6.4.1&6.4.2 平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

数学必修第二册 …/方法技巧/ :2.已知a=(1,2),b=(1,入)，a与b的夹角0为锐 1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的 角，求实数入的取值范围 步骤： (1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表 示求出这两个向量的数量积 (2)求模.利用a=√x2十y2计算两向量的模. (3)求夹角余弦值.由公式cos0= x1x2十y1y2 一求夹角余弦值。 √x+y·√x+y (4)求角.由向量夹角的范围及c0s0的值求0. 2.涉及非零向量a,b垂直问题时，一般借助a⊥b a·b=x12十1y2=0来解决. 对点训练 1.已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a十b.若aL c,则k= 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.(多选)已知a,b为平面向量，a=(4,3),2a十b=:4.已知向量a和b的夹角为0，定义a×b为向量a (3,18),a,b的夹角为0，b方向上的单位向量为 和b的“向量积”，a×b是一个向量，它的长度 e.则 ( ) 1a×bl=|a|b·sin0.如果u=(2,0),u-v A.b=(5,12) B.a·b=16 (1,-√3)，则u×(u十v)|= C.cs :5.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行 四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，找出D点 D.a在b上的投影向量为。 139 的位置，计算AB·AD的值为 2.(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b=(1, 0),c=a十b,若(a,c>=(b,c>,则t= A.-6B.-5C.5 D.6 3.在矩形ABCD中，AB=3,AD=2,E,F分别在 AB,AD上，且AE=1,则当DE⊥CF时，AF= 温馨提示 请做课时分层检测（九） 6.4.1&6.4.2 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例 明学习目标 知结构体系 1.能用向量方法解决简单的几何问题！ 课标 2.体会向量在解决数学问题中的作用. 平面几何中 平面向量在平面几何中的应用 要求 3.会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题， 平面向量应 的向量方法 平面向量在解析几何中的应用 体会向量在解决物理和实际问题中的作用。 1,通过合作探究用向量方法解决平面几何问题的实际 平面向量在物 平面向量在力学中的应用 素养 过程，发展数学建模及逻辑推理素养. 理中的应用 要求 2.通过用向量的方法解决力学问题及其他物理问题，发 例 平面向量在运动学中的应用 展数学建模及数学运算素养， 28 第六章平面向量及其应用 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (3)动量v是向量的数乘运算. (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 (4)功是力F与所产生的位移s的 题中涉及的几何元素，将 转化为向量 问题； 即时小练 (2)通过 ,研究几何元素之间的关系； .判断正误 八、 (3)把运算结果“翻译”成几何关系， (1)若△ABC是直角三角形，则有AB·BC=0. 2.向量在平面几何中的应用 () (1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量 定理： (2)若AB∥CD,则直线AB与CD平行.() a∥b台→a=b(b≠0)台x1y2-x2y1=0. (3)在△ABC中，若满足GA+GB+GC=0,则G (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质： 为△ABC的重心. () a⊥b台→a·b=0台→ 2.在△ABC中，已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7), (3)求夹角问题，用夹角公式： 则BC边的中线AD的长是 () cos 0-jab a·b (0为a与b: A.2√5 B C.35 号 的夹角). 3.在△ABC中，若(CA+CB)·(CA-CB)=0,则 (4)计算线段长度，常用模长公式： △ABC () ABI=(B-A)2+(yB-A)2. A.是正三角形 B.是直角三角形 3.向量在物理中的应用 C.是等腰三角形 D.形状无法确定 (1)物理间题中常见的向量有力、速度、加速度、4，当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为9，两人 位移等 用力大小都为F,若|F|=G引，则0的值为 (2)向量的加、减法运算体现在力、速度、加速度、 位移的合成与分解. 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 /方法技巧/ 题点一向量在平面几何证明中的应用 平面几何中利用向量证明的常见问题及方法 [典例]如图，在正方形ABCD中， (1)常见的利用向量证明的问题 E,F分别是AB,BC的中点.求证： ①利用共线向量定理证明线段平行或点共线； AF⊥DE. ②利用向量的模证明线段相等； ③利用向量的数量积为0证明线段垂直， (2)常用的两个方法 ①基向量法：选取已知的不共线的两个向量作 为基向量，用基向量表示相关向量，转化为基向 量之间的向量运算进行证明. ②坐标法：先建立平面直角坐标系，表示出点、 向量的坐标，利用坐标运算进行证明 对点训练 在直角梯形ABCD中，AD⊥AB,AB=2AD= 2CD,过点C作CE⊥AB于点E,M为CE的中 点，用向量的方法证明： 29 数学必修第二册 (1)DE∥BC: 对点训练 (2)D,M,B三点共线. 已知△ABC的面积为2，AB=2,A店.BC=1, 求AC边长， 题点三平面向量在物理中的应用 [典例]（1)一物体在力F1=（3,-4),F2=(2, 一5)，F3=(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动 到点B(0,5).在这个过程中三个力的合力所做 题点二利用平面向量求几何中的长度问题 的功等于 [典例]如图，在平行四边形AB (2)设作用于同一点的三个力 CD中，AD=1,AB=2,对角线 F1,F2,F3处于平衡状态，若|F1 /0 BD=2,求对角线AC的长. =1,|F2=2,且F1与F2的夹角 为如图所示。 ①求F3的大小； ②求F2与F3的夹角 /方法技巧/ 用向量方法解决物理问题的四个步骤 /方法技巧/… 问题转化 把物理问题转化为数学问题 利用向量法解决长度问题的策略 向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度 建立模型 建立以向量为载体的数学模型 的求解.一是利用图形特点选择基底，向向量的 数量积转化，用公式|a|2=a2求解；二是建立 求解参数 求向量的模、夹角、数量积等 平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公 0 式求解.若a=（xy),则a=√x2十y 回答问题 把所得的数学结论回归到物理问题中 30 第六章平面向量及其应用 :2.如图，一个物体受到同一平面内 北 对点训练 三个力F1,F2,F3的作用，沿北 1.奥运会帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距： 偏东45的方向移动了8m,其中 0 离内竞速的一项水上运动.如果一帆船所受的风： |F1=2N,方向为北偏东30°；|F2=4N,方向 力方向为北偏东30°，速度为20km/h,此时水的 为北偏东60°；F3=6N,方向为北偏西30°，求 流向是正东，流速为20km/h.若不考虑其他因： 合力F所做的功. 素，求帆船行驶的速度大小与方向 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.在如图所示的平面图形中，已知 M :4.一条宽为√5km的河，水流速度为2km/h,在河 OM=1,ON=2,∠MON= 两岸有两个码头A,B,已知AB=√3km,船在水 120°，BM=2MA,CV=2NA, B 中最大航速为4km/h,则当船从A码头最快到 则BC·OM的值为 A.-15B.-9 C.-6 D.0 达彼岸B码头时，所用的时间为h. 2.体育锻炼是青少年生活学习中非常 5.家有重物，爸、妈、孩三人合力拉抬，用力依次为 重要的组成部分，某学生做引体向 f1,f2,f3,三个力的方向两两成60°角，大小依次 上运动，处于如图所示的平衡状态， 为3,2,1，方向如图所示.在这三个力的共同拉抬 若每只胳膊的夹角为60°，每只胳膊 的拉力大小均为360N,则该学生 下，重物恰好被沿竖直方向抬离地面，则物重为 的体重（单位：kg)约为（参考数据： ;孩子用力方向与竖直方向所成的角的 取重力加速度大小g=10m/s2,√3=1.732) 余弦值为 A.64 B.62 C.76 D.60 3.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP= 2(A+AC.则P市- :PB.PD= 温馨提示 请做课时分层检测（十） 31则(-2r-D(冬+）-(2+3（←右-2）-0 所以点C的坐标为(0,5)， 从而AC-(-2,4),BD=(-4,2), 化简得1+1=0，即P+4十6=0. 设AC与BD的夹角为0， 因为k,是正实数， AC·BD 故满足上式的，上不存在， 则cos0= 所以不存在这样的正实数k,,使x∥y ACI BDI 4 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 (-2)×(-4)+4×2 √(-2)2+4F×√（-4)2+2 5 必备知识·自主梳理 T12十V12 √/x+vx+y明 V(2-x1)+(w-y) 所以矩形的两对角线所夹锐角的余弦值为号 1xg十y1y2 x2十y1y2=0 对点训练 √xi十y√十喝 [依题意，得c=a十kb-(3十k,1),又a⊥c,所以a·c=0,即 即时小练 1.A[a·b=(1,1)·(-1,2)=1×(-1)+1×2=1.] 303+0+1-0,解得k=-号.] 2D[由题意得cos0-=。-号又周为E[0,1所以2.解已却#ab,2》,)-1+2以 2×2 因为a与b的夹角为锐角，所以cos>0,且cos0≠1，所以a·b0 且a,b不同向. 3.号[因为ab,所以a:b=1X(-2)+3m=0,解得m=号] 2 由a·b>0,得≥-7，由a与b同向得入=2 关键能力·合作探究 题点 所以实数入的取值范国为(-之2）U(2,十∞)， 典例解析(1)：a=(1,一2)，b=(一3,4)，c=(3,2),a十2b=素养演练·提升技能 (-5,6),.(a十2b)·c=(-5)×3十6×2=-3. !1.CD[.a=(4,3),.2a=(8,6).又2a十b=（3,18),.b=(-5,12), (2)建立平面直角坐标系如图所示，则A(0,2), E(2,1),D(2,2),B(0,0),C(2,0), 0b=-20+30=16又a=5b=18ms0=写6-需 国为正=2i所以F(号，2） a协上的投影句量为-。故连B.CD] 所以B正=(2,1)， O(B)1 2.C由题意，得c=ah=（3+,4,所以a·c=3(3+0+4x4=25+ 2 3t,b·c=(3十t)+0×4=3十t.因为(a,c)=(b,c〉，所以cos(a,c〉= -(2）-(2,0)=(-2） 4 0se,即日台-合名25言2=3，解得1=5故造C] 5 所以壶.市=(2,1)×（←号2） :3,之[建立如图所示的平面直角坐标系，则C(3 =2×（号)+1x2=号 2),D(0,2),E(1,0).设F(0,y),则DE=(1,-2), 蓄案IC(2)号 CF=(-3,y-2).DE⊥CF,D2⊥CF,.-3 O(A)E 对点训练 2+4=0,解得y=2心F(02)∴AF=2.] 1.B[a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2),所以(a+2b)·(a-3b)=!4.2√5[：u=(2,0),u-v=(1,-5),∴v=(1,3)..u+v= 4×(-1)+(-3)×2=-10.] 2.解(1)设a=b=(入，2λ)（λ>0），则有a·b=λ十4=10，解得A=: (3,W3).∴u(u+)=6,u=2,u+v=2√5.设向量u和u+y 2,.a=(2,4). 的夹角为a,则cosa一 u·(u十v) 6 (2).b·c=1×2十2×(-1)=0，a·b=10, uu+v2×2W3 5.sina=2 2 .a(b·c)=0a=0,(a·b)c=10(2,-1)=(20,-10) 题点二 uX(u+w=uu中sina=2X2X号=2.] 典例(1)C(2)5[(1)AB=√4-1)+(1-2)-√0，AC1=5.11,[以点A为坐标原点，建立如图所示的平面 √(0-1)2+(-1-2)产=√10.又|BC1=√0-402+(-1-1)产= 直角坐标系，则A(0,0),B(4,1),C(6,4),根据 四边形ABCD为平行四边形，可以得到D(2, √20，∴.AB=AC,且AB2+AC2=BC2,因此△ABC为等腰直！ 角三角形 3),所以AB·AD=(4,1)·(2,3)=8+3=11.] 2):a+b=(x-1,y十2)=(1,3，则x=2,且y-1,a=(2,1),6.4.1&6.4.2平面几何中的向量方法 则a一2b=(4,-3),故a一2b=4+(-3)2=5.] 对点训练 向量在物理中的应用举例 ·必备知识·自主梳理 1.C[因为a=(2,1),所以a=√22+1卫=√5，所以a十2b2= a+2b)=a+46+4a·b=a2+4b2+4abc0s受=5+ 1.(1)平面几何问题(2)向量运算2.(2)x1x2十yy=0 (3) x1x?十y1y2 3.(4)数量积 16=21,故a十2b=√2I.故选C.] √xi+yiW/+y :即时小练 2.一5 ,[a=(1,2),b=(-3,4),∴c=a+b=(1-3入，2+4)，1.(1)×(2)×(3)√ c=c1-30+2+=25+10以+5=25(+号)+42.B[Bc中点为D(受，6）i-（-吾，5），所以市-5] 当=吉时，cm=2】 !3.C[(CA+CB)·(CA-CB)-CA2-CB=0,即CA1=CB1, ,.CA=CB,则△ABC是等腰三角形.] 题点 典例(1)D[因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+b=(1+A,1-λ)，a+ :4.120°[作OA=F,Oi=F2,O元=-G(图略)，则O元-OA+Oi,当 b=(1十4,1一4)，由(a十b)⊥(a十b)可得，(a十b)· F1=F2|=G引时，△OAC为正三角形，所以∠A(C=60°.从而 (a十b)=0,即(1+入)(1+)+(1-A)(1-a)=0,整理得：4= ∠A0B=120°，即0=120°.] 一1.故选D. !关键能力·合作探究 (2)①证明因为A(2,1,B(3,2),D(-1,4), :题点一 AB=(1,1),AD=(-3,3), !典例证明法一：设AD=a,AB-b, 所以AB·AD=1×(-3)+1×3=0, 则a=b,a·b=0. 所以AB⊥AD,即AB⊥AD. 又D成-Di+A正=-a+b,A亦=A店+B萨=b+2a,所以， ②解因为AB⊥AD,四边形ABCD为矩形， 所以AB=DC,设点C的坐标为(x,y), D庞-(b+）·(（-a+)=-合心-子a·b+号6 则由AB=(1,1),DC=(x+1,y-4), -号a3+号b2=0 得行解得8： 故AF⊥DE,即AF⊥DE 246 法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长 ·对点训练 为2，则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),AF 解因，建立平面直角坐标系红轴的正方向 (2,1),DE-(1,-2). 为东，y轴的正方向为北).风力的方向为北偏 东30°，速度大小U1-20km/h,水流的方向 因为AF.D正=(2,1)·(1，-2)=2-2=0，所以 为正东，速度大小=20km/h,帆船行驶的 AF⊥DE,即AF⊥DE. 速度为v,方向为北偏东90°一a, 对点训练 则=山十 证明如图，以E为坐标原点，AB所在直线为 由题意可得向量y1=(20cos60°，20sin60)=(10,10√3)，向量v2= x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐 (20,0), 标系 则帆船行驶的速度 令|AD=1, v=1+=(10,10√3)+(20,0)-(30,10√3)， 则DC=1,AB=2. ∴.v=√302+(103)2-20√3(km/h). CE⊥AB,AD=DC, ∴.四边形AECD为正方形， .tan a=103_3 30 3 .各，点的坐标分别为E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0). a为锐角，∴.a=30 (1).ED=(-1,1)-(0,0)=(-1,1), .帆船向北偏东60°方向行驶，速度大小为20√5km/h BC=(0,1)-(1,0)=(-1,1), :2.解以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立 1北 .ED=BC,∴ED∥BC 平面直角坐标系，如图所示，则F1=(1,√5)，F2= E B,C,D三点不共线，DE∥BC (2√5,2)，F3=(-3,3√3)，所以F=F1十F2+Fg E (2)连接MB,MD. =(2√3-2,2+4√5). M为CE的中点M(0,2) 又位移s=(4√2,4√2)，故合力F所做的功为W=F·s=(2√5一2) ∴市=(-1,1)-(0，）=（-1，） ×42+(2十4√3)×4√2=42×63=24√6(J).即合力F所做的功为 24√6J. 应=1.0)-(0，)=（1.-) 素养演练·提升技能 i1.C[如图，连接MV. ∴Md=-Mi,.M市∥Mi. .BM=2 MA,CN-2 NA. MD与MB有公共点M,∴.D,M,B三点共线： 题点二 典例解法-：设Ad-a,Ai=b,则Bd=a-b,AC=a+b. '|BD|=|a-b|=Wa-2a·b+b=√1+4-2a·b MN/BC且瓷子 √5-2a·b=2, ∴BC-3MV-3(ON-OD ∴5-2a:b=4da:b=2 .BC·OM=3(ON.OM-OM) =3(2×1×c0s120°-12)=-6. 又AC2=a+b2=a2+2a·b+b=1+4+2a·b=6,AC = 2.B[设两只胳膊的拉力分别为fi,f2,且f1|=f2|=360,f1与 √6，即AC=W6. f:的夹角为60°，.1fi+f=√(f1+f2)尸= 法二：由平行四边形对角线长与边长之间的关系，得AC十BD= √f+fi+2f1·f:=√360+360+360=360√3≈624(N), 2(AD2+AB) .mg≈624，.n≈62. .AC2=2(12+22)-4=6,∴.AC=√6 3. 一1[以点A为坐标原点，AB,AD所在 对点训练 直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直 解如图所示，建立平面直角坐标系，设，点C(x,y) 角坐标系，则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0, 因为AB=2,所以B点坐标是(2,0)， 所以AB=(2,0),BC=(x-2,y). 2),市-号i+A)=(2,0)+(2, 因为AB·BC-1, 2)=(2,1),则点P(2,1),PD=(-2,1), 所以2(x一2)=1，所以x=号 5 PB=(0,-1),因此，PD=√-2)+1°- 5,PB·PD=0×(-2)+(-1)×1=二1.] 又S=所以·y=号 4.0.5「如图所示，设AC为水流速度，AD为航行速 度，以AC和AD为邻边作□ACED, 则 当AE与AB重合时能最快到达彼岸 根据题意知AC⊥AE, C点坐标为（受，是）从而花-（停是） 在Rt△ADE和□ACED中， DE-AC=2,AD=4,∠AED=90°， 所以花侵)+() ∴AE=√AD2-DE?=25, 1C边的长为回 5÷25=0.5h),sin∠EAD-, 题点三 ∴.∠EAD=30° 典例解析（1)因为F1=(3,一4)，Γ2=(2，-5)， ∴.船实际航行速度大小为4km/h,与水流成120°角时能最快到达B F=(3,1),所以合力F=F1十F2十F=(8,一8)， 码头，用时0.5h] AB=(-1,4), 5.5 10[:f=3,f:=2,f=1,三个力的方向两两成60 则F·AB=-1×8-8×4=-40, 角，∴.f十f:十f3=√(f+f2+f3)2=√9+4+1+6+2+3- 即三个力的合力所做的功为一40. 5,∴.物重为5. 答案一40 (2)①由题意F:=F1十F2, 设所求角为0，则ms0=:士+2 f3f1+f2+f3 因为F=1,F=2,且F与F2的夹角为2 3 1×3×2+1×2×7+1×1 7 1×5 所以E=F+E=√1+4+2X1×2×(-立)=原 10] 6.4.3余弦定理、正弦定理 ②设F2与F3的夹角为0， 第一课时余弦定理 因为F,一一(F,十F3),两边平方得 必备知识·自主梳理 1=4+3+2×2×√3cos0, 1.其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 所以c0s-5,所以0=5西 +c2-2 becos A c2+a2-2 cacos B a2+b-2 abcos C2.元素 2 6 解三角形 247