6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

6.4　平面向量的应用 6.4.1　平面几何中的向量方法　6.4.2　向量在物理中的应用举例 基础过关练 题组一　向量在平面几何中的应用 1.(2025河南九师联盟期中)在矩形ABCD中,=(1,2),=(x,0),则矩形ABCD的面积为　(　　) A.5　　B.10　　C.20　　D.25 2.(2025江西南昌第十九中学月考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,D是CB边的中点,过点C作CE⊥AD于点E,延长CE交AB于点F,则BF=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 3.(多选题)(2025江苏无锡第一中学月考)在△ABC中,AB=2,AC=5,∠BAC=60°,BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P,则下列结论正确的是(　　) A.AM=　　 B.BN= C.∠MPN的余弦值为　　 D.++=0 4.(教材习题改编)如图,在平行四边形ABCD中,AD=1,AB=2,对角线BD=2,则对角线AC的长为　　　　.  5.(2025江苏扬州大学附属中学月考)如图,在△ABC中,AB=2,AC=4,∠BAC=60°,E,F分别为AC,BC上的点,且=,=. (1)求||; (2)求证:AF⊥BE; (3)若线段BE上一动点P满足2++=0,试确定点P的位置. 6.如图,在△ABC中,AC=2,AB=4,点D在边BC上,且=t(t∈R). (1)若t=,∠BAC=,求||; (2)若t=,AD恰为BC边上的高,求∠BAC; (3)若AD=3,求t的取值范围. 题组二　向量在物理中的应用 7.(2025河北石家庄月考)体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的部分.某学生做引体向上运动,当他处于如图所示的平衡状态时,两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为200 N,则该学生的体重(单位:kg)为(参考数据:g=10 N/kg)(　　) A.60　　B.61　　C.75　　D.60 8.(2025黑龙江哈尔滨三中月考)如图所示,一条河两岸平行,河的宽度为400 m,一艘船从河岸的A地出发,向河对岸航行.已知船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|=6 km/h,水流速度v2的大小为|v2|=2 km/h,船的速度与水流速度的合速度为v,那么当航程最短时,下列说法正确的是(　　) A.船头方向与水流方向垂直 B.cos<v1,v2>=- C.|v|=4 km/h D.该船到达对岸所需时间为3 min 9.(多选题)(教材习题改编)在日常生活中,我们经常看到两个人共提一个旅行包的场景,如图所示.已知旅行包所受的重力为G,作用在旅行包上的两个拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与F2的夹角为θ,则下列结论中正确的是(　　) A.θ越大越费力,θ越小越省力 B.θ的取值范围为 C.当θ=时,|F1|=|G| D.当θ=时,|F1|=|G| 10.(2025福建宁德期中)如图,一滑轮组中有两个定滑轮A,B,在从连接点O出发的三根绳的端点处挂着三个重物,它们所受的重力分别为4 N,4 N,7 N,此时整个系统处于平衡状态,则cos∠AOB=　　　　.  11.(2025山东菏泽一中月考)一质点在力F1=(-3,5),F2=(2,-3)的共同作用下,由点A(10,-5)移动到点B(4,0),则F1,F2的合力F对该质点所做的功为　　　　.  12.已知一条东西方向的小河两岸平行,河的宽度为d m,某人从河的北岸出发到河对岸,水流自西向东,大小为|v0|=1 m/s,设某人在静水中游泳的速度为v1,在流水中的实际速度为v2. (1)要使此人游的路程最短,且|v1|= m/s,求此人游泳的方向与水流方向的夹角α和v2的大小; (2)要使此人游的时间最短,且|v1|= m/s,求此人实际前进的方向与水流方向的夹角β和v2的大小. 答案与分层梯度式解析 6.4　平面向量的应用 6.4.1　平面几何中的向量方法 6.4.2　向量在物理中的应用举例 基础过关练 1.B 2.C 3.BD 7.D 8.C 9.AD 1.B　由四边形ABCD为矩形,得==-=(x-1,-2),又AB⊥AD,所以·=0,即1×(x-1)+2×(-2)=0,解得x=5,从而=(4,-2),则||=, 又||=,所以矩形ABCD的面积为×=10. 2.C　解法一(基底法):设=λ,∵AD⊥CF,∴·=0, ∵D是CB边的中点, ∴=(+), ∴(+)·(-)=0, ∴(+)·(λ-)=0, ∴(λ-1)·+λ-=0,① ∵AC=BC=1,∠ACB=90°, ∴AB==,且∠BAC=45°, ∴=1,=2,·=×1×=1, 代入①式得(λ-1)×1+2λ-1=0, 解得λ=, ∴=,∴BF=AB=. 解法二(坐标法):∵∠ACB=90°,AC=BC=1, ∴△ABC为等腰直角三角形, ∵D为BC边的中点,∴CD=, 以C为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 则C(0,0),A(0,1),B(1,0),D,故=, 过点F作FH⊥CB交CB于点H,则FH=HB,由CH+HB=1得CH+FH=1, ∴设F(x,1-x),则=(x,1-x), 由AD⊥CF得·=x-(1-x)=0,解得x=,故F,∴=,∴BF=||=. 3.BD　由题可知M,N分别为BC,AC的中点,则=(+),所以=(++2·)=(++2||·||cos∠BAC)=×4+25+2×2×5×=,则||=,故A错误; =-,则==+-2·=+4-2××2×=,则||=,故B正确; 由题可知P为△ABC的重心, 则cos∠MPN== = =× =×=,故C错误; ++=-+(-)+(-)=+-3=+-3×=+-3××(+)=0,故D正确. 4.答案　 解析　设=a,=b,则=a-b,=a+b, ∴||=|a-b|====2,则a·b=, ∴||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=1+2×+4=6,∴||=,即AC=. 5.解析　(1)记=a,=b,则|a|=2,|b|=4,a·b=2×4cos 60°=4,因为=, 所以=+=+=+(-)=+=a+b, 则==a2+a·b+b2=×4+×4+×16=,故||=. (2)证明:因为=,所以=+=-+=-a+b, 所以·=·=-a2+b2=-×4+×16=0,则⊥,即AF⊥BE. (3)因为=,所以E是AC的中点, 故+=2, 因为2++=0,所以2+2=0,即=-, 所以P是线段BE的中点. 6.解析　(1)若t=,则=,即D为BC的中点, 所以=(+), 因为∠BAC=,AC=2,AB=4, 所以||= ==. (2)若t=,则==(-), 因为AD恰为BC边上的高,所以⊥, 因为=+=+(-)=+,=-, 所以·=·(-) =-·- =×22-×2×4×cos∠BAC-×42=0, 所以cos∠BAC=0,则∠BAC=. (3)由题意得=+=+t=+t(-)=t+(1-t),所以=t2+(1-t)2+2t(1-t)·, 即9=16t2+4(1-2t+t2)+(16t-16t2)cos∠BAC, 易知0<t<1,所以cos∠BAC=(用t表示cos∠BAC,利用余弦函数的有界性求t的范围), 因为∠BAC∈(0,π),所以-1<cos∠BAC<1,即-1<<1,又0<t<1,所以<t<. 所以t的取值范围是. 7.D　如图,||=||=200,∠AOB=60°,作平行四边形OACB,则平行四边形OACB是菱形,=+, 易得||=2||sin 60°=600, 所以|G|=||=600, 因此该学生的体重为=60(kg). 8.C　当航程最短时,船的实际航线应垂直于河岸,此时合速度v垂直于河岸,故船头方向与水流方向不垂直,故A错误. 设船在静水中的速度v1与水流速度v2的夹角为θ,因为船的实际航线垂直于河岸,所以|v2|=|v1|cos(180°-θ), 即2=6cos(180°-θ),所以cos θ=-,即cos<v1,v2>=-,故B错误. |v|===4(km/h),故C正确. 河的宽度为400 m=0.4 km,合速度v的大小为|v|=4 km/h,则该船到达对岸所需时间t= h= h=×60 min=3 min,故D错误. 9.AD　根据题意得|G|=|F1+F2|,所以|G|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos θ=2|F1|2(1+cos θ),θ∈(0,π),解得|F1|2=,易知当θ∈(0,π)时,y=cos θ单调递减,所以|F1|2随θ的增大而增大,故θ越大越费力,θ越小越省力,故A正确,B错误; 当θ=时,|F1|2=,所以|F1|=|G|,故C错误; 当θ=时,|F1|2=|G|2,所以|F1|=|G|,故D正确. 10.答案　 解析　依题意,||=||=4,|+|=7, 则+2·+=49, 即16+2·+16=49,解得·=, 所以cos∠AOB==. 11.答案　16 解析　由题意得F=F1+F2=(-3,5)+(2,-3)=(-1,2), =(4,0)-(10,-5)=(-6,5), 则合力F对该质点所做的功为F·=(-1,2)·(-6,5)=6+10=16. 12.解析　(1)要使此人游的路程最短,只需此人的游泳速度与水流速度的合速度与对岸垂直,如图1. 此人游泳的方向与水流方向的夹角α=∠ACB, 此时|v2|==1 m/s,α=∠ACB=. 　 (2)如图2,由题意知v0与v2的夹角为β,设v0与v1的夹角为θ,实际游泳的路程为s m, 则|v1|sin(π-θ)=|v2|sin β,即|v1|sin θ=|v2|sin β,sin β=,(过v1,v2的终点作v0所在直线的垂线,构造直角三角形即可得到) ∴=,为实际的路程除以实际的速度,即所用的时间,当sin θ最大时,时间最短  ∴当θ=时,此人游到对岸用时最短, 此时|v2|==2 m/s,tan β=,故β=. 7 学科网（北京）股份有限公司 $