精品解析：上海市徐汇中学2025-2026学年高一年级第二学期期末考试数学试卷

徐汇中学2025学年高一年级第二学期 期末考试 数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，1-8题每题3分，9-12题每题4分，满分40分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1. 设复数，则它的虚部是_________ 【答案】-4 【解析】 【分析】复数的虚部是标准形式中虚数单位的系数． 【详解】因为，所以复数的虚部是． 2. 函数的最小正周期是，则的值________； 【答案】 【解析】 【详解】因为，又，则，解得. 3. 已知，则的最小值为____. 【答案】4 【解析】 【详解】因为，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为. 4. 函数的单调递减区间为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】以为整体，利用正弦函数的标准单调递减区间构造不等式求解即可. 【详解】令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 5. 已知等差数列中，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，结合等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得， 又由. 6. 方程，的解集为______（用列举法表示） 【答案】 【解析】 【分析】通过移项、化简得到正弦函数的表达式，再结合给定区间求解的值． 【详解】由，化简得． 则或， 即或， 因为，所以当时，或. 所以方程的解集为. 7. 在公路建设中，要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的、两点到 点的距离分别为，，且，则隧道长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理即可求解． 【详解】由余弦定理有． 8. 已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为________. 【答案】 【解析】 【详解】解：因为，， 所以向量在向量上投影向量为 . 9. 在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】如图所示，以为原点，以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则 设，则， 所以， ， 当且仅当时，取得最小值. 10. 如图所示，是线段外一点，若中，相邻两点间的距离相等，，则 _________用表示 【答案】 【解析】 【分析】取线段的中点，再利用中点向量公式求解. 【详解】设为线段的中点，则也为线段的中点， 则， 所以. 11. 已知复数z满足，且，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】设复数的代数形式，先根据已知等式确定对应点的轨迹范围，再结合复数模的几何意义求两点距离的最小值. 【详解】设，则其共轭复数，展开等式可得：左边，右边，两式相等则虚部相等，即，整理得，即或. 又因为，结合复数的几何意义可知，在复平面内对应的点的轨迹为：轴上的线段和轴上的线段. 因为，故的几何意义是点到定点的距离. ①当点在轴上时，，点到的距离为，当时取得最小值； ②当点在轴上时，，点到的距离为，当时取得最小值. 因为，故的最小值为. 12. 已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由，求出的范围，结合正弦函数的单调性可求出，再由，求出的范围，结合正弦函数的零点可求. 【详解】当时，， 由在上单调递增，结合正弦函数的单调性可得， 解得． 当时，， 因为，所以， 又在上有且仅有1个零点，所以或， 解得或． 则的取值范围为. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，13-14题每题3分，15-16题每题4分，满分14分） 13. 设为复数，是为虚数的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】是实数，此时满足，不充分， 是虚数，但，不必要， 因此应为既不充分也不必要 14. 设，是平面内两个不共线的向量，则下列向量组中不能作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合共线的向量的判定方法，以及基底的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，设，可得，此时方程组无解， 所以与不共线，所以与能作为基底，所以A不符合题意； 对于B，设，显然不存在实数使得成立， 所以与不共线，所以与能作为基底，所以B不符合题意； 对于C，设，可得，此时方程组无解， 所以与不共线，所以与能作为基底，所以C不符合题意； 对于D，，可得，解得，即， 所以与共线，所以与不能作为基底，所以D符合题意. 15. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】通过平移得到，再利用对称性列方程，即可求解. 【详解】函数的图象向左平移个单位后， 得到的函数， 因为曲线关于直线对称， 所以，， 解得：，， 因为，令，得，所以的最小值是. 故选：B. 16. 已知函数，有两个不同的零点，，有如下两个命题：①；②，下列说法中正确的是（ ） A. 命题①②都是真命题 B. 命题①是真命题，命题②是假命题 C. 命题①是假命题，命题②是真命题 D. 命题①②都是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，画出的函数图象，数形结合确定所在区间，即可判断；对于②，由，推出，根据零点范围可得符号判断. 【详解】即，易知当时，，显然不符题意，故， 因此等价于. 画出且且与的函数图象， 如图可以看出， 故，故①是假命题， 由，推出 ， 因为， 又的最小正周期为，且由图象可知， 故之间的距离大于，即， 故有，则， 而， 又因为，且在为增函数， 故， 则， 又因为， 故，故②是真命题. 三、解答题（本大题共有5题，满分46分） 17. 在中，所对的边分别为，已知 （1）求的值； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理列式求解. （2）利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 在中，由正弦定理，得. 【小问2详解】 由余弦定理，得，即， 而，解得，所以的面积. 18. 已知复数是关于的方程的一个复数根. （1）求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题可得， 则 解得 【小问2详解】 由（1）可得 ， 则 解得，即的取值范围为. 19. 已知等比数列的公比为q（且），等差数列的公差为d，满足条件：，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程，结合且解出、的值，即可得出数列、的通项公式； （2）利用分组求和法可求得的表达式. 【小问1详解】 由于等比数列的通项公式：且，所以， 故，因为且，所以，所以， 因为数列是等差数列，公差为， 所以，故，所以， 所以， 因此等比数列通项公式为，等差数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为，根据题意得：， 由（1）得，.   故. 20. 剪纸是中国传统民间艺术，起源于汉朝，具有构图饱满、造型夸张、题材广泛、地域风格多样等艺术特点．现需在半径，面积为的扇形纸张内剪一个矩形，如图所示，C是扇形弧上的动点，D在线段上，A，B均在线段上． （1）求圆心角的大小（用弧度表示）； （2）设，且，求的长； （3）求矩形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用扇形面积公式计算可得结果； （2）利用同角三角函数的关系计算得到，再由正弦的两角和差公式得到的值，最后由得到的长； （3）设，利用图形关系分别表示出和的长，再由表示矩形的面积，根据二倍角公式和辅助角公式化简可得最值. 【小问1详解】 设扇形的圆心角， 由扇形的面积，解得，所以． 【小问2详解】 由（1）知，，则， 由，得， 因此， 所以． 【小问3详解】 设，在中，，， 在中，， 则， 因此矩形的面积 ， 由，得， 则当，即时，矩形的面积取得最大值． 21. 对任意两个非零向量 ，定义： ． （1）若向量 ，求 的值，并求 在 方向上的投影； （2）若单位向量 , 满足 ，求 的值； （3）在 中，设 ，若 ，判断 的形状并说明理由． 【答案】（1）， 在 方向上的投影为； （2） （3）等边三角形 【解析】 【分析】（1）根据新定义直接计算，再根据投影的定义计算投影； （2）利用新定义求得，再根据向量夹角的余弦公式计算； （3）记，把新定义化为数量积，结合余弦定理得出，即，设，利用三个分子相加等于0求得，从而可得出结论. 【小问1详解】 ，， 所以， 在 方向上的投影是； 【小问2详解】 由， 解得， 所以； 【小问3详解】 记， 由题意，，， 因为，所以， 所以， ，可得， 由余弦定理，，即， 设，则， 三式相加得，所以， 将其代入各式，可得，即是等边三角形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐汇中学2025学年高一年级第二学期 期末考试 数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，1-8题每题3分，9-12题每题4分，满分40分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1. 设复数，则它的虚部是_________ 2. 函数的最小正周期是，则的值________； 3. 已知，则的最小值为____. 4. 函数的单调递减区间为_____________． 5. 已知等差数列中，，则________． 6. 方程，的解集为______（用列举法表示） 7. 在公路建设中，要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的、两点到 点的距离分别为，，且，则隧道长度为_________． 8. 已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为________. 9. 在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值为__________. 10. 如图所示，是线段外一点，若中，相邻两点间的距离相等，，则 _________用表示 11. 已知复数z满足，且，则的最小值是______． 12. 已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为_____． 二、选择题（本大题共有4题，13-14题每题3分，15-16题每题4分，满分14分） 13. 设为复数，是为虚数的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 14. 设，是平面内两个不共线的向量，则下列向量组中不能作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 15. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 6 16. 已知函数，有两个不同的零点，，有如下两个命题：①；②，下列说法中正确的是（ ） A. 命题①②都是真命题 B. 命题①是真命题，命题②是假命题 C. 命题①是假命题，命题②是真命题 D. 命题①②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分46分） 17. 在中，所对的边分别为，已知 （1）求的值； （2）求的面积． 18. 已知复数是关于的方程的一个复数根. （1）求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围. 19. 已知等比数列的公比为q（且），等差数列的公差为d，满足条件：，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 20. 剪纸是中国传统民间艺术，起源于汉朝，具有构图饱满、造型夸张、题材广泛、地域风格多样等艺术特点．现需在半径，面积为的扇形纸张内剪一个矩形，如图所示，C是扇形弧上的动点，D在线段上，A，B均在线段上． （1）求圆心角的大小（用弧度表示）； （2）设，且，求的长； （3）求矩形面积的最大值． 21. 对任意两个非零向量 ，定义： ． （1）若向量 ，求 的值，并求 在 方向上的投影； （2）若单位向量 , 满足 ，求 的值； （3）在 中，设 ，若 ，判断 的形状并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $