26.4 实际问题与二次函数 课前预习单-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学预习单聚焦“实际问题与二次函数”，系统梳理核心知识点。从二次函数顶点式、一般式及待定系数法等基础回顾出发，构建解决最值问题（利润、面积、用料）和抛物线造型问题（拱桥、隧道、投篮）的完整知识支架，明确建模步骤与自变量取值范围等关键要点。 知识链路按“基础回顾—分类建模—易错提醒—实践应用”逻辑展开，通过填空与应用题练习强化建模意识。突出数学眼光（抽象实际问题为函数模型）、数学思维（推理顶点与区间最值关系）和数学语言（规范解题步骤），助力学生形成从数学角度解决实际问题的能力。

26.4 实际问题与二次函数 课前预习单 1. 掌握用二次函数解决实际应用题的两大核心题型：最值问题、抛物线造型问题； 2. 熟记建立二次函数模型、求解实际最值的完整步骤，注意自变量取值范围； 3. 学会建立平面直角坐标系求解拱桥、隧道、投篮等抛物线类实际问题； 4. 能结合待定系数法、二次函数图象与性质完成计算，规范应用题解题思路。 对照课本自主完成 知识回顾 1. 二次函数顶点式 ： ， 时， 有最小值 ； ， 时， 有最大值 。 2. 一般式 ： 对称轴 ，最值 。 3. 待定系数法：已知图象上点坐标，代入解析式求参数 。 4. 实际应用题关键：自变量取值必须符合现实意义（长度、数量不能为负数）。 新知自主预习（填空） 类型 1 利用二次函数解决最值问题（利润、面积、用料最值） 建模解题步骤： ① 根据题目数量关系，构造 ，并写出自变量的取值范围； ② 结合自变量取值范围，求出二次函数的 ，解决最大 / 最小问题。 类型 2 利用二次函数解决抛物线形实际问题（拱桥、隧道、投篮、喷水） 解题步骤： ① 根据图形条件，建立合适的 ，把抛物线图形放入坐标系； ② 标出图中关键点坐标，选择合适解析式，用 求出函数表达式； ③ 借助二次函数的 和 ，计算、回答实际问题。 1. 最值易错提醒 二次函数顶点最值不一定是实际问题的最值，必须看顶点横坐标是否在自变量取值范围内；若不在，则最值出现在区间端点。 2. 建坐标系小技巧 （1）拱桥类：通常把抛物线顶点放在坐标原点或 y 轴上，简化计算； （2）地面、水面统一作为 x 轴，方便读取高度、距离。 3. 常见实际模型 （1）销售利润：总利润 = 单件利润 × 销售数量 （2）几何面积：矩形、窗户、围栏面积最值 （3）抛物曲线：桥洞、喷泉、球类运动轨迹 课前简单练习 填空题 1. 用二次函数求实际最值，第一步要构建二次函数，同时确定 ； 2. 解决拱桥类抛物线问题，首要步骤是建立 ； 3. 已知抛物线上多个点，求函数解析式要用 。 简单应用题预习思考 用总长 40m 的篱笆围矩形场地，设矩形一边长为，面积为。 （1）写出与的函数关系式： （2）自变量的取值范围： （3）当 时，面积取得最大值。 自学中不理解的步骤、建模思路、易错点记录： 参考答案 基础概念·识记答案 类型 1：①二次函数 ②最值 类型 2：①平面直角坐标系 ②待定系数法 ③图象；性质 课前练习·自测答案 填空： 1. 自变量取值范围 2. 平面直角坐标系 3. 待定系数法 应用题： (1) (2) (3) 学科网（北京）股份有限公司 $