上海市复旦大学附属中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

复旦大学附属中学2025学年第二学期 高一年级数学期末考试试卷 2026.06.26 考生注意： 1.本试卷共4页，21道题，满分150分，考试时问120分钟： 2.本试卷分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题） 在答题纸上，在试卷上作答一律不得分： 3.答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位 一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）考生应在 答题纸的相应位置直接填写结果， 1.半径为1的球的表面积为. 2.在四棱柱中，是平行四边形的面至少有 个 3.已知函数f(x)=sinx-tanx+1,且f(a)=2028,则f(-a= 4.如图，△OAB是水平放置的△OAB的直观图，O∥=2，OB=3,∠A'OB=45°，则原△OAB 的周长为 45 (第4题图) (第7短图) 5.已知A(2,1),B(-3,-2),C(3,1),则B在AC方向上的数量投聪内 6.已知P-ABCD是正四棱锥，PA=AB=6,则该棱锥的高为 7.如图，在长方体ABCD-AB,C,D,中，所在直线与AA是异面直线的棱有 条 8.已知正六棱柱底面边长为2，侧面积为36，则此六棱柱最长的体对角线与底面所成的角的余弦值 为 9.如图，圆锥S-O中，母线SA=6,底面直径AB=4.P是SA中点，C是 SB上一动点.一只蚂蚁沿圆锥侧面上的曲线ACP从点A爬到点P处，则 蚂蚁所爬的最短路径长为一， 10.已知Z,22∈C,满足|31月z2=5且6+名=22，则3+22= (第9趣图) 高一数学第1页共4页 11.已知正方体ABCD-ABC,D的棱长为2，点M在线段BC上（不含端点），点N在线段CC,上， 且CN=二CC,若平面AN裁正方体ABCD-AB,CD,所得的截面为五边形，则线段BM长的 3 取值范围为 D B D M (第11题图) (第12题图) 12.如图，已知圆台形水杯（不计厚度）内盛有水，杯口的直径为8cm,杯底的直径为6cm,杯高为 12cm.若当杯底水平放置时，水深为h,当水杯密封好倒扣过来水平放置时，水深为h,且 h:h2=4:3,则h2为cm.(精确到0.01) 二、选择题（本大题共有4小题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）每题有 且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将正确选项用2B铅笔涂黑。 13.“棱柱是直棱柱"是“棱柱有一个侧面与底面垂直”的（) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 14.已知a,B是空间中的两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则下列说法正确的是() A.若m∥n,m∥，n∥B,则次∥B B.若m⊥n,m⊥c,n⊥B,则a⊥B C.若m∥n,m⊥a,a⊥B,则XW∥B D.若m⊥m∥a,a⊥B,则n⊥B 15.已知函数f(x)=sin2x-cos2x,直线x=a是y=f(x)图像的对称轴，点（亿，0）是y=f(x)图像的 对称中心，则|a-b1的可能值为() A.0 R号 C.3 4 D.π 16.对于非零平面向量a,6,定义L(a,)=b-7,其中为万在ā方向上的投影向量.给出下列命题： ①对任意实数，都有|b-a2L(a,)川恒成正： ②对任意给定的平面上的一组基a,B,存在非零向量6，使得L(ā，)+L(6,c)+L(c,)=0成立. 则以下判断正确的是() A.①为真命题：②为其命题 B.①为真命题：②为假命题 C.①为假命题：②为真命题 D.①为假命题；②为假命题 高一数学 第2页共4页 三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知复数x,x2在复平面上对应的点分别为P,Q,且P(a,2)在第一象限. (1)若P,2两点关于虚轴对称，且xx2为纯虚数，求实数a的值： (2)若x1,x2是关于x的方程x2-(b+2)x+b2=0(beR)的两个根，求实数a的值. 18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图，在△ABC中，B=3AD,点E是CD的中点. (I)用B,AC的线性组合表示BC与A正： (2)若AB=V5,AC=√3且AE⊥BC,求BC. 19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 将边长为1的正方形ABCD绕边AB所在直线旋转2”，得到如图所示的几何体，它是圆柱的一 部分 (1)求该几何体的表面积： (2)求异面直线AE与BC所成角的大小. 高-数学第3页共4页 20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 如图1，在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,E是边BC的中点，将△ABE沿AE顺时针方向 翻折，使点B到达点P的位置，且点P不在平面AECD上，连接PC、PD, (I)求证：PB⊥AE: (2)若平面PAE⊥平面AECD,求二面角D-AP-E的大小： (3)如图2，设F为PD的中点，求在整个翻折过程中线段CF长的取值范围. B 图1 图2 21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 香港中银大厦以其独特的三角形桁架结构和底部正方形平面（对角线垂直） 闻名，某公园计划仿照这一几何理念建造一座现代贷观亭.模型主体由水平基座 和两个垂直立柱构成，具体参数如下： ●基座的底面为四边形ABCD,其对角线互相垂直，且交于点O,经实地测 量，0A=0C=2米，0D=0B=2米 ●从点C竖直向上安装一根立柱CG,CG垂直于基座平面ABCD:从点D竖直向上安装另一根 垂直于基座平面的立柱DM,其中MD=CC=4米。 G 为形成三角形玻璃幕墙效果，在顶点A,MG之问连接钢梁形成侧面△AMG (参考中银大厦的三角形玻璃墙)，在顶点B,A,G之间连接钢梁形成另一 M 侧面△GAB,所有钢梁均视为直线段. D 设计团队需建立三维几何模型，用于结构安全性评估、材料用量估算及照明 设施布置，需解决以下建模问题： (I)试用几何推理验证：基座上的棱BD平行于侧面△AMG所在平面： (2)为了估算结构所需填充材料的用量，求三棱锥B-AMG的体积（单位：立方米）： (3)因照明需求，计划在建筑棱线AG上安装照明灯2，设计要求：以2为顶点、基座ABCD为 底面的四梭锥Q-ABCD的体积和三棱锥Q-GCD的体积相等，请找出安装位置并说明理由. 一散学第4页共4万