6.2.1 向量的加法运算-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

数学必修第二册 /方法技巧/ 对点训练 相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向 :1.在四边形ABCD中，AB=DC,且AD|=|AB, 则这个四边形是 线段长度相等的线段，再确定哪些是同向共线 A.正方形 B.矩形 的向量。 C.等腰梯形 D.菱形 (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向2.如图，四边形ABCD和ABDE 线段平行或共线的线段，再确定同向与反向的 都是平行四边形 向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线 (1)图中与向量ED相等的向量 为 段的终点为起点，起点为终点的向量 (2)若AB1=3,则EC= 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知A={与a共线的向量}，B={与a长度相等：5.在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任 的向量}，C={与a长度相等但方向相反的向：务.它首先从A点出发向西航行了200km到达 量}，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是 B点，然后改变航行方向，向北偏西40°航行了 ( ) 400km到达C点，最后又改变航行方向，向东航 A.CCA B.A∩B={a》 行了200km到达D点.此时，它完成了此片海域 C.C二B D.A∩B2{a} 的巡逻任务 2.若BA=CD,则四边形ABCD的形状为( (1)作出向量AB,BC,CD: A.平行四边形 B.矩形 (2)求|AD. C.菱形 D.等腰梯形 3.如果一架飞机向东飞行200km,再向南飞行300km, 记飞机飞行的路程为s,位移为a,那么 ( A.s>al B.s<a C.s=al D.s与a不能比大小 4.中国象棋中规定：马走“日” 字，象走“田”字.如图，在中国 象棋的半个棋盘(4×8的矩 形中每个小方格都是单位正 方形)中.若马在A处，可跳到A1处，也可跳到 A2处，用向量AA1,AA2表示马走了“一步”.若 马在B处或C处，则表示马走了“一步”的向量共 温馨提示 请做课时分层检测（一） 有 个. 6.2.1 向量的加法运算 明学习目标 知结构体系 借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的 课标 向量加法运算的定义 加法运算及运算法则，并理解向量加法的几何 要求 三角形法则 意义 向量的 向量加法的 加法运算 运算法则 平行四边形法则 交换律 素养 通过物理模型的研究，体会向量加法运算的形成过 向量加法的运算律 要求 程，发展数学抽象及数学运算素养. 结合律 第六章平面向量及其应用 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)向量加法的定义及运算法则 2.如图所示， 1.向量的加法定义及三角形法则 定义 求 的运算，叫做向量的加法 前提 已知非零向量a,b 作法 在平面内取任意一点A,作AB=a,BC=b,连 接AC 向量AC叫做a与b的和，记作a十b,即a十b 结论 =AB+BC=AC (1)a+b= 则 (2)c+d= 图形 (3)a+b+d= (4)c+d+e= L 2.向量加法的平行四边形法则 (二)向量加法的运算律 前提已知不共线的两个向量a,b,在平面内任取一点O 交换律 结合律 作OA=a,OB=b.以OA,OB为邻边作□OACB, 作法 a+b= (a+b)+c= 连接OC,则OC=OA+OB 结论 以O为起点的向量OC就是a与b的和 即时小练 a 1.已知非零向量a,b,c,则向量(a十c)十b,b十(a十 图形 b c),b+(c+a),c十(b+a),c+(a+b)中，与向量 a a+b十c相等的个数为 () 规定 零向量与任意向量a的和都有a+0= A.2 B.3 C.4 D.5 2.(多选)在平行四边形ABCD中，下列结论中正确 即时小练 的是 () 1.如图所示的方格纸中有定点 O,P,Q,E,F,G,H,则OP+ OQ- ( A.OH B.OG A.AB=DC B.AD+AB=AC C.FO D.EO C.AB=BD+AD D.BC+CD=DB 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一求作向量的和 /方法技巧/ [典例](1)如图①所 应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题 a (1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图 示，求作向量a十b; b 时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的 a (2)如图②所示，求 图① 图② 和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个 作向量a十b十c. 向量的终点的向量， (2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求 和，作图时要求两个向量的起点重合. 5 数学必修第二册 (3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角 对点训练 形法则更简单 化简：(1)(AB+DB)+(CD+BC): 对点训练 (2)AB+DF+CD+BC+FA」 (1)如图①，利用向量加法的三角形法则作出 a+b; (2)如图②，利用向量加法的平行四边形法则作 出a十b. a a 图① 图② 题点三向量加法的实际应用 :[典例]一架执行任务的飞机从A地按北偏西30° 的方向飞行300km后到达B地，然后向C地飞 行，已知C地在A地东偏北30°的方向处，且A, C两地相距300km,求飞机从B地到C地飞行 的方向及B,C间的距离. 题点二向量加法运算律的应用 [典例] 设A,B,C,D是平面上的任意四点，试 化简： (1)AB+CD+BC: (2)DB+DC+BD+CA; /方法技巧/一 利用向量加法解实际应用题的步骤 (3)AB+DF+CD+BC+FA. 用向量表示实际问题中既有大小又有方向 表示 的量 利用平行四边形法则或三角形法则求向量 运算 的和，并用直角三角形等知识解决问题 作答 根据题意作答 对点训练 /方法技巧/ 在静水中船的速度为20m/min,水流的速度为 向量加法运算律的意义和应用原则 10m/min,如果船从岸边出发沿垂直于水流的航 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了 线到达对岸，求船行进的方向. 变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运 算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律 和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任 意的次序、任意的组合来进行. (2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交 换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结 合律调整向量相加的顺序 第六章平面向量及其应用 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.如图所示，正六边形ABCDEF中， 5.(1)设O是正五边形ABCDE的中心，求OA+ BA+CD+EF= OB+OC+OD+OE; A.0 B.BE (2)设O是正n边形A1A2…A,的中心，求OA1十 C.AD D.CF OA2+…+OA. 2.如图所示，在四边形ABCD中，AC=AB+AD, 则四边形ABCD为 B A.矩形 B.正方形 C.平行四边形 D.菱形 3.在矩形ABCD中，|AB|=4,|BC|=2,则向量 AB+AD十AC的长度为 4.如图，已知电线AO与天花板的 夹角为60°，电线AO所受拉力 F1|=24N.绳BO与墙壁垂直， 所受拉力F2|=12N,则F1与 F2的合力大小为 ,方向 为 温馨提示 请做课时分层检测（二） 6.2.2 向量的减法运算 明学习目标 知结构体系 课标 借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的减法 相反向量 要求 运算及运算法则，理解向量减法的几何意义， 向量的 减法运算 向量减法的三角形法则 素养 由向量的加法运算类比得到向量的减法运算，发展数学 要求 抽象素养及数学运算素养 向量减法的几何意义 必备知识·自主梳理 预习新知夺实基础 (一)相反向量 即时小练 与向量a长度 ,方向 的向量，叫做 定义 a的相反向量，记作一a 1.判断正误 -(-a)= 零向量的相反向量仍是零向量 (1)相反向量就是方向相反的向量. 性质 a+(-a)=(-a)+a= (2)向量AB与BA是相反向量. ( 如果a,b互为相反向量，那么a= ,b= (3)相反向量不一定是平行向量，平行向量一定 ,a+b=0 是相反向量 (学习讲义参考答案与解析 第六章平面向量及其应用 (2)与a共线的向量有EF,BC,Od,F正，C,D0,AO,DA,AD 6.1 平面向量的概念 (3)与a相等的向量有E乎，D0,C: 必备知识·自主梳理 与b相等的向量有DC,EO,FA: (一)1，大小方向大小方向2.大小方向 与c相等的向量有FO,ED,AB. 即时小练 对点训练 1.C,[质堂、路程、密度、功、时间只有大小，没有方向，所以是数量，不1.D[由AB-DC可知AB∥DC,且AB=心，所以四边形ABCD为 是向量， 平行四边形.又AD=AB,所以平行四边形ABCD为菱形.故选D.] 2.提示海拔不是向量，它只有大小没有方向.海拔的正负，零上温度：2.解析(1)在□ABCD和□ABDE中， 和零下温度，都只是相对规定的标准来说的，不是指方向，因而温度 .AB-ED,AB=DC...ED-DC. 也是只有大小没有方向，不是向量. (二)1.方向ABAB1AB起点方向长度2.有向线段 ∴与ED相等的向量有AB,DC (2)由(1)知，ED=DC. AB引3.001个单位长度 即时小练 ∴E,D,C三点共线，EC=ED+DC=2AB1=6. 1.B 工零向量的长度为0，方向是任意的，故A错误，B正确；任意两： 答案(1)AB,D元(2)6 个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故C错误：长度有大：素养演练·提升技能 小，方向没有大小，不管是同向的向量还是不同向的向量，都不能比！1.B[因为A∩B中含有与a长度相等、方向相反的向量，所以B选 较大小，故D错误.] 项错误，门 2.12 2.A[因为BA=CD,所以BA=CD且BA∥CD,所以四边形ABCD (三)相同或相反a∥b平行0∥a相等相同a=b 为平行四边形.门 即时小练 3.A[.s=200+300=500(km),a=√200+300=100√13(kam), 1.C.[图中与AE相等的向量为DF,FC,EB,共3个.] .s>a.故远A] 2.BA,DC,CD :4如图，以B点为起点作有向钱段表示马击 关键能力·合作探究 了“一步”的向量，符合题意的共3个；以C点为 题点一 起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合 题意的共8个.所以共有11个，] 典例解析B选项中，两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的；5，解()如图所示， 方向不一定相同，终，点也不一定相同，B不正确：C选项中，当b一0： 时，a与c可能不共线，C不正确；D选项中，两个单位向量平行也可！ C g光 D 能反向，则不相等，D不正确， 答案A ; 对点训练 西BA东 ③[①错误.若b=0,则①不成立；②错误.起点相同的单位向量， 南 终，点未必相同：③正确，对于一个向量，只要不改变其大小和方向， 作出AB,BC,Ci. 是可以任意移动的：④错误，共线向量即平行向量，只要求方向相同 (2)由题意知AB∥CD,AB=CD 或相反即可，并不要求两个向量AB,CD必须在同一直线上.] 所以四边形ABCD是平行四边形， 题点二 所以AD=BC=400km, 典例解(1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A: 所以AD=400km. 距，点)的横向小方格数与纵向小方格数相等. 6.2.1向量的加法运算 又OA=42,小方格边长为1，所以点A距 必备知识·自主梳理 点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4， (一)1.两个向量和2.a十b0十aa 于是点A位置可以确定，画出向量OA如图 即时小练 所示. 1.C[设a=OP+O反，以OP,OQ为邻边作平行四边形，则OP与OQ (2)由于点B在点A正东方向处，且AB 之间的对角线对应的向量即向量a,由a和O长度相等，方向相同， 4,所以在坐标纸上，点B距点A的横向小方格 得a=FO,即Op+OQ=FO.] 数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以 12.(1)c(2)f(3)f(4)g 确定，画出向量AB如图所示， (二)b+aa+(b+c) (3)由于点C在点B北偏东30处，且B心=6，依据句股定理可得：1.D由向量加法的交换律与结合律可知，所给的5个向量都与a十b :即时小练 在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向用含30°的三角 十c相等.] 板，作北偏东30°的线段，交点为C.于是点C位置可以确定，画出向 :2.AB[因为AB=AD+DB≠B励+AD,所以C错误.BC+CD- 量BC如图所示 对点训练 BD,D错误，A,B正确.] 1.解(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量 关键能力·合作探究 a平行，且长度相等.如图中的b即为所作向量 题点一 b (2)符合题意的一个向量c如图所示，由平面几 典例解(1)首先作向量OA=a,然后作向量AB=b,则向量Oi 何知识可知，所有这样的向量c的终点的轨证是 a十b.如图所示. 以A为圆心，√5为半径的圆 2.解(1)画出示意图，如图所示，易得所求路程为 A B 巡逻艇两次路程的和， (2)法一：三角形法则 即AB+BC=70 n mile. 如图a所示，首先在平面内任取一，点O, 信推悠a道 作向量OA=a,再作向量AB=b, 则得向量(OB=a十b,然后作向量BC=c, 30 n mile 北 则向量(OC=(a十b)十c=a十b+c即为所求， 一东 A(港口) (2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移是向量，既有大小又有！ 方向，其大小为 ACI=AB2+BC2=50(n mile) 由于in∠BAC=手，故方向约为北偏东53 法二：平行四边形法则 如图b所示，首先在平面内任取一点O, 题点 作向量OA=a,OB=b,OC=c, 典例解(1)与a的长度相等，方向相反的向量有O币，BC,AO,F正. 以O)A,OB为邻边作☐OADB,连接OD, 239 则Oi-OA+Oi-a+b. (2)设a=OA+OA+…+OA,将a顺时针旋转2匹，等价于将 再以(OD,OC为邻边作□ODEC,连接OE, 则O正-Oi+OC=a十b+c即为所求. 0A,0…,0A都顺时针荒转2如 对点训练 解(1)如图a所示，设OA=a,因为a与b有公共点A,所以过A点 同理，旋转后向量的和为OA+OA+…十OA,=a,即a顺时针旋 作AB-b,连接OB即为a十b. 转2严后所得向量相等仍是a,故a=0. (2)如图b,设OA=a,过O点作Oi=b,则以OA,OB为邻边作 6.2.2向量的减法运算 □OACB,连接OC,则OC=OA十OB=a+b. !必备知识·自主梳理 (一)相等相反a0一b一a 0a4 b 即时小练 a+bB 1.(1)×(2)/(3)× 图a 图b :2.A[因为m与n的方向相反，所以m与n不相等.] 题点二 典例解(1)AB+C市+BC-(AB+BC)+C市 :3.BA,CD ·4,提示不一样，相反数是两个数符号相反，绝对值相等，相反向量是 -AC+CD-=AD. 指两个向量方向相反，模相等. (2)DB+DC+BD+CA :(二)向量差相反向量终点终点 =DB+BD+DC+CA 即时小练 =DA :1.(1)/(2)×(3)√ (3)AB+DF+CD+BC+FA :2.C[PM-P+M衣-NM+M=0.故选C. =AB+BC+CD+DF+FA 3.A立[O店-A-元-d0=(B-dA)-元+=AB-0=AB.] -AC+CD+DF+FA 关键能力·合作探究 =AD+DF+FA=0. 题点一 对点训练 典例解法一：如图①，在平面内任取一点O,作OA=a,A店=b,则 解(1)法一：(AB+DB)+(C市+B)=(A店+B+(C市+D)=AC;OB=a+b,再作O元=c, +CB=AB. 则CB=a十b-c. 法二：(AB+DB)+(C市+BC)-AB+(BC+Ci+D)-AB+0法二：如图②，在平面内任取一点O,作Oi=a,AB=b,则Oi=a十 =AB. b,再作CB-c,连接OC,则OC-a+b-c. (2)Ai+D亦+Ci+BC+FA=(AB+BC)+(Ci+D亦+FA)= C AC+CA-0. a+b-c atb 题点三 B 典例、解如图所示，C-BA十AC,∠BAC=90, a+b-c/ 北 AB=AC=300km,所以BC=300V2kam 又因为∠ABC=45°，且A地在B地的东偏南 30159 >C 图① 围② 60的方向处，可知C地在B地的东偏南15°的方 向处 3000300+东 拓展 故飞机从B地向C地飞行的方向是东偏南15°， 如图，在平面内任取一点O, B,C两地间的距离为300√2km. 作OA=a,OB=b,则BA=a-b. 对点训练 再作CA=c,则BC=a-b-c. 解作出图形，如图.船速与岸的方向成a角 :对点训练 由图可知V水十V据一V实除，结合已知条件，四边 解(1)法一：如图，以Oi,OC为邻边作口OBDC,连 形ABCD为平行四边形， 在Rt△ACD中， 接OD,AD,则O市-Oi+OC-b+c, CDI=AB=x=10 m/min, AD=v=20 m/min, .cos a=cpl_101 AD20=2a=60, 从而船与水流方向成120的角， 故船行进的方向是与水流的方向成120的角的方向. AD=OD-OA=b+c-a. 素养演练·提升技能 法二：如图，作CD-OB=b,连接AD, 1.D[由于BA=DE,故BA+CD+EF-CD+D正+E=C京] 2.C [AC-AB+AD,..DC=DA+AC-DA+AB+AD-DA+ AD+AB-AB,即C-AB..DC=AB且DC∥AB,∴.四边形ABCD 为平行四边形，] 3.4V5[因为AB+AD=AC, 所以AB+AD+AC的长度为AC长度的2倍. 则AC-O心-Oi=c-a, 又AC=√4+2-2V5, AD-AC+CD=c-a+b-b+c-a 所以向量AB+AD+AC的长度为45.] (2)法一：a-b-c=a-(b十c), 4.12√5N竖直向上[如图，以OA,OB为邻边作平 如图，以OB,OC为邻边作☐OBEC,连接OE, 行四边形BOAC,则F+F2=F,即OA+OB=OC, 则O正-O店+OC=b+c, 则∠()AC-60°，|OA=24,|AC=OB=12, 连接AE, .∠AC0=90°，∴.0C=125. 则EA=a-(b十c)=a-b-c. ∴E与F的合力大小为12√5N,方向为竖直向上.] 法二：由a-b-c=一(b十c一a),与(1)中向量成相反向量，DA= 5.解(1)令m-OA+OB+OC+QD十OE,若将m -(b+c-a)=a-b-c. 顺时针旋转72°，等价于将OA,Oi,OC,OD,O正都 题点二 顺时针旋转72°，如图： 典例解(1)(BA-BC)-(Ei-EC)=C4-C元-DA 向量OA,OB,O心，O心，O元在旋转后对应位置为 (2)(AC+BO+OA)-(DC-DO-OB) OE,OA.OB,OC,OD, -AC+BA-DC+(DO+OB) 所以旋转后向量的和为O正+A+O+O心+O茄 =AC+BA-D元+Di-BC-D元+DB =m,即m顺时针旋转72°后所得向量相等仍是m,故m=0 -BC+CD+DB-BD+DB=0. 240