6.2.3 向量的数乘运算-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

数学必修第二册 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.如图所示，D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,:4.在Rt△ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC CA的中点，则 内一点，点P满足OP=OA+号·(A店+AC,则 |AP|等于 ( A.2 B.1 c D.4 5.设W是由一平面内的n(n≥3)个向量组成的集 A.AD+BE+CF=0 合.若a∈W,且a的模不小于W中除a外的所 B.BD-CF+DF=0 有向量和的模，则称a是W的极大向量.有下列 C.AD+CE-CF=0 命题： ①若W中每个向量的方向都相同，则W中必存 D.BD-BE-FC=0 在一个极大向量； 2.设点M是线段BC的中点，点A在线段BC外， ②给定平面内两个不共线的向量a,b,在该平面 IBCI=4,|AB+ACI=IAB-ACI,AMI= 内总存在唯一的平面向量c=一a一b,使得W= ( {a,b,c}中的每个元素都是极大向量； A.8 B.4 C.2 D.1 ③若W1={a1,a2,a3},W2={b1,b2,b3}中的每 3.在四边形ABCD中，AB=AD=2,∠BAD= 个元素都是极大向量，且W1,W2中无公共元素， 120°，0为平面上一点，且满足OA+0C=OB+ 则W1UW2中的每个元素也都是极大向量. OD,则四边形ABCD的面积为 ( 其中真命题的序号是 A.√3 B.23 C.43 D.4 温馨提示 请做课时分层检测（三） 6.2.3 向量的数乘运算 明学习目标 知结构体系 1,通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法 课标 则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的 向量的数乘的定义 向量的 要求 含义 向量的 数乘运算 数乘运算 向量的数乘的几何意义 2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义. 利用向量 向量的数乘的运算律 通过向量数乘运算知识的形成过程，体会数学抽象 素养 方法证明 共线向 在概念及性质的产生发展过程中的作用，进一步提 三点共线 量定理 向量的线性运算 要求 升数学运算素养及数学抽象素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)向量的数乘运算 A>0 a的方向与a的方向 1.向量的数乘运算 A=0 向 a= 般地，实数入与向量a的积是一个 <0 a的方向与a的方向 定义 ,这种运算叫做向量的数乘，记作a 2.向量数乘运算的运算律 设入，4为实数，那么 长度 laal=lallal (1)(0)= 10 第六章平面向量及其应用 (2)(入十)a= 即时小练 (3)λ(a十b)= 特别地，我们有(-入)a=-(a)=入(-a),λ(a :1.如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若 b)=aa-ab. AB=a,AC=b,则AM等于 3.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 6 向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,: b,以及任意实数入，内，2，恒有入(1a士2b)= A号ab创 B.- 2(a-b) 即时小练 1 1 C.2(a+b) D.-2(a+b) 1.下列运算正确的个数是 ( ①(-3)·2a=-6a;②2(a+b)-(2b-a)=3a; 2.若向量a是非零向量，则向量合与向量a有什 ③(a+2b)-(2b+a)=0. 么关系？ A.0 B.1 C.2 D.3 2.在□ABCD中，AB=2a,AD=3b,则AC等于 ( A.a+b B.a-b C.2a+3b D.2a-3b 3.化简：2(3a+4b)-8a= (二)共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯 一个实数入，使 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一 向量的线性运算 对点训练 [典例们 13(6a+b)-9a+3b 1.计算： (1)8(a+c)+7(a-c)-c; (2)若2y-30-c+b-3y)+b=0.其中a, (2)(a+9b-2c)+(b+2c); b,c为已知向量，则未知向量y= (3)a-[(2a-b)-a]. /方法技巧/ 1.向量的线性运算类似于实数的运算，其化简 的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、 数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、 移项、合并同类项等变形手段 2.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当 作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在 运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简 化运算。 11 数学必修第二册 2.已知向量a与b,且5x+2y=a,3x-y=b,求 /方法技巧/ x,y. 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法： 画图 结合图形的特征，把待求向量放在三角形 或平行四边形中 结合向量的三角形法则或平行四边形法则 、表示 及共线向量定理用已知向量表示其他向量 (2)方程法：当直接表示比较困难时，可以先利 用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求 向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求 题点二用已知向量表示其他向量 向量的方程， [提醒]用已知向量表示其他向量的关键是弄 [典例]如图，在平行四边形AB 清向量之间的数量关系。 CD中，E是BC的中点，若AB 对点训练 a,AD=b,则DE= ( ) A.ab B.za+0 1.在△ABC中，若点D满足BD=2DC,则用AC, C.atib D.a AB表示AD为 [拓展] 2.如图所示，已知A户-号A片，用OA,0店表示0户. 1.本例中，设AC与BD相交于点 B O,F是线段OD的中点，AF的 延长线交DC于点G,试用a,b 表示AG. 2.本例中，若点F为边AB的中点，设a=DE,b DF,用a,b表示DB. 12 第六章平面向量及其应用 题点三向量共线的判定及应用 对点训练 [典例]设a,b是不共线的两个向量. :1.已知非零向量e1,e2不共线，如果AB=e1十2e2, (1)若OA=2a-b,OB=3a+b,OC=a-3b,求 BC=-5e1十6e2,CD=7e1-2e2.试判断下列向 证：A,B,C三点共线； 量是否共线 (2)若8a十b与ka十2b共线，求实数k的值. (1)AB与AD: (2)BC与BD: (3)CD与AC. /方法技巧/ 1.证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说，要判定A,B,C三点是否共线， :2.设两个非零向量a与b不共线： 只需看是否存在实数入，使得AB=入AC(或 (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).求 BC=入AB等)即可. 证：A,B,D三点共线： (2)利用结论：若A,B,C三点共线，O为直线 (2)试确定实数k,使ka+b和a十b共线. 外一点台存在实数x,y,使OA=xOB十 yOC且x+y=1. 2.利用向量共线求参数的方法 判断、证明向量共线问题的思路是根据共线 向量定理寻求唯一的实数入，使得b=a(a≠ 0).而已知向量共线求入，常根据向量共线的 条件转化为相应向量系数相等求解.若两向 量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系 数法建立方程，从而解方程求得入的值。 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.在△ABC中，D是BC的中点，如果AD=入AB+:3.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与 HAC,那么 黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正 ( A.入=1，=1 BX-2u=司 1 五角星中，器=。，则下列关系中正确 的是 C.入=-1，=-1 D.=- 2= 2 2.在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若AD= 2D丽.Ci-Ci+C.则实数A等于 ( A号 C. D. 13 数学 必修第二册 A.丽秀 形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图” 中，若BC=a,BA=b,BE=3EF,则BF=() B.CQ+TP-/5+1TS 12 2 A号a+0 C.ES-AP-51BQ 2 C.a+ 3 D.A7+BQ=51C求 : 5.如图，在△ABC中，延长CB D 2 到D,使BD=BC,当点E在 4.我国东汉数学家赵爽在《周髀 线段AD上移动时，若AE=入 算经》中利用一副“弦图”给出 AB十4AC,则入-u的最大值 了勾股定理的证明，后人称其 为 为“赵爽弦图”，它是由四个全 等的直角三角形与一个小正方 温馨提示 请做课时分层检测（四） 6.2.4向量的数量积 明学习目标 知结构体系 1,了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位 移；所做的功，掌握向量数量积的定义及投影向量. 课标 2.会计算平面向量的数量积. 要求 两向量的夹角 3,掌握平面向量数量积的运算律及常用公式，会利用向量数量积 向 两个向量的数量积 的有关运算律进行计算或证明」 量的 投影向量 1.通过理解平面向量数量积的物理背景，学习向量的夹角及数量 数量 平面向量数量积的性质 素养 积的概念，发展数学抽象及数学运算素养. 2.引入平面向量数量积的运算律解决问题，发展数学运算素养， 平面向量数量积的运算律 要求 借助平面向量的数量积解决某些简单问题，发展逻辑推理 素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)两向量的夹角与数量积 :2.向量的数量积 1.平面向量的夹角 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为0，我们把 已知两个非零向量a和b,O是平面上的任意 定义 数量 叫做向量a与b的数量积（或内 条件 一点 积) 记法 记作a·b,即a·b= 产生 作OA=a,OB=b,则 A a 规定 零向量与任一向量的数量积为 过程 =0叫做向量a与b的 夹角 10 b B 即时小练 范围 1.在锐角三角形ABC中，下列说法正确的是 0=0 a与b 特 A.AB与BC的夹角是锐角 殊 0=π a与b 情 B.AB与AC的夹角是锐角 况 0= C.AC与BC的夹角是钝角 2 a与b ,记作a⊥b D.AC与CB的夹角是锐角 14对点训练 对点训练 解(1)BA+Oi-Oi-BC=(BA-BC)+(O市-OA)=C+1.解(1)原式=8a+8c+7a-7c-c AD=CD. -(8+7)a+(8-7-1)c-15a. (2)(AC+BO+OA)-(DC-DO-OB) (2)原式=a+9b-2c+b+2c =a+(9+1)b+(-2+2)c=a+10b. -AC+BA-OC+OB (3)原式=a-(2a-b)十a=a-2a十b十a =AC+CO+0B+BA=AB+BA=0. =(1-2+1)a+b=b. 题点三 典例解、由题意知，AB=a,BC=b,CD=c,D正-d,EA=e, =a+品, 3 则(1)DB=DE+EA+AB=d+e十a. 2解聚立方粒组中解 {-品ab (2)DB-CB-CD=-BC-CD=-b-c. 题点二 (3)EC-EA+AB+BC-a+b+e. (4)E元--C2=-(CD+DE)=-c-d. :典例解析D成-D心+-+(-A-范-市=a 对点训练 1 解(1)AC-元-OA=c-a 6 (2)AD-AO+OD-OD-OA=4-a. 答案D !拓 (3)AD-AB=BD=OD-OB=d-b. 1.解因为DG∥AB,所以△DFG△BFA, ”金，4 又国为DF=2OD=号X合BD=子BD, 2 素养演练·提升技能 1.AAi=Di,AD+Bi-Di+B酝=Di=F花，AD+B成+ 所以器器 CF-FC+CF-0,故A正确.又BD-CF+DF=BD+DF+FC 所以AG-Ad+心=AD+号AB=号a+b. BC,AD+CE-C市-AD+F花+C克-FE+F正-2FE,Bi-B正 a=A成-AD。 FC-Bi+EB+ED=2ED,故B、CD均不正确.] 2.解如图，由题意 2.C[以AB,AC为邻边作平行四边形ACDB,则由向量加、减法的 6=2店-Ai, 兀何意义可知AD=AB十AC,CB=AB-AC.因为|AB+AC= AB-AC,所以AD=CB.又四边形ACDB为平行四边形，所 AB-4 a 以四边形ACDB为矩形，故AC⊥AB.则AM为Rt△ABC斜边BC 解得 4 上的中线，因此，i=号B心=2] 3.B[OA+O心=Oi+Oi,.OA-OB=Oi-O元，即BA=Ci, 所以可成=市-市-号a叶号6， ∴.BA &CD,∴.四边形ABCD为平行四边形，又AB :对点训练 D行之有AC配为烹有骨为等赞全清 1.子店+号A心[示意图知图所示，由题意可得 形，四边形ABCD的面积为号X2X5X2=25 市=+筋=A花+号C=+号C 故选B.] 4.B[亦=di+文(Ai+C,∴O-Oi=(Ai+AC, A)=号店+号心.] 2.解O市-OA+AP-OA+4A店 AD=AB+AC,AP为Rt△ABC斜边BC的中线，.市=L. 故选B] =0i+0i-0i)=-30i+号成 5.②③〔若W中有n(n≥3)个方向相同，模相等的向量，则无极大向！题点三 量，故①不正确：由题意得a,b,c能组成闭合三角形，则任意向量的 模等于除它本身外所有向量和的模，故②正确；3个向量都是极大向 :典例解)证明：A店-0店-0i=(3a十b)-(2a-b)=a+2b: 量，等价于3个向量之和为0，故当W1={a1,a2,a3,W:={b,b2, 而BC-OC-Oi=(a-3b)-(3a+b)=-(2a+4b)=-2AB, b}中的每个元素都是极大向量时，W,UW2中的每个元素也都是： ,AB与BC共线，且有公共点B, 极大向量，故③正确.] A,B,C三点共线. 6.2.3向量的数乘运算 (2).8a十b与ka十2b共线， 必备知识·自主梳理 ∴.存在实数入，使得8a十kb=入（如十2b), (一)1.向量相同0相反2.(1)（λ）a(2)a+a（3)a+b· 即(8一λk)a十(k-2λ)b=0, 3.入h1a士入2b a与b不共线，8-k=0, 即时小练 ”k-2x=0, 1.C 解得λ=士2，.k=2λ=土4. 2.C [AC=AB+AD=2a+36.] :对点训练 3.-2a+8b !1.解由题意可得，AD-AB+BC+CD=e1+2e,-5e,+6e,+7e- (二)b=a 2e-3e1+6e2, 即时小练 Bd=BC+Ci=-5e1+6e+7e1-2e=2e1+4e, 1. 2.提示：向量a是非零向量，∴a>0.根据向量的数乘的几何意： AC-AB+BC=e+2e:-5e1 +6e:=-4e+8e:. 义知：日是与自量a同向的单位向量。 (1)AD=3(e1+2e)=3AB,.AB与AD共线. (2)BC与BD不共线. 关键能力·合作探究 题点一 (3)CD与AC不共线 典例解析(13(6a+b)-9(a+号b）=18a+3b-9a-3b=9a. 2.(1)证明、：AB=a+b,BC-2a+8b,CD=3(a-b). :.BD-BC+CD=2a+8b+3(a-b) (2)将原等式支形为2y-号a-之c-2b叶多y+b=0, =2a十8b+3a-3b=5(a+b)=5AB. 7 2 ∴AB,BD共线， 即2y-3a-c+zb=0 又它们有公共点B,A,B,D三点共线 2 1 1 (2)解如十b与a十b共线， 2y=3a-2b+2, ∴存在实数入， 212 使ka十b-λ(a十b),即ka十b-a十λb, ,.(kλ)a=(λk-1)b. ,a,b是不共线的两个非零向量， 答案(1)9a(2)a-7b+7c .k-A=k-1=0,.k-1=0,.k=土1. 241 素养演练·提升技能 !2.解(1)a·b-al bcos0 1.B[如图所示，因为A市=A+励=AB+C =5×4·c0s120°=-10； (a-2b)·(a十b)=a-a·b-2b AB+号+A0-A-号AB+号AC-号AB+ =a2-a|b·cos120°-2b12 =25-(-10)-2×42=3. 2流所以=名=之] a在b上的授影向量为ac0s=5X(-专)e=-名e 2.B[A,B,D三点共线，号+A=1,A=号] :题点二 典例解析，a·(a-2b)=0,∴.a2-2a·b=0.a=1,b=2, 3.A在A中，前-方-夜-杏-范-感，故A正确：在Bab=a+b=V瓜2a6-形-中=6 中，市-+市--5疗，故B翳误：在C中，武-对煮养练 答案C 市--C-应-5成.故C特误在D中，市+成=.2i:nb2Qab2a+2b- 20,∴.a2+b2-10..(a-b)2≥0，∴.a2+b2≥2ab, ∴.ab≤5，∴.ab的最大值为5，故选C.] s市+R市，51求=店=-市，若A7+或=5,1成，则：2.后[法-，因为1a+b1=12a-b1,即(a十b)=(2a-b),则 2 S=0,不合题意，故D错误.故选A] a2十2a·b+b=4a2-4a·b十b,整理得a2-2a·b=0,又因为 4.B[萨-C+亦-C+i-+(+i)-C+ |a-b|=V5,即(a-b)2=3,则a2-2a·b+b==3,所以 b|=√3. (是萨+函）解得萨-庇+号，即亦-岩a+ 法二：设c=a-b,则|c|=5,a+b=c十2b,2a-b=2c十b,由题意 可得：(c+2b)2=(2c+b)2,则c2+4c·b+4b=4c2+4c·b+b, 是a] 整理得：c2=b,即|b=c=√5，故答案为：5.] !题点三 5.3[设A正=kAD,0≤k≤1，则A正=k(AC+2C)=k[AC+2(A应-典例(1)解析：e十e2与e1十e的夹角为锐角， AC]=2kAB-*AC. .(e+ke2)·(ke1+e2)=kei+kei+(k2+1)e·e=2k>0, :AE=AAB+uAC,且AB与A不共线， .k>0 六2.4=A-=张又0 当k一1时，e1十ke2=e1十e2,它们的夹角为0，不符合题意，舍去 综上，k的取值范周为(0,1)U(1,十∞). .当k=1时，1取最大值3.故入-4的最大值为3.] 答案(0,1)U(1,十o∞) 6.2.4向量的数量积 (2)解由已知条件得{(a+3b)·(7a-5b)=0, (a-4b)·(7a-2b)=0, 必备知识·自主梳理 即{ga+16a·b-15b=0, ① (一)1.∠AOB[0,π]同向反向垂直2.|abcos0ab {7a2-30a·b+8b=0, ② cos 00 即时小练 ②-①得23b-46a·b=0,∴.2a·b=b, 代入①得a=,.a=b, 1.B 2.经[如图所示，A市与心的夹角为经] b21 A 六cos0=ab=b=交 :0e[0,,0=号 拓展 C 解：e1十e:与e1十e的夹角为钝角， (二)1.投影ab投影向量2.a cos Be ∴.(e+ke)·(ke1+e2)-kei+ke+(k2+1)e1·e2-2k<0, 即时小练 k0. 1.A[设向量a与b的夹角为0，则60s0=日0=一是 12 21 当k=一1时，e1十e:与1十e方向相反，它们的夹角为元，不符合 3, 题意，舍去 综上，k的取值范国是（一∞，一1）U(一1,0). 则向量a在b上的投影向量为acos0e=6×(一号)e=-4e,] ·对点训练 2.e[设a与b的夹角为0，a在b上的授影向量为=2x名e1.D[由题可得ac-a:[a-(侣8)b]=a-(a日b）)·ab =e.] (三)1.(1)acos0(2)a·b=0(3)ab-aba2 d-a=0,心a与c的夹角为受] va·a(4)ab2.b·aa·(h)a·c+b·c 2.解，aLb,.a·b=0, 又由已知得[a+(t-3)b]·(-ka+b)=0, 即时小练 ,.一ka2十t(t-3)b=0, 1.AB2.7 a=2,b=1,.-4k+(t-3)=0, 3.③[(a·b)c表示与c共线的向量，(c·a)b表示与b共线的向量，： 而b,C不共线，所以①错误： =-30=(-2)-最u0 当[(b·c)a-(c·a)b]·c=0时，(b·c)a-(c·a)b与c垂直，故 故当1=三时，k取得最小值，最小值为一 9 ②错误；利用分配律可知③显然正确.门 关键能力·合作探究 ·素养演练·提升技能 典例解（①因为a=5,b=4,0=120,所以a·b=a·bcos0=1.A62a+3b=4d+9h+12a·b-16+141+96=256,2a+3动 题点一 =16. 5x4x(-号）=-10. :2.A[由题意可知AD⊥BC,所以根据等面积转化可知BA1X (2)因为a∥b,所以0=0°或180° AC-BCIXIADI台4X3=5×AD,解得AD=2 当0=0°时，a·b=a·bc0s0°=5×4×1=20： 5 当0=180°时，a·b=a·bcos180°=5×4×(-1)=-20. 所以a·b的值为20或一20. A本：Ai=(市+D.A市=A亦，os(店，A市)=A店·Ad IABIAD (3)因为a⊥b,所以0=90°， 所以a·b=a·bcos90°=5×4×0=0. 对点训练 应币=号故选八] 4ADI 4 1.2[设a,b的夹角为0，则a·b=ab·cos0=16. ①；3.A[过B作BM⊥DC于M, 由a在b上的投影向量为acms0合-4b,得acos0=4b。 ②！故AB=DM=2, 由①②得b=2.] 因为BM=AD=3,∠BCD=60°， 242