第三章《函数概念与性质》综合检测卷-【初升高暑假衔接】2024-2025学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第三章《函数概念与性质》综合检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．已知，对任意的，均有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 4．若是偶函数且在上为增函数，又，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D．或 5．设函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则的解集是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   8．已知定义在R上的函数满足，，当时，，函数，则下列结论错误的是（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．的最大值为 D．的图象与直线有8个交点 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知定义在上的函数，对任意的满足，下列说法正确的是（    ） A．若为一次函数，则 B．若为一次函数，则 C．若不是一次函数且，则 D．若不是一次函数且，则 10．若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意x，有；（2）对于定义域内的任意，当时，有 ，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数的定义域为，对定义域内任意的，当时，都有，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．函数和在上有相同的单调性 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知命题：函数在区间上单调递增，命题：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 . 13．已知函数，，，．对，都，使得成立，则的范围是 ． 14．已知定义在（0，3]上的函数的值域为[4，5]，若，则a+b的值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．已知幂函数为偶函数，． (1)求的解析式； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 16．新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本） (2)年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 17．设函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论； (2)若，求函数的值域． 18．已知定义在上的偶函数，且． (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式． 19．已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“利普希兹条件函数”. (1)判断函数是否为“利普希兹条件函数”，并说明理由； (2)若函数是周期为2的“利普希兹条件函数”，证明：对定义域内任意的，均有. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章《函数概念与性质》综合检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数定义域的求法进行求解. 【详解】由题意可知，要使有意义，则，解得， 所以函数的定义域为． 故选：D． 2．幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像，当时，图像递增， 且越大，图像递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线； 当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线， 是曲线；综上所述幂函数，，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，. 故选：D. 3．已知，对任意的，均有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由题意把恒成立问题转化为恒成立，分类讨论，分离参数求解函数最值即可求解. 【详解】当时，由得， 化简得，即，易知， 当时，，由题意， 而函数在上无最大值，所以不合题意； 当时，，由题意， 因为函数在上的最大值为1，所以， 即，解得（舍去）或，所以； 综上，实数的取值范围是. 故选：A 4．若是偶函数且在上为增函数，又，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】利用函数为偶函数将所求不等式变形为，利用该函数在区间上的单调性可得出，解此不等式即可得解. 【详解】由于函数为偶函数，则， 且函数在上为增函数，由，可得， ，即，解得. 因此，不等式的解集为. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，考查计算能力，属于中等题. 5．设函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的值域，要使函数的值域为，则函数的最大值需要大于等于1，据此列出不等式即可求出结果. 【详解】易知函数的值域， 要使函数的值域为，则函数的最大值必须大于等于1， 即，解之得， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了分段函数的值域问题，同时考查了指数函数和一次函数的值域问题，属于中档题. 6．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用的奇偶性与单调性求得与的解，从而分类讨论即可得解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以， 又在上是增函数，， 当时，不成立； 当时，由，得，则，故或； 由，得，则，故或； 而由，得或，解得或， 即的解集为. 故选：A. 7．如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】分类讨论重合部分的形状，然后利用面积公式将y关于x 的函数表示出来即可. 【详解】于D，， ,, 且 故当时，重合部分为三角形， 三角形的高， 面积，函数图像为开口向上的二次函数，故排除A选项； 当时，重合部分为直角梯形， 上底长为， 下底长为，高为4， 故， 函数图像为一条直线，故排除D选项； 当时，重合部分可以看作两个直角梯形， 左边直角梯形的上底长为， 高为 两个梯形下底长均为， 右边直角梯形上底长为， 高为， 故， 图像为开口下的二次函数，且对称轴为，故排除B选项； 故选：C 8．已知定义在R上的函数满足，，当时，，函数，则下列结论错误的是（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．的最大值为 D．的图象与直线有8个交点 【答案】D 【分析】确定函数是周期函数，由周期性判断A，分类讨论确定函数的解析式并得出函数的周期性，作出函数图象，由图象判断BC，结合直线判断D． 【详解】对于A项，由题意知,所以， 所以是定义域为且以4为一个周期的奇函数，所以，，同理，0，故A项正确． 对于项，因为是以4为一个周期的函数，所以也是以4为一个周期的函数，当时，， 所以当时，， 所以当时，，所以， 得到当时，， 当时，， 得到当时，， 则当时，， 当时，， 当时，1）， 则当时，， 所以当时， 易知也是以4为一个周期的周期函数，作出的图象，如图， 可知在处取得最大值，所以，故C项正确； 对于B项，由图象知图象的对称轴为，易知当时，，故项正确； 对于D项，作出直线的图象，因为当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，和联立得0， 所以的图象与直线共有9个交点，故D项错误． 故选：D．      【点睛】方法点睛：由函数的奇偶性与对称性确定周期性，利用已知式确定的解析式，作出函数图象，利用数形结合思想求解． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知定义在上的函数，对任意的满足，下列说法正确的是（    ） A．若为一次函数，则 B．若为一次函数，则 C．若不是一次函数且，则 D．若不是一次函数且，则 【答案】BCD 【分析】根据题意，令，列出方程组，求得的值，得到函数的解析式，再结合赋值法，求得的值，即可求解. 【详解】若为一次函数，令， 由 又由， 因为， 可得，即， 解得或， 当时，；当时，， 所以当为一次函数时，或，所以A不正确； 令，可得，所以B正确； 令，则，因为， 令，所以，所以C正确； 令，则， 由，令，所以，故D正确. 故选：BCD. 10．若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意x，有；（2）对于定义域内的任意，当时，有 ，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据“理想函数”的定义可判断出函数应具有的性质，即为奇函数且在定义域上单调递减，由此一一判断各选项中的函数是否具有这两个性质，即可得答案. 【详解】由题意知对于定义域内的任意x，有，则为奇函数； 对于定义域内的任意，当时，有 ，为定义域内的减函数； 对于A，的定义域为R，函数为偶函数，不符合题意； 对于B，的定义域为R，函数为奇函数，在R上单调递减，符合题意； 对于C，定义域为， 在上均单调递增， 函数图象在处是不连续的，故在定义域上函数不是减函数，不符合题意； 对于D，，作出其图象如图示： 可知该函数在定义域上为奇函数，且单调递减，符合题意， 故选：BD 11．已知函数的定义域为，对定义域内任意的，当时，都有，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．函数和在上有相同的单调性 【答案】C 【分析】根据函数不等式恒成立分别应用各个选项判断即可. 【详解】对于A：，， 因为，所以， 因为，所以恒成立， 又因为不相等，所以，A选项错误； 对于B：， 所以恒成立， 所以，又因为不相等，， 所以， 又，， ，， 所以， 所以，B选项错误； 对于C: 因为不相等，不妨设， 因为， 所以， 所以，C选项正确， 对于D：不妨设在上单调递增，任取，满足， 则， 因为， 所以，所以， 所以单调递减，D选项错误. 故选：C. 【点睛】方法点睛：结合已知条件及函数单调性定义判断单调性，结合三角不等式判断绝对值不等式范围. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知命题：函数在区间上单调递增，命题：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意可得命题：，由是的充分不必要条件，可得是的真子集，即可得到答案. 【详解】因为函数在区间上单调递增，所以，解得：，又因为是的充分不必要条件，则是的真子集，即的取值范围是 故答案为： 13．已知函数，，，．对，都，使得成立，则的范围是 ． 【答案】 【分析】对，都，使得成立，等价于恒成立，对的取值进行分类讨论，利用单调性求出和，列出关于的不等式组求得答案. 【详解】函数，在上单调递增，所以， 当时，在区间上单调递增，， 所以，解得， 又因为，所以，解得； 当时，在区间上单调递增，其最小值为， 所以有，解得， 当时，在区间上单调减，在上单调增， 其最小值为， 所以有，解得， 当时，在区间上单调减，， 此时，无解； 所以的取值范围是， 故答案为：. 14．已知定义在（0，3]上的函数的值域为[4，5]，若，则a+b的值为 . 【答案】7 【解析】将函数变形为，令，，由，利用对勾函数的性质求解. 【详解】因为， 令， 所以， 因为， 所以， 所以在上递减，在递增， 所以①， 又， 所以②， 所以， 由①②得或， 因为， 所以 所以a+b=7 故答案为：7 【点睛】关键点点睛：本题关键是将函数变形为，由，确定为对勾函数. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．已知幂函数为偶函数，． (1)求的解析式； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据幂函数定义得到或，再根据为偶函数判断即可. （2）将题意转化为对于恒成立，再利用基本不等式即可得解. 【详解】（1）因为幂函数为偶函数， 所以，解得或， 当时，，定义域为R，， 所以为偶函数，符合条件； 当时，，定义域为R，， 所以为奇函数，舍去； 所以. （2）因为， 所以对于恒成立，即对于恒成立， 等价于对于恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，故，则. 16．新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本） (2)年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)年产量为90百辆时利润最大，最大利润为2820万元. 【分析】（1）根据利润销售量售价成本，表示出利润关于产量的关系式即可，注意单位的统一； （2）分段函数的最值问题，先分别求出两个范围内的最大值，然后比较哪个最大哪个就是整个分段函数的最大值. 【详解】（1）每辆车售价5万元，年产量（百辆）时销售收入为万元， 总成本为， 所以 . 所以年利润. （2）由（1）当时， （百辆）时（万元）， 当时， 当且仅当（百辆）时，等号成立， 因为2820万元万元, 所以年产量90百辆时利润最大，最大利润为2820万元. 17．设函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论； (2)若，求函数的值域． 【答案】(1)函数在上单调递增；证明见解析 (2) 【分析】 （1）    通过定义法作差判断正负求解； （2）    由，由复合函数的单调性知函数在上单调递增，在上单调递减，即可求解． 【详解】（1）函数在上单调递增； 证明：任取，且， 则 因为， 所以， 所以， 得， 所以函数在上单调递增； （2）解：因为， 则，， 所以， 由（1）的证明过程知，函数在上单调递减， 所以由复合函数的单调性可得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又， 显然，故， 所以函数的值域为： 18．已知定义在上的偶函数，且． (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性以及求得，也即求得的解析式. （2）先判断的单调性，根据单调性和奇偶性化简不等式，由此求得不等式的解集. 【详解】（1）∵ 是定义在上的偶函数， ∴ ，，即， 又，即 ，解得， 所以，经检验符合题意． （2）由（1）知：，∴在上为单调递减函数， 因为，即， 又∵为偶函数，可得， 综上可得：，  解得或， 所以不等式的解集为． 19．已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“利普希兹条件函数”. (1)判断函数是否为“利普希兹条件函数”，并说明理由； (2)若函数是周期为2的“利普希兹条件函数”，证明：对定义域内任意的，均有. 【答案】(1)与是“利普希兹条件函数”，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据所给定义推导的正负，即可判断； （2）首先证明对任意的，都有，再由周期性，即可证明对定义域内任意的，均有. 【详解】（1）由题知，函数的定义域为， 所以， 即， 所以函数是“利普希兹条件函数”； 函数的定义域为， 所以，， 所以， 所以函数是“利普希兹条件函数”； （2）若， 当，则； 若，设， 则 ， 所以对任意的，都有， 因为函数是周期为的周期函数， 所以对任意的，都存在，使得，， 所以， 综上可得对定义域内任意的，均有. 【点睛】关键点点睛：本题考查运用所学的函数知识解决新定义等相关问题，关键在于运用所学的函数知识，紧紧抓住定义. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$