6.3.2&6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

数学必修第二册 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.如图，向量OA,OB,OC的终点在同一直线上，且：3.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥ AC=-3CB.设OA=p,OB=q,OC=r,则下列 CD,∠D=90°，AB=2CD,M为BC 等式中成立的是 的中点，若AM=入AD十uAB(入， ∈R),则入十= A.1 B c D. 2 3 4.如图，在△ABC中，点D,E是线 段BC上两个动点，且AD+AE 1 3 A.r=-2p+29 B.r=-p+2q =xA店+yAC,则上+4的最小 C.r-p-7 值为 D.r=-q+2p 号 B.2 2.(2022·新高考I卷)在△ABC中，点D在边AB c 上，BD=2DA.记CA=m,CD=n,则CB :5.己知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边 AC上，且EC=2AE,则BE EM= ( A.3m-2n B.-2m+3n (用AB,AC表示). C.3m+2n D.2m+3n 温馨提示 请做课时分层检测（六） 6.3.2&6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示 明学习目标 知结构体系 课标 借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及 平面向量的正交分解 要求 坐标表示，会用坐标表示平面向量的加减运算. 平面向量 的正交分 平面向量的坐标表示 借助平面直角坐标系及平面向量基本定理，学会平 解及加减 素养 运算的坐 平面向量加法运算的坐标表示 面向量的坐标表示及加减运算，发展数学抽象、逻 要求 标表示 辑推理及数学运算素养. 平面向量减法运算的坐标表示 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)平面向量的正交分解及坐标表示 量a的坐标，记作a=(x,y).其中，x叫做a在 1.正交分解 轴上的坐标，y叫做a在 轴上 把一个向量分解为两个互相 的向量，叫 的坐标 做把向量作正交分解， (3)坐标表示：a=(x,y)就叫做向量a的坐标 2.平面向量的坐标表示 表示 (4)特殊向量的坐标：i= (1)基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴 j= 方向 的两个 取{i,j}作为 向量分别为ij,3.向量与坐标的关系 ,0= (2)坐标：对于平面内的任意一个向量a,由平面： 设OA=i十j,则向量OA的坐标 就是 终点A的坐标；反过来，终点A的坐标 向量基本定理可知， 一对实数x,y,使 得a=i+yj,我们把有序数对 叫做向 就是向量OA的坐标.这样就建立了向量的坐标 与点的坐标之间的联系 20 第六章平面向量及其应用 即时小练 两个向量差的坐标分别等于 减法 这两个向量相应坐标的 a- 1.判断正误 (1)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就： 是向量的终点坐标。 ( 一个向量的坐标等于表示此 已知A(x1y1),B 重要 (2)点的坐标与向量的坐标相同. 向量的有向线段的 结论 (x2y2),则AB= (3)平面内的一个向量a,其坐标是唯一的. 的坐标减去 的坐标 ( 2.如图，分别取与x轴，y轴正 即时小练 方向相同的两个单位向量{， 1.判断正误 j}作为基底，若|a|=√2,0= (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标 45°，则向量a的坐标为 一定不同 ( ( (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就 A.(1,1) B.(-1,-1) 是向量终点的坐标 ) C.(√2,2) D.(-2,-√2) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关 3.如图，向量a,b,c的坐标分别是 ( (4)点的坐标与向量的坐标相同. ( 2.已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b一a等于 6- 4 a b 2 A.(-2,1) B.(2,-1) 6-412246x C.(2,0) D.(4,3) 3.如图所示，{e1,e2}为正交基 -6 底，则向量2a+b的坐标为 e e (二)平面向量加、减运算的坐标表示 ( 设a=(x1,y1),b=(x2y2). A.(3,4) B.(2,4) 文字描述 符号表示 C.(3,4)或(4,3) 两个向量和的坐标分别等于 D.(4,2)或(2,4) 加法 这两个向量相应坐标的 a+b= 4.已知点A(2,-2),点B(4,1),则向量AB= 关键能力·合作探究 讲练设计探究重，点 b,四边形OABC为平行四边形，求向量a,b的 题点一平面向量的坐标表示 坐标. [典例](1)已知e1,e2分别表示x轴和y轴方向 上的单位向量，且a=4e1一3e2,则向量a的坐标： 赢在微点” 105A 关键在于刘用三 为 ( ) 角函数的定义求 纳A,C两点的坐利 A.(4e1,3e2) B.(4e1,-3e2) 145 C.(4,3) D.(4,-3) (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，OA=4,AB! =3,∠AOx=45°，∠0AB=105°，0OA=a,AB= -21 数学必修第二册 /方法技巧/ /方法技巧/… 求平面向量坐标的方法 向量坐标运算的方法 (1)若i,j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量， (1)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面 则当a=i十y时，向量a的坐标即为(x,y). 向量用坐标的形式表示出来，再根据两个向量 (2)向量的坐标等于其终点的相应坐标减去起 的和、差运算法则进行计算. 点的相应坐标， (2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的 ! (3)求向量的坐标一般转化为求点的坐标.解题 起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起 点坐标得到该向量的坐标。 时，常常结合几何图形，利用三角函数的定义和 (3)求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起 性质进行计算。 点，该点为终点的向量的坐标 对点训练 对点训练 1.已知AB=(1,3),且点A(-2,5),则点B的坐标 1.如图，在正方形ABCD中，O为中 为 ( 心，且OA=(-1,-1),则OB= A.(1,8) B.(-1,8) ;OC= ；OD= C.(3,2) D.(-3,2) 2.已知点A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设AB= 2.已知O是坐标原点，点A在第二象限，|OA=6, a.BC-b.CA=c,HCM-c,CN-b. ∠xOA=150°，则向量OA的坐标为 (1)求a十b-c; (2)求点M,N的坐标及向量MN的坐标. 题点二平面向量的坐标运算 [典例](1)已知点A(3,1),B(3,2),向量AC (-4,一3)，则向量BC= ( A.（-4,-4) B.(4,4) C.(-1,7) D.(1,-7) (2)已知向量a,b的坐标分别是(-1,2)，(3， -5),求a十b,a-b的坐标. 题点三平面向量坐标运算的应用 [典例]已知点A(2,3),B(5,4),AC=(5入，7). 若AP=AB+AC(a∈R),试求A为何值时， (1)点P在第一、三象限的角平分线上； (2)点P在第三象限内. 22 第六章平面向量及其应用 /方法技巧/ (2)若B(4,5),P(1+3t,2十31)，则四边形OABP 坐标形式下向量相等的条件及其应用 能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明 (1)条件：相等向量的对应坐标相等」 理由. (2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可 以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值. 对点训练 已知点O(0,0),A(1,2) (1)若点B(3,31),OP=OA+OB,则t为何值时，点 P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？ 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.设向量0A=(1,-2),OB=(2m,-1),O元= 心位于(2,1)时，则OP的坐标为 (-2",0),m,n∈R,O为坐标原点，若A,B,C三 点共线，则m十n的最大值为 ( A.-3B.-2C.2 D.3 2.已知两个力F1=(1,2),F2=(-2,3)作用于平 面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持：4.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线.若 静止，还需给该物体同一点上再加一个力F3,则： AB=(2,4),AC=(1,3),则BD= F3= ( )5.对于任意的两个向量m=(a,b),n=(c,d),规定 A.(1,-5) B.(-1,5) 运算“☒”为m☒n=(ac-bd,bc十ad).设m= C.(5,-1) D.(-5,1) (p,q),若(1,2)☒m=(5,0),则(1,2)+m= 3.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆 心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置 温馨提示 请做课时分层检测（七） 在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆： 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 明学习目标 知结构体系 课标 掌握数乘向量的坐标运算法则，理解用坐标表示平面向 数乘运算 要求 量共线的条件，掌握三点共线的判断方法. 向量共线的判定与证明 平面向量数乘 运算的坐标表示 由平面向量共线求参数 素养 通过数乘向量的坐标运算，理解平面向量共线的坐标表 要求 示形式，发展数学运算及数学抽象素养. 向量共线的综合应用 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.平面向量数乘运算的坐标表示 ,即实数与向 即时小练 已知a=(x,y),那么a= 量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相：1.已知向量a=(2,4),b=（-1,1),则2a-b= 应坐标. 2.平面向量共线的坐标表示 A.(5,7)B.(5,9) C.(3,7)D.(3,9) 设a=(x1y1),b=(x2y2),其中b≠0，a,b共线2.下列各对向量中，共线的是 ( 的充要条件是 A.a=(2,3),b=(3,-2) 23当A不共找，以合+行大是：对点训级1，》T由题用可知，CO一 一1)=(1,1).由正方形的对称性可知，B(1,一1)，所以0B=(1,一1).同 素养演练·提升技能 理OD=(-1,1).] 1.A[AC=-3C克，AB=-2C3=2BC.r=元=OA+AB+2.(-33,3)[设点A(x,),则x=OAlcos150°=60s150=-35, C-0i+A店+之A店-Oi+号(Oi-0i=号0i-之0i-y=isi血150=6sin150=3,即A(-35,3),所以0i (-35,3.] -p+] 3 !题点二 2.B[因为BD=2DA,所以AB=3AD,所以C第=CA+AB=Ci+ 典例解析(1)法一：设C(x,y), 3AD=CA+3(CD-CA)=-2CA+3Ci=-2m+3m.故选B.] 则AC=(x-3,y-1)=(-4,-3), 3.B[连接AC(图略)：M为BC的中点∴M=号(AC+AB),又 所以3二4解得{二)； {y-1=-3, 1y=-2, 所以C(一1，-2)， 花-市+成-本+号店，i=(+)+ 从而BC=(一1，-2)一(3,2)=（一4，一4）.故选A 合店-号ò+是店=合以=是+=年J 法二：AB=(3,2)-(3,1)=(0,1), BC=AC-AB=(-4,-3)-(0,1)=(-4,-4). 4.D[设Ai=mAB+nAC,A正=AAB+AC.B,D,E,C共线， (2)a+b=(-1,2)+(3,-5)=(2,-3), ∴m+n=1,A+u=1.AD+AE=xAB+yAC,则x+y=2,: a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-4,7). 答案(1)A(2)(2,-3)（-4,7) 2+-（+）x+)=(6++5)≥ 对点训练 1.B[设点B的坐标为，w,则A店=（红，）-(-2,5)=(x+2,y5) y 1y-5=3,1 时取等子子的小准受】 12.解由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)a+b-c=(5,-5)+(-6,-3)-(1,8) 5.号AC-AB2A店+日Ac[如图， =(-2,-16). (2)设O为坐标原点. .CM=OM-0C=c, ∴OM=c+0C=(1,8)+(-3,-4) =(-2,4),.M(-2,4). :武-2A花，驼-A正-A店=AC-AB,EM-武+Ci= 又：C=O-OC-b, 号AC+C第=号AC+号AB-AC)=AB+日A花.] ∴ON=b+OC-(-6,-3)+(-3,-4) =(-9,-7),∴N(-9,-7), 6.3.2&6.3.3平面向量的正交分解及坐标表示 .MN=(-9,-7)-(-2,4)=(-7,-11) 平面向量加、减运算的坐标表示 !题点三 必备知识·自主梳理 典例解设点P的坐标为（工，y), (一)1.垂直2.(1)相同单位基底(2)有且只有(x,y)xy 则AP=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3), (4)(1,0)(0,1)(0,0)3.(x,y)x,y) AB+AC-(5,4)-(2,3)+(5A,7A) 即时小练 =(3,1)+(5λ，7λ)=(3+5λ，1+7λ). 1.(1)√/(2)×(3)/ :AP-AB+AC,且AB与AC不共线， 2.A[由题意，得a=(√2cos45)i+(√2sin45)j=i十j=(1,1).] 3.(-4,0)(0,6)(-2,-5) ∴8-+及：别{+ (二)和(x1十2，y1十y)差(x1一x2,M一y)终点起点 v-3=1十7λ， (1)若点P在第一、三象限的角平分线上， (x2一x1,y2一y) 即时小练 1.(1)×(2)/(3)×(4)× 则5+=4+A=子 2.B3.A (2)若点P在第三象限内，则55A二0，<-1. 4.(2,3) 4+7λ<0， 关键能力·合作探究 对点训练 题点 解(1)OP-OA+O店-(1,2)+(3,3t) 典例解析(1)由a=4e一3e2,得a=(4,一3). =(1+3t,2+3t), B 若点P在x轴上，则2十3f=0,.t= 2 31 6 一弧在微“点 1050 美健在于列用三 若点P在y轴上，则1十31=0,1=一3 角函数的完义求 纳A,C两三自的坐称 人45 若点P在第二象限，则{十3≤0， 12+3>0. 0 (2)过点A作AM⊥x轴于，点M(图略)， 则OM=OA·0s45=4×5=22, (2)OA=(1,2),Pi=OB-Od 2 =(33t,3-3t). AM=01.m46-4×号-2g. 若四边形OABP为平行四边形，则OA=P, .A(2√2,2√2)，故a=(2√2,2√2) “侣3-2：孩方程组无解。 ,∠A0C=180°-105°=75°，∠A0y=45° 故四边形OABP不能成为平行四边形 ∴.∠COy=30°.又OC-AB=3, 素养演练·提升技能 c(是）--(是） 1.A[由题意易知，AB/A花，其中AB=O店-OA=(2m-1,1),AC 0C-0A=(-2”-1,2),所以(2m-1)×2=1×(-2"-1),得2m+ 十2”-1,2m+1十2”≥2√2m+w+T,所以2m+m+≤2，即m十n≤ -3. 答案aD(2(号3) 12.A[根据力的合成可知F1十F2=(1一2,2十3)=（一1,5），因为物 、 体保持静止即合力为0，则F1十F2十F3=0,即F3=(1,一5).] 244 3.(2-sin2,1-cos2)[设A(2,0),B(2,1),由题 意知劣孤PA长为2，∠ABP=2.设P(x,y),则 是尚向0函=6，-4.0丽=0，-3.0元=行-，-9 x=21os(2-)=2-in2,y=1+1X 可得AB=O市-OA=(-3,1),C=O-OC=(m-5,m).若点A, sim(2-） =1-cos2,∴.OP的坐标为(2-sin2, B,C不能构成三角形，则A,B,C三点共线，可得AB∥CB,所以 1-cos2).] -3m=m-5,解得m=号.] 4.(-3,-5AC-AB+Ai,A市=A花-A店=(-1，-1)，2.解：a=1,2,b=(-3,2), .BD=AD-AB=(-3,-5).] ∴.ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4). 580[由6128-（50，可释g8:解得 由题意得(k一3)（一4）一10(2k十2)=0， 1q=-2, .(1,2)十m=(1,2)+(1,-2)=(2,0).] 解得k=一3 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 必备知识·自主梳理 此时a+b=-专a+b=-子（a-30, 1（xAv)2.x1y2-xey1=0 即时小练 当k=一号时，(a十b)/(a一3b),并且它们的方向相反 1.A[图为a=(2,4),b-(-1,1),所以2a-b=(2×2-(-1),2X:题点三 4-1)=(5,7).] 典例解设点P的坐标为(x,y),AP=2P. 2.D[A,B,C中各对向量都不共线，D中b=√2a,两个向量共线.] 当P在线段AB上时，AP=2PB, 3.A[:a=Ai=(号2）-（合4）=(-是，-2∴a=a .(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y), {3222解得红=3 {y+4=4-2y, (y=0, 4.9[.a=(-6,2),b=(n,-3),且a∥b,.-6X(-3)-2m=0, 则m=9.] “点P的坐标为(30） 关键能力·合作探究 题点一 当P在线段AB延长线上时，AP=一2PB, 典例解法一：待定系数法 ∴.(x-3,y+4)=-2(-1-x,2-y), 由A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4), ∫x一3=2+2x,解得二8， y+4=-4+2y, 可得CA=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8), ∴点P的坐标为(-5,8). CB=(3,-1)-(-3,-4)=(6,3), 所以CM=3CA=3(1,8)=(3,24), 综上所选，点P的坐标为（号0）或(-5,8）. CV-2CB-2(6,3)=(12,6). :拓展 设Mx1,y1),N(x22), 解因为AP-3PB, 则CM=(x1+3,y1十4)=(3,24)， 所以(x-3,y十4)=3(-1-x,2-y), 解得x1=0,y1一20： CV=(x2十3，y2+4)=(12,6), 所以二633解得人二0： 1y+4=6-3y, y=2 解得x2=9,=2, 所以M(0,20),N(9,2), 所以点P的坐标为(0，) MN=(9,2)-(0,20)=(9,-18). :对点训练 法二：几何意义法 解，由题设知，A,B,P三点共线，且AB=3A巾， 设点O为坐标原，点 设A(x,0),B(0,y), 则由CM-3CA,C-2CB ①点P在A,B之间，则有AB=3AP, 可得OM-OC=3(OA一OC), (一x,y)=3(-2-x,3),解得x=一3，y=9, ON-OC=2(0B-0C), 点A,B的坐标分别为（一3,0），(0,9). 从而OM=3OA-2(OC, ②，点P不在A,B之间，则有AB=一3AP, ON=2 OB-OC. 同理可求得点A,B的坐标分别为(-号，0），0，-9). 所以OM=3(-2,4)-2(-3,-4)=(0,20), OV=2(3,-1)-(-3,-4)=(9,2), 综上所选，点A,B的坐标分别为(-3,0，(0,9)或（号，0） 即点M(0,20),N(9,2), (0,-9) 故MN=(9,2)-(0,20)=(9,-18). 素养演练·提升技能 对点训练 L.C[因为a∥b,所以cosa+2sina=0,所以tana= 1.A[.a=(5,2),b=(-4,-3),且c满足3a-2b十c=0,∴.c= ,则2 sin ac0sa 2b-3a=2(-4,-3)-3(5,2)=(-8-15,-6-6)=(-23,-12).] 2(-1,-) [设P(x,y),∴MP=(x-3,y+2),M-(-8,1),由 2sin acos a 2tan a sin a+cos a tan'a1 字门 应-号本得一3 (-)+1 2.B[由a/,得5cosa-3se=0,即1ma=号] 题点二 ,3.一3[依题意可知2n十n=9,m一2n=一8，解得n=2,n=5,所以 典例证明设E(x1y),F(x2,). m-n=-3.】 由题意知AC=(2,2),BC=(-23),AB=(4,-1), 号) 4. [设OA=(m,n),则OB=(-n,m),所以2OA+ 恋-流-（号号） 23 亦心-（号小 2 可成=(2m一，2十m）=（1,9,即21n二：解得 (m= 因此 1n十2n=9, 5 5.解图为x=a十(2+1)b=(1,2)+(+1)(-2,1) =(-22-1,t2+3), ∴E萨=(y)-(1)=(3,-专）小 8 y=-a+b=-1,2)+(-2,0 k 4×(号）-(-Dx令-0萨/成 假设存在正实数k,t使x∥y, 245