第3章 一元一次方程（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024六年级上册

第3章 一元一次方程 教学目标 1. 知道方程的概念、掌握列方程、方程的解； 2. 学会等式的性质及应用； 3. 会解一元一次方程； 4. 掌握一元一次方程的代数应用； 5. 一元一次方程的实际应用。 教学重难点 1.重点 （1）方程的概念、方程的解；等式的性质及其应用； （2）一元一次方程及其解法； （3）一元一次方程的实际应用。 2.难点 （1）一元一次方程的特殊解法； （2）一元一次方程的综合应用。 知识点1 方程与列方程 一、方程 1．定义：含有未知数的等式叫做方程. 要点：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 2．方程的解：如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫作方程的解 要点：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值； ②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． 3．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）. 二、等式的性质 1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式 2． 等式的性质： 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即： 如果，那么 (c为一个数或一个式子) . 我们还能发现，平衡的天平两边物体的质量分别变为了原来的2倍，天平仍保持平衡. 平衡的天平两边物体的质量分别变为了原来的一半，天平也保持平衡. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果，那么；如果，那么. 要点： （1） 根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； （2） 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零． 三、解方程 我们可以用等式性质1,求得方程(x+16 )-17= 11的解. 合并同类项，得 x-1=11. 根据等式性质1,在等式两边同加上1,得 x-1+1=11+1. 解得 x=12. 以上求方程的解的过程叫作解方程. 【即学即练】 1．下列各式中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程，根据定义即可选出答案． 【详解】解：A．选项式子不是等式，不符合题意； B．选项式子是方程，故符合题意； C．选项式子没有未知数，不符合题意； D．选项式子不是等式，故不符合题意． 故选：B． 2．如果，那么根据等式的性质下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键． 利用等式的性质变形得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A．由，得到，原变形错误，故此选项不符合题意； B．由，得到，原变形错误，故此选项不符合题意； C．由，得到，原变形正确，故此选项符合题意； D．由，得到或，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．能运用等式的性质说明图中事实的是（   ） A．若，则（a、b、c均不为0） B．若，则（a、b、c均不为0） C．若，则（a、b、c均不为0） D．若，则（a、b、c均不为0） 【答案】A 【分析】根据等式的性质，结合实物解答即可． 本题考查了等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得若，则， 故选：A． 知识点2 一元一次方程及其解法 一、一元一次方程的概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 要点： “元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数． 二、解一元一次方程的一般步骤 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号) (1)移项要变号 (2)不要丢项 合并同类项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒 要点： （1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化． (2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 三、解特殊的一元一次方程 1.含绝对值的一元一次方程 解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义． 要点：此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论： (1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或. 2.含字母的一元一次方程 此类方程一般先化为最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论： （1） 当a≠0时，；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解． 3.整体法 例 解方程：4(x-2)+5=35-(x-2). 分析 可以将x-2看作一个整体进行运算. 解：移项， 得4(x-2)+(x-2)=35-5. 将x-2看作一个整体进行加法运算，得5(x—2)=30. 两边同除以5,得x-2=6. 移项，得 x=8. 所以，原方程的解是x=8. 【即学即练】 1．解下列方程： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题比较简单，只是考查一元一次方程的解法． （1）合并同类项，然后系数化为即可求解； （2）合并同类项，然后系数化为即可求解． 【详解】（1）解：合并同类项，得：， 系数化为得：； （2）合并同类项，得：， 系数化为得：． 2．解方程： (1)： (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤并灵活运用是解题的关键． （1）去括号、移项、合并同类项即可解答； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可解答． 【详解】（1）解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 解得． （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 解得． 3．小强解方程的过程如下： 解：去分母，得，第①步 去括号，得，第②步 移项，合并同类项，得，第③步 系数化为1，得．第④步 他把代入原方程后发现方程左、右两边的值不相等，小强因此意识到自己解错了． 他从第______步开始出错，请给出正确的解答过程． 【答案】①，见解析． 【分析】本题考查了解一元一次方程． 根据去分母时1没有乘以12可知第①步开始出错，根据解一元一次方程的步骤计算即可． 【详解】解：小强在去分母时1没有乘以12，则他从第①步开始出错， 解方程如下： 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 故答案为：① 知识点3 一元一次方程的应用 一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 要点： （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 二、常见列方程解应用题的几种类型 1．和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 2．行程问题 （1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 　（2）基本类型有： 　 ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第1， 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第2， 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 3．工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 4．调配问题 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑 【即学即练】 1．《九章算术》是中国传统数学中最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有善行者一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，若走路慢的人先走100步，则走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人要走x步才能追上，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据题意列方程． 设走路快的人要走x步才能追上，根据“走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步”可知走路快的人走x步后走路慢的人走步，根据“走路慢的人走的路程+先走100步=走路快的人走的路程”列方程即可． 【详解】解：设走路快的人要走x步才能追上， ∵走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步 ∴走路快的人走x步后走路慢的人走步， ∴， 故选：A 2．一个两位数，十位上的数比个位上的数的3倍大1，个位上的数与十位上的数的和等于9，这个两位数是（   ） A．54 B．72 C．45 D．63 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设个位上的数为，则十位上的数为，根据个位上的数与十位上的数的和等于9，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设个位上的数为，则十位上的数为， 个位上的数与十位上的数的和等于9， ， 解得， 个位上的数为，十位上的数为， 则这个两位数是72； 故选：B． 3．某校组织学生参加植树活动，原计划每天植树80棵，5天完成，后因天气原因需提前1天完成，问每天需多植树多少棵？ 【答案】每天需多植树20棵 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设实际每天种植棵树，则得到方程，求出实际每天种植100棵，再减去原计划每天植树80棵，即可求解． 【详解】解：设实际每天种植棵树， 由题意得， 解得， 则实际每天种植100棵， ∴（棵） 答：每天需多植树棵． 4．一项工作，甲单独做需天，乙单独做需天，如果两人合做天后，余下的工作再由甲做．则这项工作需要甲做多少天完成？ 【答案】天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲还需天完成这项工作，根据题意列出方程求出的值进而即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设甲还需天完成这项工作， 由题意得，， 解得， （天）， 答：这项工作需要甲做天完成． 5．六年级学生乘坐汽车去春游，如果每辆汽车坐45人，则有5人没有上车；如果每辆汽车坐55人，则空出一辆汽车，并且有一辆车还可以坐10人，问六年级有多少名学生去春游？共派了多少辆汽车？ 【答案】六年级有320名学生去春游，共派了7辆汽车 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设共派了x辆汽车，根据“如果每辆汽车坐45人，则有5人没有上车；如果每辆汽车坐55人，则空出一辆汽车，并且有一辆车还可以坐10人”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即所派汽车辆数），再将其代入中，即可求出六年级参加春游的人数． 【详解】解：设共派了x辆汽车， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：六年级有320名学生去春游，共派了7辆汽车． 题型01 判断方程 【典例1】．下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 含有未知数的等式叫方程，据此进行判断即可． 【详解】解：中不含未知数，则A不符合题意， 不是等式，则B不符合题意， 不是等式，则C不符合题意， 符合方程的定义，则D符合题意， 故选：D． 【变式1】．下列四个式子中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题主要考查的是方程的定义，含有未知数的等式叫方程，根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程），逐一分析各选项是否符合条件即可． 【分析】解：A. 是等式，但不含未知数，故不是方程； B.是代数式，虽有未知数但无等号，不是方程； C.是含有未知数的等式，符合方程的定义； D.是代数式，虽有未知数但无等号，不是方程． 故选：C． 【变式2】．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据方程的定义，判断所给式子是否为含有未知数的等式，从而确定方程的个数．本题主要考查了方程的定义，熟练掌握方程是含有未知数的等式是解题的关键． 【详解】解：方程是含有未知数的等式 ①，是含有未知数的等式，是方程 ②，不是等式，不是方程 ③，是含有未知数的等式，是方程 ④，是含有未知数的等式，是方程 ⑤，不是等式，不是方程 ⑥，是含有未知数的等式，是方程 ⑦，是含有未知数的等式，是方程 ⑧，是含有未知数的等式，是方程 ①③④⑥⑦⑧是方程，共个 故选：． 题型02 等式的性质 【典例1】．下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解决本题的关键．根据等式的基本性质解决即可． 【详解】解：A．根据等式两边加上或减去同一个数，等式仍然成立，那么由，得或，故A不符合题意． B．若，则或，故B不符合题意． C．当时不成立，故C不符合题意． D．等式两边乘以得：，故D符合题意． 故选：D． 【变式1】．已知 ，则下列变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，牢记性质内容并能准确应用是解题关键． 根据等式的基本性质1和等式的基本性质2分析判断即可得到正确答案． 【详解】解：A、根据等式的基本性质1，可以知道正确； B、根据等式的基本性质1，可以知道正确； C、根据等式的基本性质2，可以知道正确； D、根据等式的基本性质2知，等式的两边同时乘以（或除以）同一个数（或式）（除数或除式不能为0），所得结果仍为等式，所以不正确． 故选：D. 【变式2】．根据等式的性质填空： （1）如果，那么 ； （2）如果，那么 ； （3）如果，那么 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式两边同时进行相同的运算（加、减、乘、除同一个数，除数不为）等式仍然成立是解题的关键． （1）根据等式两边同时加同一个数等式仍然成立，已知，在等式两边同时加，所以． （2）根据等式两边同时乘同一个数等式仍然成立，已知，在等式两边同时乘，所以． （3）根据等式两边同时除以同一个不为的数等式仍然成立，已知，在等式两边同时除以，所以． 【详解】解：（1）∵ ∴ 故答案为：． （2）∵ ∴ 故答案为：． （3）∵ ∴ 故答案为：． 题型03 等式性质的应用 【典例1】．有三种物体□，△，○，相同物体的重量相同，将它们放在天平上称量，结果如图（a）和图（b）所示，那么在图（c）所示的天平中，砝码的重量可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质，由图（a）和图（b）可得，，进而根据，求出取值范围即可解题． 【详解】解：设种物体□，△，○的重量分别为x克，y克，z克， 由图（a）和图（b）可得：①，， 即， 代入①得，即， ∴， 即， 故选：B． 【变式1】．假设“△、〇、□”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，要使第三架天平也保持平衡，则“？”处应放△的个数是 【答案】6 【分析】本题考查等式的性质，由题意得出，，则，即可作答． 【详解】解：由题意可得，， ∴，， ∴ 则， 故答案为：6 【变式2】．如图，将等式进行变形，最后得到一个明显错误的结论，则下列说法正确的是（   ） A．第一步错误 B．第二步错误 C．第三步错误 D．三步都正确，原等式错误 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质．根据等式的性质，等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式的值不变，等式的两边同时除以一个不等于0的整式，等式的值不变．据此进行作答即可． 【详解】解：第一步等式两边同时加，第二步合并同类项，都是正确的， 第三步两边同时除以a是错误的，因为a可能等于零． 正确的做法是移项得，解得， 故选：C． 【变式3】．利用等式的性质解方程，并检验： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，检验见解析 (2)，检验见解析 (3)，检验见解析 【分析】（1）根据等式的性质1，给等式的两边同时减8即可得到x的值，最后将x的值代入方程检验即可； （2）根据等式的性质2，方程两边同乘以即可得到x的值，最后将x的值代入方程检验即可； （3）先根据等式的性质1，给方程两边同时加4可得，至此，再给方程两边同时除以3即可求出x的值，最后将x的值代入方程检验即可． 【详解】（1）解：两边同减8，得， 化简，得， 将代入方程的左边，得， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解； （2）解：两边同乘，得， 化简，得， 将代入方程的左边，得， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解； （3）解：两边同加4，得， 化简，得， 两边同乘，得， 化简，得， 将代入方程的左边，得， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解． 题型04 判断一元一次方程 【典例1】．下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程，只含有一个未知数、未知数的最高次数为且两边都为整式的等式叫做一元一次方程，据此逐项判断即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是等式，不是一元一次方程，该选项不合题意； 、是一元一次方程，该选项符合题意； 、不是等式，不是一元一次方程，该选项不合题意； 、左边不是整式，不是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 【变式1】．下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义逐一判断即可，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、中含有两个未知数，故选项不符合题意； B、分母中含有未知数，方程左边不是整式，故选项不符合题意； C、是一元一次方程，故选项符合题意； D、中含有两个未知数，故选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】．在方程，，， ， ，，中，是一元一次方程的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，不是一元一次方程， 根据一元一次方程的定义可知，只有，，，这三个方程是一元一次方程， 故选：B． 题型05 根据一元一次方程的概念求参数 【典例1】．已知是关于的一元一次方程，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，由题意可得且，解之即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 【变式1】．若方程是关于x的一元一次方程，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据含有一个未知数，且未知数的次数是的整式方程是一元一次方程进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， 且． 解得． 故答案为：． 【变式2】．如果是关于的一元一次方程，求 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，代数式求值，根据一元一次方程的定义可得，，进而求出的值再代入代数式计算即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型06 解一元一次方程 【典例1】．解方程． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）利用移项，合并同类项的步骤解方程即可； （2）利用移项，合并同类项，系数化为 1 的步骤解方程即可； （3）利用合并同类项，系数化为 1 的步骤解方程即可。 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：； （2）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为 1 得：； （3）解：， 合并同类项得：， 系数化为 1 得：． 【变式1】．解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)． (2)． (3)． (4)． 【分析】（1）这是一个一元一次方程，先去括号，再通过移项、合并同类项、系数化为 1 来求解． （2）此方程包含分数，先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 以求解． （3）同样先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 来解这个一元一次方程． （4）方程中含有小数，先将其化为整数，再去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 进行求解． 本题主要考查了一元一次方程的解法，包括去括号、去分母、移项、合并同类项和系数化为 1 等步骤．熟练掌握一元一次方程的求解步骤和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ， ． （4）解：， ， ， ， ， ， ． 【变式2】．解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按移项，合并同类项，系数化为1即可求解； （2）按去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解； （3）按去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解； （4）先将方程左边分母化为整数，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解． 【详解】（1）解： 移项， 合并同类项， 化系数为1， （2）解： 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1， （3）解： 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1， （4）解： 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1， 题型07 分析解一元一次方程的过程 【典例1】．把方程去分母后，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程．把方程去分母后逐一判断即可 【详解】解： 去分母得 故选：A 【变式1】．下列解方程的步骤正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程的基本步骤及方法，熟练掌握解一元一次方程是解题关键； 利用解一元一次方程的基本方法及等式性质逐一判断即可． 【详解】解：A、由，得，故选项计算错误，不符合题意； B、由，得，故选项计算错误，不符合题意； C、由，得，故选项计算正确，符合题意； D、由，得，故选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2】．下列方程变形正确的是（         ） A．由移项，得 B．由去括号，得 C．由系数化为1，得 D．由去分母，得 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解．根据一元一次方程的性质分析，即可得到答案． 【详解】解：A．由移项，得，故选项A错误； B．由去括号，得，故选项B错误； C．由系数化为1，得，故选项C错误； D．由去分母，得，故选项D正确； 故选：D． 题型08 一元一次方程的代数应用 【典例1】．当x取何值时，代数式与的值互为相反数（ ） A． B． C．5 D．-5 【答案】A 【分析】本题考查相反数的定义以及解方程，根据相反数的定义，两个代数式之和为0．列出方程后，通过去分母、移项、合并同类项等步骤求解． 【详解】解：代数式与互为相反数， ，解得． 故选：A． 【变式1】．若式子与式子的值相等，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，由题意可得，再解方程即可． 【详解】解：由题可知，， ∴， 解得． 故答案为： 【变式2】．若与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程的应用、解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1，是解题的关键，此外还需注意移项要变号． 利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到a的值． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 去分母得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 故答案为： 题型09 一元一次方程的实际应用Ⅰ 【典例1】．两个数的和比其中一个数大28，比另一个数大36，这两个数的和是 【答案】64 【分析】本题考查了有理数加法的应用，为方便理解，设两个数分别为a、b，则这两个数的和为，根据题意得，即可求出这两个数，进而可求出答案． 【详解】解：设两个数分别为a、b，则这两个数的和为， 根据题意得， 解得， 这两个数的和是， 故答案为：64． 【变式1】．6位中国象棋选手进行比赛，每两人之间比赛一局，如果是平局，参赛选手各得1分；否则赢者得3分，输者得0分．最后六位选手的得分之和为39分，则平了（   ）局． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题意求出共有多少场比赛，结合平局共得分，有胜负共得分，然后设平局为x，则分胜负局数为，列出一元一次方程，计算求解即可． 本题主要考查了实际问题与一元一次方程． 【详解】解：总共局数：， ∵平局共得分，有胜负共得分， 设平局为x，则分胜负局数为， ∴ 解得； 答：六位选手平了6局． 故选：D． 【变式2】．《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四；问人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱；合伙人数、物品的价格分别是多少？解：设人数为x人，则下面列出的方程正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据“若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱”，可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵若每人出钱，则会多出钱， 物品的价格为钱； 若每人出钱，则还少钱， 物品的价格为钱， 根据题意得可列出方程． 故选：B． 题型10 一元一次方程的实际应用Ⅱ 【典例1】．小明读一本故事书．前天一共读了页．照这样的速度读完这本故事书还需要天，这本故事书一共有多少页？（用比例解） 【答案】页 【分析】本题考查比例的应用，设这本故事书一共有页，根据题意可知，把这本书分成两部分，两部分的阅读效率都相等，结合“阅读效率阅读页数阅读天数”可知，解得即可．解题的关键：根据题意，判断哪两种相关联的量成何种比例，由此列比例式解答即可． 【详解】解：设这本故事书一共有页，依题意，得： ， ， ， ， ， ， 答：这本故事书有页． 【变式1】．学校楼顶农艺园分隔了若干块菜畦用于劳动课教学实践，分配给参加此限定社团课的学生每组一块菜畦．如果每4名同学为一组，那么菜畦恰好分完；如果每6名学生一组，那么恰好空出5块菜畦．问：农艺园共分隔了多少块菜畦？参加此限定社团课的学生有多少名？ 【答案】农艺园共分隔了15块菜畦，参加此限定社团课的学生有60名 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设农艺园共分隔了x块菜畦，根据“如果每4名同学为一组，那么菜畦恰好分完；如果每6名学生一组，那么恰好空出5块菜畦”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即农艺园分隔成菜畦的块数），再将其代入中，即可求出参加此限定社团课的学生人数． 【详解】解：设农艺园共分隔了x块菜畦， 根据题意得：， 解得：， ∴（名）． 答：农艺园共分隔了15块菜畦，参加此限定社团课的学生有60名． 【变式2】．某校七年级学生到距离学校10千米的青少年营地活动，出发后1小时内按原计划的速度匀速前进，1小时后按原计划速度的1.5倍匀速前进，求原计划的速度． 【答案】4千米/小时． 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意列出方程． 设原计划的行驶速度为x千米/时，根据题意列出方程，再解即可． 【详解】解：设原计划的行驶速度为x千米/时， 由题意得：， 解得：， 答：原计划的行驶速度为4千米/时． 题型11 幻方问题 【典例1】．在三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都是相等的，图中三阶幻方中已经填入了两个数17和29，则图中最左上角的数a应该是 ． 【答案】23 【分析】本题考查数字问题，如图，设相应的方格中数为，根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都是相等的，列出方程进行求解即可． 【详解】解：如图，设相应的方格中数为， 由题意，得：，， 所以， 所以， 所以； 故答案为：23． 【变式1】．夏禹时代的“洛书”是最早的幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等．如图，方格中填写了一些数和字母．若它能构成一个三阶幻方，则的值为（    ） m 2n n 8 0 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，代数式求值，根据幻方的特点，得到，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，， 解得：， ∴； 故选B． 【变式2】．如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，，，，，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为    【答案】 【分析】根据将数字，，，，，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等，可得，再观察“六角幻星”图可知与相差6，只有，3或0，6满足，依此即可求解． 【详解】解：设右下边为，由满足6条边上四个数之和都相等，它们的和为，如图所示：    观察图形还有，，0，3，4，6五个数字，观察“六角幻星”图可知与相差6，只有，3或0，6满足， 则或， 解得或， 当时，，或又有1个为0（不合题意舍去）， 当时，符合题意． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，关键是用字母表示出，，0，3，4，6五个数字，难度较大． 一、单选题 1．下列各式中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了方程的定义，熟练掌握方程的定义是解题关键． 根据方程的定义，逐项判断即可． 【详解】解：A、是等式但不含未知数，不是方程，不符合题意； B、是代数式但无等号，不是方程，不符合题意； C、是不等式而非等式，不是方程，不符合题意； D、是含有未知数的等式，是方程，符合题意． 故选：D． 2．下列等式变形不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质．根据等式两边同时加减同一数或式子，等式仍成立；同时乘或除以同一不为零的数，等式仍成立．需逐一分析各选项是否满足条件． 【详解】解：A. 若，两边加1得，符合等式性质，正确； B. 若，两边乘（）得，正确； C. 若，两边除以（）得，正确； D. 若，当时，和无意义，变形不成立，错误． 故选：D． 3．下列式子中，属于一元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义即含有一个未知数且未知数的指数为1的整式方程，判断即可． 本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，未知数的个数为2个，不是一个，不是一元一次方程， 不符合题意；     B. ，最高次数为2，不是1，不符合题意；     C. ，是一元一次方程，符合题意； D. ，不是等式，不符合题意 故选：C． 4．方程的解是（　　） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程的基本步骤，通过移项和系数化为1求解． 【详解】解：原方程为：． 移项：将常数项移到等号右侧，得， 系数化为1：两边同时乘以，消去的系数，得， 因此，方程的解为， 故选A． 5．若关于的一元一次方程的解为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入方程计算即可求解，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一元一次方程的解为， ∴， ∴， 故选：． 6．若是关于的一元一次方程，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ，， 解得：． 故选：A． 7．在解方程时，通过去分母，得到的等式为，则所得等式错误的原因是（    ） A．分母的最小公倍数找错 B．去分母时漏乘项 C．去分母时分子部分没有加括号 D．去分母时各项所乘的数不同 【答案】C 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，注意等式的性质的应用．去分母时，方程两边同乘各分母的最小公倍数，若分子是多项式，需将其作为整体加括号． 【详解】解：， 方程两边同乘最小公倍数10，得：， 化简后为：， 展开括号为：， 而题目中给出的错误等式为，对比可知，第二项被错误写成，原因是未将分子作为整体加括号，导致常数项未乘以5． 故选：C 8．《九章算术》中有一道“盈不足术”的问题：今有一群人共买物，人出九，盈六；人出六，不足三，问人数几何？设共有人，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据人数不变，即可得出关于y的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得． 故选：A． 9．小马同学在解关于的方程时，在去分母的过程中等号右边漏乘“”，解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程错解复原问题，将错就错，去分母后，将代入，求解即可． 【详解】解：按照小马同学去分母的过程得：， 把代入，得： ， 解得：； 故选：A． 10．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示 a，b两数中较大的数，例如，按照这个规定，关于x的方程的解为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，理解新定义运算规则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： 当时，， ， 解得， ∵， ∴符合题意； 当时， ， 解得， ∵， ∴不符合题意． ∴方程的解为． 故选：A． 二、填空题 11．根据“x的3倍与5的和比x多2”可列出方程 ． 【答案】（或） 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，仔细审题，x的3倍即是，x的3倍与5的和表示为，和比x多2表示为，故可列出方程． 【详解】解：由题意列方程式为：． 故答案为：． 12．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是等式的性质，熟知等式两边加或减同一个数或式子，结果仍相等是解答此题的关键．等式两边同加，得出，即可得出答案． 【详解】解：两边同时加，得： ， 即， 故答案为：． 13．解一元一次方程：，移项，得 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程——移项，根据移项的定义：把等式的某项变号后移到另一边，即可得到答案，解题的关键是掌握移项过程中的符号变化． 【详解】解：，移项，得， 故答案为：． 14．若代数式与的值相等，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了解一元一次方程，由题意，得出，根据解一元一次方程的方法：移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【详解】解：由题意，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． 故答案为：1． 15．某试卷由26道题组成，答对一题得8分，答错一题倒扣5分．有一位同学虽然做了全部的26道题，但所得总分为零，假设他答对了题，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设他做对了x道题，题中有等量关系：得分-扣分=0，据此可得关于x的方程． 【详解】设他做对了x道题，则他做错了道题， ∵答对一题得8分，答错一题倒扣5分，总分为零， ∴ 故答案为：． 16．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是： ，怎么办呢？小明想了想，便翻看书后答案，此方程的解是，于是很快就补好了这个常数，他补出的这个常数是 ． 【答案】 【分析】本题考查方程的解、解一元一次方程，理解方程的解是解答的关键．设这个常数为a，将代入方程中求解关于a的方程即可． 【详解】解：设这个常数为，将代入方程中得：， 解得：， 故答案为：． 17．“”表示一种运算，定义：，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算，解决本题的关键是根据新运算的规则，把转化为一般的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：， ， 解得：． 故答案为： ． 18．一条公路上有相距的两地，甲、乙、丙三人都在这条公路上行驶．根据他们三人对话的信息，解决丙提出的问题． 甲：我从地出发匀速前往地，速度为． 乙：甲出发1小时后，我也从地出发匀速前往地，出发半小时后追上了甲，到达地后停止不动． 丙：我与甲同时出发，但我是从地匀速前往地，当我与甲相遇时，甲与乙相距．我出发后 小时与乙相遇． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的四则混合运算，正确理解题意是解题的关键． 设丙出发与乙相遇，求出乙的速度为；当丙与甲相遇时，①若甲在乙前面，可求得丙速度为，故，②若乙在甲前面，求出丙的速度为，故，分别解方程可得答案． 【详解】解：设丙出发与乙相遇， 根据题意可得：乙的速度为 当丙与甲相遇时， ①若甲在乙前面，则此时乙在A地，甲刚好出发，行驶了， ∴丙速度为， ∴， 解得：； ②若乙在甲前面， ∵， ∴此时乙出发了，所走路程为，甲所走路程为 ∴丙的速度为， ∴， 解得， 综上所述，丙出发或与乙相遇， 故答案为：或． 三、解答题 19．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 20．解方程． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）利用移项，合并同类项的步骤解方程即可； （2）利用移项，合并同类项，系数化为 1 的步骤解方程即可； （3）利用合并同类项，系数化为 1 的步骤解方程即可。 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：； （2）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为 1 得：； （3）解：， 合并同类项得：， 系数化为 1 得：． 21．解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元一次方程： （1）移项，合并同类项，系数化为1即可； （2）移项，合并同类项，系数化为1即可； （3）去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可； （4）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ； （4）解：， ， ， ， ． 22．在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为，所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？如果不正确，请说明原因，并改正． 【答案】(1)等式的性质1 (2)小明第二步的结论不正确，理由见解析 【分析】此题考查了等式性质的应用能力： （1）运用等式的性质1进行求解； （2）根据等式的性质2进行求解． 【详解】（1）∵ ∴根据等式的性质1，两边都减去 得 ∴第一步的依据是：等式的性质1； （2）小明第二步的结论不正确， ∵根据等式的性质2，等式两边同时除以不为0的一个数，等式仍然成立， ∴当时，等式的两边都除以a，等式不成立， 当时，两边都除以a，得不成立， ∴小明第二步的结论不正确． 23．绿化队为一个居民社区栽花，栽月季花360棵，比所栽丁香花棵数的3倍多24棵．栽了多少棵丁香花？ 【答案】112棵 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设栽了棵丁香花，则栽了棵月季花，由此列方程，解方程即可． 【详解】解：设栽了棵丁香花． ， ， ． 答：栽了112棵丁香花． 24．若，利用等式的性质，比较a与b的大小． 【答案】 【分析】利用等式的性质将一个字母用另一个字母表示出来，再判断即可． 【详解】解：等式两边同减去，得： ， 等式两边同减去，得： ， 等式两边再同时加上1，得：， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式性质2：等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立，熟练运用等式的性质进行变形是解决本题的关键． 25．若是最大的负整数，且，则关于的一元一次方程的解是多少； 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，根据题意得，进而可得，再将代入，再解方程即可． 【详解】解：因为是最大的负整数， 所以， 因为， 所以， 解得． 当时， 原方程为：， 解得：， 即关于的一元一次方程的解是． 26．如图，点A、B都在数轴上，O为原点，点A在原点O的右侧，点B在原点O的左侧，且O，A两点间的距离为2个单位长度，A，B两点间的距离为6个单位长度． (1)分别求出点A和点 B对应的数； (2)点M以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿数轴向右运动，运动时间为t秒，当点M与点A之间的距离为4个单位长度时，求t的值； (3)对折数轴，使数轴上点A与点B重合，求同时与 对应的点重合的点对应的数． 【答案】(1)点对应的数为2，点表示的数为 (2)的值为1或5 (3)同时与对应的点重合的点对应的数 【分析】题目主要考查数轴上的点的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）分两种情况：当点在点左侧时，当点在点右侧时，分别求解即可； （3）设线段的中点为，点所对应的数为，得出，设点所表示的数为，与表示的点重合，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴点对应的数为2， ， ∴点表示的数为； （2）当点在点左侧时，， 解得； 当点在点右侧时，， 解得． 综上所述，当点与点之间的距离为4个单位长度时，的值为1或5； （3）设线段的中点为，点所对应的数为， ∵对折数轴，使数轴上的点与点重合， ∴， ∴， 解得：， 设点所表示的数为，与表示的点重合， ∴点是线段的中点， ∴， ∴， 解得：． 答：同时与对应的点重合的点对应的数． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 一元一次方程 教学目标 1. 知道方程的概念、掌握列方程、方程的解； 2. 学会等式的性质及应用； 3. 会解一元一次方程； 4. 掌握一元一次方程的代数应用； 5. 一元一次方程的实际应用。 教学重难点 1.重点 （1）方程的概念、方程的解；等式的性质及其应用； （2）一元一次方程及其解法； （3）一元一次方程的实际应用。 2.难点 （1）一元一次方程的特殊解法； （2）一元一次方程的综合应用。 知识点1 方程与列方程 一、方程 1．定义：含有未知数的等式叫做方程. 要点：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 2．方程的解：如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫作方程的解 要点：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值； ②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． 3．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）. 二、等式的性质 1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式 2． 等式的性质： 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即： 如果，那么 (c为一个数或一个式子) . 我们还能发现，平衡的天平两边物体的质量分别变为了原来的2倍，天平仍保持平衡. 平衡的天平两边物体的质量分别变为了原来的一半，天平也保持平衡. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果，那么；如果，那么. 要点： （1） 根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； （2） 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零． 三、解方程 我们可以用等式性质1,求得方程(x+16 )-17= 11的解. 合并同类项，得 x-1=11. 根据等式性质1,在等式两边同加上1,得 x-1+1=11+1. 解得 x=12. 以上求方程的解的过程叫作解方程. 【即学即练】 1．下列各式中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 2．如果，那么根据等式的性质下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．能运用等式的性质说明图中事实的是（   ） A．若，则（a、b、c均不为0） B．若，则（a、b、c均不为0） C．若，则（a、b、c均不为0） D．若，则（a、b、c均不为0） 知识点2 一元一次方程及其解法 一、一元一次方程的概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 要点： “元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数． 二、解一元一次方程的一般步骤 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号) (1)移项要变号 (2)不要丢项 合并同类项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒 要点： （1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化． (2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 三、解特殊的一元一次方程 1.含绝对值的一元一次方程 解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义． 要点：此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论： (1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或. 2.含字母的一元一次方程 此类方程一般先化为最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论： （1） 当a≠0时，；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解． 3.整体法 例 解方程：4(x-2)+5=35-(x-2). 分析 可以将x-2看作一个整体进行运算. 解：移项， 得4(x-2)+(x-2)=35-5. 将x-2看作一个整体进行加法运算，得5(x—2)=30. 两边同除以5,得x-2=6. 移项，得 x=8. 所以，原方程的解是x=8. 【即学即练】 1．解下列方程： (1) ； (2)． 2．解方程： (1)： (2) 3．小强解方程的过程如下： 解：去分母，得，第①步 去括号，得，第②步 移项，合并同类项，得，第③步 系数化为1，得．第④步 他把代入原方程后发现方程左、右两边的值不相等，小强因此意识到自己解错了． 他从第______步开始出错，请给出正确的解答过程． 知识点3 一元一次方程的应用 一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 要点： （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 二、常见列方程解应用题的几种类型 1．和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 2．行程问题 （1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 　（2）基本类型有： 　 ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第1， 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第2， 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 3．工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 4．调配问题 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑 【即学即练】 1．《九章算术》是中国传统数学中最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有善行者一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，若走路慢的人先走100步，则走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人要走x步才能追上，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．一个两位数，十位上的数比个位上的数的3倍大1，个位上的数与十位上的数的和等于9，这个两位数是（   ） A．54 B．72 C．45 D．63 3．某校组织学生参加植树活动，原计划每天植树80棵，5天完成，后因天气原因需提前1天完成，问每天需多植树多少棵？ 4．一项工作，甲单独做需天，乙单独做需天，如果两人合做天后，余下的工作再由甲做．则这项工作需要甲做多少天完成？ 5．六年级学生乘坐汽车去春游，如果每辆汽车坐45人，则有5人没有上车；如果每辆汽车坐55人，则空出一辆汽车，并且有一辆车还可以坐10人，问六年级有多少名学生去春游？共派了多少辆汽车？ 题型01 判断方程 【典例1】．下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列四个式子中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型02 等式的性质 【典例1】．下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】．已知 ，则下列变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．根据等式的性质填空： （1）如果，那么 ； （2）如果，那么 ； （3）如果，那么 ． 题型03 等式性质的应用 【典例1】．有三种物体□，△，○，相同物体的重量相同，将它们放在天平上称量，结果如图（a）和图（b）所示，那么在图（c）所示的天平中，砝码的重量可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．假设“△、〇、□”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，要使第三架天平也保持平衡，则“？”处应放△的个数是 【变式2】．如图，将等式进行变形，最后得到一个明显错误的结论，则下列说法正确的是（   ） A．第一步错误 B．第二步错误 C．第三步错误 D．三步都正确，原等式错误 【变式3】．利用等式的性质解方程，并检验： (1)； (2)； (3)． 题型04 判断一元一次方程 【典例1】．下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．在方程，，， ， ，，中，是一元一次方程的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．以上答案都不对 题型05 根据一元一次方程的概念求参数 【典例1】．已知是关于的一元一次方程，那么 ． 【变式1】．若方程是关于x的一元一次方程，则a的值为 ． 【变式2】．如果是关于的一元一次方程，求 ． 题型06 解一元一次方程 【典例1】．解方程． (1) (2) (3) 【变式1】．解方程： (1) (2) (3) (4) 【变式2】．解方程 (1) (2) (3) (4) 题型07 分析解一元一次方程的过程 【典例1】．把方程去分母后，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列解方程的步骤正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【变式2】．下列方程变形正确的是（         ） A．由移项，得 B．由去括号，得 C．由系数化为1，得 D．由去分母，得 题型08 一元一次方程的代数应用 【典例1】．当x取何值时，代数式与的值互为相反数（ ） A． B． C．5 D．-5 【变式1】．若式子与式子的值相等，则的值为 ． 【变式2】．若与互为相反数，则 ． 题型09 一元一次方程的实际应用Ⅰ 【典例1】．两个数的和比其中一个数大28，比另一个数大36，这两个数的和是 【变式1】．6位中国象棋选手进行比赛，每两人之间比赛一局，如果是平局，参赛选手各得1分；否则赢者得3分，输者得0分．最后六位选手的得分之和为39分，则平了（   ）局． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】．《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四；问人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱；合伙人数、物品的价格分别是多少？解：设人数为x人，则下面列出的方程正确的是(　　) A． B． C． D． 题型10 一元一次方程的实际应用Ⅱ 【典例1】．小明读一本故事书．前天一共读了页．照这样的速度读完这本故事书还需要天，这本故事书一共有多少页？（用比例解） 【变式1】．学校楼顶农艺园分隔了若干块菜畦用于劳动课教学实践，分配给参加此限定社团课的学生每组一块菜畦．如果每4名同学为一组，那么菜畦恰好分完；如果每6名学生一组，那么恰好空出5块菜畦．问：农艺园共分隔了多少块菜畦？参加此限定社团课的学生有多少名？ 【变式2】．某校七年级学生到距离学校10千米的青少年营地活动，出发后1小时内按原计划的速度匀速前进，1小时后按原计划速度的1.5倍匀速前进，求原计划的速度． 题型11 幻方问题 【典例1】．在三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都是相等的，图中三阶幻方中已经填入了两个数17和29，则图中最左上角的数a应该是 ． 【变式1】．夏禹时代的“洛书”是最早的幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等．如图，方格中填写了一些数和字母．若它能构成一个三阶幻方，则的值为（    ） m 2n n 8 0 A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】．如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，，，，，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为    一、单选题 1．下列各式中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列等式变形不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．下列式子中，属于一元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 4．方程的解是（　　） A． B．3 C． D． 5．若关于的一元一次方程的解为，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．若是关于的一元一次方程，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 7．在解方程时，通过去分母，得到的等式为，则所得等式错误的原因是（    ） A．分母的最小公倍数找错 B．去分母时漏乘项 C．去分母时分子部分没有加括号 D．去分母时各项所乘的数不同 8．《九章算术》中有一道“盈不足术”的问题：今有一群人共买物，人出九，盈六；人出六，不足三，问人数几何？设共有人，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 9．小马同学在解关于的方程时，在去分母的过程中等号右边漏乘“”，解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示 a，b两数中较大的数，例如，按照这个规定，关于x的方程的解为（   ） A． B． C．或 D． 二、填空题 11．根据“x的3倍与5的和比x多2”可列出方程 ． 12．如果，那么 ． 13．解一元一次方程：，移项，得 ． 14．若代数式与的值相等，则的值是 ． 15．某试卷由26道题组成，答对一题得8分，答错一题倒扣5分．有一位同学虽然做了全部的26道题，但所得总分为零，假设他答对了题，则可列方程 ． 16．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是： ，怎么办呢？小明想了想，便翻看书后答案，此方程的解是，于是很快就补好了这个常数，他补出的这个常数是 ． 17．“”表示一种运算，定义：，如果，那么 ． 18．一条公路上有相距的两地，甲、乙、丙三人都在这条公路上行驶．根据他们三人对话的信息，解决丙提出的问题． 甲：我从地出发匀速前往地，速度为． 乙：甲出发1小时后，我也从地出发匀速前往地，出发半小时后追上了甲，到达地后停止不动． 丙：我与甲同时出发，但我是从地匀速前往地，当我与甲相遇时，甲与乙相距．我出发后 小时与乙相遇． 三、解答题 19．解方程： (1) (2) 20．解方程． (1) (2) (3) 21．解下列方程： (1) (2) (3) (4) 22．在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为，所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？如果不正确，请说明原因，并改正． 23．绿化队为一个居民社区栽花，栽月季花360棵，比所栽丁香花棵数的3倍多24棵．栽了多少棵丁香花？ 24．若，利用等式的性质，比较a与b的大小． 25．若是最大的负整数，且，则关于的一元一次方程的解是多少； 26．如图，点A、B都在数轴上，O为原点，点A在原点O的右侧，点B在原点O的左侧，且O，A两点间的距离为2个单位长度，A，B两点间的距离为6个单位长度． (1)分别求出点A和点 B对应的数； (2)点M以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿数轴向右运动，运动时间为t秒，当点M与点A之间的距离为4个单位长度时，求t的值； (3)对折数轴，使数轴上点A与点B重合，求同时与 对应的点重合的点对应的数． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $