＞，即a＞b，由大边对大角得A＞B；当A＞B时，a＞b，即＞，由正弦定理得sin A＞sin B.因此“sin A＞sin B”是“A＞B”的充要条件. 7.（2025·河南周口检测）在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°.若利用正弦定理解△ABC有两个解，则x的取值范围是（　B　） A.2＜x＜2 B.2＜x＜2 C.x＞2 D.＜x＜2 解析： 如图所示，B＝45°，过点C作CD⊥AB于点D， CD＝BC·sin 45°＝asin 45°＝xsin 45°，以C为圆心，CA＝b＝2为半径画圆弧，要使△ABC有两个解，则圆弧和AB边应该有两个交点，故CA＞CD且CA＜CB，即xsin 45°＜2＜x，解得2＜x＜2. 8.（多选）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列情况中，可能成立的有（　BCD　） A.a＝1，b＝，A＝30°，B＝45° B.a＝4，c＝6，sinA＝，cosC＝－ C.a＝b，A＝2B D.a＋b＋c＝sinA＋sinB＋sinC 解析： 对于A，＝2≠＝，不满足正弦定理，A不可能成立；对于B， 由cos C＝－得sin C＝，∴＝＝10，B可能成立；对于C，若A＝2B，则sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B，即a＝2bcos B，又a＝b，∴cos B＝，C可能成立；∵a＋b＋c＝2R·（sin A＋sin B＋sin C）（R为△ABC外接圆的半径），∴当△ABC的外接圆半径R＝时，等式成立，D可能成立. 9.（多选）（2025·河北沧州检测）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中，能使△ABC恰有一个解的是（　BD　） A.A＝，c＝2，a＝ B.A＝，c＝2，a＝1 C.A＝，c＝2，a＝ D.A＝，c＝2，a＝2 解析： 由正弦定理，＝，得sin C＝，若A＝，c＝2，a＝，sin C＝＝2＞1，△ABC无解，A错误；若A＝，c＝2，a＝1，sin C＝＝1，得C＝，△ABC恰有一个解，B正确；若A＝，c＝2，a＝，sin C＝＝，c＞a，C有两个解，△ABC有两个解，C错误；若A＝，c＝2，a＝2，c＝a，C＝，△ABC恰有一个解，D正确. 10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝（cos A，cos B），n＝（a，c－b）.若m∥n，则内角A的大小为 （　D　） A. B. C. D. 解析： ∵m∥n，∴cos A·（c－b）＝acos B，由正弦定理得cos A（sin C－sin B）＝sin Acos B，即sin Ccos A－sin Bcos A＝sin Acos B，∴sin C·cos A＝sin Acos B＋sin Bcos A＝sin（A＋B）＝sin C，∵0＜C＜π，∴sin C＞0，∴cos A＝1，∴cos A＝＞0，∴△ABC的内角A为锐角，∴A＝. 二、填空题 11.在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC的三边长分别为a，b，c，则＋＋＝　7　. 解析： ∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，∴＝＝＝2R＝2，∴＋＋＝2＋1＋4＝7. 12.（2025·浙江金华检测）在△ABC中，a＝3，c＝3，A＝45°，则△ABC的最大内角等于　105°　. 解析： 由正弦定理可得＝⇒3sin C＝csin A⇒sin C＝，由于a＝3＞ c＝3，∴A＞C，C＝30°，∴最大内角B＝180°－A－C＝105°. 13.（2025·陕西西安检测） △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若满足 a＝3，B＝的三角形有一个解，则b的取值范围是　∪[3，＋∞）　. 解析： 在△ABC中，由正弦定理＝，得sin A＝，而a＝3，B＝，当sin A＝1时，△ABC只有一个解，b＝asin B＝.当a≤b，即b≥3时，0＜A≤ B＝，△ABC只有一个解，∴b的取值范围是∪[3，＋∞）. 三、解答题 14. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝b，求C. 解：由A－C＝90°，得A为钝角且sin A＝cos C， 利用正弦定理，a＋c＝b可变形为sin A＋sin C＝sin B， 又sin A＝cos C，∴sin A＋sin C＝cos C＋sin C＝sin（C＋45°）＝sin B，又A，B，C是△ABC的内角， ∴C＋45°＝B，或（C＋45°）＋B＝180°（舍去）， ∴A＋B＋C＝（90°＋C）＋（C＋45°）＋C＝180°，即C＝15°. 15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝30°，b＝，c＝2. （1）求角C的大小； 解：（1）由正弦定理得＝，即＝， ∴sin C＝，可得C＝45°，或C＝135°，经检验，均满足题意. （2）若角C为锐角，求a的值. 解：（2）若角C为锐角，由（1）可知C＝45°， ∴A＝180°－45°－30°＝105°，又sin 105°＝sin（60°＋45°）＝ sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝×＋×＝，由正弦定理得＝，即＝，解得a＝＋1. 16.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－. （1）求B的大小； 解：（1）由正弦定理，得＝－＝，∴2sin Acos B＋sin Ccos B＋ sin Bcos C＝0，即2sin Acos B＋sin[π－（C＋B）]＝2sin Acos B＋sin A＝0，∴cos B＝－.又0＜B＜π，∴B＝. （2）若b＝，a＋c＝4，求a的值. 解：（2）将b＝，a＋c＝4，B＝，代入b2＝a2＋c2－2accos B，得13＝a2＋（4－a）2－2a（4－a）·cos，即a2－4a＋3＝0.解得a＝1，或a＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $