6.1 平面向量的概念-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

第六章 P=20+2w 平面向量及其应用 6.1平面向量的概念 明学习目标 知结构体系 1,通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理 零向量 课标 向量的概念及表示 解平面向量的意义和两个向量相等的含义， 要求 2.理解平面向量的几何表示和基本要素。 平面向量 单位向量 向量的相关概念 平行向量 素养 从力、速度、位移等实际情景入手，经历从具体到抽象的知识发展 向量的应用 要求 过程，发展数学抽象素养及直观想象素养 相等向量 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)向量的实际背景与概念 (二)向量的几何表示 1.向量与数量 1.有向线段的概念 向量 既有 又有 的量叫做向量 定义 具有 的线段叫做有向线段 数量 只有 没有 的量称为数量 2.向量的二要素 以A为起点、B为终点的有向线段记作 表示方法 向量由 与 两个要素组成.向量 ,线段 的长度也叫做有向线段 及长度 的大小是代数特征，方向是几何特征 AB的长度，记作 即时小练 三要素 1.给出下列物理量： 2.向量的表示方法 ①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度：⑥路 用 AB表示向量，有向线段的长度 程；⑦密度；⑧功；⑨时间， 几何 表示 表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的 其中不是向量的有 ( 方向 A.3个B.4个 C.5个 D.6个 2.海平面以上的高度（海拔）用正数表示，海平面以 字母 通常在印刷时，用黑体小写字母a,b,c,…表示向 下的高度用负数表示，那么海拔是向量吗？温度 表示 量，书写时，可写成带箭头的小写字母a,b,c,… 也有正负之分，那么它是向量吗？为什么？ 3.向量的相关概念 向量的 向量AB的大小称为向量AB的长度（或称模）， 长度（模》 记作AB 长度为 的向量叫做零向量，记作 零向量 单位向量 长度等于 的向量，叫做单位向量 数学必修第二册 即时小练 长度 且方向 的向量叫做相等 相等向量 向量.a与b相等，记作 1.下列说法正确的是 A.零向量是没有方向的向量 B.零向量的长度为0 即时小练 C.任意两个单位向量的方向相同 1.如图，在□ABCD中，点E,F分别是AB,CD的 D.同向的两个向量可以比较大小 中点，图中与AE相等的向量的个数为 () 2.如图，B,C是线段AD的三等分点，分别以图中 不同的点为起点和终点，可以写出个向量、 A i c D (三)相等向量与共线向量 A.1 B.2 C.3 D.4 方向 的非零向量叫做平行向量，也叫共 :2.如图，在平行四边形ABCD中，与AB共线的向量 平行向量 线向量.向量a与b平行，记作 .规定：零 有 (共线 向量与任意向量 ,即对于任意向量a,都 向量) 有 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一向量有关的概念 题点二向量的表示及应用 [典例]下列说法正确的是 ):[典例]在如图所示的坐标纸上（每个小方格边长 A.向量AB与向量BA的长度相等 为1)，用直尺和三角板画出下列向量： 北 B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的： 终点相同 C.若a∥b,b∥c,则a∥c D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等： …/方法技巧/… 对于向量的相关概念问题，关键是把握好概念 的内涵与外延，对于一些似是而非的概念一定 (1)OA,使1OA1=4√2，点A在点0北偏东45°； 要分辨清楚，如有向线段与向量，有向线段是向 (2)AB,使|AB|=4,点B在点A正东； 量的表示形式，并不等同于向量，还有如单位向 (3)BC,使|BC1=6,点C在点B北偏东30°. 量，单位向量只是从模的角度定义的，与方向无 关.零向量的模为零，方向则是任意的， 对点训练 给出下列命题： ①若a∥b,b∥c,则a∥c: ②若单位向量的起点相同，则终点相同； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是： 相等向量； ④若向量AB与CD是共线向量，则A,B,C,D四 点必在同一直线上 其中正确命题的序号是 第六章平面向量及其应用 /方法技巧/ 2.一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 n mile,这 1. 向量的两种表示方法 时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40 n mile (1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定 处有一艘渔船抛锚需救助.试求： 向量的方向，最后根据向量的长度确定向量 (1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的 的终点， 路程； (2)字母表示法：为了便于运算可用字母a, (2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移.（参 b,c表示；为了联系平面几何中的图形性质， 考数据：sin53°≈0.8) 可用表示向量的有向线段的起点与终点表示 向量，如AB,CD,EF等】 2.两种向量表示方法的作用 (1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法 研究向量运算，为用向量处理几何问题打下 了基础 (2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算. 对点训练 1.在如图所示的方格纸上，已 知向量a,每个小正方形的边 长为1. (1)试以B为起点画一个向 量b,使b=a; (2)在图中画一个以A为起 题点三相等向量与共线向量 点的向量c,使|cl=√5，并说出向量c的终点的[典例] 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中 轨迹是什么. 心，且OA=a,OB=b,OC=c. (1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与a共线的向量有哪些？ (3)请一一列出与a,b,c相等的向量. 数学必修第二册 /方法技巧/ 对点训练 相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向 :1.在四边形ABCD中，AB=DC,且AD|=|AB, 则这个四边形是 线段长度相等的线段，再确定哪些是同向共线 A.正方形 B.矩形 的向量。 C.等腰梯形 D.菱形 (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向2.如图，四边形ABCD和ABDE 线段平行或共线的线段，再确定同向与反向的 都是平行四边形 向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线 (1)图中与向量ED相等的向量 为 段的终点为起点，起点为终点的向量 (2)若AB1=3,则EC= 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知A={与a共线的向量}，B={与a长度相等：5.在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任 的向量}，C={与a长度相等但方向相反的向：务.它首先从A点出发向西航行了200km到达 量}，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是 B点，然后改变航行方向，向北偏西40°航行了 ( ) 400km到达C点，最后又改变航行方向，向东航 A.CCA B.A∩B={a》 行了200km到达D点.此时，它完成了此片海域 C.C二B D.A∩B2{a} 的巡逻任务 2.若BA=CD,则四边形ABCD的形状为( (1)作出向量AB,BC,CD: A.平行四边形 B.矩形 (2)求|AD. C.菱形 D.等腰梯形 3.如果一架飞机向东飞行200km,再向南飞行300km, 记飞机飞行的路程为s,位移为a,那么 ( A.s>al B.s<a C.s=al D.s与a不能比大小 4.中国象棋中规定：马走“日” 字，象走“田”字.如图，在中国 象棋的半个棋盘(4×8的矩 形中每个小方格都是单位正 方形)中.若马在A处，可跳到A1处，也可跳到 A2处，用向量AA1,AA2表示马走了“一步”.若 马在B处或C处，则表示马走了“一步”的向量共 温馨提示 请做课时分层检测（一） 有 个. 6.2.1 向量的加法运算 明学习目标 知结构体系 借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的 课标 向量加法运算的定义 加法运算及运算法则，并理解向量加法的几何 要求 三角形法则 意义 向量的 向量加法的 加法运算 运算法则 平行四边形法则 交换律 素养 通过物理模型的研究，体会向量加法运算的形成过 向量加法的运算律 要求 程，发展数学抽象及数学运算素养. 结合律学习讲义参考答案与解析 第六章平面向量及其应用 (2)与a共线的向量有EF,BC,Od,F正，C,D0,AO,DA,AD 6.1 平面向量的概念 (3)与a相等的向量有E乎，D0,C: 必备知识·自主梳理 与b相等的向量有DC,EO,FA: (一)1，大小方向大小方向2.大小方向 与c相等的向量有FO,ED,AB. 即时小练 对点训练 1.C,[质堂、路程、密度、功、时间只有大小，没有方向，所以是数量，不1.D[由AB-DC可知AB∥DC,且AB=心，所以四边形ABCD为 是向量， 平行四边形.又AD=AB,所以平行四边形ABCD为菱形.故选D.] 2.提示海拔不是向量，它只有大小没有方向.海拔的正负，零上温度：2.解析(1)在□ABCD和□ABDE中， 和零下温度，都只是相对规定的标准来说的，不是指方向，因而温度 .AB-ED,AB=DC...ED-DC. 也是只有大小没有方向，不是向量. (二)1.方向ABAB1AB起点方向长度2.有向线段 ∴与ED相等的向量有AB,DC (2)由(1)知，ED=DC. AB引3.001个单位长度 即时小练 ∴E,D,C三点共线，EC=ED+DC=2AB1=6. 1.B 工零向量的长度为0，方向是任意的，故A错误，B正确；任意两： 答案(1)AB,D元(2)6 个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故C错误：长度有大：素养演练·提升技能 小，方向没有大小，不管是同向的向量还是不同向的向量，都不能比！1.B[因为A∩B中含有与a长度相等、方向相反的向量，所以B选 较大小，故D错误.] 项错误，门 2.12 2.A[因为BA=CD,所以BA=CD且BA∥CD,所以四边形ABCD (三)相同或相反a∥b平行0∥a相等相同a=b 为平行四边形.门 即时小练 3.A[.s=200+300=500(km),a=√200+300=100√13(kam), 1.C.[图中与AE相等的向量为DF,FC,EB,共3个.] .s>a.故远A] 2.BA,DC,CD :4如图，以B点为起点作有向钱段表示马击 关键能力·合作探究 了“一步”的向量，符合题意的共3个；以C点为 题点一 起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合 题意的共8个.所以共有11个，] 典例解析B选项中，两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的；5，解()如图所示， 方向不一定相同，终，点也不一定相同，B不正确：C选项中，当b一0： 时，a与c可能不共线，C不正确；D选项中，两个单位向量平行也可！ C g光 D 能反向，则不相等，D不正确， 答案A ; 对点训练 西BA东 ③[①错误.若b=0,则①不成立；②错误.起点相同的单位向量， 南 终，点未必相同：③正确，对于一个向量，只要不改变其大小和方向， 作出AB,BC,Ci. 是可以任意移动的：④错误，共线向量即平行向量，只要求方向相同 (2)由题意知AB∥CD,AB=CD 或相反即可，并不要求两个向量AB,CD必须在同一直线上.] 所以四边形ABCD是平行四边形， 题点二 所以AD=BC=400km, 典例解(1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A: 所以AD=400km. 距，点)的横向小方格数与纵向小方格数相等. 6.2.1向量的加法运算 又OA=42,小方格边长为1，所以点A距 必备知识·自主梳理 点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4， (一)1.两个向量和2.a十b0十aa 于是点A位置可以确定，画出向量OA如图 即时小练 所示. 1.C[设a=OP+O反，以OP,OQ为邻边作平行四边形，则OP与OQ (2)由于点B在点A正东方向处，且AB 之间的对角线对应的向量即向量a,由a和O长度相等，方向相同， 4,所以在坐标纸上，点B距点A的横向小方格 得a=FO,即Op+OQ=FO.] 数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以 12.(1)c(2)f(3)f(4)g 确定，画出向量AB如图所示， (二)b+aa+(b+c) (3)由于点C在点B北偏东30处，且B心=6，依据句股定理可得：1.D由向量加法的交换律与结合律可知，所给的5个向量都与a十b :即时小练 在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向用含30°的三角 十c相等.] 板，作北偏东30°的线段，交点为C.于是点C位置可以确定，画出向 :2.AB[因为AB=AD+DB≠B励+AD,所以C错误.BC+CD- 量BC如图所示 对点训练 BD,D错误，A,B正确.] 1.解(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量 关键能力·合作探究 a平行，且长度相等.如图中的b即为所作向量 题点一 b (2)符合题意的一个向量c如图所示，由平面几 典例解(1)首先作向量OA=a,然后作向量AB=b,则向量Oi 何知识可知，所有这样的向量c的终点的轨证是 a十b.如图所示. 以A为圆心，√5为半径的圆 2.解(1)画出示意图，如图所示，易得所求路程为 A B 巡逻艇两次路程的和， (2)法一：三角形法则 即AB+BC=70 n mile. 如图a所示，首先在平面内任取一，点O, 信推悠a道 作向量OA=a,再作向量AB=b, 则得向量(OB=a十b,然后作向量BC=c, 30 n mile 北 则向量(OC=(a十b)十c=a十b+c即为所求， 一东 A(港口) (2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移是向量，既有大小又有！ 方向，其大小为 ACI=AB2+BC2=50(n mile) 由于in∠BAC=手，故方向约为北偏东53 法二：平行四边形法则 如图b所示，首先在平面内任取一点O, 题点 作向量OA=a,OB=b,OC=c, 典例解(1)与a的长度相等，方向相反的向量有O币，BC,AO,F正. 以O)A,OB为邻边作☐OADB,连接OD, 239