精品解析：江苏省连云港市赣榆区2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

2025～2026学年度第二学期期末学业水平质量监测 七年级数学试题 （本卷满分150分，共6页，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 计算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. “纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为，将数据0.00000117用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 内错角相等 C. 若，则 D. 若，则 4. 若，则下列式子不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则M与N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 由x的取值而定 6. 《孙子算经》记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每3人乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有x人，y辆车，则可列方程组为（   ） A. B. C. D. 7. 如图，在三角形中，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，与相交于点，连接，则阴影部分的两个三角形周长之和为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 计算的结果为______． 10. 已知是方程2x+ay=5的解，则a= _____． 11. 两个连续自然数之和一定是______（填“奇数”或者“偶数”）． 12. 已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形． 13. 已知，，则的值为______． 14. 已知方程组的解满足，则的取值范围是______． 15. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，则此时扶手与靠背的夹角___________． 16. 冰裂纹是苏州园林花窗的一种装饰纹样，看似杂乱，实则有序，象征着冰消雪融，春回大地．图是拙政园宜两亭中的冰裂纹梅花窗，图是该花窗中的部分图案．已知，，，则_____． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 化简求值：，其中，. 19. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 20. 解下列方程组或不等式组： （1）； （2）． 21. 填空并完成以下过程： 已知：点P在直线CD上，，． 请你说明：． 解：∵，（已知） ∴，（ ） ∴ ，（两直线平行，内错角相等．） 又∵，（已知） ， ， ∴ ，（等式的性质） ∴，（ ） ∴．（ ） 22. 如图，在长方形内有一点， （1）将长方形沿折叠，使点B落在处，折痕与边、分别交于E、F，请用直尺与圆规作出折痕（保留作图痕迹）； （2）连接，将点C沿过点E的直线折叠，与交于点H，使点C落在射线上，请用直尺与圆规作出折痕（保留作图痕迹）； （3）直接写出折痕与的位置关系_______． 23. 已知三个实数满足． （1）证明：． （2）若，且，求的取值范围． 24. 为了响应“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”．该中学购买A种品牌的足球30个，B种品牌的足球20个，共花费3100元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． （1）求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ （2）若该校计划用1000元购进A、B两种品牌的足球，正好用完（A、B两种足球均购买），求该校有多少种购买方案？ （3）根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，请问至少要买多少个A种品牌的足球？ 25. 【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】 （1）在方程①，②中，不等式组的“子方程”是 （填序号）； （2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程是关于的不等式组的“子方程”，则的取值范围是 ． 26. 【教材呈现】如下是苏科版七年级数学下册教材第169页第18题的内容． 18．任意画，在的两条边上分别取点，，在的内部取一点，连接，．探索与，，之间的数量关系，并证明你的结论． 为了书写方便我们设，，，．（以下所表述的各个角指的都是平角以内的角） 下面的数量关系均写成用含，，的代数式表示的形式． （1）请完成下面的探索过程． 本题有三种情况： ①当点在边上时，如图①，与，，之间的数量关系是 ； ②当点在直线的右侧时，如图②，与，，之间的数量关系是 ； ③当点在直线的左侧时，如图③，与，，之间的数量关系是 ，并证明你的结论． （2）【拓展】若在的外部取一点（点、、、满足任意三点不共线），连接，．设，，，，则与，，之间的数量关系是 ．（写出两个正确结论即可得满分） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期末学业水平质量监测 七年级数学试题 （本卷满分150分，共6页，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 计算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，熟知积的乘方运算法则是解题的关键； 根据积的乘方法则求解即可. 【详解】解：； 故选：D 2. “纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为，将数据0.00000117用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的个数所决定．确定a与n的值是解题的关键．这里的． 【详解】解：． 故选：A． 3. 下列各命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 内错角相等 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了逆命题、真假命题、内错角、对顶角、平方根以及等式性质等知识．依据内错角、对顶角的定义以及平方根的运算法则、等式性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、“对顶角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这个命题是假命题，故不合题意； B、“内错角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是内错角”，这个命题是假命题，故不合题意； C、“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是真命题，故符合题意： D、“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是假命题，故不合题意． 故选：C． 4. 若，则下列式子不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．利用不等式的基本性质化简，判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故本选项不符合题意； B．∵， ∴，故本选项不符合题意； C．当时，，故本选项符合题意； D．∵，， ∴，故本选项不符合题意． 故选：C． 5. 若，则M与N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 由x的取值而定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，以及整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先根据多项式与多项式的乘法法则化简，再用作差法比较即可． 【详解】解：， ， ∵ ， ， ∴． 故选：A． 6. 《孙子算经》记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每3人乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有x人，y辆车，则可列方程组为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目中两种乘车情况的等量关系，列出关于人数和车辆数的二元一次方程组，即可得到正确选项． 【详解】解：设有人，辆车， ∵每3人乘一辆车，剩余2辆空车，说明实际使用车辆为 辆，总人数等于每车人数乘实际使用车辆数， ∴ ，整理得 ． ∵每2人乘一辆车，剩余9人无车可乘，说明乘车人数为，总人数等于乘车人数加步行人数， ∴，整理得 ． 因此可得方程组． 7. 如图，在三角形中，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，与相交于点，连接，则阴影部分的两个三角形周长之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的性质，对应点连线平行且相等、对应边相等，可将阴影部分两个三角形的分散边长，转化为原三角形的三边之和，即可求解． 【详解】解：由平移得，， ∵点是与的交点， ∴，， ∴阴影部分的两个三角形周长之和为： ． 8. 如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解题的关键．由图可得，列式根据完全平方公式变形再计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 计算的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂的运算法则计算． 【详解】解：原式． 10. 已知是方程2x+ay=5的解，则a= _____． 【答案】1 【解析】 【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数a的一元一次方程，从而可以求出a的值． 【详解】把代入方程2x+ay=5得： 4+a=5， 解得：a=1， 故答案为1． 【点睛】此题考查的知识点是二元一次方程的解，解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数a为未知数的方程，一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程的解的定义可以求方程中其他字母的值． 11. 两个连续自然数之和一定是______（填“奇数”或者“偶数”）． 【答案】奇数 【解析】 【分析】设出两个连续自然数，计算两数的和，根据奇数与偶数的定义判断和的奇偶性． 【详解】解：设较小的自然数为（为自然数），则另一个连续自然数为， 两数之和为， ∵是的整数倍， ∴是偶数， ∵偶数加为奇数， ∴是奇数，即两个连续自然数之和一定是奇数． 12. 已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形． 【答案】5 【解析】 【详解】设这个多边形是n边形，由题意得， (n-2) ×180°=540°，解之得，n=5． 13. 已知，，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用完全平方公式将展开，可发现展开式可由已知两个等式相加得到，直接将已知两式相加计算即可． 【详解】解：， ． 14. 已知方程组的解满足，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】两个方程相减得出，结合得出关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】解： 得， ， ， ， 解得． 15. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，则此时扶手与靠背的夹角___________． 【答案】 【解析】 【分析】由可求得的度数，再根据即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 16. 冰裂纹是苏州园林花窗的一种装饰纹样，看似杂乱，实则有序，象征着冰消雪融，春回大地．图是拙政园宜两亭中的冰裂纹梅花窗，图是该花窗中的部分图案．已知，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，多边形的外角和，根据三角形内角和定理得，由平行线的性质得，根据多边形的外角和是即可求解，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）首先回忆负整数指数幂、零指数幂、有理数乘方的运算规则，因为这三类是式子里的三个独立运算项，所以分别计算每一项的值后，再按有理数加减法则合并结果． （2）因为是两个多项式相乘，所以用多项式乘多项式法则，将第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再合并同类项得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18. 化简求值：，其中，. 【答案】； 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算和乘法公式的应用，利用乘法公式展开后合并同类项即可得到化简结果，再把字母的值代入计算即可. 【详解】 当，时 原式 19. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，解集在数轴上表示如下： 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的解法计算． 【详解】解：不等式的两边都乘6，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边都除以，得，， 这个不等式的解集在数轴上表示略 20. 解下列方程组或不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）本题考查二元一次方程组的解法，未知数系数都不相同使用加减消元法解方程组即可； （2）本题考查一元一次不等式组的解法，先分别解每个不等式，再取公共解集即可． 【小问1详解】 原方程组为：  将①式两边同乘2，得 ， 用②式减③式，消去得：， 把代入①式，得 ， 解得 ， 因此方程组的解为 ； 【小问2详解】 原不等式组为：  解不等式①：移项得 ， 化简得 ， 解得 ； 解不等式②：移项得 ， 化简得 ， 解得 ； ∴不等式组的解集为 ． 21. 填空并完成以下过程： 已知：点P在直线CD上，，． 请你说明：． 解：∵，（已知） ∴，（ ） ∴ ，（两直线平行，内错角相等．） 又∵，（已知） ， ， ∴ ，（等式的性质） ∴，（ ） ∴．（ ） 【答案】同旁内角互补，两直线平行；∠APC；∠4；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】先证明，再证明 再利用角的和差关系证明 证明，从而可得结论. 【详解】解：∵，（已知） ∴，（同旁内角互补，两直线平行） ∴，（两直线平行，内错角相等．） 又∵，（已知） ， ， ∴ ，（等式的性质） ∴，（内错角相等，两直线平行） ∴．（两直线平行，内错角相等） 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，掌握“平行线的性质与平行线的判定方法”是解本题的关键. 22. 如图，在长方形内有一点， （1）将长方形沿折叠，使点B落在处，折痕与边、分别交于E、F，请用直尺与圆规作出折痕（保留作图痕迹）； （2）连接，将点C沿过点E的直线折叠，与交于点H，使点C落在射线上，请用直尺与圆规作出折痕（保留作图痕迹）； （3）直接写出折痕与的位置关系_______． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，作的线段垂直平分线即可； （2）作的角平分线即可； （3）求出，，则，据此即可得． 【小问1详解】 解：如图，折痕即为所作． ． 【小问2详解】 解：如图，折痕即为所作． ． 【小问3详解】 解：由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 已知三个实数满足． （1）证明：． （2）若，且，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等式的性质得到，代入得到，即； （2）根据等式的性质得到，根据不等式的性质得到，可知的取值范围． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 为了响应“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”．该中学购买A种品牌的足球30个，B种品牌的足球20个，共花费3100元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． （1）求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ （2）若该校计划用1000元购进A、B两种品牌的足球，正好用完（A、B两种足球均购买），求该校有多少种购买方案？ （3）根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，请问至少要买多少个A种品牌的足球？ 【答案】（1）A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元 （2）共有2种方案可供选择：方案1：采购12个A种品牌的足球，5个B种品牌的足球；方案2：采购4个A种品牌的足球，10个B种品牌的足球 （3）至少要买25个A种品牌的足球 【解析】 【分析】（1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，因为B种单价比A种高30元，买两种足球的总花费据此列出二元一次方程组，求解即可得到两种足球的单价． （2）设购买A、B两种足球的数量分别为两个正整数未知数，根据总费用为1000元列出二元一次方程，将方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式，结合两个未知数均为正整数的条件，枚举符合要求的解，统计解的个数即为购买方案数． （3）设购买A种足球的数量为未知数，因为一共购买50个足球，所以可用含该未知数的式子表示B种足球的购买数量，结合优惠后的单价，根据总费用不超过2750元列出一元一次不等式，求解不等式后取符合条件的最小正整数即可． 【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元； （2）解：设购买a个A种品牌的足球，b个B种品牌的足球， 根据题意得：，     解得， 又因为a，b均为正整数， 所以或， 故共有2种方案可供选择： 方案1：采购12个A种品牌的足球，5个B种品牌的足球； 方案2：采购4个A种品牌的足球，10个B种品牌的足球； （3）解：设购买个种品牌的足球，则购买个种品牌的足球， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m最小为25， ∴至少要买25个种品牌的足球． 25. 【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】 （1）在方程①，②中，不等式组的“子方程”是 （填序号）； （2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程是关于的不等式组的“子方程”，则的取值范围是 ． 【答案】（1）① （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出不等式组的解集为，再分别求出两个方程的解，结合“子方程”的定义判断即可得出结果； （2）求出不等式组的解集为，解方程得，最后由“子方程”的定义计算即可得出结果； （3）求出不等式组的解集为，解方程得，最后由“子方程”的定义计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， 解方程得， 解方程得， ∴不等式组的“子方程”是①； 【小问2详解】 解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， 解方程得， ∵关于的方程是不等式组的“子方程”， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， 解方程得， ∵方程是关于的不等式组的“子方程”， ∴， 解得． 26. 【教材呈现】如下是苏科版七年级数学下册教材第169页第18题的内容． 18．任意画，在的两条边上分别取点，，在的内部取一点，连接，．探索与，，之间的数量关系，并证明你的结论． 为了书写方便我们设，，，．（以下所表述的各个角指的都是平角以内的角） 下面的数量关系均写成用含，，的代数式表示的形式． （1）请完成下面的探索过程． 本题有三种情况： ①当点在边上时，如图①，与，，之间的数量关系是 ； ②当点在直线的右侧时，如图②，与，，之间的数量关系是 ； ③当点在直线的左侧时，如图③，与，，之间的数量关系是 ，并证明你的结论． （2）【拓展】若在的外部取一点（点、、、满足任意三点不共线），连接，．设，，，，则与，，之间的数量关系是 ．（写出两个正确结论即可得满分） 【答案】（1）①，②，③ （2）或或或或 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理、三角形外角的性质分别求解； （2）分情况画出图形，利用三角形内角和定理、三角形外角的性质分别求解． 【小问1详解】 解：①当点在边上时，，， 与，，之间的数量关系是：； ②当点在直线的右侧时，连接，如图 在中，， 在中，， ， 即， ； ③当点在直线的左侧时， 证明：如图，延长交于点D， 是的外角，是的外角， ，， ； 【小问2详解】 解：分情况讨论： ①如图： ，，， ， ； ②如图： ，， ， ； ③如图： ，， ， ； ④如图： 同1可得， ； ⑤如图： ，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $