精品解析：江苏连云港市新海初级中学2025-2026学年七年级下学期期末数学试题

2025-2026学年度第二学期期末学业质量检测七年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，27小题．全卷满分150分，考试时间为100分钟． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．答非选择题必须写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 下列四幅图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 平行于同一条直线的两条直线平行 C. 相等的角不一定是对顶角 D. 三角形的一个外角大于任何一个内角 4. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中可以为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，有类，类正方形卡片两种和类长方形卡片若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形（要求：拼接的卡片无空隙无重叠），那么需要类卡片（ ） A. 7张 B. 6张 C. 5张 D. 4张 7. 将长方形纸条沿折叠成图1，再沿折叠成图2，若图2中的，则图1中的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 若，，则M与N的大小关系为( ) A. B. C. D. 9. 《九章算术》中记载了一个问题：“今有人共买布，人出九钱，盈五钱；人出七钱，不足三钱．问人数、布价各几何？”译文：“现有一些人合伙购买布匹，若每人出9钱，则多出5钱；若每人出7钱，则还差3钱．问人数、布价各是多少？”设有人，布价为钱，则下列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直角三角形纸片和直角三角形纸片完全相同，且，两点重合，点在边上，与交于点，，．现将图中的绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，设旋转的时间为，下列的值，不能满足恰有一边与平行的是（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片，需要设计体积更小的晶体管．某晶体管栅极的宽度为0.000000015米，将数据0.000000015用科学记数法表示为________． 12. 已知，，则的值为______． 13. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 14. 用反证法证明“已知，求证：”时，第一步应假设__________． 15. 如图，正六边形的边长是，点是上的一动点，的最小值是______． 16. 如图，四边形是长方形，四边形是面积为24的正方形，点M、N分别在、上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接、、，若正方形的面积为5，则图中阴影部分的总面积为___________． 17. 若关于的一元一次不等式组恰有3个整数解，那么的取值范围是_________． 18. 如图，射线，分别是的外角，的角平分线，射线与直线交于点，射线与直线交于点，若，，则的度数为___________． 三、解答题（本大题共9小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2） 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 解下列方程组或不等式（组）： （1） （2） （3）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上，利用网格画图． （1）画出，使与关于直线l对称； （2）画出，使与关于点O对称； （3）以、、、B为顶点的四边形面积为____________________ 23. 如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，若，求证：． 证明：，， 又（已知）， ∴ （____________________）， （ ）， 又（已知）， （ ）， （____________________）． 24. 定义：我们把一个整数a平方后得到的数称为完全平方数．例如：，，，我们就将9，0，25这些数都称为完全平方数． 请解答下列问题： （1）写出满足的一对正整数m和n的值：____________________； （2）通过计算说明：的值是一个完全平方数； （3）n是正整数，如果和都是完全平方数，求n的值． 25. 【问题情境】 某校大力开展社团活动，其中该校“陕北民俗”社团准备去工艺品店购买“陕北剪纸”和“榆林泥塑”两种民俗手工艺品． 【素材展现】 素材1：工艺品店无促销活动：购买2幅陕北剪纸和6个榆林泥塑共需130元；购买3幅陕北剪纸所需的钱数和购买4个榆林泥塑所需的钱数相同． 素材2：工艺品店开展促销活动： 活动一：“疯狂打折”：陕北剪纸打八折，榆林泥塑打四折； 活动二：“买一送一”：购买一幅陕北剪纸送一个榆林泥塑． 【解决问题】 （1）该工艺品店在无促销活动时，陕北剪纸和榆林泥塑的销售单价各是多少元？ （2）社团决定购买陕北剪纸、榆林泥塑共100件，其中陕北剪纸不超过50幅．购买陕北剪纸的数量在什么范围内时，活动二更实惠？ 26. 我们知道：不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有一些特殊的性质？ 请解答下列问题： （1）完成下列填空（填“”或“”）， 已知可得___________________；已知可得___________________； （2）一般地，如果，那么___________________（用“”或“”填空），请你利用不等式的基本性质说明上述不等式的正确性； （3）已知，且，，请求出的取值范围； （4）对于实数、定义运算：，其中、是常数，令，，，如果，，请直接写出的取值范围． 27. 科学实验证实光的反射规律：光线入射至平面镜发生反射时，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角．即下图中； （1）窗外一束光从C处斜射到平面镜上的点E处，小明转动手中的平面镜，使反射光线恰好照到黑板上的点D处．请在图①中使用无刻度的直尺和圆规画出平面镜所在位置（平面镜用线段表示，铅笔加黑加粗，保留作图痕迹）； （2）在图②中，有，．设镜子与的夹角．若，入射光线与反射光线的夹角．求的度数； （3）如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面反射到镜面，再反射到镜面，最后经镜面反射后，当反射光线与入射光线平行时，探索m与γ的数量关系，并说明理由； （4）如图④，若，已知入射光线与镜面平行，经过次反射后，反射光线按原路返回，请直接写出α满足的条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末学业质量检测七年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，27小题．全卷满分150分，考试时间为100分钟． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．答非选择题必须写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 下列四幅图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称和轴对称图形的定义，中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．根据中心对称和轴对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． B．既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意． C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：∵，正确 故A合题意． ∵不是同类项，无法计算，错误， ∴B不合题意． ∵，错误， ∴C不合题意． ∵，错误， ∴D不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键． 3. 下列命题是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 平行于同一条直线的两条直线平行 C. 相等的角不一定是对顶角 D. 三角形的一个外角大于任何一个内角 【答案】D 【解析】 【分析】根据对顶角性质、平行线的基本结论、三角形外角的性质，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等是对顶角的基本性质，是真命题，不符合题意； B、平行于同一条直线的两条直线平行，是初中几何的基本结论，是真命题，不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，该命题是真命题，不符合题意； D、根据三角形外角的性质，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，因此该命题是假命题，符合题意． 4. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式基本性质逐一判断选项即可得到结果． 【详解】A、当，时，满足，但，不等式不成立，不符合题意； B、，不等式两边同乘，不等号变向，得，不等式两边同时加，得，不等式不成立，不符合题意； C、化简得，显然不成立，不符合题意； D、，不等式两边同乘，不等号变向，得，不等式一定成立，符合题意． 5. 判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】反例需要满足命题条件，且不满足命题结论，据此逐一判断选项即可． 【详解】反例需要满足条件，且不满足结论． 选项B、D中，，均不满足， B、D不符合要求，不是反例； 选项C中，满足，且，满足命题结论， C不是反例； 选项A中，满足，且，不满足， A是符合要求的反例． 6. 如图，有类，类正方形卡片两种和类长方形卡片若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形（要求：拼接的卡片无空隙无重叠），那么需要类卡片（ ） A. 7张 B. 6张 C. 5张 D. 4张 【答案】A 【解析】 【分析】根据所有类，类正方形卡片和类长方形卡片的面积之和与长为，宽为的大长方形的面积之和相等，利用多项式乘以多项式的计算法则求出大长方形面积即可得到答案． 【详解】解：， ∵所有类，类正方形卡片和类长方形卡片的面积之和与长为，宽为的大长方形的面积之和相等， ∴3张类正方形卡片，2张类正方形卡片和7张类长方形卡片即可拼成一个长为，宽为的大长方形， 故选A． 【点睛】本题主要考查了因式分解与多项式乘以多项式之间的关系，正确理解题意得到所有类，类正方形卡片和类长方形卡片的面积之和与长为，宽为的大长方形的面积之和相等是解题的关键． ． 7. 将长方形纸条沿折叠成图1，再沿折叠成图2，若图2中的，则图1中的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得，由折叠的性质可知：，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8. 若，，则M与N的大小关系为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的加减及完全平方公式的应用，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．求出M与N的差，根据完全平方的非负性即可解决． 【详解】解： ， ， ． 故选：． 9. 《九章算术》中记载了一个问题：“今有人共买布，人出九钱，盈五钱；人出七钱，不足三钱．问人数、布价各几何？”译文：“现有一些人合伙购买布匹，若每人出9钱，则多出5钱；若每人出7钱，则还差3钱．问人数、布价各是多少？”设有人，布价为钱，则下列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据题意，每人出9钱时多出5钱，每人出7钱时不足3钱，分别建立方程联立方程组即可． 【详解】解：设人数为，布价为钱． 根据总钱数为，比布价多5钱，可列方程． 总钱数为，比布价少3钱，可列方程． 联立方程组： 故选A． 10. 如图，直角三角形纸片和直角三角形纸片完全相同，且，两点重合，点在边上，与交于点，，．现将图中的绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，设旋转的时间为，下列的值，不能满足恰有一边与平行的是（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】分三种情形讨论：①当时．②当时．③当时，分别求出即可解决问题． 【详解】解：，， ． ①当时，如图1中， ， ， ， ， ， 旋转时间． ②如图2中，当时， ， ， 旋转时间． ③当时，延长交于点G，如图3中，， ， ， 旋转时间．  综上所述，当  或  或  时， 恰有一边与  平行 观察选项，A、C、D 均满足条件，只有 B 选项  不满足 故选 B 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片，需要设计体积更小的晶体管．某晶体管栅极的宽度为0.000000015米，将数据0.000000015用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法表示绝对值小于1的数的形式为，满足，为整数，根据规则确定和的值即可． 【详解】解：． 12. 已知，，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用同底数幂的除法运算法则进而计算得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 13. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 14. 用反证法证明“已知，求证：”时，第一步应假设__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反证法的证明．用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与条件相反的假设即可． 【详解】解： “已知．求证：”．第一步应先假设． 故答案为：． 15. 如图，正六边形的边长是，点是上的一动点，的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质，轴对称的性质，等边三角形的性质，两点之间线段最短，由正多边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点，则，最小，根据正六边形性质可得都是等边三角形，，从而求得即可，掌握正六边形的性质以及轴对称解决路径最短问题的解题方法是解题的关键． 【详解】解：如图，由正多边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点， ∴， ∴最小，最小值为的长， ∵六边形是正六边形，对角线交于， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 16. 如图，四边形是长方形，四边形是面积为24的正方形，点M、N分别在、上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接、、，若正方形的面积为5，则图中阴影部分的总面积为___________． 【答案】9.5 【解析】 【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，，，，再根据图中阴影部分的总面积为，计算即可得出结果． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，， ∵四边形是面积为24的正方形，正方形的面积为5， ∴，， ∴图中阴影部分的总面积为 ． 17. 若关于的一元一次不等式组恰有3个整数解，那么的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解每个不等式，得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①，移项得，系数化为得， 解不等式②得， 原不等式组的解集为， 不等式组恰有个整数解，整数解为， 的取值范围是． 18. 如图，射线，分别是的外角，的角平分线，射线与直线交于点，射线与直线交于点，若，，则的度数为___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】设，根据三角形内角和定理和角平分线的定义分别表示出，，再利用外角的性质得出关于的方程组，求解即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 联立解得， ∴． 三、解答题（本大题共9小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】此题考查了有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减； （2）首先计算完全平方公式，单项式乘多项式，然后计算加减． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式、因式变形利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，最后将，，代入化简结果计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式． 21. 解下列方程组或不等式（组）： （1） （2） （3）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2） （3），数轴表示为： 【解析】 【小问1详解】 解： 由得， 解得 将代入①得，，解得 ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解： 解得 ∴不等式的解集为； 【小问3详解】 解： 由①得，； 由②得， ∴原不等式组的解集为 数轴表示见答案． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上，利用网格画图． （1）画出，使与关于直线l对称； （2）画出，使与关于点O对称； （3）以、、、B为顶点的四边形面积为____________________ 【答案】（1）如图：即为所求 （2）如上图，即为所求； （3）28 【解析】 【分析】（1）分别作出点关于直线l对称的点，再顺次连接即可； （2）分别作出点关于点O对称的点，再顺次连接即可； （3）利用割补法求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：、、、B为顶点的四边形面积． 23. 如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，若，求证：． 证明：，， 又（已知）， ∴ （____________________）， （ ）， 又（已知）， （ ）， （____________________）． 【答案】内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；等量代换 【解析】 【详解】略 24. 定义：我们把一个整数a平方后得到的数称为完全平方数．例如：，，，我们就将9，0，25这些数都称为完全平方数． 请解答下列问题： （1）写出满足的一对正整数m和n的值：____________________； （2）通过计算说明：的值是一个完全平方数； （3）n是正整数，如果和都是完全平方数，求n的值． 【答案】（1） (答案不唯一) （2）理由：  ∵是整数， ∴是完全平方数； （3） 【解析】 【分析】（1）先利用完全平方公式计算得到，则，写出任意一组满足条件的正整数即可； （2）将原式重新分组计算，再通过平方差公式变形，即可证明原式为完全平方数； （3）设两个完全平方数，利用平方差公式分解得到两数和差的乘积，结合37是质数得到方程组，求解即可得到的值． 【小问1详解】 解： ∴  ∵为正整数， ∴  任取正整数，得， 即满足条件的一对正整数为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，，其中都是非负整数，且  ∴  ∴  ∵是质数，都是非负整数， ∴ 解得 将代入得，  答：的值为． 25. 【问题情境】 某校大力开展社团活动，其中该校“陕北民俗”社团准备去工艺品店购买“陕北剪纸”和“榆林泥塑”两种民俗手工艺品． 【素材展现】 素材1：工艺品店无促销活动：购买2幅陕北剪纸和6个榆林泥塑共需130元；购买3幅陕北剪纸所需的钱数和购买4个榆林泥塑所需的钱数相同． 素材2：工艺品店开展促销活动： 活动一：“疯狂打折”：陕北剪纸打八折，榆林泥塑打四折； 活动二：“买一送一”：购买一幅陕北剪纸送一个榆林泥塑． 【解决问题】 （1）该工艺品店在无促销活动时，陕北剪纸和榆林泥塑的销售单价各是多少元？ （2）社团决定购买陕北剪纸、榆林泥塑共100件，其中陕北剪纸不超过50幅．购买陕北剪纸的数量在什么范围内时，活动二更实惠？ 【答案】（1）陕北剪纸的销售单价为20元，榆林泥塑的销售单价为15元； （2）当时，活动二更实惠． 【解析】 【分析】(1) 设陕北剪纸的销售单价为元，榆林泥塑的销售单价为元，根据题意列方程得，，求解即可； (2) 设购买陕北剪纸幅，则购买榆林泥塑个，根据题意分别表示出活动一、二的费用再列不等式求解即可． 【小问1详解】 解;设陕北剪纸的销售单价为元，榆林泥塑的销售单价为元， 依题意列二元一次方程组得， 解得， 即陕北剪纸的销售单价为20元，榆林泥塑的销售单价为15元； 【小问2详解】 解：设购买陕北剪纸幅，则购买榆林泥塑个， 活动一的费用为：元， 活动二的费用为：元， 当时， 解得， 又， ， 答：当时，活动二更实惠． 26. 我们知道：不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有一些特殊的性质？ 请解答下列问题： （1）完成下列填空（填“”或“”）， 已知可得___________________；已知可得___________________； （2）一般地，如果，那么___________________（用“”或“”填空），请你利用不等式的基本性质说明上述不等式的正确性； （3）已知，且，，请求出的取值范围； （4）对于实数、定义运算：，其中、是常数，令，，，如果，，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）； 证明：， （不等式两边加同一个数，不等号方向不变）， ， （不等式两边加同一个数，不等号方向不变）， ， ； （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，利用不等式性质求代数式的取值范围，先计算比较大小得到前两问的结果，再利用不等式基本性质证明同向不等式相加的性质，最后将所求代数式转化为已知范围的代数式，结合性质求出取值范围． 【小问1详解】 解：，，， ， ，，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ，， ，， ， 解得， 将代入得：， ， ， ，即； 【小问4详解】 解：根据定义得：，，， ，，， 设， 可得方程组：， 解得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 27. 科学实验证实光的反射规律：光线入射至平面镜发生反射时，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角．即下图中； （1）窗外一束光从C处斜射到平面镜上的点E处，小明转动手中的平面镜，使反射光线恰好照到黑板上的点D处．请在图①中使用无刻度的直尺和圆规画出平面镜所在位置（平面镜用线段表示，铅笔加黑加粗，保留作图痕迹）； （2）在图②中，有，．设镜子与的夹角．若，入射光线与反射光线的夹角．求的度数； （3）如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面反射到镜面，再反射到镜面，最后经镜面反射后，当反射光线与入射光线平行时，探索m与γ的数量关系，并说明理由； （4）如图④，若，已知入射光线与镜面平行，经过次反射后，反射光线按原路返回，请直接写出α满足的条件． 【答案】（1）如图所示，线段即为所求； （2） （3），理由如下： 延长和，交点为，如图所示： 由（2）的思路可得，， ， ∵， ∴，即， 整理得，， ， 即． （4）（为正整数，） 【解析】 【分析】（1）延长，作出邻补角的平分线即可，根据角平分线以及对顶角相等即可得到； （2）根据三角形内角和，利用对顶角相等得，，再利用三角形内角和结合等量代换即可求解； （3）延长和，交点为，由（2）得，根据平行线的性质即可求解； （4）分别求出时的度数，然后总结出一般规律即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：当时，如图，时，反射光线按原路返回， ∵ ∴，即； 当时，如图，时，反射光线按原路返回， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，解得，即 当时，如图，当时，反射光线按原路返回， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴在中，，解得，即； 当时，如图，当时，反射光线按原路返回， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，，解得，即， 依次类推，经过次反射后，反射光线按原路返回，α满足的条件为（为正整数，）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $