精品解析：上海市南洋模范中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

2025-2026年南洋模范中学高一下期末 一、填空题 1. 若（ 是虚数单位），则复数 的虚部是______． 【答案】2 【解析】 【详解】因为复数，则.所以复数 的虚部是. 2. 已知，则________； 【答案】##0.28 【解析】 【分析】直接利用二倍角的余弦公式计算可得； 【详解】因为，所以 故答案为：. 3. 已知，若、，则点 坐标为______________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由求出点 坐标. 【详解】设， ， 即，解得 故答案为： 4. 著名的斐波那契数列 ，满足，，（），那么是斐波那契数列中的第__项． 【答案】 【解析】 【分析】利用斐波那契数列的性质求解即可． 【详解】由，， 则 ， 所以是斐波那契数列中的第项． 5. 已知直线与函数和函数的图像分别交于、两点，线段的中点纵坐标为，则线段的长为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知,再计算的长度即可. 【详解】易得, 故. 故的长度. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图像运用以及同角三角函数的关系,属于中等题型. 6. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用弦切互化和两角和的正切公式求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以，即，所以. 故答案为：. 7. 若、、均为平面单位向量，且，则的坐标为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据可判断共线,再分析求解即可. 【详解】根据且可得共线 且同向.故为与反向的单位向量.故. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了向量模长的不等式以及单位向量的求法,属于中等题型. 8. 已知函数，将 的图像向左平移个单位后得到函数的图像，若图像上各最高点到点的距离的最小值为1，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换规律可得，设的对称轴，由条件求得 ，可得，从而求得答案. 【详解】把函数的图象向左平移个单位后， 得到函数的图象， 再根据的图象上各最高点到点的距离的最小值为1 ， 设的对称轴，则最高点的坐标为， 它与点的距离的最小值为1， 即，求得 ，可得， 即，解得， 故答案为：. 9. 已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：由条件可得，，消去，根据平面向量基本定理列方程求结论； 方法二：先证明共面，设，由条件结合平面向量基本定理列方程求结论. 【详解】方法一：因为，所以. 因为，所以， 所以， 因为不平行，所以，所以. 方法二：因为，，两两不平行， 所以，. 若不共面，所以，矛盾， 所以共面，可设， 所以， 所以. 因为，可设， 所以，， 所以，， ，所以. 10. 对任何函数 ， ，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下： ①输入数据 ，经数列发生器输出 ；②若 ，则数列发生器结束工作；若 ，则将反馈回输入端，再输出 ，并依此规律继续下去．现定义．若输入时，产生的无穷数列 满足：对任意正整数，均有，则的取值范围为__． 【答案】 【解析】 【分析】分析得到数列 应为递增数列，即，解不等式后分情况讨论即得. 【详解】函数的定义域为 若输入时，产生的无穷数列 满足：对任意正整数，均有， 则，解得 或 ， 要使，则 或 ， 对于函数， 若 ，则 ，，不符合条件； 若 ，则且 ， 以此类推，可得数列 的所有项均满足， 综上可得，因，则由 ,可得 , 解得 , 所以当输入时，产生的无穷数列 满足：对任意正整数，均有. 故的取值范围为. 11. 已知无穷等比数列 的公比为，前项和为，且，若对于任意，恒成立，则公比的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，，由等比数列的求和公式可得，即有，可得，讨论，，结合恒成立思想和指数函数的单调性，即可得到所求的范围． 【详解】解：无穷等比数列 的公比为，前项和为，且， 即有，， 由恒成立， 可得， 即有， 可得， 若，则， 若可得递减，上式不恒成立； 若，可得上式不恒成立； 若，则， 若可得递减，； 若，可得，解得， 综上可得，或． 故答案为：． 【点睛】本题考查等比数列的求和公式和无穷递缩等比数列的求和公式，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题． 12. 设 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且，点 、 分别满足 ， ，， ，则的值为__． 【答案】 【解析】 【分析】由 得到，由 得到，从而得到 是 的外心. 设 ，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得到 ， ，即 ，由得到 ，利用向量的数量积得到 ，利用正弦定理得到 ，则 ，利用两角差的正弦公式和同角关系式的商关系得到，求出和 的值，利用数量积求出，，的值，从而得到的值. 【详解】由 ， 可得： ， 所以， 因为 ， 可得： ， 所以，因此 是 的外心. 设 ， 因为同弧所对的圆周角是圆心角的一半， 所以 ， ，所以 ， 由，得：，整理得：， 又 ，代入得： ， 解得 ， 又 ，， 则 ，解得 ，即 ， 因为，所以， 即，解得 ， 因为，所以 ， 则 ， 即 ， 即 ， 即 ， 即， 则， 因为，所以， 因为 ， ， ， 所以 . 二、选择题 13. 已知（），则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 分别分析再求解即可. 【详解】由题意共项. 共项.故得中的最后三项为 . 故选：D 【点睛】本题主要考查了数列的通项公式理解,属于基础题型. 14. 已知 是实数，设是虚数单位，若，则复数是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简已知得到，解方程组即得解. 【详解】因为,所以,所以， 所以. 故选：C 【点睛】本题主要考查复数的运算和复数相等的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 15. 如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记 ，，，则 A. I１<I２<I３ B. I１<I３<I２ C. I３< I１<I２ D. I２<I１<I３ 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，，所以， 故选C． 【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算，易得，由AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，可求得，，进而得到． 16. 若方程的三个根成等比数列，则该数列的公比为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用数形结合判断根的分布，再结合对数运算，通过代换变形可求得公比. 【详解】 如图可知：方程的三个根的分布为：， 因此， 再设公比为，则，，由等比中项性质得， 将等式相减得： ， 代入可得： 再代入，可得， 代入，，可得， 解得或（负根舍去），且满足，即公比为. 三、解答题 17. 已知数列 的首项，前n项和为，且． （1）求数列 的通项公式； （2）若，求的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系消去，得递推式，判断 是等比数列，即可求得其通项； （2）先求出的通项公式，利用分组求和法与等差、等比数列求和公式求解即得. 【小问1详解】 由①，当 时，②， ①-②得，即， 又∵，满足， ∴ 是以3为首项，3为公比的等比数列，即 【小问2详解】 ∵， ∴ ． 18. 已知在中，所对的边分别为，若且． (Ⅰ)求角A、B、C的大小； (Ⅱ)设函数，求函数的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离． 【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ)单调递增区间为. 它的相邻两对称轴间的距离为. 【解析】 【详解】(Ⅰ)由题设及正弦定理知:,得， ∴或,即 或． 当 时,有, 即,得,; 当时,有,即，不符题设， ∴,． (Ⅱ) 由(Ⅰ)及题设知:； 当时,为增函数， 即的单调递增区间为. 它的相邻两对称轴间的距离为. 19. 设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系 为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值； （2）计算出、、，利用平面向量的夹角公式可得出关于的方程，求解即可． 【小问1详解】 在仿射坐标系中，、的夹角为， 则， 又，则， 所以， 所以． 【小问2详解】 在仿射坐标系中，、的夹角为，则， 又，，则，， 所以， ， 则． 所以， 又与的夹角为， 所以，解得． 20. 已知数列 ：，，，（），与数列：，，，，（），记. （1）若，求的值； （2）求的表达式； （3）已知，且存在正整数 ，使得在中有4项为100，求的值，并指出哪4项为100. 【答案】（1）；（2）；（3） ，，，，，为100. 【解析】 【分析】(1)直接求得关于的表达式再求解即可. (2)先求得,再猜测的表达式利用数学归纳法求证即可. (3)分别写出的值,判断这12项的中的4项和为100,再求出的值即可求出哪4项和为100. 【详解】(1)易得,,,,,… 故,解得. (2)由得 . 猜测,用数学归纳法证明, ①当时, 成立. ②假设当,时等式成立,即,则当时, 也成立. 根据①,②可以判定：当时, (3)根据(2)有. 当时, ； 当时, ； 当时, ； 当时, ； 当时, ； 当时, ； 因为是奇数,,,均为负数.故这些数均不可能取到100, 故当或,即 ,时,,,为100. 【点睛】本题主要考查了数列通项公式的运用以及数学归纳法的运用,主要是根据题意找到对应的数列通项公式,再根据题意分析对应的下标值等.属于难题. 21. 定义 的“区间长度”为 ，设函数 的定义域为 ． （1）当时，求关于 的不等式解集的“区间长度”； （2）已知 ，设关于 的不等式解集的“区间长度”为 ． ①若 ，求 ； ②求 的最大值． 【答案】（1） （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，求出的解集，即可求出对应的区间端点值，从而求出解集的“区间长度”； （2）①先求出不等式解集，根据 的已知条件，即可建立等量关系，求出 的值；②由①的结论，结合同角三角函数和基本不等式，即可求出 的取值范围，从而求出 的最大值. 【小问1详解】 解：当时，的定义域为 ， 由，解得或，则或， 所以不等式解集的“区间长度”为. 【小问2详解】 ①因为 ，由，解得或， 设的两个根为，其中 ，且 ， 同理，设的两个根为，其中 ，且 ， 所以， 当 时，则，又，则， 即，解得或， 所以或； ②由①可知， 则， 因为 ，所以， 所以， 解得或（舍）， 所以， 因为，，所以 ，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年南洋模范中学高一下期末 一、填空题 1. 若（ 是虚数单位），则复数 的虚部是______． 2. 已知，则________； 3. 已知，若、，则点 坐标为______________. 4. 著名的斐波那契数列 ，满足，，（），那么是斐波那契数列中的第__项． 5. 已知直线与函数和函数的图像分别交于、两点，线段的中点纵坐标为，则线段的长为________ 6. 已知，则______. 7. 若、、均为平面单位向量，且，则的坐标为________ 8. 已知函数，将 的图像向左平移个单位后得到函数的图像，若图像上各最高点到点的距离的最小值为1，则__________． 9. 已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________． 10. 对任何函数 ， ，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下： ①输入数据 ，经数列发生器输出 ；②若 ，则数列发生器结束工作；若 ，则将反馈回输入端，再输出 ，并依此规律继续下去．现定义．若输入时，产生的无穷数列 满足：对任意正整数，均有，则的取值范围为__． 11. 已知无穷等比数列 的公比为，前项和为，且，若对于任意，恒成立，则公比的取值范围是________ 12. 设 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且，点 、 分别满足 ， ，， ，则的值为__． 二、选择题 13. 已知（），则 A. B. C. D. 14. 已知 是实数，设是虚数单位，若，则复数是 A. B. C. D. 15. 如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记 ，，，则 A. I１<I２<I３ B. I１<I３<I２ C. I３< I１<I２ D. I２<I１<I３ 16. 若方程的三个根成等比数列，则该数列的公比为（ ） A. B. C. 2 D. 3 三、解答题 17. 已知数列 的首项，前n项和为，且． （1）求数列 的通项公式； （2）若，求的前n项和． 18. 已知在中，所对的边分别为，若且． (Ⅰ)求角A、B、C的大小； (Ⅱ)设函数，求函数的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离． 19. 设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系 为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求． 20. 已知数列 ：，，，（），与数列：，，，，（），记. （1）若，求的值； （2）求的表达式； （3）已知，且存在正整数 ，使得在中有4项为100，求的值，并指出哪4项为100. 21. 定义 的“区间长度”为 ，设函数 的定义域为 ． （1）当时，求关于 的不等式解集的“区间长度”； （2）已知 ，设关于 的不等式解集的“区间长度”为 ． ①若 ，求； ②求 的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $