精品解析：江苏省宿迁市青华中学2021-2022学年下学期九年级期初考试数学试题

青华中学2021-2022学年度期初考试 初三数学C卷 试卷共150分 考试时间120分钟 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分） 1. 将一元二次方程化为一般形式是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对原方程依次进行去括号、移项、合并同类项，整理得到符合要求的一般形式即可． 【详解】解：∵原方程为 先去括号，可得 将所有项移到等号左侧，移项变号得 合并同类项得． 2. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，且有两个实数根， ∴， 解得且． 3. 关于方程x2＋2x﹣4＝0的根的情况，下列结论错误的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 两实数根的和为2 C. 两实数根的差为 D. 两实数根的积为﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】根据根与系数的关系和根的判别式进行解答． 【详解】解：、△，则该方程有两个不相等的实数根．故本选项不符合题意． 、设方程的两个跟为，，则，故本选项符合题意． 、设方程的两个为，， 则， 故本选项不符合题意． 、设方程的两个根为，，则，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系和根的判别式，熟悉相关性质是解题的关键． 4. 一组数据按从大到小排列为2，4，8，x，10，14．若这组数据的中位数为9，则这组数据的众数为 A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】试题分析：根据中位数为9得，（8+x）÷2=9，解得：x=10. ∴这组数据中出现次数最多的是10，故众数为10. 故选D. 【详解】请在此输入详解！ 5. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　） A. x（x+1）＝1056 B. x（x﹣1）＝1056×2 C. x（x﹣1）＝1056 D. 2x（x+1）＝1056 【答案】C 【解析】 【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x名同学，那么总共送的张数应该是x（x-1）张，即可列出方程． 【详解】解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出（x-1）张； 又∵是互送照片， ∴总共送的张数应该是x（x-1）=1056． 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键． 6. 直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为3，则r的取值范围是( ) A. r<3 B. r=3 C. r>3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据直线与圆的位置关系进行判断即可． 【详解】∵直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离d=3， ∴r＞3． 故选C． 【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．直线l和⊙O相交⇔d＜r． 7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和圆周角定理可得出答案． 【详解】根据平行四边形的性质可知∠B=∠AOC， 根据圆内接四边形的对角互补可知∠B+∠D=180°， 根据圆周角定理可知∠D=∠AOC， 因此∠B+∠D=∠AOC+∠AOC=180°， 解得：∠AOC=120°， 因此∠ADC=60°． 故选：C． 【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值（ ） A. 14 B. 7 C. 9 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】作AB的中点E，连接EM、CE、AD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在中根据三边关系即可求解． 【详解】解：作AB的中点E，连接EM、CE、AD， 在直角中， ∵E是直角斜边AB上的中点， ∴， ∵M是BD的中点，E是AB的中点， ∴， ∴在中，，即， ∴最大值为7， 故选：B． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握综合运用各个知识点是解题关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，本大题共30分．） 9. 数据，6，4，0，1，7，5的极差为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值． 【详解】解：极差． 10. 用配方法解方程x2﹣6x﹣1=0，经过配方后得到的方程式_____． 【答案】（x﹣3）2=10． 【解析】 【分析】分析：首先进行移项，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形为左边是完全平方式，右边是常数的形式． 【详解】x2-6x-1=0， （x-3）2-9-1=0 （x-3）2=10， 故答案为（x-3）2=10． 【点睛】点睛：此题考查配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 11. 若直角三角形的两直角边为、，则其外接圆和内切圆半径之差为 ． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理计算出直角三角形的斜边长，再根据直角三角形外接圆的直径为斜边求出外接圆半径，利用直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径，最后计算两者的半径差即可． 【详解】解：设直角三角形的两直角边为，，斜边为， 由勾股定理得，直角三角形的斜边， ∴此直角三角形的外接圆半径为，内切圆半径为， ∴外接圆和内切圆半径之差为． 12. 已知是一元二次方程的一个根，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．将代入方程即可求解． 【详解】解：将代入方程得：， 整理得：， 解得：， ∵，即， ∴， 故答案为： 13. 某市年年底自然保护区覆盖率为，经过两年努力，该市年年底自然保护区覆盖率达到，则该市这两年自然保护区覆盖率的年平均增长率为____． 【答案】 【解析】 【详解】解：设该市这两年自然保护区面积的年平均增长率为， 根据题意得：， 两边同时除以得：， 开平方得：， 解得 ，（负值舍去）， ∴这两年的平均增长率为． 14. 若实数满足：，则方程的解是___________． 【答案】和3 【解析】 【分析】考查了解一元二次方程，解题关键是利用几个非负数的和为0，得到这几个数都为0，从而求得的值． 由非负数的和为零，得到每个非负数为零，从而求出的值，再代入方程求解． 【详解】解：， ， ， ， 方程为， 解得． 故答案为和3． 15. 如图，四边形是菱形，经过点A、C、D，与相交于点E，连接．若，则_____． 【答案】##20度 【解析】 【分析】先求出，再求出的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， 由圆内接四边形的性质得：， ∴． 16. 如图，∠AOB=45°，点P、Q都在射线OA上，OP=2，OQ=6．M是射线OB上的一个动点，过P、Q、M三点作圆，当该圆与OB相切时，其半径的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件得到点M为切点，设过P、Q、M三点的圆的圆心为O′，连接O′M，则O′M⊥OB，过O′作O′H⊥PQ于H，延长HO′交OB于G，根据垂径定理和勾股定理进行推理计算即可得到结论． 【详解】解：过三点的圆与相切， 点为切点， 设过三点的圆的圆心为， 连接， 则， 过作于，延长交于 ， ， 设， 和是等腰直角三角形， ， ， ， 解得：（不合题意舍去)， 半径的长为 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的外接圆与外心，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． 17. 如图，已知AB是半圆的直径，且AB=10，弦AC=6，将半圆沿过点A的直线折叠，使点C落在直径AB上的点C′，则折痕AD的长为________． 【答案】． 【解析】 【详解】解：设圆的圆心是O，连接OD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F． 根据题意知，∵OF⊥AC，∴AF=AC=3， ∵∠CAD=∠BAD，∴，∴点D是弧BC的中点．∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD， 在△AOF和△OED中，∵∠OFA=∠OED，∠FAO=∠EDO，AO=DO， ∴△AOF≌△OED（AAS），∴OE=AF=3， ∵DO=5，∴DE=4，∴AD=． 故答案为． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）；勾股定理． 18. 如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，点E在运动过程中，线段的长度的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】作于，连接．因为，推出点在以为直径的上，当点在的延长线上时，的长最小，最小值，求出、即可解决问题． 【详解】解：作于，连接． ， ， 在中，，， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ，， ， 点在以为直径的上， 当点在的延长线上时，的长最小，最小值． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）x2﹣2x﹣2＝0； （2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0． 【答案】（1）x1＝1+，x2＝1﹣；（2）x1＝3，x2＝1． 【解析】 【分析】（1）利用配方法解方程，此题得解； （2）利用提取公因式法解方程，此题得解． 【详解】解：（1）移项，得：x2﹣2x＝2， 配方，得：x2﹣2x+1＝2+1， 即（x﹣1）2＝3， 两边开平方，得：x﹣1＝±， 解得：x1＝1+，x2＝1﹣． （2）提取公因式，得：（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0， 即（x﹣3）（3x﹣3）＝0， ∴x﹣3＝0，3x﹣3＝0， 解得：x1＝3，x2＝1． 【点睛】本题考查解一元二次方程，配方法混和提取公因式法，解题的关键是掌握配方法和提取公因式法解一元二次方程． 20. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个根都是有理数，写出满足条件的的最小整数值，并求出此时方程的根． 【答案】（1）且；（2）；或． 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式计算即可； （2）根据一元二次方程的解法求解即可； 【详解】（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴， ∴且； （2）当时，， ∴由求根公式可知：， ∴或． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和根的判别式，准确计算是解题的关键． 21. 某校为了解七、八年级学生对“新冠疫情”防护知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取30名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下： ①七年级成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值，最后一组含100分）； ②七年级在这一组的成绩是：78，74，76，78，77，79； ③七、八年级抽取学生成绩的平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七 74.8 八 75.4 78.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，七年级在70分以上（含70分）的有________人；表中的值为_________； （2）求七年级成绩在这一组的6个人成绩的方差； （3）参加测试的七年级小静同学说：“我和八年级的小蓓都是77分，但我在七年级抽取的同学中排名更靠前．”八年级小蓓同学说：“虽然我不知道其他人的分数，但我的分数是77分，比平均分高，所以我的成绩一定是八年级抽取同学中的前15名．”请你对这两种说法是否正确进行判断，并加以说明． 【答案】（1）17， 76.5；（2）；（3）小静的说法正确，小蓓的说法错误，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据频数的统计方法，中位数的意义求解即可； （2）先计算平均数，再根据方差计算方法进行计算即可； （3）根据中位数的意义得出判断即可． 【详解】解：（1）由七年级学生成绩频数分布直方图可知， 在70分以上（含70分）的有6+7+4=17（人）， 将抽样的30名学生的成绩按照从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为 ，即a=76.5， 故答案为：17，76.5； （2）∵， ∴这组数据的方差为： ； （3）小静的说法正确，小蓓的说法错误． ∵七年级小静的成绩大于中位数76.5分，其名次在该年级抽查的学生的15名之前， 八年级小蓓的成绩小于中位数78.5分，其名次在该年级抽查的学生的15名之后， ∴小静排名更靠前． 【点睛】本题考查平均数、方差、频数分布直方图，理解中位数的意义，掌握平均数、方差的计算方法是正确解答的前提． 22. 如图，用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长米的围栏建两个面积相同的生态园，由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过米．（围栏宽忽略不计） （1）每个生态园的面积为平方米，求每个生态园的边长； （2）每个生态园的面积能否达到平方米？请说明理由． 【答案】（1）生态园的垂直于墙的一边长为4米，另一边长为12米；（2）不能；理由见解析． 【解析】 【分析】（1）对于每个生态园，找出“垂直于墙的一边长×3+平行平墙的一边长×2=36”据生态园面积为48平方米，可列方程求解． （2）把（1）方程中的48改为60进行分析． 【详解】解：（1）设生态园垂直于墙的一边长为x米由题意得方程： 整理得 解得，（由x不能大于6，将其舍去） ∴生态园另一边长为（米） 答：生态园的垂直于墙的一边长为4米，另一边长为12米； （2）假设每个生态园的面积可以为60平方米，设生态园垂直于墙的一边长为x米由题意得方程： 整理得 此一元二次方程的判别式 所以原方程无解， 所以每个生态园的面积不可能达到60平方米． 【点睛】此题考查列一元二次方程解决实际问题，此题中由图形信息提炼出相等关系是关键，同时要检验方程根的合理性． 23. 某商场经营一种新型台灯，进价为每盏300元．市场调研表明：当销售单价定为400元时，平均每月能销售300盏；而当销售单价每下降1元时，平均每月的销售量就增加10盏． （1）当销售单价为多少时，该型台灯的销售利润平均每月能达到40000元？ （2）临近春节，为了回馈广大顾客，商场部门经理决定在一月份开展降价促销活动，估计分析：若每盏台灯的销售单价在（1）的最高销售单价基础上降价%，则可多售出2%．要想使一月份的销售额达到209950元，并且保证不亏损，求的值． 【答案】（1）当销售单价为350元或380元时，该型台灯的销售利润平均每月能达到40000元；（2）的值为15 【解析】 【分析】（1）当降价为x元时，该型台灯的销售利润平均每月能达到40000元，利用总利润等于每盏灯的利润乘以销售量列方程得（10x+300）（400-300-x）=40000，然后解方程即可； （2）当x=380时，销售量为500盏，则利用一月份的销售额达为209950元列方程得380（1-m%）×500（1+2m%）=209950，然后解关于m%的一元二次方程即可得到m的值． 【详解】解：（1）当降价为x元时，该型台灯的销售利润平均每月能达到40000元， 根据题意得（10x+300）（400-300-x）=40000， 解得x1=50，x2=20， 所以400-50=350（元），400-20=380（元）． 答：当销售单价为350或380元时，该型台灯的销售利润平均每月能达到40000元； （2）当售价380时，此时销售量为500盏． 根据题意得380（1-m%）×500（1+2m%）=209950， 解得m=15或m=35， 当m=15时，销售单价为323元； 当m=35时，销售单价为247元，将亏损，故舍去． 答：m的值为15． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用：列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．解决本题的关键是理解总利润等于每盏灯的利润乘以销售量． 24. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若∠C=30°，CD＝，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析；（2）1. 【解析】 【分析】（1）连接OD，AD只要证明OD⊥DE即可．此题可运用三角形的中位线定理证OD∥AC，因为DE⊥AC，所以OD⊥DE． （2）连接AD，从而得到∠ADB=90°，根据已知条件可得出∠ODB=30°，∠ADO=60°，则△OAD为等边三角形，利用勾股定理即可求得AD的长，从而得出OA． 【详解】（1）证明：如图， ∵O、D分别为中点， ∴OD为中位线 即：DE为切线 （2）如图， BD=CD= 作OH⊥BD，由垂径定理得 由平行得∠ODH=30°， 设OH=x，则OD=2x， 解得： ∴半径为1 【点评】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证它们垂直即可解决问题． 25. 如图，在中，，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作，交⊙O于点F，求证： （1）四边形DBCF是平行四边形 （2） 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明，利用平行线证明，利用圆的性质证明，再证明即可得到结论； （2）如图，连接，利用平行线的性质及圆的基本性质，再利用圆内接四边形的性质证明，从而可得结论． 【详解】证明：（1）， ， ， ， 又, 四边形是平行四边形． （2）如图，连接 ， 四边形是的内接四边形 【点睛】本题考查平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 26. 如图：在直角坐标系中，长方形中，，点D从点C出发，沿射线方向以每秒2个单位长的速度移动，点E从点O出发，沿射线方向以每秒1个单位长的速度运动，设点E的运动时间为t秒． （1）如图1，当t为何值时，的面积为1； （2）当是的角平分线时，求出此时点E的坐标； （3）当t为何值时，是等腰三角形？ 【答案】（1）秒或2秒或秒；（2）（，0）或（，0）；（3）秒或秒或秒或5秒 【解析】 【分析】（1）分点E在y轴正半轴时，点E在y轴负半轴时，两种情况，根据三角形面积公式列出方程求解； （2）分点E在点A左侧，点E在点A右侧，画出图形，求出OE的长即可得到点E坐标； （3）分CD=CE，DC=DE，CE=DE三种情况，结合等腰三角形的性质和勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵长方形OABC中，OA=BC=10，OC=AB=5， ∴C（0，5），A（10，0），B（10，5）， 若△ODE的面积为1， 当点E在y轴正半轴时， 则， 解得：或； 当点E在y轴负半轴时， 则， 解得：（舍）或； 综上：当t为秒或2秒或秒时，△ODE的面积为1； （2）如图，若点E在点A左侧， ∵CE平分∠OEB， 则∠OEC=∠BEC， ∵OA∥BC， ∴∠BCE=∠OEC， ∴∠BEC=∠BCE， ∴BC=BE=10， ∴AE==， ∴OE=OA-AE=，即E（，0）； 若点E在点A右侧， 同理可得：BC=BE=10， ∴AE==， ∴OE=OA+AE=，即E（，0）； （3）∵是等腰三角形， 若CD=CE， ∵CE≥CO， ∴此时点D必在y轴负半轴， 则CD=CE=2t，OE=t， 在△OCE中，， 解得：t=（负值舍去）； 若DC=DE，当点D在y轴正半轴时， CD=DE=2t，OE=t，则OD=5-2t， 在△ODE中，， 解得：t=或（舍）； 当点D在y轴负半轴时， CD=DE=2t，OE=t，则OD=2t-5， 在△ODE中，， 解得：t=（舍）或； 若CE=DE，∵OE⊥CD， ∴OC=OD=5，即CD=10， ∴t=10÷2=5． 综上：当t为或或或5时，是等腰三角形． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，角平分线的意义，等腰三角形的性质，用运动时间t表示线段是解本题的关键，根据题意画出图形是本题的难点． 27. 阅读材料：已知方程p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0且pq≠1，求的值． 解：由p2﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q2＝0可知p≠0， 又∵pq≠1， ∴p≠． ∵1﹣q﹣q2＝0可变形为﹣1＝0， 根据p2﹣p﹣1＝0和﹣1＝0的特征， ∴p、是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根， 则p+，即． 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：2m2﹣5m﹣1＝0，，且m≠n，求： （1）mn的值； （2）． 【答案】(1)；29． 【解析】 【分析】（1）由题意可知：可以将方程化简为的形式，根据根与系数的关系直接得：的值； （2）将变形为求解． 【详解】解：由知m≠0， ∴， ∵，m≠n， ∴， ∴和是方程的两个根， （1）由和是方程的两个根得， ∴； 经检验：是原方程的根，且符合题意． （2）由和是方程的两个根得，， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，代数式的值，乘法公式，掌握一元二次方程根与系数关系与乘法公式恒等变形是解题关键． 28. 问题提出 （1）如图①，已知直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，则_______（填“＞”“＜”或“＝”）； 问题探究 （2）如图②，⊙O的直径为20，点A，B，C都在⊙O上，，求面积的最大值； 问题解决 （3）如图③，在中，，，，根据设计要求，点D为内部一点，且，过点C作交BD于点E，连接AE，CD，试求满足设计要求的四边形ADCE的最大面积． 【答案】（1）=；（2）108；（3）． 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质，据同底等高的两三角形面积相等作答； （2）AB长不变，只要AB边上的高最大，面积最大．由图知当C是优弧的中点时，AB边上的高最大，面积最大．求得优弧的中点到AB的距离就可求得最大面积； （3）过C作CF∥BD交AD的延长线于F，得∠F=，先证得四边形ADCE的面积=△ACF的面积；据∠F=60°得点F在以AC为边向外作的等边三角形的外接圆上，受解决（2）的启发得，当F运动到点G时，△ACF的面积最大，即四边形ADCE的面积最大．最后计算出△ACF的面积即是四边形ADCE的面积最大值． 【详解】（1）如下图①所示，分别过A、B两点向直线b作垂线，垂足为M、N． ∵a∥b ∴∠MAB=∠AMN=90° ∴四边形AMNB是矩形， ∴AM=BN ∴ 又、 ∴； （2）取优弧的中点记为，过作AB的垂线，垂足为D，由垂径定理知过O且AD=BD，如下图②所示． 过C作AB的平行线a， ∵当直线a向上平移时，a距AB的距离增大，即的AB边上的高增大，得当a运动到最高点时，的AB边上的高最大， 又AB为常数， ∴当C运动到时的面积最大，下面计算的面积． 连接OB 在RT△OBD中： ∵AB=12、圆O的直径为20 ∴BD=6、BO=10、 由勾股定理得 ∴ ∴的面积为， ∴面积的最大值为108； （3）过C作CF∥BD交AD的延长线于F，如下图③-1所示 ∴∠F=∠ADB=60° ∵AD∥CE ∴四边形DECF是平行四边形 ∴DF=CE，FC=DE 又DC=CD ∴△DFC≌△CED ∴ 又由（1）的结论知 ∴ 所以只需求得最大值即得的最大值． 以AC为边向外作等边三角形，再作等边的外接圆，过G作GJ⊥AC于J，如下图③-2所示． ∵∠F=60° ∴点F在的外接圆上， 由第（2）问的解决知，当F运动到点G时，最大=． 在RT△ABC中： 由勾股定理得 ∴ ∴ ∴ ∴四边形ADCE的最大面积是． 【点睛】此题考查了三角形等积变形、定角对定边的三角形的面积最大值、正三角形及其外接圆、平行四边形等考点，熟悉相关知识并能综合应用是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青华中学2021-2022学年度期初考试 初三数学C卷 试卷共150分 考试时间120分钟 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分） 1. 将一元二次方程化为一般形式是( ) A. B. C. D. 2. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. 且 D. 3. 关于方程x2＋2x﹣4＝0的根的情况，下列结论错误的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 两实数根的和为2 C. 两实数根的差为 D. 两实数根的积为﹣4 4. 一组数据按从大到小排列为2，4，8，x，10，14．若这组数据的中位数为9，则这组数据的众数为 A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 5. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　） A. x（x+1）＝1056 B. x（x﹣1）＝1056×2 C. x（x﹣1）＝1056 D. 2x（x+1）＝1056 6. 直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为3，则r的取值范围是( ) A. r<3 B. r=3 C. r>3 D. 7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( ) A. B. C. D. 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值（ ） A. 14 B. 7 C. 9 D. 6 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，本大题共30分．） 9. 数据，6，4，0，1，7，5的极差为_____． 10. 用配方法解方程x2﹣6x﹣1=0，经过配方后得到的方程式_____． 11. 若直角三角形的两直角边为、，则其外接圆和内切圆半径之差为 ． 12. 已知是一元二次方程的一个根，则m的值为________． 13. 某市年年底自然保护区覆盖率为，经过两年努力，该市年年底自然保护区覆盖率达到，则该市这两年自然保护区覆盖率的年平均增长率为____． 14. 若实数满足：，则方程的解是___________． 15. 如图，四边形是菱形，经过点A、C、D，与相交于点E，连接．若，则_____． 16. 如图，∠AOB=45°，点P、Q都在射线OA上，OP=2，OQ=6．M是射线OB上的一个动点，过P、Q、M三点作圆，当该圆与OB相切时，其半径的长为______． 17. 如图，已知AB是半圆的直径，且AB=10，弦AC=6，将半圆沿过点A的直线折叠，使点C落在直径AB上的点C′，则折痕AD的长为________． 18. 如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，点E在运动过程中，线段的长度的最小值为________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）x2﹣2x﹣2＝0； （2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0． 20. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个根都是有理数，写出满足条件的的最小整数值，并求出此时方程的根． 21. 某校为了解七、八年级学生对“新冠疫情”防护知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取30名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下： ①七年级成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值，最后一组含100分）； ②七年级在这一组的成绩是：78，74，76，78，77，79； ③七、八年级抽取学生成绩的平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七 74.8 八 75.4 78.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，七年级在70分以上（含70分）的有________人；表中的值为_________； （2）求七年级成绩在这一组的6个人成绩的方差； （3）参加测试的七年级小静同学说：“我和八年级的小蓓都是77分，但我在七年级抽取的同学中排名更靠前．”八年级小蓓同学说：“虽然我不知道其他人的分数，但我的分数是77分，比平均分高，所以我的成绩一定是八年级抽取同学中的前15名．”请你对这两种说法是否正确进行判断，并加以说明． 22. 如图，用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长米的围栏建两个面积相同的生态园，由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过米．（围栏宽忽略不计） （1）每个生态园的面积为平方米，求每个生态园的边长； （2）每个生态园的面积能否达到平方米？请说明理由． 23. 某商场经营一种新型台灯，进价为每盏300元．市场调研表明：当销售单价定为400元时，平均每月能销售300盏；而当销售单价每下降1元时，平均每月的销售量就增加10盏． （1）当销售单价为多少时，该型台灯的销售利润平均每月能达到40000元？ （2）临近春节，为了回馈广大顾客，商场部门经理决定在一月份开展降价促销活动，估计分析：若每盏台灯的销售单价在（1）的最高销售单价基础上降价%，则可多售出2%．要想使一月份的销售额达到209950元，并且保证不亏损，求的值． 24. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若∠C=30°，CD＝，求⊙O的半径． 25. 如图，在中，，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作，交⊙O于点F，求证： （1）四边形DBCF是平行四边形 （2） 26. 如图：在直角坐标系中，长方形中，，点D从点C出发，沿射线方向以每秒2个单位长的速度移动，点E从点O出发，沿射线方向以每秒1个单位长的速度运动，设点E的运动时间为t秒． （1）如图1，当t为何值时，的面积为1； （2）当是的角平分线时，求出此时点E的坐标； （3）当t为何值时，是等腰三角形？ 27. 阅读材料：已知方程p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0且pq≠1，求的值． 解：由p2﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q2＝0可知p≠0， 又∵pq≠1， ∴p≠． ∵1﹣q﹣q2＝0可变形为﹣1＝0， 根据p2﹣p﹣1＝0和﹣1＝0的特征， ∴p、是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根， 则p+，即． 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：2m2﹣5m﹣1＝0，，且m≠n，求： （1）mn的值； （2）． 28. 问题提出 （1）如图①，已知直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，则_______（填“＞”“＜”或“＝”）； 问题探究 （2）如图②，⊙O的直径为20，点A，B，C都在⊙O上，，求面积的最大值； 问题解决 （3）如图③，在中，，，，根据设计要求，点D为内部一点，且，过点C作交BD于点E，连接AE，CD，试求满足设计要求的四边形ADCE的最大面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $