6.2.2 向量的减法运算-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

第六章平面向量及其应用 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.如图所示，正六边形ABCDEF中， 5.(1)设O是正五边形ABCDE的中心，求OA+ BA+CD+EF= OB+OC+OD+OE; A.0 B.BE (2)设O是正n边形A1A2…A,的中心，求OA1十 C.AD D.CF OA2+…+OA. 2.如图所示，在四边形ABCD中，AC=AB+AD, 则四边形ABCD为 B A.矩形 B.正方形 C.平行四边形 D.菱形 3.在矩形ABCD中，|AB|=4,|BC|=2,则向量 AB+AD十AC的长度为 4.如图，已知电线AO与天花板的 夹角为60°，电线AO所受拉力 F1|=24N.绳BO与墙壁垂直， 所受拉力F2|=12N,则F1与 F2的合力大小为 ,方向 为 温馨提示 请做课时分层检测（二） 6.2.2 向量的减法运算 明学习目标 知结构体系 课标 借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的减法 相反向量 要求 运算及运算法则，理解向量减法的几何意义， 向量的 减法运算 向量减法的三角形法则 素养 由向量的加法运算类比得到向量的减法运算，发展数学 要求 抽象素养及数学运算素养 向量减法的几何意义 必备知识·自主梳理 预习新知夺实基础 (一)相反向量 即时小练 与向量a长度 ,方向 的向量，叫做 定义 a的相反向量，记作一a 1.判断正误 -(-a)= 零向量的相反向量仍是零向量 (1)相反向量就是方向相反的向量. 性质 a+(-a)=(-a)+a= (2)向量AB与BA是相反向量. ( 如果a,b互为相反向量，那么a= ,b= (3)相反向量不一定是平行向量，平行向量一定 ,a+b=0 是相反向量 ( 数学必修第二册 2.若非零向量m与n是相反向量，则下列说法不正： 确的是 在平面内任取一点O,作OA=a, A.m=n B.m=-n 作法 OB=b,则向量a一b=BA,如图 C.m=n D.方向相反 所示 3.在平行四边形ABCD中，向量AB的相反向量为： 如果把两个向量a,b的起点放在一起，则a一b可以表 几何 示为从向量b的 指向向量a的 的向 意义 4.相反向量与相反数一样吗？ 量 即时小练 1.判断正误 (1)两个相等向量之差等于0 (2)两个相反向量之差等于0 (二)向量的减法运算及其几何意义 (3)两个向量的差仍是一个向量： ( 求两个 的运算叫做向量的减法，a一b=a十 2.化简PM-PN+MN所得的结果是 ( 定义 (一b),即减去一个向量相当于加上这个向量的 A.MP B.NP C.0 D.MN 3.OB-0A-OC-CO- 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一向量的减法及其几何意义 /方法技巧/ 求作两个向量的差向量的2种思路 [典例]如图，己知向量a,b,c不共 (1)直接用向量减法的三角形法则，即把两向量 线，求作向量a十b一c. 的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点， 指向被减向量的终点的向量 (2)转化为向量的加法来进行，如a一b,可以先 作-b,然后作a十(-b)即可。 对点训练 如图所示，O为△ABC内一点， OA=a,OB=b,OC=c.求作： (1)向量b十c-a; (2)向量a-b-c. [拓展]若本例条件不变，求作向量a一b一c. 8 第六章平面向量及其应用 题点二向量的减法运算 题点三用已知向量表示其他向量 [典例]化简：(1)(BA-BC)-(ED-EC): [典例] 如图，解答下列各题： (2)(AC+BO+OA)-(DC-DO-OB). (1)用a,d,e表示DB； (2)用b,c表示DB; (3)用a,b,e表示EC; (4)用c,d表示EC. /方法技巧/ 1.向量加减法运算的基本方法 (1)利用相反向量统一成加法（相当于向量求 …/方法技巧/ 和)： 1.利用已知向量表示其他向量的思路 (2)运用减法公式OA-OB=BA(正用或逆 解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正 用)； 确运用向量加法、减法和共线（相等）向量，要 (3)运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量 注意向量的方向及运算式中向量之间的关 转化为以其中一确定点为起点的向量，使问题 系.当运用三角形法则时，要注意两个向量首 转化为有共同起点的向量问题. 尾顺次相接.当两个向量共起点时，可以考虑 2.向量加减法运算结果仍然是向量 用减法 对点训练 2.常用结论 任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线 化简：(1)BA+OD-OA-BC 向量的和（差），即AM=AB+BM以及AB=NB (2)(AC+BO+OA)-(DC-DO-OB). -VA(M,N均是同-平面内的任意点)： 对点训练 如图，已知OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OF= f,试用a,b,c,d,f表示以下向量， (1)AC;(2)AD: (3)AD-AB:(4)AB+CF; (5)BF-BD. 数学必修第二册 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.如图所示，D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,:4.在Rt△ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC CA的中点，则 内一点，点P满足OP=OA+号·(A店+AC,则 |AP|等于 ( A.2 B.1 c D.4 5.设W是由一平面内的n(n≥3)个向量组成的集 A.AD+BE+CF=0 合.若a∈W,且a的模不小于W中除a外的所 B.BD-CF+DF=0 有向量和的模，则称a是W的极大向量.有下列 C.AD+CE-CF=0 命题： ①若W中每个向量的方向都相同，则W中必存 D.BD-BE-FC=0 在一个极大向量； 2.设点M是线段BC的中点，点A在线段BC外， ②给定平面内两个不共线的向量a,b,在该平面 IBCI=4,|AB+ACI=IAB-ACI,AMI= 内总存在唯一的平面向量c=一a一b,使得W= ( {a,b,c}中的每个元素都是极大向量； A.8 B.4 C.2 D.1 ③若W1={a1,a2,a3},W2={b1,b2,b3}中的每 3.在四边形ABCD中，AB=AD=2,∠BAD= 个元素都是极大向量，且W1,W2中无公共元素， 120°，0为平面上一点，且满足OA+0C=OB+ 则W1UW2中的每个元素也都是极大向量. OD,则四边形ABCD的面积为 ( 其中真命题的序号是 A.√3 B.23 C.43 D.4 温馨提示 请做课时分层检测（三） 6.2.3 向量的数乘运算 明学习目标 知结构体系 1,通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法 课标 则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的 向量的数乘的定义 向量的 要求 含义 向量的 数乘运算 数乘运算 向量的数乘的几何意义 2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义. 利用向量 向量的数乘的运算律 通过向量数乘运算知识的形成过程，体会数学抽象 素养 方法证明 共线向 在概念及性质的产生发展过程中的作用，进一步提 三点共线 量定理 向量的线性运算 要求 升数学运算素养及数学抽象素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)向量的数乘运算 A>0 a的方向与a的方向 1.向量的数乘运算 A=0 向 a= 般地，实数入与向量a的积是一个 <0 a的方向与a的方向 定义 ,这种运算叫做向量的数乘，记作a 2.向量数乘运算的运算律 设入，4为实数，那么 长度 laal=lallal (1)(0)= 10则Oi-OA+Oi-a+b. (2)设a=OA+OA+…+OA,将a顺时针旋转2匹，等价于将 再以(OD,OC为邻边作□ODEC,连接OE, 则O正-Oi+OC=a十b+c即为所求. 0A,0…,0A都顺时针荒转2如 对点训练 解(1)如图a所示，设OA=a,因为a与b有公共点A,所以过A点 同理，旋转后向量的和为OA+OA+…十OA,=a,即a顺时针旋 作AB-b,连接OB即为a十b. 转2严后所得向量相等仍是a,故a=0. (2)如图b,设OA=a,过O点作Oi=b,则以OA,OB为邻边作 6.2.2向量的减法运算 □OACB,连接OC,则OC=OA十OB=a+b. !必备知识·自主梳理 (一)相等相反a0一b一a 0a4 b 即时小练 a+bB 1.(1)×(2)/(3)× 图a 图b :2.A[因为m与n的方向相反，所以m与n不相等.] 题点二 典例解(1)AB+C市+BC-(AB+BC)+C市 :3.BA,CD ·4,提示不一样，相反数是两个数符号相反，绝对值相等，相反向量是 -AC+CD-=AD. 指两个向量方向相反，模相等. (2)DB+DC+BD+CA :(二)向量差相反向量终点终点 =DB+BD+DC+CA 即时小练 =DA :1.(1)/(2)×(3)√ (3)AB+DF+CD+BC+FA :2.C[PM-P+M衣-NM+M=0.故选C. =AB+BC+CD+DF+FA 3.A立[O店-A-元-d0=(B-dA)-元+=AB-0=AB.] -AC+CD+DF+FA 关键能力·合作探究 =AD+DF+FA=0. 题点一 对点训练 典例解法一：如图①，在平面内任取一点O,作OA=a,A店=b,则 解(1)法一：(AB+DB)+(C市+B)=(A店+B+(C市+D)=AC;OB=a+b,再作O元=c, +CB=AB. 则CB=a十b-c. 法二：(AB+DB)+(C市+BC)-AB+(BC+Ci+D)-AB+0法二：如图②，在平面内任取一点O,作Oi=a,AB=b,则Oi=a十 =AB. b,再作CB-c,连接OC,则OC-a+b-c. (2)Ai+D亦+Ci+BC+FA=(AB+BC)+(Ci+D亦+FA)= C AC+CA-0. a+b-c atb 题点三 B 典例、解如图所示，C-BA十AC,∠BAC=90, a+b-c/ 北 AB=AC=300km,所以BC=300V2kam 又因为∠ABC=45°，且A地在B地的东偏南 30159 >C 图① 围② 60的方向处，可知C地在B地的东偏南15°的方 向处 3000300+东 拓展 故飞机从B地向C地飞行的方向是东偏南15°， 如图，在平面内任取一点O, B,C两地间的距离为300√2km. 作OA=a,OB=b,则BA=a-b. 对点训练 再作CA=c,则BC=a-b-c. 解作出图形，如图.船速与岸的方向成a角 :对点训练 由图可知V水十V据一V实除，结合已知条件，四边 解(1)法一：如图，以Oi,OC为邻边作口OBDC,连 形ABCD为平行四边形， 在Rt△ACD中， 接OD,AD,则O市-Oi+OC-b+c, CDI=AB=x=10 m/min, AD=v=20 m/min, .cos a=cpl_101 AD20=2a=60, 从而船与水流方向成120的角， 故船行进的方向是与水流的方向成120的角的方向. AD=OD-OA=b+c-a. 素养演练·提升技能 法二：如图，作CD-OB=b,连接AD, 1.D[由于BA=DE,故BA+CD+EF-CD+D正+E=C京] 2.C [AC-AB+AD,..DC=DA+AC-DA+AB+AD-DA+ AD+AB-AB,即C-AB..DC=AB且DC∥AB,∴.四边形ABCD 为平行四边形，] 3.4V5[因为AB+AD=AC, 所以AB+AD+AC的长度为AC长度的2倍. 则AC-O心-Oi=c-a, 又AC=√4+2-2V5, AD-AC+CD=c-a+b-b+c-a 所以向量AB+AD+AC的长度为45.] (2)法一：a-b-c=a-(b十c), 4.12√5N竖直向上[如图，以OA,OB为邻边作平 如图，以OB,OC为邻边作☐OBEC,连接OE, 行四边形BOAC,则F+F2=F,即OA+OB=OC, 则O正-O店+OC=b+c, 则∠()AC-60°，|OA=24,|AC=OB=12, 连接AE, .∠AC0=90°，∴.0C=125. 则EA=a-(b十c)=a-b-c. ∴E与F的合力大小为12√5N,方向为竖直向上.] 法二：由a-b-c=一(b十c一a),与(1)中向量成相反向量，DA= 5.解(1)令m-OA+OB+OC+QD十OE,若将m -(b+c-a)=a-b-c. 顺时针旋转72°，等价于将OA,Oi,OC,OD,O正都 题点二 顺时针旋转72°，如图： 典例解(1)(BA-BC)-(Ei-EC)=C4-C元-DA 向量OA,OB,O心，O心，O元在旋转后对应位置为 (2)(AC+BO+OA)-(DC-DO-OB) OE,OA.OB,OC,OD, -AC+BA-DC+(DO+OB) 所以旋转后向量的和为O正+A+O+O心+O茄 =AC+BA-D元+Di-BC-D元+DB =m,即m顺时针旋转72°后所得向量相等仍是m,故m=0 -BC+CD+DB-BD+DB=0. 240 对点训练 对点训练 解(1)BA+Oi-Oi-BC=(BA-BC)+(O市-OA)=C+1.解(1)原式=8a+8c+7a-7c-c AD=CD. -(8+7)a+(8-7-1)c-15a. (2)(AC+BO+OA)-(DC-DO-OB) (2)原式=a+9b-2c+b+2c =a+(9+1)b+(-2+2)c=a+10b. -AC+BA-OC+OB (3)原式=a-(2a-b)十a=a-2a十b十a =AC+CO+0B+BA=AB+BA=0. =(1-2+1)a+b=b. 题点三 典例解、由题意知，AB=a,BC=b,CD=c,D正-d,EA=e, =a+品, 3 则(1)DB=DE+EA+AB=d+e十a. 2解聚立方粒组中解 {-品ab (2)DB-CB-CD=-BC-CD=-b-c. 题点二 (3)EC-EA+AB+BC-a+b+e. (4)E元--C2=-(CD+DE)=-c-d. :典例解析D成-D心+-+(-A-范-市=a 对点训练 1 解(1)AC-元-OA=c-a 6 (2)AD-AO+OD-OD-OA=4-a. 答案D !拓 (3)AD-AB=BD=OD-OB=d-b. 1.解因为DG∥AB,所以△DFG△BFA, ”金，4 又国为DF=2OD=号X合BD=子BD, 2 素养演练·提升技能 1.AAi=Di,AD+Bi-Di+B酝=Di=F花，AD+B成+ 所以器器 CF-FC+CF-0,故A正确.又BD-CF+DF=BD+DF+FC 所以AG-Ad+心=AD+号AB=号a+b. BC,AD+CE-C市-AD+F花+C克-FE+F正-2FE,Bi-B正 a=A成-AD。 FC-Bi+EB+ED=2ED,故B、CD均不正确.] 2.解如图，由题意 2.C[以AB,AC为邻边作平行四边形ACDB,则由向量加、减法的 6=2店-Ai, 兀何意义可知AD=AB十AC,CB=AB-AC.因为|AB+AC= AB-AC,所以AD=CB.又四边形ACDB为平行四边形，所 AB-4 a 以四边形ACDB为矩形，故AC⊥AB.则AM为Rt△ABC斜边BC 解得 4 上的中线，因此，i=号B心=2] 3.B[OA+O心=Oi+Oi,.OA-OB=Oi-O元，即BA=Ci, 所以可成=市-市-号a叶号6， ∴.BA &CD,∴.四边形ABCD为平行四边形，又AB :对点训练 D行之有AC配为烹有骨为等赞全清 1.子店+号A心[示意图知图所示，由题意可得 形，四边形ABCD的面积为号X2X5X2=25 市=+筋=A花+号C=+号C 故选B.] 4.B[亦=di+文(Ai+C,∴O-Oi=(Ai+AC, A)=号店+号心.] 2.解O市-OA+AP-OA+4A店 AD=AB+AC,AP为Rt△ABC斜边BC的中线，.市=L. 故选B] =0i+0i-0i)=-30i+号成 5.②③〔若W中有n(n≥3)个方向相同，模相等的向量，则无极大向！题点三 量，故①不正确：由题意得a,b,c能组成闭合三角形，则任意向量的 模等于除它本身外所有向量和的模，故②正确；3个向量都是极大向 :典例解)证明：A店-0店-0i=(3a十b)-(2a-b)=a+2b: 量，等价于3个向量之和为0，故当W1={a1,a2,a3,W:={b,b2, 而BC-OC-Oi=(a-3b)-(3a+b)=-(2a+4b)=-2AB, b}中的每个元素都是极大向量时，W,UW2中的每个元素也都是： ,AB与BC共线，且有公共点B, 极大向量，故③正确.] A,B,C三点共线. 6.2.3向量的数乘运算 (2).8a十b与ka十2b共线， 必备知识·自主梳理 ∴.存在实数入，使得8a十kb=入（如十2b), (一)1.向量相同0相反2.(1)（λ）a(2)a+a（3)a+b· 即(8一λk)a十(k-2λ)b=0, 3.入h1a士入2b a与b不共线，8-k=0, 即时小练 ”k-2x=0, 1.C 解得λ=士2，.k=2λ=土4. 2.C [AC=AB+AD=2a+36.] :对点训练 3.-2a+8b !1.解由题意可得，AD-AB+BC+CD=e1+2e,-5e,+6e,+7e- (二)b=a 2e-3e1+6e2, 即时小练 Bd=BC+Ci=-5e1+6e+7e1-2e=2e1+4e, 1. 2.提示：向量a是非零向量，∴a>0.根据向量的数乘的几何意： AC-AB+BC=e+2e:-5e1 +6e:=-4e+8e:. 义知：日是与自量a同向的单位向量。 (1)AD=3(e1+2e)=3AB,.AB与AD共线. (2)BC与BD不共线. 关键能力·合作探究 题点一 (3)CD与AC不共线 典例解析(13(6a+b)-9(a+号b）=18a+3b-9a-3b=9a. 2.(1)证明、：AB=a+b,BC-2a+8b,CD=3(a-b). :.BD-BC+CD=2a+8b+3(a-b) (2)将原等式支形为2y-号a-之c-2b叶多y+b=0, =2a十8b+3a-3b=5(a+b)=5AB. 7 2 ∴AB,BD共线， 即2y-3a-c+zb=0 又它们有公共点B,A,B,D三点共线 2 1 1 (2)解如十b与a十b共线， 2y=3a-2b+2, ∴存在实数入， 212 使ka十b-λ(a十b),即ka十b-a十λb, ,.(kλ)a=(λk-1)b. ,a,b是不共线的两个非零向量， 答案(1)9a(2)a-7b+7c .k-A=k-1=0,.k-1=0,.k=土1. 241