精品解析：安徽芜湖市弋江区2025-2026学年度第二学期期末学业质量监测试卷 七年级数学

2025-2026学年度第二学期期末学业质量监测试卷七年级数学 注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共6页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“答题卷”交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各数中为无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，适合全面调查的是（ ） A. 了解某品牌新能源汽车的使用寿命 B. 调查我市中学生的视力情况 C. 了解我省中学生每天体育锻炼时间 D. 对乘坐某班次飞机的乘客进行安检 3. 若点P位于第三象限，则它的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 4. 若是方程的解，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 下列五个命题：（1）对顶角相等；（2）算术平方根等于本身的数是0和1；（3）两条直线被第三条直线所截，内错角相等；（4）若，则；（5）过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中真命题的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. 若，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，已知，、为上的两点，、为上的两点，延长至点，平分，点在直线上，且平分，若．则下列结论：①；②；③设，则；④，正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 10. 已知，，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 某校开展“保护视力，预防近视”活动，为了解八年级600名学生的视力状况，从中随机抽取了80名学生进行问卷调查，此次调查中，样本容量是______． 12. 已知平面直角坐标系内的点的坐标为，且点到轴的距离为5，则的值为____________． 13. “抖空竹”是一项传统健身项目．图1是某同学抖空竹的瞬间，可以将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，，为平行线外一点，连接，．若，，则的度数为____________°． 14. 在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为8的点称为“幸运点”． （1）若点是“幸运点”，则的值为____________； （2）下列结论正确的是____________（写出所有正确结论的序号）． ①第一象限内有无数个“幸运点”； ②已知点，，若点是“幸运点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为10； ③已知点，，若点是第一象限内的“幸运点”，三角形的面积记为，则． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 解不等式组：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点的坐标分别为，，．将三角形平移，使点平移到点处，得到三角形，其中点，的对应点分别为，． （1）写出，的坐标，并画出三角形； （2）若三角形内一点平移后的对应点为，求点的坐标． 18. 《哪吒2》上映后，某影院随机调查了某天部分观众最喜欢的一个角色．把调查结果绘制成下列不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息解决以下问题： （1）本次调查共抽取了___________名观众，其中喜欢哪吒的有___________名观众； （2）在扇形统计图中，求喜欢申公豹角色对应的圆心角度数，并补全条形统计图； （3）该电影院当天观看《哪吒2》的观众有3000人，根据调查结果，请你估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有多少人？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知：如图，，． （1）求证：； （2）若平分，平分，且，求的度数． 20. 新定义：我们把关于、的两个二元一次方程与（）叫做互为共轭二元一次方程；二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． （1）若二元一次方程中、的值满足下列表格： 2 0 2 3 则这个方程的共轭二元一次方程是______________． （2）探究：若共轭方程组的解是，猜想、之间的数量关系，并说明理由． 六、（本题满分12分） 21. 阅读素材： ，，，…按照此规律： （1）初步探究： ①填空：________________； ②计算：； （2）迁移应用：计算： 七、（本题满分12分） 22. 【问题情境】为落实绿色低碳城市建设，某环卫公司采购甲、乙两款新能源抑尘洒水车，减少扬尘污染，相关采购价格与作业效率信息整理如下： 表1 甲、乙两款洒水车采购成本统计表 采购方案 甲型车辆数量（台） 乙型车辆数量（台） 总采购费用（万元） 方案一 2 3 270 方案二 3 1 230 表2 甲、乙两款洒水车作业效率 车辆类型 单台每日洒水保洁面积（万平方米） 甲型 35 乙型 30 【解决问题】 （1）求甲、乙两种型号洒水车每台的采购单价； （2）公司计划采购甲、乙洒水车共10台，采购总费用不能超过560万元，且购进甲型洒水车数量不少于乙型洒水车数量的． ①一共有几种符合条件的采购方案？ ②要使每日洒水保洁总面积最大，该怎样采购？每日最大保洁面积是多少万平方米？ 八、（本题满分14分） 23. 如图，任意摆放含角的直角三角板，，，分别过三角板的三个顶点作三条直线使得． （1）如图1，若，则__________； （2）如图2，和的角平分线相交于点，请求出的大小； （3）如图3，与的角平分线相交于点，的大小是否为一个定值？若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末学业质量监测试卷七年级数学 注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共6页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“答题卷”交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各数中为无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义判断，无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，化简各选项后即可得出结论． 【详解】A选项：是整数，属于有理数，不符合题意； B选项：开不尽方，所以是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； C选项：，是整数，属于有理数，不符合题意； D选项：是分数，属于有理数，不符合题意． 2. 下列调查中，适合全面调查的是（ ） A. 了解某品牌新能源汽车的使用寿命 B. 调查我市中学生的视力情况 C. 了解我省中学生每天体育锻炼时间 D. 对乘坐某班次飞机的乘客进行安检 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全面调查与抽样调查的适用条件，解题思路是根据全面调查适合范围小，无破坏性，对结果精度要求高，事关安全的调查的特点，逐一判断各选项． 【详解】解：∵选项A中调查某品牌新能源汽车的使用寿命具有破坏性，不适合全面调查； 选项B中调查我市中学生视力情况，调查范围广，个体数量多，适合抽样调查； 选项C中了解我省中学生每天体育锻炼时间，调查范围广，适合抽样调查； 选项D中对乘坐某班次飞机的乘客进行安检，要求结果准确，事关公共安全，适合全面调查． 3. 若点P位于第三象限，则它的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只需根据第三象限点的坐标符号特征判断选项即可． 【详解】解：第三象限内点的横坐标小于，纵坐标也小于， 选项A：横纵坐标都为正，是第一象限的点，不符合要求； 选项B：横坐标为负纵坐标为正，是第二象限的点，不符合要求； 选项C：横纵坐标都为负，是第三象限的点，符合要求； 选项D：横坐标为正纵坐标为负，是第四象限的点，不符合要求． 4. 若是方程的解，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程的解能使方程左右两边相等. 将已知的，的值代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将，代入方程得： ， 解得． 5. 下列五个命题：（1）对顶角相等；（2）算术平方根等于本身的数是0和1；（3）两条直线被第三条直线所截，内错角相等；（4）若，则；（5）过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中真命题的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】根据对顶角的概念，算术平方根的定义，平行线的性质，绝对值的定义，平行公理，逐一判断每个命题的真假，统计真命题个数即可得到结果． 【详解】解：（1）对顶角相等，符合对顶角的性质，原命题是真命题； （2）的算术平方根是，的算术平方根是，算术平方根等于本身的数是和，原命题是真命题； （3）只有两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，原命题缺少前提条件，是假命题；（ 4）若，则或，不一定满足，原命题是假命题； （5）只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，不存在与已知直线平行的直线，原命题缺少前提条件，是假命题； 综上，真命题共有个． 6. 若，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的性质对各选项逐一判断即可； 【详解】解： A． ， ，A错误； B． ， ，B错误； C． ， ，C错误； D． ， ，D正确； 7. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质．过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，由平行线的性质得出，即可求出结果． 【详解】解：过作， ∵， ∴， ， ， ， ∵， ， ， 故选：C． 8. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组． 【详解】解：设索长为x尺，竿子长为y尺， 根据题意得： 故选A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9. 如图，已知，、为上的两点，、为上的两点，延长至点，平分，点在直线上，且平分，若．则下列结论：①；②；③设，则；④，正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据平分，得到，平行线的性质得到，进而得到平分，结合平行线的性质，得到，三角形内角和求出，平行线的性质，得到的度数，角平分线求出的度数，设，根据角的和差关系求出． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴；故②正确； ， ， ∵， ， ∵平分， ∴， ∴；故③正确； 设，则：， 由③可知：， ， ， ， ；故④错误； 综上，正确的有①②③． 10. 已知，，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知等式用表示和，再逐一验证各选项，找出错误结论； 【详解】解：∵ ， 两式相加得 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∵ ， A．根据题意，得，结论正确； B．根据题意，得，结论正确； C．∵ ，，不等式同乘得 ，即，结论正确； D．， ∵ ， ∴ ，即的取值范围是，结论错误； 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 某校开展“保护视力，预防近视”活动，为了解八年级600名学生的视力状况，从中随机抽取了80名学生进行问卷调查，此次调查中，样本容量是______． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查随机调查中的样本容量，解题的关键是掌握样本容量的定义．样本容量是指一个样本中所包含的个体数目，一般用n表示，据此可得答案． 【详解】解：∵抽取了80名学生进行问卷调查， ∴样本容量为80， 故答案为：80． 12. 已知平面直角坐标系内的点的坐标为，且点到轴的距离为5，则的值为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据点到轴的距离等于点纵坐标的绝对值，列方程求解即可． 【详解】解：∵点，且点到轴的距离为， ∴， ∴，或 解得或； 13. “抖空竹”是一项传统健身项目．图1是某同学抖空竹的瞬间，可以将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，，为平行线外一点，连接，．若，，则的度数为____________°． 【答案】43 【解析】 【分析】过点作的平行线，进而可得，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作，则． ， ， ， ， ， ． 14. 在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为8的点称为“幸运点”． （1）若点是“幸运点”，则的值为____________； （2）下列结论正确的是____________（写出所有正确结论的序号）． ①第一象限内有无数个“幸运点”； ②已知点，，若点是“幸运点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为10； ③已知点，，若点是第一象限内的“幸运点”，三角形的面积记为，则． 【答案】 ①. 5 ②. ①③##③① 【解析】 【分析】（1）根据“幸运点”的定义解答即可； （2）根据第一象限点坐标的特征，可判断①的正误；由点是“幸运点”且在坐标轴上，可得或，由点，可知直线轴，则点到直线的距离为10或2，可判断②的正误；设第一象限内“幸运点”的坐标为，则，表示出，再根据的范围即可判断③的正误． 【详解】解：（1）∵点是“幸运点”， ∴， 解得：； （2）∵第一象限的点，横、纵坐标均为正，和为正， 故第一象限内有无数个“幸运点”，①正确，故符合要求； ∵点是“幸运点”且在坐标轴上， ∴或， ∵点， ∴直线轴， ∴点到直线的距离为10或2，②错误，故不符合要求； ∵点是第一象限内的“幸运点”， ∴点的横、纵坐标之和为8， ∴， ∴是第一象限中直线图象上的一点， ∵点，，纵坐标相同， 轴，， 设第一象限内“幸运点”的坐标为， ，即， ∴点到直线的距离为：， ， ， ， ∴，③正确，故符合要求． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 16. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 不等式组的解集为 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点的坐标分别为，，．将三角形平移，使点平移到点处，得到三角形，其中点，的对应点分别为，． （1）写出，的坐标，并画出三角形； （2）若三角形内一点平移后的对应点为，求点的坐标． 【答案】（1）， 三角形如图： （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得将三角形向上平移一个单位向左平移一个单位即可得到三角形，再写出，的坐标即可； （2）根据平移的性质列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵三角形内一点平移后的对应点为， ∴， 解得：， 则点． 18. 《哪吒2》上映后，某影院随机调查了某天部分观众最喜欢的一个角色．把调查结果绘制成下列不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息解决以下问题： （1）本次调查共抽取了___________名观众，其中喜欢哪吒的有___________名观众； （2）在扇形统计图中，求喜欢申公豹角色对应的圆心角度数，并补全条形统计图； （3）该电影院当天观看《哪吒2》的观众有3000人，根据调查结果，请你估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有多少人？ 【答案】（1）150,60 （2），见解析 （3）2100人 【解析】 【分析】根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量，频数等于频率乘以样本容量计算即可． 根据圆心角的计算方法，频数等于频率乘以样本容量，先计算其他组的频数，后补图即可． 利用样本估计总体的思想解答即可． 本题考查的是扇形统计图，条形统计图，样本容量的计算，用样本估计总体，会计算样本容量，从题目图表中获取有用信息是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得样本容量为：， 喜欢哪吒的频数为， 故答案为：150,60． 【小问2详解】 解：根据题意，得喜欢申公豹角色对应的圆心角度数：， 根据题意，得其他的频数为，哪吒的频数为60， 补图如下： ； 【小问3详解】 解：根据题意，喜欢哪吒和敖丙的观众共有： （人）． 答：喜欢哪吒和敖丙的观众共有2100人． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知：如图，，． （1）求证：； （2）若平分，平分，且，求的度数． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，据此可证明结论； （2）根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到，进而求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， 平分， ， ， 平分， ， ． 20. 新定义：我们把关于、的两个二元一次方程与（）叫做互为共轭二元一次方程；二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． （1）若二元一次方程中、的值满足下列表格： 2 0 2 3 则这个方程的共轭二元一次方程是______________． （2）探究：若共轭方程组的解是，猜想、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） 理由：∵共轭方程组的解是， ∴ ， 得：，即， ∵，则， ∴． 【解析】 【分析】（1）先求出k和b，再写出共轭二元一次方程即可； （2）将解代入方程组，进行求解即可． 【小问1详解】 解：将；，代入方程中，得， 解得：， ∴二元一次方程是， ∴这个方程的共轭二元一次方程是， 【小问2详解】 略 六、（本题满分12分） 21. 阅读素材： ，，，…按照此规律： （1）初步探究： ①填空：________________； ②计算：； （2）迁移应用：计算： 【答案】（1）①；② （2）23 【解析】 【分析】（1）①总结题中规律，即可解答； ②根据①中规律解答即可； （2）总结题中规律，即可解答； 【小问1详解】 解：①∵，，，…， ∴（是正整数，且）； ∴； ②​根据①中规律可得：当时，， ∴ ． 【小问2详解】 解：∵，，，…， ∴ （是正整数，且）； 最后一项中，，符合规律， ∴ ． 七、（本题满分12分） 22. 【问题情境】为落实绿色低碳城市建设，某环卫公司采购甲、乙两款新能源抑尘洒水车，减少扬尘污染，相关采购价格与作业效率信息整理如下： 表1 甲、乙两款洒水车采购成本统计表 采购方案 甲型车辆数量（台） 乙型车辆数量（台） 总采购费用（万元） 方案一 2 3 270 方案二 3 1 230 表2 甲、乙两款洒水车作业效率 车辆类型 单台每日洒水保洁面积（万平方米） 甲型 35 乙型 30 【解决问题】 （1）求甲、乙两种型号洒水车每台的采购单价； （2）公司计划采购甲、乙洒水车共10台，采购总费用不能超过560万元，且购进甲型洒水车数量不少于乙型洒水车数量的． ①一共有几种符合条件的采购方案？ ②要使每日洒水保洁总面积最大，该怎样采购？每日最大保洁面积是多少万平方米？ 【答案】（1）甲型每台60万元，乙型每台50万元 （2） ①共有四种采购方案． ②购进甲型6台，则购进乙型4台保洁面积最大，最大面积为330万平方米 【解析】 【分析】（1）设甲型每台万元，乙型每台万元，根据表1数据列方程组求解即可； （2）①设购进甲型台，则购进乙型台，根据题意列不等式组求解即可； ②根据①中值分别计算四种采购方案的每日洒水保洁总面积，比较即可解答； 【小问1详解】 解：设甲型每台万元，乙型每台万元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲型每台60万元，乙型每台50万元． 【小问2详解】 解：①设购进甲型台，则购进乙型台， 根据题意得： ， 解得：， 因为为整数，所以，，，． 则共有四种采购方案． ②方案一：， 方案二：， 方案三：， 方案四：， ， 故购进甲型6台，购进乙型4台保洁面积最大，最大面积为330万平方米． 八、（本题满分14分） 23. 如图，任意摆放含角的直角三角板，，，分别过三角板的三个顶点作三条直线使得． （1）如图1，若，则__________； （2）如图2，和的角平分线相交于点，请求出的大小； （3）如图3，与的角平分线相交于点，的大小是否为一个定值？若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出的大小． 【答案】（1） （2） （3），是定值，理由如下： ， ， ， ， 、的平分线交于点， ， ， 过点作， ， 则， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质得出，即可解答； （2）根据平行线的性质，先求出，再结合角平分线的定义求解即可； （3）先求出，然后同①的方法求解即可； 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，， ， 同理可得：， 、的平分线交于点， ， ， ． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $