第三章 函数的概念与性质（暑假单元自测）新高一年级数学人教A版

**基本信息** 人教A版高中数学第三章函数的概念与性质单元自测卷，19题覆盖定义域、单调性、奇偶性等核心考点，通过图像辨析（如1题）、“优美点”创新题（8题）及利润模型（18题），检测数学抽象、逻辑推理与应用意识，适配暑假巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|定义域、单调性、奇偶性|结合图像辨析基础概念，如1题由图像判定义域| |多选|3/18|同一函数判断、函数性质综合|多选项分层考查，11题结合连续函数性质推理| |填空|3/15|幂函数、奇函数求值、装修报价应用|14题以装修情境考函数最值，体现应用意识| |解答|5/77|分段函数表达式、单调性证明、利润模型|18题构建分段函数解决利润问题，19题抽象函数推理，综合考查数学思维与表达|

第三章　函数的概念与性质 单元自测卷 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟. 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域是(　　) A．R B．(－∞，1)∪(1，＋∞) C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－1，0) 2．设全集为，函数的定义域为，则（    ） A． B．且 C．或 D．或 3．若函数在R上是单调减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数是奇函数，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 5．偶函数在区间上单调递减，则有（    ） A． B． C． D． 6．已知为奇函数，且当时，，则在区间上（    ） A．单调递增且最大值为2 B．单调递增且最小值为2 C．单调递减且最大值为-2 D．单调递减且最小值为-2 7．若函数是定义在上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”．已知 ，则曲线的“优美点”个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各组函数表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．若函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．（且） 11．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：（1）；（2），当时，都有；（3）.则下列选项成立的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．，使得 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．若幂函数的图象经过点，则此幂函数的表达式为______． 13．若函数是定义在上的奇函数，则______. 14．现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数 (1)求； (2)若，求的值． 16．（15分）定义在上的奇函数，当时. （1）求函数在R上的表达式； （2）在图中的直角坐标系中画出函数的大致图象； （3）写出函数的值域和单调区间. 17．（15分）已知是奇函数，且. (1)求实数的值． (2)判断函数在上的单调性，并加以证明． (3)求的最大值． 18．（17分）某公司计划生产一种新型节能产品，固定成本为10万元，每生产千件，需要另外投入成本万元．当产量不足8千件时，；当产量不小于8千件时，．已知每件产品的售价均为0.05万元，且生产的产品能全部售出． (1)请写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少万元？ 19．（17分）设是定义在上的奇函数，且对任意，当时，都有． （1）若，试比较与的大小关系； （2）若，求实数的取值范围． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章　函数的概念与性质 单元自测卷 答案与解析 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟. 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域是(　　) A．R B．(－∞，1)∪(1，＋∞) C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－1，0) 【答案】C 【详解】 由题意得，函数的定义域表示自变量的取值构成的集合， 所以函数的定义域为. 2．设全集为，函数的定义域为，则（    ） A． B．且 C．或 D．或 【答案】C 【详解】，解得且，则=且， 所以 或. 3．若函数在R上是单调减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在R上是单调减函数， 所以 4．已知函数是奇函数，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】函数是奇函数，所以， . 5．偶函数在区间上单调递减，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由为偶函数，则，， 又因为函数在区间上单调递减， 所以 即 6．已知为奇函数，且当时，，则在区间上（    ） A．单调递增且最大值为2 B．单调递增且最小值为2 C．单调递减且最大值为-2 D．单调递减且最小值为-2 【答案】A 【详解】因为的图象开口向上，且对称轴为， 所以在区间[2，4]上单调递增，最小值为，最大值为， 又因为是奇函数， 所以在区间上单调递增，且最小值为-2，最大值为2. 7．若函数是定义在上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】要使在上是减函数，需满足： ， 解得. 8．对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”．已知 ，则曲线的“优美点”个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【详解】若可得，此时关于原点对称的函数，， 在同一直角坐标系中画出和的图象，此时有两个 “优美点”，满足，如图（1） 若可得，关于原点对称的函数， 在同一直角坐标系中画出和的图象，此时有两个 “优美点”，满足，如图（2） 综上，可知满足题意的“优美点”有4个. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各组函数表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BC 【详解】对于A：，，定义域不同，不是同一函数； 对于B：，，定义域和对应法则都相同，是同一函数； 对于C：，，定义域和对应法则都相同，是同一函数； 对于D：，，定义域不同，不是同一函数. 10．若函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．（且） 【答案】AD 【详解】C选项：令，∴，∴， ∴，故C错误； A选项：，故A正确； B选项：，故B错误； D选项：（且），故D正确． 11．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：（1）；（2），当时，都有；（3）.则下列选项成立的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．，使得 【答案】BD 【详解】由（1）得，为偶函数，由（2）得，在上为增函数， ∴在上为减函数. A.∵，在上为增函数，∴，A错误. B.由为偶函数得，，结合函数单调性可画出函数简图， 由得同号，故，B正确. C.由得，解得，故，C错误. D.由的图象连续不断，在上为减函数，在上为增函数，可得， ∴，存在，满足，D正确. 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．若幂函数的图象经过点，则此幂函数的表达式为______． 【答案】 【详解】设幂函数的解析式为， 由幂函数的图象经过点，得，解得， 所以此幂函数的表达式为. 13．若函数是定义在上的奇函数，则______. 【答案】0 【详解】因为函数是奇函数， 所以其定义域关于原点对称， 所以. 由题得 所以对于定义域内的每一个值都成立， 所以. 所以0. 14．现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】若有窗墙体的长为米，则左右宽度为， 则A的报价为 （元）， B给出的总价为元. 由 . 因为，所以函数在上单调递增， 且当时，， 故， 由 ，所以实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数 (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1)2；(2)或 【详解】（1）所以， 因此， （2）当时，由，可得，舍去； 当时，由，可得； 当时，由，可得（舍）或． 综上所述，或． 16．（15分）定义在上的奇函数，当时. （1）求函数在R上的表达式； （2）在图中的直角坐标系中画出函数的大致图象； （3）写出函数的值域和单调区间. 【答案】（1），（2）见详解；（3）值域为；单调递增区间为，；单调递减区间为，. 【详解】（1）当时 设，则，所以， 又因为函数为奇函数，所以， 所以， 即， 所以函数在R上的表达式： （2）函数的大致图象，如下： （3）由（2）中的大致图象可知， 函数的值域为， 单调递增区间为，， 单调递减区间为， 17．（15分）已知是奇函数，且. (1)求实数的值． (2)判断函数在上的单调性，并加以证明． (3)求的最大值． 【答案】(1)，；(2)在上为减函数，证明见解析；(3)． 【详解】（1）是奇函数，． ，，， 又， 解得：. 所以. （2）在上为减函数， 证明如下：由（1）知， 令，则的单调性和的单调性相反， 设， 则， ，，， ，即， 在上为增函数， 则在上为减函数； （3）由（1）（2）结合计算可知： 在上递减，在上递增， 在上递增，在上递减． 又当时，，且， ． 18．（17分）某公司计划生产一种新型节能产品，固定成本为10万元，每生产千件，需要另外投入成本万元．当产量不足8千件时，；当产量不小于8千件时，．已知每件产品的售价均为0.05万元，且生产的产品能全部售出． (1)请写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)当年产量为100千件时，该公司所获年利润最大，最大年利润为1240万元． 【详解】（1）由每件产品的售价均为万元，得x千件产品的销售收入为万元，                                 当时，；                     当时，，               所以年利润关于年产量x的函数解析式为. （2）当时，，   函数在上单调递增， 此时（万元）；       当时，，                           当且仅当，即时取等号，而， 所以当年产量为100千件时，该公司所获年利润最大，最大年利润为1240万元． 19．（17分）设是定义在上的奇函数，且对任意，当时，都有． （1）若，试比较与的大小关系； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：（1）因为，所以， 由题意得， 所以． 又是定义在上的奇函数， 所以， 所以，即． （2）由（1）知为上的单调递增函数， 因为， 所以， 即， 所以， 所以． 所以实数的取值范围为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $