6.3.1平面向量基本定理（分层练习）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以题型分层为框架，构建“概念辨析-技能应用-综合拓展”三阶巩固路径，适配新授课知识内化需求，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|基底概念及辨析（3题）|直接考查基底判定条件，强化对“不共线向量”核心要素的抽象理解| |技能应用|基底表示向量、定理应用及参数求解（9题）|结合平行四边形、三角形等图形情境，训练向量分解与线性运算技能| |综合拓展|共线定理应用、平行证明及复杂参数问题（16题）|通过三点共线、重心等综合情境，融合几何直观与代数推理，提升模型应用能力|

6.3.1平面向量基本定理 题型一 基底的概念及辨析 1．（25-26高一下·重庆·期中）设，是平面内两个不共线的向量，则下列向量组中不能作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高一下·陕西西安·阶段检测）下列各组向量中，能作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高二·全国·暑假作业）设，是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型二 用基底表示向量 4．（2026·江苏南通·模拟预测）已知平行四边形的两条对角线相交于点，设，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·福建福州·三模）在中，点满足，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·吉林长春·期中）已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则（   ） A． B． C． D． 题型三 平面向量基本定理的应用 7．（25-26高一下·广东佛山·期中）如图，在中，点D是的中点，点E是的中点，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·湖北·期中）设是平面内一组基底，平面向量，．若存在实数使得，且，则（     ） A．－2 B． C． D．2 9．（25-26高一下·天津南开·期中）在中，，是上一点，若，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 题型四 利用平面向量基本定理求参数 10．（25-26高一下·全国·期末）在中，点是的中点，点在上，若，则（    ） A． B． C．或 D． 11．（2026·河北沧州·二模）在中，为上一点，且，为中点，若，则（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一下·河南·阶段检测）在中，为边上的中线，为上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 题型五 平面向量共线定理证明点共线问题 13．（2026·湖南长沙·二模）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 14．（25-26高一下·山东济南·阶段检测）已知是不共线的向量，且，则（） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 15．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，则下列一定共线的三点是（   ） A．A，B，C B．A，B，D C．B，C，D D．A，C，D 题型六 平面向量共线定理证明平行问题 16．（25-26高一下·四川南充·期中）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 17．（2026·浙江·二模）已知，是两个不共线的向量，且，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．无法构成四边形 18．（24-25高二上·云南临沧·期中）已知关于平面向量，有下列四个命题： ①若，则存在，使得； ②若，则或； ③若，则； ④存在不全为零的实数，使得其中正确的命题是（    ） A．① ③ B．①④ C．②③ D．②④ 题型七 平面向量共线定理的推论 19．（25-26高一下·广东深圳·期中）在平行四边形ABCD中，，，，，用向量，来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一下·福建宁德·期中）在中，，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，在中，为CD上一点，且满足，则（   ） A． B． C． D． 题型八 已知向量共线（平行）求参数 22．（2026·新疆·二模）已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 23．（25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）在平行四边形中，，．若//，则x= （　　） A． B． C． D． 24．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知不共线，，若三点共线，则（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高一下·陕西榆林·阶段检测）（多选）设，是平面内两个不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 26．（25-26高一下·江西上饶·阶段检测）（多选）如图，点是中边的中点，点是的重心，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 27．（2026·上海·三模）如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则的值为____________． 28．（25-26高一下·上海·期中）如图，在三角形中，点在线段上（异于和）． (1)设，证明：； (2)若，为的中点，交于点，设（），求的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.1平面向量基本定理 题型一 基底的概念及辨析 1．（25-26高一下·重庆·期中）设，是平面内两个不共线的向量，则下列向量组中不能作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据题意，结合共线的向量的判定方法，以及基底的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，设，可得，此时方程组无解， 所以与不共线，所以与能作为基底，所以A不符合题意； 对于B，设，显然不存在实数使得成立， 所以与不共线，所以与能作为基底，所以B不符合题意； 对于C，设，可得，此时方程组无解， 所以与不共线，所以与能作为基底，所以C不符合题意； 对于D，，可得，解得，即， 所以与共线，所以与不能作为基底，所以D符合题意. 2．（25-26高一下·陕西西安·阶段检测）下列各组向量中，能作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A，根据基底的定义，不可能有零向量作为基底，错， 对于B，显然，即，共线，故不能作为基底，错， 对于C，显然，即，共线，故不能作为基底，错， 对于D，不存在实数使成立，故，不共线，可作为基底，对. 3．（25-26高二·全国·暑假作业）设，是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】对于A，设存在实数使得，整理可得， 因为，是平面内所有向量的一组基底，所以，该方程无实数解， 说明不存在这样的实数，所以和不共线，可以作为基底，选项A错误. 对于B，，所以和共线，不能作为基底，选项B正确. 对于C，设存在实数使得，整理可得， 因为，是平面内所有向量的一组基底，所以，该方程无实数解， 说明不存在这样的实数，所以和不共线，可以作为基底，选项C错误. 对于D ，，因为，是平面内所有向量的一组基底，所以，不共线，因此和也不共线，可以作为基底，选项D错误. 题型二 用基底表示向量 4．（2026·江苏南通·模拟预测）已知平行四边形的两条对角线相交于点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面向量的线性运算计算可得结果. 【详解】. 5．（2026·福建福州·三模）在中，点满足，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算计算即可. 【详解】如图，    . 6．（25-26高一下·吉林长春·期中）已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量共线基本定理，结合图形求得，再由平面向量数量积的定义与运算律计算即得. 【详解】 因，，则， 故 又三点共线，则， 故，又因为是边长为1的正三角形 所以， . 题型三 平面向量基本定理的应用 7．（25-26高一下·广东佛山·期中）如图，在中，点D是的中点，点E是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的线性运算求解即可. 【详解】因点E是的中点，点D是的中点， 所以 . 8．（25-26高一下·湖北·期中）设是平面内一组基底，平面向量，．若存在实数使得，且，则（     ） A．－2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】联立由平面向量基本定理所得关系与条件即可求解k的值. 【详解】 由是平面内一组基底可知，与不共线， 则有 ，联立，故, 解得． 9．（25-26高一下·天津南开·期中）在中，，是上一点，若，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是上一点，所以与共线，所以根据向量共线定理，存在实数，使得， 因为，所以． 又因为，所以， 因为，所以， 因为，所以，即． 将代入并化简， 因为，所以， 由，解得． 将代入，可得． 题型四 利用平面向量基本定理求参数 10．（25-26高一下·全国·期末）在中，点是的中点，点在上，若，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】利用三点共线的向量表示，将用和表示，通过比较系数即可求得的值. 【详解】 由于点在上，设， 则， 又因为， 所以， 又因为，所以有，解得，故B正确. 11．（2026·河北沧州·二模）在中，为上一点，且，为中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用向量的线性关系及加减法计算化简，再应用平面向量基本定理计算求解. 【详解】由题可知，，则，，. 12．（25-26高一下·河南·阶段检测）在中，为边上的中线，为上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量线性运算及平面向量基本定理求得的值. 【详解】， 则，，解得 题型五 平面向量共线定理证明点共线问题 13．（2026·湖南长沙·二模）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】A 【分析】通过向量共线，结合向量有公共点，即可判断. 【详解】对于A，， 又，因此， 与共线，且两个向量有公共点，因此 三点共线， 选项B，，，不存在实数使，不共线； 选项C：，，不存在实数使，不共线； 选项D：，，不存在实数使，不共线. 14．（25-26高一下·山东济南·阶段检测）已知是不共线的向量，且，则（） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】D 【分析】利用向量加法求出，再观察与的线性关系，得出，两向量成倍数关系即共线，又有公共点，即可判定三点共线，其余选项向量无倍数关系，不满足三点共线条件. 【详解】. 选项A：，，不存在实数使等式成立，不共线. 选项B：，，不存在实数使等式成立，不共线. 选项C：，，不存在实数使等式成立，不共线. 选项D：计算， ，存在，故与共线， 又两向量有公共点，因此三点共线. 15．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，则下列一定共线的三点是（   ） A．A，B，C B．A，B，D C．B，C，D D．A，C，D 【答案】B 【分析】先考虑向量共线时，的位置关系，再考虑向量不共线时，利用向量共线定理和平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项，设 ，则 ，即 无解，A错误； 对于B选项， ，所以三点共线，B正确； 对于C选项，设 ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 题型六 平面向量共线定理证明平行问题 16．（25-26高一下·四川南充·期中）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】因为，所以与共线，所以A不正确； 因为，所以和共线，所以B不正确； 因为，所以与共线，所以C不正确； 若和共线，则， 所以，且，所以无解，所以和可作为基底. 17．（2026·浙江·二模）已知，是两个不共线的向量，且，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．无法构成四边形 【答案】A 【分析】根据题意求出，结合与的关系分析判断即可. 【详解】， 所以，且， 所以四边形是梯形. 18．（24-25高二上·云南临沧·期中）已知关于平面向量，有下列四个命题： ①若，则存在，使得； ②若，则或； ③若，则； ④存在不全为零的实数，使得其中正确的命题是（    ） A．① ③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】对于①，利用共线向量基本定理进行判断；对于②④，举出反例；对于③，等式两边同时平方，利用向量数量积公式化简得到③正确. 【详解】对于①，根据共线向量基本定理知该命题正确； 对于②，， 可能，而， 即，且时，满足要求，该命题错误； 对于③，若，则， 化简得，所以，故该命题正确； 对于④，当，且，且不共线时， 只有，才能满足， 便不存在不全为的实数，使得，该命题错误； 故正确的命题是①③． 故选：A． 题型七 平面向量共线定理的推论 19．（25-26高一下·广东深圳·期中）在平行四边形ABCD中，，，，，用向量，来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算，结合共线向量定理及推论求解即得. 【详解】依题意，，由在上，得， 由在上，得，解得，则， 所以. 20．（25-26高一下·福建宁德·期中）在中，，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过 三点共线，即可求解. 【详解】由，可得： ，即， ， 因为 共线，则 . 21．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，在中，为CD上一点，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可知， 所以， 因为三点共线，所以，解得. 题型八 已知向量共线（平行）求参数 22．（2026·新疆·二模）已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由向量与的方向相反，得,， 而向量，不共线，得，由，得，所以. 23．（25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）在平行四边形中，，．若//，则x= （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得. 设， 因为， 而 所以，解得. 24．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知不共线，，若三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意有， ， 若三点共线，则存在实数使得， 因为不共线，所以有，得. 25．（24-25高一下·陕西榆林·阶段检测）（多选）设，是平面内两个不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【分析】根据只有不共线的两个向量才能作为基底，只需判断各组向量是否共线即可. 【详解】选项，若与共线，则存在，使，即， 则且，矛盾，所以与不共线，可以作为基底； 选项，因为，所以与共线，因此不能作为基底； 选项，若与共线，则存在，使， 所以，无解，所以与不共线，可以作为基底； 选项，因为，所以与共线，因此不能作为基底. 26．（25-26高一下·江西上饶·阶段检测）（多选）如图，点是中边的中点，点是的重心，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，因为，则，所以A错误； 对于B，因为点是边的中点，则，所以B正确； 对于C，因为点是边的中点，则，所以，故C正确； 对于D，因为点是边的中点，则， 又点是的重心，则， 所以，故D正确. 27．（2026·上海·三模）如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则的值为____________． 【答案】 【详解】由共线，存在使 ， 由共线，存在使， 联立系数相等： ，解得：，， ， 由于，且在上，故设， 则， 结合得，解得． 28．（25-26高一下·上海·期中）如图，在三角形中，点在线段上（异于和）． (1)设，证明：； (2)若，为的中点，交于点，设（），求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算进行证明； （2）利用（1）的结论及三点共线充要条件进行求解. 【详解】（1） ； （2）由（1）可知， 因为为的中点， ， 所以，， 所以，即， 因为三点共线，所以，所以 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $