精品解析：河南省新乡市牧野区河南师范大学附属中学2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷

2025－2026学年第二学期八年级期末考试 《数学》试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，解题关键是明确最简二次根式被开方数不含能开方的因式和不含分母． 根据最简二次根式的定义，需满足两个条件：①被开方数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分母． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，不符合题意； B．是最简二次根式，符合题意； C．，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D．，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 、、 B. 2、3、4 C. 6、7、8 D. 9、12、15 【答案】D 【解析】 【分析】欲判断是否是直角三角形，则需满足较小两边平方的和等于最大边的平方． 【详解】A、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形； B、22+32≠42，故不是直角三角形； C、62+72≠82，故不是直角三角形； D、92+122=152，故是直角三角形； 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 3. 如图，在四边形中，已知，，相交于点．增加下列条件，可以使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．， ，这是已知条件的推论，无法判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B．由，可知，四边形可能为等腰梯形，故本选项不符合题意； C．， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形，故本选项符合题意； D．由，，不能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 4. “儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”．如图，曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的高度随时间的变化情况，则下列说法错误的是（ ） A. 风筝最初的高度为 B. 到之间，风筝的高度持续上升 C. 时高度和时高度相同 D. 时风筝达到最大高度为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数图象．根据函数图象逐项判断即可得． 【详解】解：A、风筝最初的高度为，则此项正确，不符合题意； B、到之间，风筝飞行高度先上升后下降，则此项说法错误，符合题意； C、时高度和时高度相同，均为，则此项正确，不符合题意； D、时风筝达到最大高度为，则此项正确，不符合题意； 故选：B． 5. 下列关于一次函数的说法中，错误的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标为 B. 图象经过第一、二、四象限 C. 当时， D. 随的增大而减小 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的性质和与坐标轴交点坐标的求法，逐一判断各选项即可得到答案. 【详解】解：对于一次函数，， A：求函数图象与轴交点，令，得，解得，∴函数图象与轴交点坐标为，A说法错误，符合题意； B：∵，，∴函数图象经过第一、二、四象限，B说法正确，不符合题意； C：当时，，∴，即，C说法正确，不符合题意； D：∵，∴随的增大而减小，D说法正确，不符合题意. 6. 如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ ） A. －4和－3之间 B. 3和4之间 C. －5和－4之间 D. 4和5之间 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理求出OP，从而得到OA的长度，问题可解． 【详解】由点P坐标为(－2，3)， 可知OP=, 又因为OA=OP, 所以A的横坐标为-，介于－4和－3之间， 故选A． 7. 如图，在正方形中，，点在边上，且，连接，点是的中点，过点作的平行线，交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于点，过点M作于点H，根据得，根据求出的长，即得的长，利用全等三角形性质求出的长，最后由求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 如图，延长交于点，过点M作于点H， 则． ∵正方形中，，且， ∴， ∴四边形和都是矩形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8. 如图，直线与直线（、为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式；先利用直线的解析式确定点A坐标，然后结合函数特征写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 当时，， 故选C． 9. 在引体向上测试中，名同学完成的个数从小到大依次为，，，，．现需要按组内差异最小的原则把这名学生分为两组，每种分组情况的组内离差平方和如右表，根据表中数据，最符合条件的分组是（ ） 分组 组内离差平方和 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】本题要求按组内差异最小原则分组，组内离差平方和越小，组内差异越小，只需找到离差平方和最小对应的分组即可． 【详解】∵ 将5个数据从小到大排列后，第个间隔表示在第个数据和第个数据之间分组， ∴ 第1个间隔对应选项A，组内离差平方和为， 第2个间隔对应选项B，组内离差平方和为， 第3个间隔对应选项C，组内离差平方和为， 第4个间隔对应选项D，组内离差平方和为， ∵ ，离差平方和最小符合组内差异最小的要求， ∴ 最符合条件的分组是选项B． 10. 如图所示，菱形中，直线，并从点出发沿射线向右平移，直线在菱形内部截得的线段的长为，平移距离为，与之间的函数关系图象如图所示，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将图1和图2结合起来分析，分别得出直线过点A，C和时对应的值和值，从而得出菱形的边长和高，从而得其面积． 【详解】解：由图2可知，当直线过点时，，菱形的高等于线段的长，此时，直线向右平移直到点过点时，， 当直线过点时，， ∴菱形的边长为， ∴当点与点重合时，由勾股定理得， ∴， ∴菱形的高为， ∴菱形的面积为． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，天坛祈年殿的圆形三重檐象征“天圆”，其底座实际为十二边形，呼应中国传统历法中的“十二月”与“十二时辰”．该底座所有内角之和为________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查多边形内角和公式：，解题的关键是熟练掌握此公式．根据多边形内角和公式直接计算即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，， 故答案为：． 12. 已知一次函数y=-x+3，当0≤x≤2时，y的最大值是_______________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：∵一次函数 中， ∴一次函数是减函数， ∴当x最小时，y最大， ∵， ∴当x=0时，． 13. 某单位定期对员工的专业知识、工作业绩、出勤情况三个方面进行考核，三个方面的重要性之比依次为．小明经过考核后所得的分数依次为、、85分，那么小明的最后得分是________分． 【答案】84 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：小明的最后得分是（分）． 14. 如图，已知平行四边形的顶点，，点在轴的正半轴上，作的平分线交边于点，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理计算出，由角平分线的性质和平行线的性质得到，则，从而得到G点坐标． 【详解】解：如图，设与y轴交于点M， ∵的顶点A的坐标为， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴G点坐标为． 15. 如图，在正方形中，，E为边上一动点（不与点C，D重合），将沿翻折得到，延长交于点M．当点E是边的三等分点时，的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识，理解折叠的性质、合理的进行转化到一个直角三角形中是解决此类问题常用的方法．根据正方形的性质和折叠的性质证明，进而得到，由E是的三等分点，得到，设，则，，在中由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由折叠得：，， ∵在正方形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，E是的三等分点， ∴，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得，即， 故答案为：3． 三．解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键． （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号、、星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计整理．下面给出了部分信息： 七年级：60，70，70，80，87，89，91，94，95，97，99，100； 八年级：70，78，79，81，87，89，91，92，93，93，95，96． 根据抽取的学生成绩，绘制成了如下的统计表和箱线图： 年级 平均数 众数 方差 最小值 四分位数 最大值 七年级 86 70 60 75 ② ③ 100 八年级 87 ① 61 70 80 90 93 96 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中，①处应填________，②处应填________，③处应填________； （2）请补全箱线图； （3）基于上述材料分析，可以发现________年级学生成绩稳定； （4）若该校八年级有870名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过94分的人数． 【答案】（1）；； （2）补全箱线图如下： （3）八 （4）人 【解析】 【分析】（1）根据众数的定义求解即可；和根据四分位数的定义求解即可； （2）根据七年级学生成绩的四分位数、最大值及最小值画出箱线图即可； （3）根据方差越小成绩越稳定判定即可； （4）用样本所占的百分比估计总体的数量． 【小问1详解】 解：八年级数据中，出现次数最多的是，所以众数为，所以处应填； 七年级数据的中位数是，所以处应填； 七年级数据中，中位数右边部分数据的中位数是，所以处应填； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，即八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差， 八年级的学生成绩更稳定． 【小问4详解】 解：样本中八年级学生成绩超过分的有、，共人， 估计该校此次活动中八年级学生成绩超过分的有（人）． 18. 如图，四边形为平行四边形，线段为对角线，点E、F分别为线段、的中点，连接交于点 O． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判断，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． （1）根据平行四边形的性质得出，则，再根据中点的定义，得出，即可求证四边形为平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得出，再根据三角形的中位线定理，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵点E、F分别为线段、的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形． 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点F为的中点， ∴． 19. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． （1）求水池的深度； （2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】（1）12尺 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【小问1详解】 解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 即尺； 答：水池的深度为12尺； 【小问2详解】 证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 20. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若菱形的边长为2，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质、判定定理成为解题的关键． （1）由菱形的性质得，因为，且，所以，且，则四边形是平行四边形，而，则四边形是矩形； （2）由，证明是等边三角形，则，所以，则，因为，所以． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形，对角线相交于点O， ∴， ∵且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵菱形的边长为2， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的长是． 21. 项目化学习 项目背景：某校为更好地开展劳动实践活动，在校园内开辟了一片小菜园，用来种植甲、乙两种菜苗． 项目主题：探究不同种菜苗高度与种植天数的关系． 研究步骤：（1）选定小菜园中土壤水平及光照时长相同的一块地，并选择甲、乙两种菜苗进行种植； （2）从种植开始每隔两天记录一次数据； （3）数据分析，形成结论． 数据记录： 已种菜苗天数x/天 0 2 4 6 8 10 … 甲种菜苗高度 6 9 12 15 18 21 … 乙种菜苗高度 15 16 17 18 19 20 … 初步分析：通过分析数据得两种菜苗的高度，（单位：）与已种菜苗天数均为一次函数关系． 问题解决：请根据上述材料完成下列问题． （1）在平面直角坐标系中分别画出菜苗高度，（单位：）关于已种菜苗天数x（单位：天）的函数图象； （2）求出关于x的函数关系式，并直接写出第18天甲种菜苗的高度； （3）观察函数图象，据实践经验可得这两种菜苗均在菜苗高度达到左右时开花，请估计哪种菜苗先开花，并说明理由． 【答案】（1）作图如解图； （2）与x的函数关系式为，第18天甲种菜苗的高度为 （3）甲种菜苗先开花， 理由如下：由图象可知，当甲，乙两种菜苗高度相同时（即与的交点处）都未达到的高度，达到相同高度后的图象始终在的图象上方，∴甲种菜苗比乙种菜苗先达到高度，故答案为：甲种菜苗先开花． 【解析】 【分析】（1）根据数据，应用描点法，即可求解， （2）设，代入点，解得，，将代入，即可求解， （3）根据两条直线的交点，确定达到相同高度后的图象始终在的图象上方，即可求解， 【小问1详解】 解：（1）略 【小问2详解】 解：设与x的函数关系式为，代入点， 得，解得， ∴与x的函数关系式为， 当时，， ∴第18天甲种菜苗的高度为 故答案为：与x的函数关系式为，第18天甲种菜苗的高度为， 【小问3详解】 （3）略 22. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，一次函数分别与x轴和y轴交于点C和点B，作直线． （1）求直线的函数表达式； （2）如图1，点M是直线上的动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，为x正半轴上的动点，以P为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接，请直接写出当最小时Q点坐标． 【答案】（1） （2）存在，或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据一次函数分别与x轴和y轴交于点C和点B，确定，，设直线的函数表达式，代入解析式解答即可． （2）根据，，，确定，计算，设，则，列出等式解答即可． （3）连接，根据，当三点共线时，取得最小值，过点作于点E，证明得到，求直线的解析式为，设，则，代入求得x值即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数分别与x轴和y轴交于点C和点B， 当时，；当时，； ∴，， 设直线的函数表达式， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式． 【小问2详解】 解：存在，或．理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵M是直线上一点， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或 当时，； 当时，； ∴存在点M，且点或． 【小问3详解】 解：连接， ∵， ∴当三点共线时，取得最小值， 过点作于点E， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， 则， ∴ ， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数，几何的综合，掌握待定系数法求解析式，将军饮马问题，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握待定系数法，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 23. 【实践探究】小明同学在做《四边形》的课后练习时，他将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置：如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分．正方形可绕点O旋转． 【问题发现】 （1）图1中，连接，线段、、之间的数量关系是________； 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的对角线相交于点O，点O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【结论应用】 （3）如图3，在直角梯形中，，，点E为梯形对角线的中点，四边形为矩形，的两边分别与直线、相交于点N、M，矩形可绕点E旋转．已知，，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2），理由如下： 延长交于点G，连接，，， 矩形的对角线相交于点O， ，，， ，， ， ，， 四边形是矩形， ， ， 在中，， ； （3）或10 【解析】 【分析】（1）先证明，得到，进一步推得，再结合勾股定理，即可求得答案； （2）延长交于点G，连接，，，先证明，得到，，进一步推得，再结合勾股定理，即可求得答案； （3）设， ①当点N在线段上时，过点C作，交的延长线于点P，连接， 由（2）知，再结合勾股定理列方程求解即可； ②当点N在线段上时，过点C作，交的延长线于点Q，连接，，先证明，并进一步证明，，即可根据勾股定理列方程求解． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，，，，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：线段的长为或10．理由如下： 设， ①当点N在线段上时， 过点C作，交的延长线于点P，连接， 由知， ，， ， 由（2）知， ， 在中，， ， ， 解得； ②当点N在线段的延长线上时， 过点C作，交的延长线于点Q，连接，， 点E为梯形对角线的中点， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ，则， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得， 综上所述，线段的长为或10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期八年级期末考试 《数学》试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 、、 B. 2、3、4 C. 6、7、8 D. 9、12、15 3. 如图，在四边形中，已知，，相交于点．增加下列条件，可以使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 4. “儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”．如图，曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的高度随时间的变化情况，则下列说法错误的是（ ） A. 风筝最初的高度为 B. 到之间，风筝的高度持续上升 C. 时高度和时高度相同 D. 时风筝达到最大高度为 5. 下列关于一次函数的说法中，错误的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标为 B. 图象经过第一、二、四象限 C. 当时， D. 随的增大而减小 6. 如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ ） A. －4和－3之间 B. 3和4之间 C. －5和－4之间 D. 4和5之间 7. 如图，在正方形中，，点在边上，且，连接，点是的中点，过点作的平行线，交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线与直线（、为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 在引体向上测试中，名同学完成的个数从小到大依次为，，，，．现需要按组内差异最小的原则把这名学生分为两组，每种分组情况的组内离差平方和如右表，根据表中数据，最符合条件的分组是（ ） 分组 组内离差平方和 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 10. 如图所示，菱形中，直线，并从点出发沿射线向右平移，直线在菱形内部截得的线段的长为，平移距离为，与之间的函数关系图象如图所示，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，天坛祈年殿的圆形三重檐象征“天圆”，其底座实际为十二边形，呼应中国传统历法中的“十二月”与“十二时辰”．该底座所有内角之和为________度． 12. 已知一次函数y=-x+3，当0≤x≤2时，y的最大值是_______________． 13. 某单位定期对员工的专业知识、工作业绩、出勤情况三个方面进行考核，三个方面的重要性之比依次为．小明经过考核后所得的分数依次为、、85分，那么小明的最后得分是________分． 14. 如图，已知平行四边形的顶点，，点在轴的正半轴上，作的平分线交边于点，则点的坐标为________． 15. 如图，在正方形中，，E为边上一动点（不与点C，D重合），将沿翻折得到，延长交于点M．当点E是边的三等分点时，的长为______． 三．解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号、、星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计整理．下面给出了部分信息： 七年级：60，70，70，80，87，89，91，94，95，97，99，100； 八年级：70，78，79，81，87，89，91，92，93，93，95，96． 根据抽取的学生成绩，绘制成了如下的统计表和箱线图： 年级 平均数 众数 方差 最小值 四分位数 最大值 七年级 86 70 60 75 ② ③ 100 八年级 87 ① 61 70 80 90 93 96 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中，①处应填________，②处应填________，③处应填________； （2）请补全箱线图； （3）基于上述材料分析，可以发现________年级学生成绩稳定； （4）若该校八年级有870名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过94分的人数． 18. 如图，四边形为平行四边形，线段为对角线，点E、F分别为线段、的中点，连接交于点 O． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求的长． 19. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． （1）求水池的深度； （2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 20. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若菱形的边长为2，，求的长． 21. 项目化学习 项目背景：某校为更好地开展劳动实践活动，在校园内开辟了一片小菜园，用来种植甲、乙两种菜苗． 项目主题：探究不同种菜苗高度与种植天数的关系． 研究步骤：（1）选定小菜园中土壤水平及光照时长相同的一块地，并选择甲、乙两种菜苗进行种植； （2）从种植开始每隔两天记录一次数据； （3）数据分析，形成结论． 数据记录： 已种菜苗天数x/天 0 2 4 6 8 10 … 甲种菜苗高度 6 9 12 15 18 21 … 乙种菜苗高度 15 16 17 18 19 20 … 初步分析：通过分析数据得两种菜苗的高度，（单位：）与已种菜苗天数均为一次函数关系． 问题解决：请根据上述材料完成下列问题． （1）在平面直角坐标系中分别画出菜苗高度，（单位：）关于已种菜苗天数x（单位：天）的函数图象； （2）求出关于x的函数关系式，并直接写出第18天甲种菜苗的高度； （3）观察函数图象，据实践经验可得这两种菜苗均在菜苗高度达到左右时开花，请估计哪种菜苗先开花，并说明理由． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，一次函数分别与x轴和y轴交于点C和点B，作直线． （1）求直线的函数表达式； （2）如图1，点M是直线上的动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，为x正半轴上的动点，以P为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接，请直接写出当最小时Q点坐标． 23. 【实践探究】小明同学在做《四边形》的课后练习时，他将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置：如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分．正方形可绕点O旋转． 【问题发现】 （1）图1中，连接，线段、、之间的数量关系是________； 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的对角线相交于点O，点O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【结论应用】 （3）如图3，在直角梯形中，，，点E为梯形对角线的中点，四边形为矩形，的两边分别与直线、相交于点N、M，矩形可绕点E旋转．已知，，当时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $