26.2.1二次函数y=ax²的图象和性质（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数y=ax²的图象和性质，引导学生掌握描点法作图、抛物线要素及系数a的影响。课堂导入通过温故知新，回顾二次函数最简形式及一次、反比例函数研究方法，搭建旧知到新知的学习支架。 此资料以“自主学习+合作探究”为主线，学生经历“画图-观察-对比-归纳”完整过程，培养几何直观与推理意识。典型例题与中考真题结合，强化数形结合思想，精准突破增减性及|a|对开口宽窄的影响，提升应用意识和解题能力。

26.2.1二次函数y=ax²的图象和性质（导学案） （1） 会用描点法规范绘制y=ax²的图象；认识抛物线的基本要素，熟练掌握y=ax²的图象特征与性质；精准掌握系数a对抛物线开口方向、开口宽窄的影响，能利用性质解决基础习题. （2） 经历画图、观察、对比、归纳的完整探究过程，掌握函数图象的通用探究方法，提升几何直观、归纳概括和数形结合解题能力. (3）感受函数图象的对称美、规律美，体会数形结合思想的价值，培养严谨的作图习惯和主动探究的数学思维，增强学习二次函数的信. 重点：用描点法画二次函数y=ax²的图象；掌握y=ax²的图象特征、增减性、最值等核心性质. 难点：结合图象准确理解二次函数的增减性规律（分对称轴左右两侧讨论），理解|a|的大小对抛物线开口宽窄的影响，区分a的正负与绝对值的不同作用. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 回顾提问：二次函数的最简形式是什么？ 衔接旧知：研究一次函数、反比例函数的核心方法是什么？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第33-35页的内容 【学法指导】自研课本P33-35页内容 （一）动手作图，探究y=x²的图象 活动1.动手画函数y=x²的图象 1.列表：选取对称自变量（-3、-2、-1、0、1、2、3），计算对应函数值 x …… …… y=ax² …… …… 2.描点：. 3.连线： 4.观察归纳图象特征： 师生共同总结：图象形状：曲线，叫做抛物线.对称性：关于y轴对称； 顶点：图象最低点(0,0)，是抛物线的顶点；开口方向：开口向上. （二）探究y=x²图象的性质 活动2.探究函数y=x²图象的性质 小组合作观察交流：由上图还可以看出，y轴是抛物线y=x²的对称轴，抛物线y=x²与其对称轴的交点(0，0)叫作抛物线y=x²的顶点，它是抛物线y=x²的最低点，实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点. 从二次函数y=x²的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升，也就是说，当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，随x的增大而增大. 在抛物线y=x²上. 追问1：你能从坐标关系中说明抛物线у=x²的对称性. （三）探究y=ax²图象的性质 活动3.在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象. 1.列表： 2.描点： 3.连线： 观察思考： 函数的图象与函数y=x²的图象（图虚线图形）相比，有什么共同点和不同点？ 利用信息技术工具画二次函数y=ax²(a>0)的图象,改变a的值，函数y=ax²的图象也发生了改变.随着a的变化，二次函数y=ax²的图象有什么变化? 活动4.在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象. 1.列表，2.描点，3.连线. 活动5.探究y=ax²图象的性质 观察以上函数图象，归纳图象性质. 当a>0时，开口向上，对称轴：直线x=0（y轴）；顶点坐标：(0,0)； 最值：当x=0时，y有最小值0，无最大值；增减性：x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大. 当a<0时，开口向下，对称轴：直线x=0（y轴）；顶点坐标：(0,0)； 最值：当x=0时，y有最大值0，无最小值；增减性：y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小.|a|的大小：|a|越大，抛物线开口越窄，图象越陡；|a|越小，抛物线开口越宽，图象越平缓. 【自研自探】 自研课本P33-35页内容 典型例题 例1 .已知二次函数y=-3x²，下列说法正确的有哪些？ ① 图象开口向上；② 对称轴是y轴；③ 顶点坐标为(0,0)； ④ 当x>0时，y随x增大而减小；⑤ 函数最小值为0. 例2.已知点A(-2,)、B(1,)、C(3,)都在抛物线上，比较、、的大小. 例3 .抛物线y=4x²、、y=-2x²中，开口最宽和最窄的分别是哪一个？ 第二环节 合作探究 讨论交流: 1. 讨论怎样画二次函数y=x²的图象. 2. 讨论怎样画二次函数y=ax²图象. 讨论二次函数y=ax²图象的性质 拓展提升： 1．已知二次函数，解答下列问题： (1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）． (2)判断点是否在这个函数图象上，说明理由． (3)求当时对应的函数图象上的点的坐标． 课本练习P35. 1．（2025·临沂校考）抛物线共有的性质是（    ） A．开口向下 B．对称轴是轴 C．都有最高点 D．随的增大而增大 2．（2026·海南统考）已知点，，三点都在抛物线的图象上，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3．（2026·恩施统考）二次函数的图象大致是（    ） A． B．   C．   D．   4．（2025·松原校考）已知二次函数的图象经过点，求该函数的解析式及对称轴． 知识技能:(1)作图方法： 三步法画y=ax²的抛物线图象；（2）图象要素：抛物线y=ax²恒过 ，对称轴为 ，顶点为 ；（3）核心性质： a>0：开口 ，顶点 ，x<0 、x>0 ，有 0； a<0：开口 ，顶点 ，x<0 、x>0 ，有 0； （4）a的作用：正负定 ，|a|大小定 . 思想方法:（1）数形结合思想：由图象得 ，用性质解 ，数与形 ； （2）分类讨论思想：分a>0、<0两类 ，保证思维严谨； （3）从特殊到一般思想：从具体函数图象归纳通用规律，掌握 . 易错提醒:（1）作图易错：抛物线必须用 ，不能 ；取值务必 ，保证图象 ； （2）性质易错：二次函数增减性必须分 讨论，不能笼统描述； （3）规律易错：开口宽窄只看|a|，与a的 ； （4）最值易错：a>0有 、a<0有 ，最值均为0，切勿记反. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.1二次函数y=ax²的图象和性质（导学案） （1） 会用描点法规范绘制y=ax²的图象；认识抛物线的基本要素，熟练掌握y=ax²的图象特征与性质；精准掌握系数a对抛物线开口方向、开口宽窄的影响，能利用性质解决基础习题. （2） 经历画图、观察、对比、归纳的完整探究过程，掌握函数图象的通用探究方法，提升几何直观、归纳概括和数形结合解题能力. (3）感受函数图象的对称美、规律美，体会数形结合思想的价值，培养严谨的作图习惯和主动探究的数学思维，增强学习二次函数的信. 重点：用描点法画二次函数y=ax²的图象；掌握y=ax²的图象特征、增减性、最值等核心性质. 难点：结合图象准确理解二次函数的增减性规律（分对称轴左右两侧讨论），理解|a|的大小对抛物线开口宽窄的影响，区分a的正负与绝对值的不同作用. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 回顾提问：二次函数的最简形式是什么？（y=ax²，a≠0） 衔接旧知：研究一次函数、反比例函数的核心方法是什么？（画图象、看特征、归性质） 【学法指导】 新知自研：自研课本第33-35页的内容 【学法指导】自研课本P33-35页内容 （一）动手作图，探究y=x²的图象 活动1.动手画函数y=x²的图象 1.列表：选取对称自变量（-3、-2、-1、0、1、2、3），计算对应函数值 x …… -3 -2 -1 0 1 2 3 …… y=ax² …… 9 4 1 0 1 4 9 …… 2.描点：在平面直角坐标系中精准描出对应坐标点. 3.连线：用光滑曲线从左至右顺次连接各点，得到完整曲线. 4.观察归纳图象特征：可以看出，二次函数y=x²的图象是一条曲线，它的形状类似投篮或掷铅球时球在空中经过的路线，只是这条曲线开口向上，实际上，二次函数的图象都是类似的曲线，它们的开口或者向上或者向下，我们把二次函数y=ax²+bx+c的图象叫作抛物线y=ax²+bx+c. 师生共同总结：图象形状：曲线，叫做抛物线.对称性：关于y轴对称； 顶点：图象最低点(0,0)，是抛物线的顶点；开口方向：开口向上. （二）探究y=x²图象的性质 活动2.探究函数y=x²图象的性质 小组合作观察交流：由上图还可以看出，y轴是抛物线y=x²的对称轴，抛物线y=x²与其对称轴的交点(0，0)叫作抛物线y=x²的顶点，它是抛物线y=x²的最低点，实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点. 从二次函数y=x²的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧， 抛物线从左到右上升，也就是说，当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，随x的增大而增大. 在抛物线y=x²上. 追问1：你能从坐标关系中说明抛物线у=x²的对称性. 任取一点(m,m²)，因为该点关于y轴的对称点（m，m²）也在抛物线у=x²上，所以抛物线y=x²关于y轴对称. （三）探究y=ax²图象的性质 活动3.在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象. 1.列表：选取对称自变量（，计算对应函数值 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … x … -2 -3 -2 -1 0 1 2 3 2 … … 8 9 4 1 0 1 4 9 8 … 2.描点：在平面直角坐标系中精准描出对应坐标点. 3.连线：用光滑曲线从左至右顺次连接各点，得到完整曲线. 观察思考： 函数的图象与函数y=x²的图象（图虚线图形）相比，有什么共同点和不同点？ 利用信息技术工具画二次函数y=ax²(a>0)的图象,改变a的值，函数y=ax²的图象也发生了改变.随着a的变化，二次函数y=ax²的图象有什么变化? 活动4.在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象. 1.列表，2.描点，3.连线. 活动5.探究y=ax²图象的性质 观察以上函数图象，归纳图象性质. 当a>0时，开口向上，对称轴：直线x=0（y轴）；顶点坐标：(0,0)； 最值：当x=0时，y有最小值0，无最大值；增减性：x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大. 当a<0时，开口向下，对称轴：直线x=0（y轴）；顶点坐标：(0,0)； 最值：当x=0时，y有最大值0，无最小值；增减性：y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小.|a|的大小：|a|越大，抛物线开口越窄，图象越陡；|a|越小，抛物线开口越宽，图象越平缓. 【自研自探】 自研课本P33-35页内容 典型例题 例1 .已知二次函数y=-3x²，下列说法正确的有哪些？ ① 图象开口向上；② 对称轴是y轴；③ 顶点坐标为(0,0)； ④ 当x>0时，y随x增大而减小；⑤ 函数最小值为0. 【分析】本题考查y=ax²的基础性质，解题关键：先判断a的正负确定开口方向、最值，再结合固定性质判断对称轴、顶点、增减性. 【详解】解：已知a=-3<0，根据y=ax²性质分析： 1.a=-3<0，图象开口向下，①错误； 2. 所有y=ax²的对称轴均为y轴，②正确； 3. 所有y=ax²的顶点均为原点(0,0)，③正确； 4.a=-3<0时，x>0，y随x增大而减小，④正确；a=-3<0抛物线开口向下，顶点为最高点，函数有最大值0，无最小值，⑤错误. 所以正确的是②③④. 例2.已知点A(-2,)、B(1,)、C(3,)都在抛物线上，比较、、的大小. 【分析】：本题考查利用二次函数性质比较函数值，有两种解题思路：一是代入求值计算比较；二是利用图象对称性和增减性快速判断（简便方法）。本题，开口向上，抛物线上的点离对称轴（y轴）越远，函数值越大. 【详解】解：方法一:利用图象性质判断:抛物线对称轴为y轴，a>0，开口向上； 计算各点到y轴的距离： A(-2)距离：2；B(1)距离：1；C(3)距离：3； 距离越远，函数值越大，因此<<. 方法二:代入法： ，，，得 <<. 例3 .抛物线y=4x²、、y=-2x²中，开口最宽和最窄的分别是哪一个？ 【分析】本题考查|a|对开口宽窄的影响，核心规律：与a的正负无关，仅由|a|大小决定，|a|越小开口越宽，|a|越大开口越窄. 【详解】解： 分别计算绝对值：|4|=4，； 大小比较：； 根据规律：|a|最小，开口最宽；|a|最大，开口最窄； 结论：开口最宽：；开口最窄：y=4x². 第二环节 合作探究 讨论交流: 1. 讨论怎样画二次函数y=x²的图象. 2. 讨论怎样画二次函数y=ax²图象. 讨论二次函数y=ax²图象的性质 拓展提升： 1．已知二次函数，解答下列问题： (1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）． (2)判断点是否在这个函数图象上，说明理由． (3)求当时对应的函数图象上的点的坐标． 【分析】（1）根据对称性可直接画出图象； （2）代入横坐标或纵坐标都可判断； （3）代入即可求出坐标． 【详解】（1）如图所示， （2）当时， ， ∴点不在这个函数图象上； （3）当时， ， ∴， ∴时，对应的函数图象上的点的坐标为：和． 课本练习P35. 1．（2025·临沂校考）抛物线共有的性质是（    ） A．开口向下 B．对称轴是轴 C．都有最高点 D．随的增大而增大 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴为轴，有最低点，顶点为原点； 抛物线开口向下，对称轴为轴，有最高点，顶点为原点； 抛物线开口向上，对称轴为轴，有最低点，顶点为原点； 所以抛物线，，共有的性质为对称轴是y轴，而所有抛物线在没有限定自变量的取值范围时，增减性都不一致，故D不正确． 故选：B． 2．（2026·海南统考）已知点，，三点都在抛物线的图象上，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为y轴， ，，， ∴点C离y轴最远，点B离y轴最近， ∵抛物线开口向上， ． 故选：B． 3．（2026·恩施统考）二次函数的图象大致是（    ） A． B．   C．   D．   【详解】解：的图象是一条过原点，开口向下的抛物线， 故选：D． 4．（2025·松原校考）已知二次函数的图象经过点，求该函数的解析式及对称轴． 【详解】解：把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为，对称轴为y轴． 知识技能:(1)作图方法：用列表、描点、光滑曲线连线三步法画y=ax²的抛物线图象；（2）图象要素：抛物线y=ax²恒过原点，对称轴为y轴，顶点为(0,0)；（3）核心性质： a>0：开口向上，顶点最低，x<0减、x>0增，有最小值0； a<0：开口向下，顶点最高，x<0增、x>0减，有最大值0； （4）a的作用：正负定开口方向，|a|大小定开口宽窄. 思想方法:（1）数形结合思想：由图象得性质，用性质解代数题，数与形相互转化； （2）分类讨论思想：分a>0、<0两类探究函数性质，保证思维严谨； （3）从特殊到一般思想：从具体函数图象归纳通用规律，掌握函数探究通法。. 易错提醒:（1）作图易错：抛物线必须用光滑曲线连接，不能画折线、直线；取值务必对称，保证图象对称； （2）性质易错：二次函数增减性必须分对称轴左右两侧讨论，不能笼统描述； （3）规律易错：开口宽窄只看|a|，与a的正负无关； （4）最值易错：a>0有最小值、a<0有最大值，最值均为0，切勿记反. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $