6.4.3 第1课时 余弦定理 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3 第1课时 余弦定理 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 1.在△ABC中，若ac＝8，a＋c＝7，B＝，则b等于（　　） A.25 B.5 C.4 D. 2.（2024·广东茂名阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋c2－b2＝ac，ac＝4，则·等于（　　） A. B.－ C.2 D.－2 3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝，c＝3，B＝30°，则a等于（　　） A.2 B.3 C. D.2或 4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是（　　） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝8，b＝7，cosC＝，则最大角的余弦值是（　　） A.－ B.－ C.－ D.－ 6.在锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是（　　） A.（1，3） B.（1，5） C.（，） D.（1，2） 7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若A＝，a＝4，则bc的最大值是（　　） A. B.16 C. D.32 8.（多选）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且b＜c，则（　　） A.b＝2 B.b＝2 C.B＝60° D.B＝30° 9.（多选）在△ABC中，AB＝3，AC＝，B＝，则角A的可能取值是（　　） A. B. C. D. 二、填空题 10.在△ABC中，b2＝ac，且c＝2a，则cosB＝ . 11.在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝ ，AC边上的高为 . 12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，b＝3，c＝4，则·＋·＋·的值为 . 13.已知2，4，x是一个锐角三角形的三边长，请写出x的一个值： . 三、解答题 14.（1）在△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶（＋1），求△ABC各角的度数； （2）在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形. 15.（2024·山东聊城高一月考）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a－c）（a＋c）＝b（b－c）. （1）求角A的大小； （2）若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状. 16.任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”，即在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则a＝bcos C＋ccos B，b＝ccos A＋acos C，c＝acos B＋bcos A. （1）用余弦定理证明：a＝bcos C＋ccos B； （2）在△ABC中，若＝＝·，求cos A的值. 参 考 答 案 一、选择题 1.在△ABC中，若ac＝8，a＋c＝7，B＝，则b等于（　B　） A.25 B.5 C.4 D. 解析： 在△ABC中，若ac＝8，a＋c＝7，B＝，由余弦定理得b＝＝＝＝5. 2.（2024·广东茂名阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋c2－b2＝ac，ac＝4，则·等于（　D　） A. B.－ C.2 D.－2 解析： 由余弦定理得cos B＝＝.又B∈（0，π），∴B＝，∴·＝accos（π－B）＝－2. 3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝，c＝3，B＝30°，则a等于（　D　） A.2 B.3 C. D.2或 解析： 由余弦定理得cosB＝，即＝，整理得a2－3a＋ 6＝0，解得a＝，或a＝2. 4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是（　D　） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 解析： 由余弦定理可知b2＝a2＋c2－2accos B，而B＝60°，b2＝ac，∴ac＝a2＋c2－2ac·，即（a－c）2＝0，∴a＝c.又B＝60°，∴△ABC一定是等边三角形. 5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝8，b＝7，cosC＝，则最大角的余弦值是（　C　） A.－ B.－ C.－ D.－ 解析： 根据题意，由余弦定理可得c＝＝＝3.∵a＞b＞c，∴A＞B＞C，即A为最大角， ∴cos A＝＝＝－. 6.在锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是（　C　） A.（1，3） B.（1，5） C.（，） D.（1，2） 解析： 若a为最大边，则b2＋c2－a2＞0，即a2＜5，∴a＜；若c为最大边，则a2＋b2＞c2，即a2＞3，∴a＞，∴＜a＜. 7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若A＝，a＝4，则bc的最大值是（　B　） A. B.16 C. D.32 解析： 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，∵A＝，a＝4，∴16＝b2＋c2－bc，∵b2＋c2≥2bc，∴16＋bc≥2bc，即bc≤16，当且仅当b＝c＝4时，等号成立. 8.（多选）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且b＜c，则（　AD　） A.b＝2 B.b＝2 C.B＝60° D.B＝30° 解析： 由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b，整理得b2－6b＋8＝0，即（b－2）（b－4）＝0，由b＜c，得b＝2.又a＝2，cos A＝，∴B＝A＝30°. 9.（多选）在△ABC中，AB＝3，AC＝，B＝，则角A的可能取值是（　AC　） A. B. C. D. 解析： 由余弦定理，得AC2＝BC2＋BA2－2BC·BA·cos B，即3＝BC2＋9－2BC×3×，解得BC＝，或BC＝2.当BC＝时，BC＝AC，此时△ABC为等腰三角形，∴A＝B＝；当BC＝2时，AB2＋AC2＝BC2，此时△ABC为直角三角形，A＝. 二、填空题 10.在△ABC中，b2＝ac，且c＝2a，则cosB＝　　. 解析： ∵b2＝ac，且c＝2a，∴b2＝2a2，由余弦定理得cos B＝＝＝. 11.在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝　　，AC边上的高为　　. 解析： 由余弦定理的推论，可得cos A＝＝＝， 又0＜A＜π，∴A＝，∴sin A＝，则AC边上的高h＝ABsin A＝3×＝. 12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，b＝3，c＝4，则·＋·＋·的值为　－　. 解析： ∵a＝2，b＝3，c＝4，∴·＋·＋·＝accos（π－B）＋abcos（π－C）＋bccos·（π－A）＝－accos B－abcos C－bccos A＝－ac·－ab·－bc·＝－（a2＋c2－b2＋a2＋b2－c2＋b2＋c2－a2）＝－（a2＋b2＋c2）＝－×（22＋32＋42）＝－. 13.已知2，4，x是一个锐角三角形的三边长，请写出x的一个值：　4（答案不唯一）　. 解析： ∵2，4，x是一个锐角三角形的三边长，∴ 解得2＜x＜2，∴x的值可以为4. 三、解答题 14.（1）在△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶（＋1），求△ABC各角的度数； 解：（1）∵a∶b∶c＝2∶∶（＋1），∴设a＝2x，b＝x，c＝（＋1）x（x＞0）.由余弦定理可得cos A＝＝＝. 由0°＜A＜180°，可得A＝45°. 同理得cos B＝＝＝，由0°＜B＜135°，可得B＝60°，∴C＝180°－45°－60°＝75°. （2）在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形. 解：（2）由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝（2）2＋（＋）2－2×2×（＋）×cos 45°＝8，∴b＝2， 则cos A＝＝＝，又0°＜A＜135°，∴A＝60°，则C＝180°－（A＋B）＝75°. 15.（2024·山东聊城高一月考）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a－c）（a＋c）＝b（b－c）. （1）求角A的大小； 解：（1）∵（a－c）（a＋c）＝b（b－c），∴a2－c2＝b2－bc，即b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝＝，又A∈（0，π），∴A＝. （2）若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状. 解：（2）在△ABC中，由余弦定理得a2＝（）2＝3＝b2＋c2－bc＝（b＋c）2－3bc＝12－3bc，∴bc＝3，又b＋c＝2，∴b＝c＝，∴a＝b＝c＝，∴△ABC是等边三角形. 16.任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”，即在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则a＝bcos C＋ccos B，b＝ccos A＋acos C，c＝acos B＋bcos A. （1）用余弦定理证明：a＝bcos C＋ccos B； （1）证明：在△ABC中，由余弦定理可得，bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＋＝＝a，∴a＝bcos C＋ccos B. （2）在△ABC中，若＝＝·，求cos A的值. （2）解：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 由＝＝·，得＝＝－bccos A，即＝＝bccos A， 由余弦定理得＝＝， 令＝＝＝t（t＞0），则解得 ∴cos A＝＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $