6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

数学必修第二册 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知向量a=(cosa,-2),b=(sina,1),且a∥：5.已知向量a=(1,2),b=(-2,1),k,t为正实数， b,则2 sin acos a等于 ( ) =a十+1b:y=一名a+b,间是否存在实 A.3 B.-3 C.- D. 数k,,使x∥y?若存在，求出的取值范围；若 2.已知向量a=(3,5),b=(cosa,sina),且a∥b, 不存在，请说明理由. 则tana等于 ( A. B号 c. n- 3.已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb= (9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为 4.设向量OA绕点O逆时针旋转得向量OB,且 2OA+OB=(7,9),则向量OB= 温馨提示 请做课时分层检测（八） 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 明学习目标 知结构体系 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向 课标 量数量积的坐标运算」 平面向量数量积的坐标表示 要求 2.能运用坐标表示两个向量的夹角和模，会利用坐 平面向 平面向量长度（模）的坐标表示 标运算判断向量垂直. 量数量 积的坐 平面向量垂直的坐标表示 标表示 素养 通过推导数量积的坐标运算、求夹角和模及向量垂 平面向量夹角的坐标表示 要求 直的判断，发展逻辑推理素养及数学运算素养. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 平面向量数量积的坐标表示 即时小练 设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的 夹角为0，则有： 1.若向量a=(1,1),b=(-1,2),则a·b=（) 坐标表示 A.1 B.2 C.3 D.4 数量积 a·b= 2.已知a=(-√3，-1)，b=(1,3),那么a,b的夹 模 lal= 或a2= 角0= 两点间 设P1(x1y1),P2(x2y2) 距离公式 A晋 B 则P1P2= 垂直 a⊥b台a·b=0台 c等 D. a·b 3.已知向量a=(1,3),b=(-2,m),若a⊥b,则 夹角 cos /a11b= m= 26 第六章平面向量及其应用 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 (2)已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a+b= 题点一平面向量数量积的坐标运算 (1,3),则|a-2b= [典例](1)设a=(1,-2),b=(-3,4),c= /方法技巧/ (3,2),则(a十2b)·c= ( 向量模的问题的解题策略 A.12 B.0 C.-3D.-11 (1)字母表示下的运算，利用|a|2=a2将向量 (2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中： 模的运算转化为向量的数量积的运算. 点，点F在AD上，AF=2FD,则BE·CF= (2)坐标表示下的运算，若a=(x,y),则a √2十y,求模时，勿忘记开平方. /方法技巧/ 数量积坐标运算的技巧 对点训练 (1)进行向量的数量积运算时，通常有两条途 径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行 1.已知向量a,b的夹角为2，且a=(2,1),b=2, 数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积 则|a+2b|= ( 的运算律将原式展开，再依据已知条件计算. A.3 B.23 C.√21 D.√41 (2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规 2.己知向量a=(1,2),b=(-3,4),c=a十b(入∈ 则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的 R),则|c取最小值时，入的值为 坐标，再求数量积 题点三向量的夹角与垂直问题 对点训练 [典例](1)(2023·新课标I卷)已知向量a= 1.已知a=(2,-1),b=(1,-1),则(a+2b)·(a-3b) (1,1),b=(1,-1),若(a+b)⊥(a十b),则 ( ) ( A.10 B.-10C.3 D.-3 A.λ十u=1 B.入十4=-1 2.已知a与b同向，b=(1,2),a·b=10. C.入4=1 D.λu=-1 (1)求a的坐标； (2)已知点A(2,1),B(3,2),D(-1,4). (2)若c=(2,-1),求a(b·c)及(a·b)c. ①求证：AB⊥AD: ②要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以 及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值. 题点二向量模的问题 [典例](1)已知A,B,C是坐标平面上的三点，其 坐标分别为A(1,2),B(4,1),C(0,-1),则 △ABC的形状为 ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.以上均不正确 27 数学必修第二册 …/方法技巧/ :2.已知a=(1,2),b=(1,入)，a与b的夹角0为锐 1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的 角，求实数入的取值范围 步骤： (1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表 示求出这两个向量的数量积 (2)求模.利用a=√x2十y2计算两向量的模. (3)求夹角余弦值.由公式cos0= x1x2十y1y2 一求夹角余弦值。 √x+y·√x+y (4)求角.由向量夹角的范围及c0s0的值求0. 2.涉及非零向量a,b垂直问题时，一般借助a⊥b a·b=x12十1y2=0来解决. 对点训练 1.已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a十b.若aL c,则k= 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.(多选)已知a,b为平面向量，a=(4,3),2a十b=:4.已知向量a和b的夹角为0，定义a×b为向量a (3,18),a,b的夹角为0，b方向上的单位向量为 和b的“向量积”，a×b是一个向量，它的长度 e.则 ( ) 1a×bl=|a|b·sin0.如果u=(2,0),u-v A.b=(5,12) B.a·b=16 (1,-√3)，则u×(u十v)|= C.cs :5.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行 四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，找出D点 D.a在b上的投影向量为。 139 的位置，计算AB·AD的值为 2.(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b=(1, 0),c=a十b,若(a,c>=(b,c>,则t= A.-6B.-5C.5 D.6 3.在矩形ABCD中，AB=3,AD=2,E,F分别在 AB,AD上，且AE=1,则当DE⊥CF时，AF= 温馨提示 请做课时分层检测（九） 6.4.1&6.4.2 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例 明学习目标 知结构体系 1.能用向量方法解决简单的几何问题！ 课标 2.体会向量在解决数学问题中的作用. 平面几何中 平面向量在平面几何中的应用 要求 3.会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题， 平面向量应 的向量方法 平面向量在解析几何中的应用 体会向量在解决物理和实际问题中的作用。 1,通过合作探究用向量方法解决平面几何问题的实际 平面向量在物 平面向量在力学中的应用 素养 过程，发展数学建模及逻辑推理素养. 理中的应用 要求 2.通过用向量的方法解决力学问题及其他物理问题，发 例 平面向量在运动学中的应用 展数学建模及数学运算素养， 28则(-2r-D(冬+）-(2+3（←右-2）-0 所以点C的坐标为(0,5)， 从而AC-(-2,4),BD=(-4,2), 化简得1+1=0，即P+4十6=0. 设AC与BD的夹角为0， 因为k,是正实数， AC·BD 故满足上式的，上不存在， 则cos0= 所以不存在这样的正实数k,,使x∥y ACI BDI 4 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 (-2)×(-4)+4×2 √(-2)2+4F×√（-4)2+2 5 必备知识·自主梳理 T12十V12 √/x+vx+y明 V(2-x1)+(w-y) 所以矩形的两对角线所夹锐角的余弦值为号 1xg十y1y2 x2十y1y2=0 对点训练 √xi十y√十喝 [依题意，得c=a十kb-(3十k,1),又a⊥c,所以a·c=0,即 即时小练 1.A[a·b=(1,1)·(-1,2)=1×(-1)+1×2=1.] 303+0+1-0,解得k=-号.] 2D[由题意得cos0-=。-号又周为E[0,1所以2.解已却#ab,2》,)-1+2以 2×2 因为a与b的夹角为锐角，所以cos>0,且cos0≠1，所以a·b0 且a,b不同向. 3.号[因为ab,所以a:b=1X(-2)+3m=0,解得m=号] 2 由a·b>0,得≥-7，由a与b同向得入=2 关键能力·合作探究 题点 所以实数入的取值范国为(-之2）U(2,十∞)， 典例解析(1)：a=(1,一2)，b=(一3,4)，c=(3,2),a十2b=素养演练·提升技能 (-5,6),.(a十2b)·c=(-5)×3十6×2=-3. !1.CD[.a=(4,3),.2a=(8,6).又2a十b=（3,18),.b=(-5,12), (2)建立平面直角坐标系如图所示，则A(0,2), E(2,1),D(2,2),B(0,0),C(2,0), 0b=-20+30=16又a=5b=18ms0=写6-需 国为正=2i所以F(号，2） a协上的投影句量为-。故连B.CD] 所以B正=(2,1)， O(B)1 2.C由题意，得c=ah=（3+,4,所以a·c=3(3+0+4x4=25+ 2 3t,b·c=(3十t)+0×4=3十t.因为(a,c)=(b,c〉，所以cos(a,c〉= -(2）-(2,0)=(-2） 4 0se,即日台-合名25言2=3，解得1=5故造C] 5 所以壶.市=(2,1)×（←号2） :3,之[建立如图所示的平面直角坐标系，则C(3 =2×（号)+1x2=号 2),D(0,2),E(1,0).设F(0,y),则DE=(1,-2), 蓄案IC(2)号 CF=(-3,y-2).DE⊥CF,D2⊥CF,.-3 O(A)E 对点训练 2+4=0,解得y=2心F(02)∴AF=2.] 1.B[a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2),所以(a+2b)·(a-3b)=!4.2√5[：u=(2,0),u-v=(1,-5),∴v=(1,3)..u+v= 4×(-1)+(-3)×2=-10.] 2.解(1)设a=b=(入，2λ)（λ>0），则有a·b=λ十4=10，解得A=: (3,W3).∴u(u+)=6,u=2,u+v=2√5.设向量u和u+y 2,.a=(2,4). 的夹角为a,则cosa一 u·(u十v) 6 (2).b·c=1×2十2×(-1)=0，a·b=10, uu+v2×2W3 5.sina=2 2 .a(b·c)=0a=0,(a·b)c=10(2,-1)=(20,-10) 题点二 uX(u+w=uu中sina=2X2X号=2.] 典例(1)C(2)5[(1)AB=√4-1)+(1-2)-√0，AC1=5.11,[以点A为坐标原点，建立如图所示的平面 √(0-1)2+(-1-2)产=√10.又|BC1=√0-402+(-1-1)产= 直角坐标系，则A(0,0),B(4,1),C(6,4),根据 四边形ABCD为平行四边形，可以得到D(2, √20，∴.AB=AC,且AB2+AC2=BC2,因此△ABC为等腰直！ 角三角形 3),所以AB·AD=(4,1)·(2,3)=8+3=11.] 2):a+b=(x-1,y十2)=(1,3，则x=2,且y-1,a=(2,1),6.4.1&6.4.2平面几何中的向量方法 则a一2b=(4,-3),故a一2b=4+(-3)2=5.] 对点训练 向量在物理中的应用举例 ·必备知识·自主梳理 1.C[因为a=(2,1),所以a=√22+1卫=√5，所以a十2b2= a+2b)=a+46+4a·b=a2+4b2+4abc0s受=5+ 1.(1)平面几何问题(2)向量运算2.(2)x1x2十yy=0 (3) x1x?十y1y2 3.(4)数量积 16=21,故a十2b=√2I.故选C.] √xi+yiW/+y :即时小练 2.一5 ,[a=(1,2),b=(-3,4),∴c=a+b=(1-3入，2+4)，1.(1)×(2)×(3)√ c=c1-30+2+=25+10以+5=25(+号)+42.B[Bc中点为D(受，6）i-（-吾，5），所以市-5] 当=吉时，cm=2】 !3.C[(CA+CB)·(CA-CB)-CA2-CB=0,即CA1=CB1, ,.CA=CB,则△ABC是等腰三角形.] 题点 典例(1)D[因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+b=(1+A,1-λ)，a+ :4.120°[作OA=F,Oi=F2,O元=-G(图略)，则O元-OA+Oi,当 b=(1十4,1一4)，由(a十b)⊥(a十b)可得，(a十b)· F1=F2|=G引时，△OAC为正三角形，所以∠A(C=60°.从而 (a十b)=0,即(1+入)(1+)+(1-A)(1-a)=0,整理得：4= ∠A0B=120°，即0=120°.] 一1.故选D. !关键能力·合作探究 (2)①证明因为A(2,1,B(3,2),D(-1,4), :题点一 AB=(1,1),AD=(-3,3), !典例证明法一：设AD=a,AB-b, 所以AB·AD=1×(-3)+1×3=0, 则a=b,a·b=0. 所以AB⊥AD,即AB⊥AD. 又D成-Di+A正=-a+b,A亦=A店+B萨=b+2a,所以， ②解因为AB⊥AD,四边形ABCD为矩形， 所以AB=DC,设点C的坐标为(x,y), D庞-(b+）·(（-a+)=-合心-子a·b+号6 则由AB=(1,1),DC=(x+1,y-4), -号a3+号b2=0 得行解得8： 故AF⊥DE,即AF⊥DE 246