6.2.4 向量的数量积-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

数学 必修第二册 A.丽秀 形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图” 中，若BC=a,BA=b,BE=3EF,则BF=() B.CQ+TP-/5+1TS 12 2 A号a+0 C.ES-AP-51BQ 2 C.a+ 3 D.A7+BQ=51C求 : 5.如图，在△ABC中，延长CB D 2 到D,使BD=BC,当点E在 4.我国东汉数学家赵爽在《周髀 线段AD上移动时，若AE=入 算经》中利用一副“弦图”给出 AB十4AC,则入-u的最大值 了勾股定理的证明，后人称其 为 为“赵爽弦图”，它是由四个全 等的直角三角形与一个小正方 温馨提示 请做课时分层检测（四） 6.2.4向量的数量积 明学习目标 知结构体系 1,了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位 移；所做的功，掌握向量数量积的定义及投影向量. 课标 2.会计算平面向量的数量积. 要求 两向量的夹角 3,掌握平面向量数量积的运算律及常用公式，会利用向量数量积 向 两个向量的数量积 的有关运算律进行计算或证明」 量的 投影向量 1.通过理解平面向量数量积的物理背景，学习向量的夹角及数量 数量 平面向量数量积的性质 素养 积的概念，发展数学抽象及数学运算素养. 2.引入平面向量数量积的运算律解决问题，发展数学运算素养， 平面向量数量积的运算律 要求 借助平面向量的数量积解决某些简单问题，发展逻辑推理 素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)两向量的夹角与数量积 :2.向量的数量积 1.平面向量的夹角 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为0，我们把 已知两个非零向量a和b,O是平面上的任意 定义 数量 叫做向量a与b的数量积（或内 条件 一点 积) 记法 记作a·b,即a·b= 产生 作OA=a,OB=b,则 A a 规定 零向量与任一向量的数量积为 过程 =0叫做向量a与b的 夹角 10 b B 即时小练 范围 1.在锐角三角形ABC中，下列说法正确的是 0=0 a与b 特 A.AB与BC的夹角是锐角 殊 0=π a与b 情 B.AB与AC的夹角是锐角 况 0= C.AC与BC的夹角是钝角 2 a与b ,记作a⊥b D.AC与CB的夹角是锐角 14 第六章平面向量及其应用 2.在等边三角形ABC中，向量AB与BC的夹角为： (2)a⊥b→ (3)当a,b同向时，a·b= ;当a,b反向 (二)投影向量 时，a·b= 特别地，a·a 或 1.投影向量的定义 lal= 如图，设a,b是两个非零向量，AB B (4)a·b|≤ 2.平面向量数量积的运算律 =a,CD=b,过AB的起点A和终 b 点B,分别作CD所在直线的垂线， B D 交换律 a·b= 垂足分别为A1,B1,得到A1B1,我们称上述变换： 结合律 (a)·b=入(a·b)= 为向量a向向量b ,A1B1叫做向量 在向量 上的 分配律 (a+b)·c= 2.投影向量公式 设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为 即时小练 0,则向量a在向量b上的投影向量是 1.(多选)对于任意向量a,b,c,下列命题中不正确 即时小练 的是 ( ) A.若a·b=0,则a与b中至少有一个为0 1.已知a=6,b=3,a·b=-12,e是与b同向 B.la+bl=lal+b 的单位向量，则向量a在向量b上的投影向量是： C.若a⊥b,则a·b=0 ) D.|a=√a2 A.-4e B.4e C.-2e D.2e 2.已知a=2,b=3,且a与b的夹角为60°，与b2.已知平面向量a,b满足a=3,b1=2,a·b= 同向的单位向量为e,则向量a在向量b上的投 -3,则|a+2b= 影向量为 :3.设a,b,c是任意的非零向量，且互不共线，给出 (三)平面向量数量积的性质和运算律 以下命题： 1.数量积的性质 ①(a·b)c-(c·a)b=0; 设a,b是两个非零向量，它们的夹角是0，e是与 ②(b·c)a-(c·a)b不与c垂直； b方向相同的单位向量，则 ③(3a+2b)·(3a-2b)=9a2-41b12. (1)a·e=e·a= 其中真命题是 (填序号) 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一平面向量的数量积 /方法技巧/ 求平面向量数量积的步骤 [典例]已知向量a与b的夹角为0，a=5,bl=4, 分别求在下列条件下的a·b. (1)求a与b的夹角0,0∈[0，π]： (1)0=120°；(2)a∥b;(3)a⊥b. (2)分别求|a和|bl; (3)求数量积，即a·b=|a|bcos0,要特别注 意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而 不能用“X”连接，也不能省略. 对点训练 1.已知a·b=16,若a在b上的投影向量为4b,则 1b= 15 数学必修第二册 2.已知a=5,b|=4,a与b的夹角0=120°，b方[拓展]将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”， 向的单位向量为e. 其他条件不变，求k的取值范围. (1)求a·b与(a-2b)·(a+b)的值； (2)求a在b上的投影向量. 题点二求向量的模 /方法技巧/ 1.求向量夹角的方法 [典例]已知向量a,b满足|a=1,b|=2,a·(a (1)求出a·b,a|,b|,代入公式cos0= 2b)=0,则|a+b= ( A.6 B.4 C.6 D.5 日份衣部 (2)用同一个量表示a·b,1a,b|,代入公 /方法技巧/ 1.利用向量的数量积求模是数量积的重要应 式求解 用，a2=|a2是计算的依据. (3)借助向量运算的几何意义，数形结合求 2.根据平面图形求向量的模时，注意利用图形 夹角. 2.求向量夹角的注意点 的性质对向量的数量积或者夹角等进行转化. 要注意夹角0的范围为[0，π].当cos0>0 对点训练 时，0∈[0，)：当cos0K0时，0e受，x]:当 1.已知向量a,b满足|a十b=4,|a一b|=2,则 |aIb的最大值是 ( c0s0=0时，0=元 A.3 B.4 C.5 D.6 对点训练 2.(2023·新课标卷)已知向量a,b满足a一b=√3， |a十b=2a-b,则b= 1.若向量a与b不共线，a·b≠0，且c=a 题点三向量的夹角与垂直问题 日：8b,则向址a与c的夹角为 ( [典例](1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位 A.0 B晋 c D. 向量，若向量e,十e2与ke1十e2的夹角为锐角，2.已知aLb,且a=2,b=1,若有两个不同时为 则k的取值范围为 零的实数k,t,使得a+(t-3)b与-ka+b垂 (2)已知非零向量a,b满足a十3b与7a-5b互相 直，试求k的最小值. 垂直，a一4b与7a一2b互相垂直，求a与b的 夹角. 16 第六章平面向量及其应用 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知a,b方向相同，且|a=2,|b1=4,则|2a十3b= 难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要 ( 的作用；己知在直角梯形ABCD中，AB∥CD, A.16 B.256 C.8 D.64 ∠BAD=90°，∠BCD=60°，E是线段AD上靠 2.最早发现勾股定理的人是我国 近A的三等分点，F是线段DC的中点，若AB= 西周数学家商高，商高比毕达哥 2,AD=√5，则EB·EF= ( 拉斯早500多年发现勾股定理， 如图所示，△ABC满足“勾三股四弦五”，其中股： A B号 c 号 AB=4,D为弦BC上一点（不含端点），且 :4.在△ABC中，∠A=60°，AB=3,AC=2.若BD= △ABD满足勾股定理，则cOs(AB,AD)= 2DC,AE=AAC-AB(A∈R),且AD.AE= A是 c是 一4，则入的值为 5.定义非零向量之间的一种运算“⊕”，记a⊕b= 3.伟大的法国数学家笛卡儿创立 acos0+bsin0,(其中0是非零向量a,b的夹角)， 了直角坐标系.他用平面上的 一点到两条固定直线的距离来 若c1e均为单位向量，且c·=是，则向量 确定这个点的位置，用坐标来 e1⊕e2与e2⊕(-e1)的夹角的余弦值为 描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛 卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的 温馨提示 请做课时分层检测（五） 问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的 6.3.1 平面向量基本定理 明学习目标 知结构体系 1.理解平面向量基本定理及其意义， 课标 2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来 平面向量基本定理 要求 表示其他向量. 平面向量 基底的概念 基本定理 用基底表示向量 通过力的分解引出平面向量基本定理，体会平面向 素养 基本定理的应用 量基本定理的应用，发展数学抽象及直观想象 要求 素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 平面向量基本定理 即时小练 条件e1,e2是同一平面内的两个 ! 1.判断正误 对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数入1， (1)平面向量基本定理中基底的选取是唯一的. 结论 入2，使a= ( (2)零向量可以作为基底. ( ) 若e1,e2不共线，把 叫做表示这一平面内所 基底 (3)若a,b不共线，则{a+b,a-b}可以作为基 有向量的一个基底 底. 17素养演练·提升技能 !2.解(1)a·b-al bcos0 1.B[如图所示，因为A市=A+励=AB+C =5×4·c0s120°=-10； (a-2b)·(a十b)=a-a·b-2b AB+号+A0-A-号AB+号AC-号AB+ =a2-a|b·cos120°-2b12 =25-(-10)-2×42=3. 2流所以=名=之] a在b上的授影向量为ac0s=5X(-专)e=-名e 2.B[A,B,D三点共线，号+A=1,A=号] :题点二 典例解析，a·(a-2b)=0,∴.a2-2a·b=0.a=1,b=2, 3.A在A中，前-方-夜-杏-范-感，故A正确：在Bab=a+b=V瓜2a6-形-中=6 中，市-+市--5疗，故B翳误：在C中，武-对煮养练 答案C 市--C-应-5成.故C特误在D中，市+成=.2i:nb2Qab2a+2b- 20,∴.a2+b2-10..(a-b)2≥0，∴.a2+b2≥2ab, ∴.ab≤5，∴.ab的最大值为5，故选C.] s市+R市，51求=店=-市，若A7+或=5,1成，则：2.后[法-，因为1a+b1=12a-b1,即(a十b)=(2a-b),则 2 S=0,不合题意，故D错误.故选A] a2十2a·b+b=4a2-4a·b十b,整理得a2-2a·b=0,又因为 4.B[萨-C+亦-C+i-+(+i)-C+ |a-b|=V5,即(a-b)2=3,则a2-2a·b+b==3,所以 b|=√3. (是萨+函）解得萨-庇+号，即亦-岩a+ 法二：设c=a-b,则|c|=5,a+b=c十2b,2a-b=2c十b,由题意 可得：(c+2b)2=(2c+b)2,则c2+4c·b+4b=4c2+4c·b+b, 是a] 整理得：c2=b,即|b=c=√5，故答案为：5.] !题点三 5.3[设A正=kAD,0≤k≤1，则A正=k(AC+2C)=k[AC+2(A应-典例(1)解析：e十e2与e1十e的夹角为锐角， AC]=2kAB-*AC. .(e+ke2)·(ke1+e2)=kei+kei+(k2+1)e·e=2k>0, :AE=AAB+uAC,且AB与A不共线， .k>0 六2.4=A-=张又0 当k一1时，e1十ke2=e1十e2,它们的夹角为0，不符合题意，舍去 综上，k的取值范周为(0,1)U(1,十∞). .当k=1时，1取最大值3.故入-4的最大值为3.] 答案(0,1)U(1,十o∞) 6.2.4向量的数量积 (2)解由已知条件得{(a+3b)·(7a-5b)=0, (a-4b)·(7a-2b)=0, 必备知识·自主梳理 即{ga+16a·b-15b=0, ① (一)1.∠AOB[0,π]同向反向垂直2.|abcos0ab {7a2-30a·b+8b=0, ② cos 00 即时小练 ②-①得23b-46a·b=0,∴.2a·b=b, 代入①得a=,.a=b, 1.B 2.经[如图所示，A市与心的夹角为经] b21 A 六cos0=ab=b=交 :0e[0,,0=号 拓展 C 解：e1十e:与e1十e的夹角为钝角， (二)1.投影ab投影向量2.a cos Be ∴.(e+ke)·(ke1+e2)-kei+ke+(k2+1)e1·e2-2k<0, 即时小练 k0. 1.A[设向量a与b的夹角为0，则60s0=日0=一是 12 21 当k=一1时，e1十e:与1十e方向相反，它们的夹角为元，不符合 3, 题意，舍去 综上，k的取值范国是（一∞，一1）U(一1,0). 则向量a在b上的投影向量为acos0e=6×(一号)e=-4e,] ·对点训练 2.e[设a与b的夹角为0，a在b上的授影向量为=2x名e1.D[由题可得ac-a:[a-(侣8)b]=a-(a日b）)·ab =e.] (三)1.(1)acos0(2)a·b=0(3)ab-aba2 d-a=0,心a与c的夹角为受] va·a(4)ab2.b·aa·(h)a·c+b·c 2.解，aLb,.a·b=0, 又由已知得[a+(t-3)b]·(-ka+b)=0, 即时小练 ,.一ka2十t(t-3)b=0, 1.AB2.7 a=2,b=1,.-4k+(t-3)=0, 3.③[(a·b)c表示与c共线的向量，(c·a)b表示与b共线的向量，： 而b,C不共线，所以①错误： =-30=(-2)-最u0 当[(b·c)a-(c·a)b]·c=0时，(b·c)a-(c·a)b与c垂直，故 故当1=三时，k取得最小值，最小值为一 9 ②错误；利用分配律可知③显然正确.门 关键能力·合作探究 ·素养演练·提升技能 典例解（①因为a=5,b=4,0=120,所以a·b=a·bcos0=1.A62a+3b=4d+9h+12a·b-16+141+96=256,2a+3动 题点一 =16. 5x4x(-号）=-10. :2.A[由题意可知AD⊥BC,所以根据等面积转化可知BA1X (2)因为a∥b,所以0=0°或180° AC-BCIXIADI台4X3=5×AD,解得AD=2 当0=0°时，a·b=a·bc0s0°=5×4×1=20： 5 当0=180°时，a·b=a·bcos180°=5×4×(-1)=-20. 所以a·b的值为20或一20. A本：Ai=(市+D.A市=A亦，os(店，A市)=A店·Ad IABIAD (3)因为a⊥b,所以0=90°， 所以a·b=a·bcos90°=5×4×0=0. 对点训练 应币=号故选八] 4ADI 4 1.2[设a,b的夹角为0，则a·b=ab·cos0=16. ①；3.A[过B作BM⊥DC于M, 由a在b上的投影向量为acms0合-4b,得acos0=4b。 ②！故AB=DM=2, 由①②得b=2.] 因为BM=AD=3,∠BCD=60°， 242 故CM=1,则DF=是 !2.(-∞，4)U(4,十∞)[若向量a,b共线，则1=4，故当1≠4时，a, b不共线，此时{，b}可作为平面内表示所有向量的一个基底.] 成床-成+应·市+亦-武.市+应.亦-×：高解(D由题意知A为C的中点， 题点二 3 2×(-+2×受×1=子故滋A] ∴ai=号i+, [设店=a,AC=b, .0元=20A-Oi=2a-b, 4. 由已知得a=3,b=2,a·b=a bcos60°=3， D元--0i--号0i=2a-号b 因为BD=2DC,所以AD-AB=2(AC-AD), (2)由(1)得Oi+kD元=(2k+1a-号， 所以市-吉+号-a号， :O元与OA+kDC共线， 所以A市：A正=（分a+号）·(h-a 设OC-(OA+kDC), -(令-号)…b3+r 则2a-6=a2k+1Da-号， (2=A(2k+1) -a-2)-号×9+登×4=-4 解得=品] :对点训练 1 5.一8贾[因为a⊙b=aos0叶bn0C共中0是非套向童a,b的 1.号a+b号a+号6亦-市-0-=号+i-子0成 角)， 成+成=号成+号成=号a+g,成-à-ò-=号 日吧，均为单位向量，且66=号， i-号0i-0i+0i=号0成+号0ia+号6] 。。号县e0 所以c0s(e,6)=9·e 2.解因为AB∥DC,AB=2DC,E,F分别是DC,AB的中点，所以 DC-AF=号AB=号b. 所以snee√-()-台 4 从而成-成+i+=-D元-市+号成 因为(e1,-e2〉=π一（e1,e2）, 以eos6,-》=-子ine,一e,= 5 =-×2a+2b0a !题点三 所以e田e=号e+号ee田(-e)=- 5e- 5e, 典例解设BM=e1,C=ee, 所以cos(e1⊕e2,e2⊕（一e1)) 则AM=AC+CM=一3e-e1, e2- e BN=BC+CN=2e +e:. :A,P,M和B,P,N分别共线， 5 ∴存在实数A,红使得AP-入AM=-e1-3ae2, 12 12 BP-uBN=2e1十e2. 25e9-25e-e·e BA-BP+PA=BP-AP=(A+2p)e+(3a+/)es. √+ 9 24 16 9 24 25e·eX√23G+23ei+25e·e 而BA-BC+CA-2e+3e, 由平面向量基本定理， 12123 25-255 A= 5 161924×3 得士2：解得 13λ+4=3， 3 W25T25 25 = 39 25 195.1 市=号A成，前-号成， /197 197 1971 √铝×√23 AP PM-4.BP PN- 6.3.1 平面向量基本定理 拓展 必备知识·自主梳理 解法一：如图，设BM=e,C=e, 不共线向量入1e1十入e2{e,e} 则AM-AC+CM=-2e-e1, 即时小练 BN=BC+CN=2e +e2. 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ 2.AC A,P,M和B,P,N分别共线， 3.4e1+3e2[由图可知，OA-4e1+3e.] ∴存在实数A,红使得AP-入AM=一e1-2ae2, 4.解设存在实数入使得c=d,则2a-b=(3a-2b),即(2-3)a十！ Bd=BN=2e1十E (2λ-1)b=0. 故BA-B+PA=B-A市 由于a,b不共线，从而2一3队=21一1=0，但这样的入是不存在的， =(A+2)e+(2λ+)e. 从而c,d不共线，故{c,d}能作为平面向量的基底. 关键能力·合作探究 而BA=BC+CA=2e1十2e,由平面向量基本定理， 题点一 典例解(1)正确，若入≠0，则e=-e 得2=：解得 =3 12λ+4=2， 2 从而向量e1e共线，这与e,e2不共线相矛盾， u=3· 同理可说明一0， ∴A泸=子A成，-子B成， (2)不正确.由平面向量基本定理可知入，以唯一确定. ∴.AP:PM=2,BP:PN=2 (3)正确.平面内的任一向量a可表示成Ae1十e2的形式，反之也 成立， 法二：连接MN,由MNL号AB,AP:PM=2,BP:PN=2. (4)不正确.结合向量加法的平行四边形法则易知，当加1和：确对点训练 定后，其和向量e1十e2便唯一确定. 对点训练 [成=成+庞=+号花=A 2 法项中，，62人百的07作秀号（成-）=一甘店+号花. 线，，不能作为基底，远项A、CD中两向量均不共线，可以作为： 基底.] 243