双曲线的标准方程及几何性质【11个题型】讲义-2025年暑假新高二数学常考题型归纳

2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【双曲线的标准方程及几何性质】 总览 题型梳理 一．双曲线的定义（共11小题） 二．根据双曲线的几何特征求标准方程（共7小题） 三．由方程表示双曲线求解双曲线的标准方程或参数（共2小题） 四．求双曲线的焦点和焦距（共2小题） 五．由双曲线的焦点焦距求解双曲线方程或参数（共3小题） 六．求双曲线的渐近线方程（共6小题） 七．由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数（共1小题） 八．双曲线的几何特征（共9小题） 九．双曲线的离心率（共1小题） 十．求双曲线的离心率（共5小题） 十一．双曲线相关动点轨迹（共5小题） 【知识点清单】 1．双曲线的定义 【知识点的认识】 双曲线（Hyperbola）是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹．双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面的交截线．双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点（focus），定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率． 标准方程 ①（a，b＞0），表示焦点在x轴上的双曲线； ②（a，b＞0），表示焦点在y轴上的双曲线． 性质 这里的性质以（a，b＞0）为例讲解： ①焦点为（±c，0），其中c2＝a2+b2；②准线方程为：x＝±；③离心率e1；④渐近线：y＝±x；⑤焦半径公式：左焦半径：r＝|ex+a|，右焦半径：r＝|ex﹣a|． 2．根据双曲线的几何特征求标准方程 【知识点的认识】 双曲线的几何特征包括焦距、顶点和渐近线．顶点在坐标轴上，焦点间距2c，常数2a是双曲线上任意一点到两个焦点的距离差． 3．由方程表示双曲线求解双曲线的标准方程或参数 【知识点的认识】 已知双曲线的一般方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0，可以转换为标准方程形式，通过配方和代数运算求解a和b． 【解题方法点拨】 1．转换方程：通过配方或代数方法将方程转化为标准方程形式． 2．解出参数：确定a和b的值． 4．求双曲线的焦点和焦距 【知识点的认识】 双曲线的焦点为或，焦距为2c，其中． 【解题方法点拨】 1．计算c：由公式计算． 2．确定焦点位置：根据c和双曲线对称轴确定焦点． 5．由双曲线的焦点焦距求解双曲线方程或参数 【知识点的认识】 已知双曲线的焦点位置和焦距2c，可以求解a和b，从而得到标准方程． 【解题方法点拨】 1．计算a和b：由焦距和焦点位置计算a和b． 2．代入标准方程：求得双曲线的标准方程． 6．求双曲线的渐近线方程 【知识点的认识】 双曲线的渐近线是双曲线无限远处的切线．对于双曲线或，其渐近线方程为或． 【解题方法点拨】 1．计算斜率：利用计算渐近线的斜率． 2．代入方程：写出渐近线方程． 7．由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数 【知识点的认识】 已知双曲线的渐近线方程可以确定a和b，从而得到双曲线的标准方程． 【解题方法点拨】 1．计算a和b：由渐近线方程的斜率计算． 2．代入标准方程：得到双曲线的标准方程． 8．双曲线的几何特征 【知识点的认识】 双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0） 图形 性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c 范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R 对称 关于x轴，y轴和原点对称 顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a） 轴 实轴长2a，虚轴长2b 离心率 e（e＞1） 准线 x＝± y＝± 渐近线 ±0 ±0 10．双曲线相关动点轨迹 【知识点的认识】 动点轨迹是指在双曲线上的点的运动轨迹．可以通过方程描述动点的位置变化． 【解题方法点拨】 1．确定轨迹方程：根据动点的位置变化描述轨迹． 2．分析性质：分析动点轨迹的几何性质． 【命题方向】 ﹣给定动点的条件，描述双曲线上的轨迹． ﹣分析轨迹方程及其性质． 11．轨迹方程 【知识点的认识】 1．曲线的方程和方程的曲线 在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程． 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系： （1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线． 2．求曲线方程的一般步骤（直接法） （1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标； （2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}； （3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0； （4）化简：化方程f（x，y）＝0为最简形式； （5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点 【解题方法点拨】 （1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧． （2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件． （3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，y），再将x0，y0代入M满足的条件F（x0，y0）＝0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简． （4）待定系数法 （5）参数法 （6）交轨法． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/7/30 12:06:30；用户：张旺清（小初高数）；邮箱：lwjxqz15@xyh.com；学号：21557663 题型分类 知识讲解与常考题型 一．双曲线的定义（共11小题） 1．双曲线上的点A到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（　　） A．9 B．7 C．9或29 D．7或19 2．已知F1，F2是平面内两个不同的定点，则“||MF1|﹣|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，M是E的左支上一点，过F2作∠F1MF2角平分线的垂线，垂足为N，O为坐标原点，则|ON|＝（　　） A．4 B．2 C．3 D．1 4．与圆x2+y2＝1及圆x2+y2﹣8x+12＝0都外切的圆的圆心在（　　） A．一个椭圆上 B．一个圆上 C．一条抛物线上 D．双曲线的一支上 5．方程的化简结果为（　　） A． B． C． D． 6．已知M（﹣2，0），N（2，0），|PM|﹣|PN|＝4，则动点P的轨迹是（　　） A．一条射线 B．双曲线 C．双曲线左支 D．双曲线右支 7．已知两定点F1（﹣5，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|＝2a，当a＝3和5时，P点的轨迹为（　　） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线一支和一条射线 D．双曲线一支和一条直线 8．已知点B（0，4），C（0，﹣4），动点A满足，则A的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 9．已知点，，动点P满足条件|PM|﹣|PN|＝4．则动点P的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 10．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，设点，则|PF1|﹣|PF2|的值为 　 　 ． 11．已知双曲线左右焦点分别为F1、F2，P是双曲线上的一点，若|PF2|＝7，则|PF1|＝ 　 　 ． 二．根据双曲线的几何特征求标准方程（共7小题） 12．已知焦距为的双曲线的一条渐近线与直线x﹣3y+2＝0垂直，则该双曲线的方程为（　　） A． B． C． D． 13．已知双曲线过点，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的标准方程是（　　） A． B． C． D． 14．若双曲线的两渐近线的夹角为，实轴长为6且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（　　） A． B．或 C． D．或 15．与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程为（　　） A． B． C． D． 16．若双曲线经过点，一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是（　　） A．y2﹣x2＝1 B． C． D． 17．已知双曲线的一条渐近线方程是，实轴长为，则双曲线C的标准方程为（　　） A． B． C． D． 18．已知双曲线C以椭圆E：x21的焦点为顶点，以E的顶点为焦点，则双曲线C的标准方程为（　　） A． B． C． D． 三．由方程表示双曲线求解双曲线的标准方程或参数（共2小题） 19．已知曲线C：mx2﹣ny2＝1，则“n＞m＞0”是“C为焦点在x轴上的双曲线”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 四．求双曲线的焦点和焦距（共2小题） 21．若双曲线的焦距为6，则m＝（　　） A．5 B．3 C．﹣2 D．﹣1 22．已知椭圆和双曲线的焦点相同，则m＝ 　 　 ． 五．由双曲线的焦点焦距求解双曲线方程或参数（共3小题） 23．若双曲线的焦点与椭圆的长轴端点重合，则m的值为（　　） A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4 24．双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．如图：F1，F2为双曲线的左，右焦点，从右焦点F2发出的光线在双曲线C上的点A、B处反射后射出（A，B，F2共线），若∠CAB＝∠ABD＝120°，则（　　） A． B． C．2 D． 25．双曲线的两个焦点分别是F1与F2，焦距为4；M是双曲线上的一点，且|MF1|＝3，则△MF1F2的面积是 　 　 ． 六．求双曲线的渐近线方程（共6小题） 26．已知双曲线M：y2﹣x2＝1，则下列选项正确的是（　　） A．M的离心率为e＝2 B．M的渐近线方程为x±y＝0 C．M的焦点坐标为和 D．M的焦点到渐近线的距离为 27．已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 28．已知双曲线的左焦点为F，直线y＝kx（k≠0）与C的左、右两支分别交于点A，B，若，则C的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 29．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（　　） A． B． C．x±2y＝0 D．2x±y＝0 30．已知O为坐标原点，双曲线C：的右焦点为F，点M在C上，且M在x轴上的射影为F，若，则C的渐近线方程为（　　） A． B．y＝±2x C． D． 31．设双曲线，的离心率分别为e1，e2，若e2＝2e1，则双曲线C1的渐近线方程为（　　） A．y＝±2x B．y＝±x C． D． 七．由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数（共1小题） 32．已知双曲线的一条渐近线与直线2x+y﹣3＝0垂直，则双曲线的焦距为（　　） A． B． C． D． 八．双曲线的几何特征（共9小题） 33．设O为坐标原点，F1，F2为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则|OP|＝（　　） A． B．3 C． D． 34．已知双曲线的离心率为，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为（　　） A． B．2 C．4 D． 35．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝3相切，则双曲线C的离心率为（　　） A． B．2 C． D．4 36．已知点P为双曲线右支上的一个动点，则点P到直线l：y＝2x+4的距离的取值范围为（　　） A． B． C．（2，+∞） D． 37．已知双曲线Γ：的左焦点为F，点A，B在Γ的右支上，且|AB|＝6，则|FA|+|FB|的最小值为（　　） A．4 B．6 C．10 D．14 38．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线C的右支上，MF1⊥MF2，若MF1与C的一条渐近线l垂直，垂足为N，且|NF1|﹣|ON|＝2，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为（　　） A． B． C． D． 39．已知双曲线C：y2＝1（a＞0）的右焦点为F，点A（0，﹣a），若双曲线的左支上存在一点P，使得|PA|+|PF|＝7．则双曲线C的离心率的取值范围是（　　） A．（1，] B．（1，] C．[，+∞） D．[，+∞） 40．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1作x轴的垂线交双曲线C于A、B两点，且△ABF2为等边三角形，则双曲线C的离心率是（　　） A． B． C． D． 41．已知双曲线C：的离心率为，C的一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，则|AB|＝（　　） A． B． C． D． 九．双曲线的离心率（共1小题） 42．已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B分别在C的左支和右支上，且满足AF1∥BF2，5|AF1|＝3|BF2|，|BF1|＝2|AF1|，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 十．求双曲线的离心率（共5小题） 43．已知A，B，F分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 44．已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点P，若|PF1|＝3|PF2|，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 45．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D．2 46．已知F是双曲线C：的右焦点，直线4x﹣3y＝0与C交于P，Q两点，若以PQ为直径的圆经过点F，则C的离心率为（　　） A．2 B． C．3 D． 47．设F1，F2为双曲线曲线的左、右焦点，过F1直线l与C第一象限相交于点P，|F1P|＝|F1F2|且直线l倾斜角的余弦值为，C的离心率为（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 十一．双曲线相关动点轨迹（共5小题） 48．已知定点P（m，0），动点Q在圆O：x2+y2＝16上，PQ的垂直平分线交直线OQ于M点，若动点M的轨迹是双曲线，则m的值可以是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 49．已知动点M（x，y）的坐标满足方程8，则M的轨迹方程是（　　） A．1 B．1 C．（x＞0） D．（y＞0） 50．设常数a＞0，动点M（x，y）（y≠0）分别与两个定点F1（﹣a，0），F2（a，0）的连线的斜率之积为定值λ，若动点M的轨迹是渐近线斜率为2的双曲线，则λ＝（　　） A．﹣3 B．4 C． D．3 51．设P是以F1，F2为焦点的双曲线上的动点，则△F1PF2的重心G的轨迹方程是（　　） A． B． C． D．（y≠0） 52．双曲线M：实轴的两个顶点为A，B，点P为双曲线M上除A，B外的一个动点，若QA⊥PA，QB⊥PB，则动点Q的轨迹方程是 　 　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【双曲线的标准方程及几何性质】 总览 题型梳理 一．双曲线的定义（共11小题） 二．根据双曲线的几何特征求标准方程（共7小题） 三．由方程表示双曲线求解双曲线的标准方程或参数（共2小题） 四．求双曲线的焦点和焦距（共2小题） 五．由双曲线的焦点焦距求解双曲线方程或参数（共3小题） 六．求双曲线的渐近线方程（共6小题） 七．由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数（共1小题） 八．双曲线的几何特征（共9小题） 九．双曲线的离心率（共1小题） 十．求双曲线的离心率（共5小题） 十一．双曲线相关动点轨迹（共5小题） 【知识点清单】 1．双曲线的定义 【知识点的认识】 双曲线（Hyperbola）是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹．双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面的交截线．双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点（focus），定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率． 标准方程 ①（a，b＞0），表示焦点在x轴上的双曲线； ②（a，b＞0），表示焦点在y轴上的双曲线． 性质 这里的性质以（a，b＞0）为例讲解： ①焦点为（±c，0），其中c2＝a2+b2；②准线方程为：x＝±；③离心率e1；④渐近线：y＝±x；⑤焦半径公式：左焦半径：r＝|ex+a|，右焦半径：r＝|ex﹣a|． 2．根据双曲线的几何特征求标准方程 【知识点的认识】 双曲线的几何特征包括焦距、顶点和渐近线．顶点在坐标轴上，焦点间距2c，常数2a是双曲线上任意一点到两个焦点的距离差． 3．由方程表示双曲线求解双曲线的标准方程或参数 【知识点的认识】 已知双曲线的一般方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0，可以转换为标准方程形式，通过配方和代数运算求解a和b． 【解题方法点拨】 1．转换方程：通过配方或代数方法将方程转化为标准方程形式． 2．解出参数：确定a和b的值． 4．求双曲线的焦点和焦距 【知识点的认识】 双曲线的焦点为或，焦距为2c，其中． 【解题方法点拨】 1．计算c：由公式计算． 2．确定焦点位置：根据c和双曲线对称轴确定焦点． 5．由双曲线的焦点焦距求解双曲线方程或参数 【知识点的认识】 已知双曲线的焦点位置和焦距2c，可以求解a和b，从而得到标准方程． 【解题方法点拨】 1．计算a和b：由焦距和焦点位置计算a和b． 2．代入标准方程：求得双曲线的标准方程． 6．求双曲线的渐近线方程 【知识点的认识】 双曲线的渐近线是双曲线无限远处的切线．对于双曲线或，其渐近线方程为或． 【解题方法点拨】 1．计算斜率：利用计算渐近线的斜率． 2．代入方程：写出渐近线方程． 7．由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数 【知识点的认识】 已知双曲线的渐近线方程可以确定a和b，从而得到双曲线的标准方程． 【解题方法点拨】 1．计算a和b：由渐近线方程的斜率计算． 2．代入标准方程：得到双曲线的标准方程． 8．双曲线的几何特征 【知识点的认识】 双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0） 图形 性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c 范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R 对称 关于x轴，y轴和原点对称 顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a） 轴 实轴长2a，虚轴长2b 离心率 e（e＞1） 准线 x＝± y＝± 渐近线 ±0 ±0 10．双曲线相关动点轨迹 【知识点的认识】 动点轨迹是指在双曲线上的点的运动轨迹．可以通过方程描述动点的位置变化． 【解题方法点拨】 1．确定轨迹方程：根据动点的位置变化描述轨迹． 2．分析性质：分析动点轨迹的几何性质． 【命题方向】 ﹣给定动点的条件，描述双曲线上的轨迹． ﹣分析轨迹方程及其性质． 11．轨迹方程 【知识点的认识】 1．曲线的方程和方程的曲线 在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程． 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系： （1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线． 2．求曲线方程的一般步骤（直接法） （1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标； （2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}； （3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0； （4）化简：化方程f（x，y）＝0为最简形式； （5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点 【解题方法点拨】 （1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧． （2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件． （3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，y），再将x0，y0代入M满足的条件F（x0，y0）＝0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简． （4）待定系数法 （5）参数法 （6）交轨法． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/7/30 12:06:30；用户：张旺清（小初高数）；邮箱：lwjxqz15@xyh.com；学号：21557663 题型分类 知识讲解与常考题型 一．双曲线的定义（共11小题） 1．双曲线上的点A到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（　　） A．9 B．7 C．9或29 D．7或19 【考点】双曲线的定义．版权所有 【分析】根据双曲线的定义来求解点A到左焦点的距离． 【解答】解：对于双曲线，可得a＝5． 设双曲线的左右焦点分别为F1，F2， 因为|AF2|＝19． 根据双曲线的定义||AF1|﹣|AF2||＝2a＝10，则有||AF1|﹣19|＝10． 可得|AF1|﹣19＝10或|AF1|﹣19＝﹣10． 当|AF1|﹣19＝10时，|AF1|＝10+19＝29； 当|AF1|﹣19＝﹣10时，AF1＝﹣10+19＝9． 所以点A到左焦点的距离为9或29． 故选：C． 【点评】本题主要考查了双曲线定义的应用，属于基础题． 2．已知F1，F2是平面内两个不同的定点，则“||MF1|﹣|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】双曲线的定义．版权所有 【分析】直接利用双曲线的定义，直接判断，可得答案． 【解答】解：当||PF1|﹣|PF2||＜|F1F2|时， 动点M的轨迹才是双曲线，故充分性不成立； “点P的轨迹是双曲线”，则必有F1，F2是平面内两个不同的定点， 且满足||PF1|﹣|PF2||为定值|，故必要性成立， 综上所述，“||MF1|﹣|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的必要不充分条件． 故选：B． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，是基础题． 3．已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，M是E的左支上一点，过F2作∠F1MF2角平分线的垂线，垂足为N，O为坐标原点，则|ON|＝（　　） A．4 B．2 C．3 D．1 【考点】双曲线的定义．版权所有 【分析】根据双曲线的定义及中垂线的性质求解 【解答】解：F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，M是E的左支上一点，过F2作∠F1MF2角平分线的垂线，垂足为N，O为坐标原点， 则双曲线的实半轴长为a＝2， 延长F2N交直线MF1于点H， 由题意有|MH|＝|MF2|，|NH|＝|NF2|， 又O是F1F2中点， 所以． 故选：B． 【点评】本题主要考查双曲线的性质应用，考查计算能力，属于基础题． 4．与圆x2+y2＝1及圆x2+y2﹣8x+12＝0都外切的圆的圆心在（　　） A．一个椭圆上 B．一个圆上 C．一条抛物线上 D．双曲线的一支上 【考点】双曲线的定义．版权所有 【分析】化圆的一般方程为标准方程，画出图形，由动圆与两定圆圆心距及半径的关系结合双曲线定义得答案． 【解答】解：由x2+y2﹣8x+12＝0，得（x﹣4）2+y2＝4， 画出圆x2+y2＝1与（x﹣4）2+y2＝4的图象如图， 设圆P的半径为r， ∵圆P与圆O和圆M都外切， ∴|PM|＝r+2，|PO|＝r+1， 则|PM|﹣|PO|＝1＜4， ∴P点在以O、M为焦点的双曲线的左支上， 故选：D． 【点评】本题考查圆与圆的位置关系的判断与应用，考查双曲线的定义，是基础题． 5．方程的化简结果为（　　） A． B． C． D． 【考点】双曲线的定义；两点间的距离公式．版权所有 【分析】根据双曲线的定义可解． 【解答】解：根据题意可得，方程的几何意义为： 平面上一点到两定点（，0），（，0）的距离之差的绝对值为4， 则a＝2，c， 则a2＝4，b2＝2， 则根据双曲线的定义可得标准方程为． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的定义，属于中档题． 6．已知M（﹣2，0），N（2，0），|PM|﹣|PN|＝4，则动点P的轨迹是（　　） A．一条射线 B．双曲线 C．双曲线左支 D．双曲线右支 【考点】双曲线的定义．版权所有 【分析】用排除法做：如果是双曲线，那么a＝2，c＝2，与在双曲线中c＞a矛盾，所以把三个关于双曲线的答案全部排除． 【解答】解：如果是双曲线，那么|PM|﹣|PN|＝4＝2a a＝2 而两个定点M（﹣2，0），N（2，0）为双曲线的焦点 c＝2 而在双曲线中c＞a 所以把后三个关于双曲线的答案全部排除， 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的定义的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 7．已知两定点F1（﹣5，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|＝2a，当a＝3和5时，P点的轨迹为（　　） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线一支和一条射线 D．双曲线一支和一条直线 【考点】双曲线的定义；双曲线的几何特征．版权所有 【分析】当a＝3时，由题中条件及双曲线的定义知，P点的轨迹是双曲线的一支，当a＝5时，P点的轨迹是一条射线． 【解答】解：当a＝3时，点P满足|PF1|﹣|PF2|＝6＜|F1F2|，依照双曲线的定义，P点的轨迹是双曲线的一支， 当a＝5时，点P满足|PF1|﹣|PF2|＝10＝|F1F2|，P点的轨迹是一条射线， 综上，P点的轨迹是双曲线一支和一条射线， 故选：C． 【点评】本题考查双曲线的定义和性质，体现分类讨论的数学思想． 8．已知点B（0，4），C（0，﹣4），动点A满足，则A的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】双曲线的定义．版权所有 【分析】根据双曲线的定义确定轨迹，即可得轨迹方程． 【解答】解：因为，所以A的轨迹为双曲线，且焦点在y轴上 设该双曲线的方程为，则，c＝4，． 所以A的轨迹方程为． 故选：D． 【点评】本题主要考查双曲线的定义，属于基础题． 9．已知点，，动点P满足条件|PM|﹣|PN|＝4．则动点P的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】双曲线的定义；轨迹方程．版权所有 【分析】根据题意得到，结合双曲线的定义，即可求解． 【解答】解：由点，，可得， 又由|PM|﹣|PN|＝4，可得， 根据双曲线的定义，可得点P的轨迹表示以M，N为焦点的双曲线的右支， 且，可得，则b2＝c2﹣a2＝1， 所以点P的轨迹方程为． 故选：C． 【点评】本题主要考查轨迹方程的求法，双曲线的定义，考查运算求解能力，属于中档题． 10．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，设点，则|PF1|﹣|PF2|的值为 　4　 ． 【考点】双曲线的定义．版权所有 【分析】根据双曲线的定义与方程运算求解． 【解答】解：由双曲线的标准方程可得a＝2， 由P满足方程y2＝1，知点P在双曲线的右支上， 由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|＝2a＝4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了双曲线定义的应用，属于基础题． 11．已知双曲线左右焦点分别为F1、F2，P是双曲线上的一点，若|PF2|＝7，则|PF1|＝ 　13　 ． 【考点】双曲线的定义．版权所有 【分析】由焦半径取值范围确定P点位置，从而由双曲线定义即可求解． 【解答】由双曲线可得a＝3，c5， 所以当P在左支上时|PF2|≥a+c＝8，当P在右支上时|PF2|≥c﹣a＝2， 因为|PF2|＝7，所以P在右支上，所以|PF1|＝|PF2|+2a＝7+6＝13． 故答案为：13． 【点评】本题主要考查双曲线的定义，考查计算能力，属于基础题． 二．根据双曲线的几何特征求标准方程（共7小题） 12．已知焦距为的双曲线的一条渐近线与直线x﹣3y+2＝0垂直，则该双曲线的方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】根据双曲线的几何特征求标准方程．版权所有 【分析】根据渐近线的斜率，以及双曲线方程的性质，即可求解． 【解答】解：因为焦距为的双曲线的一条渐近线与直线x﹣3y+2＝0垂直， 所以，且，a2+b2＝c2， 解得a2＝4，b2＝36， 所以双曲线方程． 故选：C． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，属基础题． 13．已知双曲线过点，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的标准方程是（　　） A． B． C． D． 【考点】根据双曲线的几何特征求标准方程．版权所有 【分析】根据渐近线的方程设双曲线方程然后根据双曲线的点即得答案． 【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y＝±2x，即x20， 所以设双曲线方程为， 将点代入得，λ＝1﹣2＝﹣1， ∴该双曲线标准方程为，即． 故选：A． 【点评】本题主要考查求双曲线的标准方程，属于基础题． 14．若双曲线的两渐近线的夹角为，实轴长为6且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（　　） A． B．或 C． D．或 【考点】根据双曲线的几何特征求标准方程．版权所有 【分析】根据双曲线的渐近线的对称性，求出渐近线的倾斜角，建立方程求解即得． 【解答】解：若双曲线的两渐近线的夹角为，实轴长为6且焦点在x轴上， 由双曲线渐近线的对称性可知双曲线的一条渐近线的倾斜角为或， 即得或，解得或． 故选：D． 【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题． 15．与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】根据双曲线的几何特征求标准方程．版权所有 【分析】根据椭圆方程可得焦点坐标，由双曲线的离心率即可求解． 【解答】解：由已知可得椭圆的焦点坐标为（﹣4，0），（4，0）， 设双曲线方程为， 所以c＝4，因为，所以a＝3， 所以b2＝c2﹣a2＝7，所以双曲线方程为． 故选：C． 【点评】本题考查由双曲线的性质求标准方程，属于基础题． 16．若双曲线经过点，一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是（　　） A．y2﹣x2＝1 B． C． D． 【考点】根据双曲线的几何特征求标准方程．版权所有 【分析】依题意可设双曲线的标准方程为（λ≠0），把点代入求出λ的值即可． 【解答】解：因为双曲线的一条渐近线为， 所以设双曲线的标准方程为（λ≠0）， 又因为双曲线经过点， 所以2﹣1＝λ， 即λ＝1， 所以该双曲线的标准方程是1． 故选：D． 【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程，考查了双曲线的几何性质，属于基础题． 17．已知双曲线的一条渐近线方程是，实轴长为，则双曲线C的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】根据双曲线的几何特征求标准方程．版权所有 【分析】利用给定条件结合双曲线的性质求解双曲线方程即可． 【解答】解：由题可得：， 因为双曲线的一条渐近线方程是， 所以，解得b＝1， 故双曲线C的标准方程为，故A正确． 故选：A． 【点评】本题主要考查双曲线方程的求解，考查计算能力，属于基础题． 18．已知双曲线C以椭圆E：x21的焦点为顶点，以E的顶点为焦点，则双曲线C的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】根据双曲线的几何特征求标准方程．版权所有 【分析】结合椭圆、双曲线的性质，即可求解． 【解答】解：椭圆E：x21， 则椭圆E的焦点为（0，2），（0，﹣2），顶点为（0，±）， 双曲线C以椭圆E：x21的焦点为顶点，以E的顶点为焦点， 则c，a＝2，b＝c2﹣a2＝1， 由题意可知，双曲线C的焦点为y轴， 故双曲线C的标准方程为． 故选：C． 【点评】本题主要考查椭圆、双曲线的性质，属于基础题． 三．由方程表示双曲线求解双曲线的标准方程或参数（共2小题） 19．已知曲线C：mx2﹣ny2＝1，则“n＞m＞0”是“C为焦点在x轴上的双曲线”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】由方程表示双曲线求解双曲线的标准方程或参数；充分不必要条件的判断．版权所有 【分析】结合双曲线的标准方程，直接判断命题的充分性和必要性即可． 【解答】解：若n＞m＞0，则， 又曲线C：mx2﹣ny2＝1即， 所以C为焦点在x轴上的双曲线， 所以由“n＞m＞0”可以推出“C为焦点在x轴上的双曲线”， 若C为焦点在x轴上的双曲线，则对于C：mx2﹣ny2＝1即，可得，， 即m＞0且n＞0，不一定得到n＞m＞0， 所以由“C为焦点在x轴上的双曲线”推不出“n＞m＞0”， 综上，“n＞m＞0”是“C为焦点在x轴上的双曲线”的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题． 20．已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【考点】由方程表示双曲线求解双曲线的标准方程或参数．版权所有 【分析】利用双曲线方程的特征列式求解即得． 【解答】解：因为方程表示焦点在x轴上的双曲线， 则，即， 所以， 所以实数m的取值范围是． 故选：C． 【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程，属于基础题． 四．求双曲线的焦点和焦距（共2小题） 21．若双曲线的焦距为6，则m＝（　　） A．5 B．3 C．﹣2 D．﹣1 【考点】求双曲线的焦点和焦距．版权所有 【分析】直接利用双曲线的性质求出结果． 【解答】解：双曲线的焦距为6， 依题意可得2m（m﹣6）＞0，解得m＞6或m＜0， 故答案只有在C、D中选择，由于双曲线的焦距为6， 经验证得到m＝﹣1． 故选：D． 【点评】本题考查的知识点：双曲线的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 22．已知椭圆和双曲线的焦点相同，则m＝ 　　 ． 【考点】求双曲线的焦点和焦距；求椭圆的焦点和焦距．版权所有 【分析】根据双曲线方程可得c＝3，且焦点在x轴上，再结合椭圆方程列式求解即可． 【解答】解：双曲线，可知其半焦距，且焦点在x轴上， 双曲线与椭圆有小题的焦点，椭圆， 可得，且m＞0，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线以及椭圆的简单性质的应用，是基础题． 五．由双曲线的焦点焦距求解双曲线方程或参数（共3小题） 23．若双曲线的焦点与椭圆的长轴端点重合，则m的值为（　　） A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4 【考点】由双曲线的焦点焦距求解双曲线方程或参数．版权所有 【分析】利用椭圆与双曲线的性质计算即可． 【解答】解：由表示双曲线，则m＞0，其焦点坐标为， 易知椭圆的长轴端点即其左右顶点坐标为（±2，0）， 若双曲线的焦点与椭圆的长轴端点重合， 则与（±2，0）重合，即． 故选：A． 【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题． 24．双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．如图：F1，F2为双曲线的左，右焦点，从右焦点F2发出的光线在双曲线C上的点A、B处反射后射出（A，B，F2共线），若∠CAB＝∠ABD＝120°，则（　　） A． B． C．2 D． 【考点】由双曲线的焦点焦距求解双曲线方程或参数．版权所有 【分析】由对称性以及几何关系得出F1F2⊥AB，∠AF1F2＝30°，再由求出C的离心率，即可得． 【解答】解：如图， 连接F1B，由双曲线的光学性质，D、F1、B在同一直线上， 因为∠CAB＝∠ABD＝120°，则∠F1AB＝∠F1BA＝60°， 所以△F1AB为等边三角形，由对称性可知F1F2⊥AB， 则， 又因为，即， 整理得，解得或（舍）， 所以． 故选：A． 【点评】本题主要考查双曲线的光学性质，属于中档题． 25．双曲线的两个焦点分别是F1与F2，焦距为4；M是双曲线上的一点，且|MF1|＝3，则△MF1F2的面积是 　6　 ． 【考点】由双曲线的焦点焦距求解双曲线方程或参数．版权所有 【分析】由双曲线的性质，结合双曲线的定义及勾股定理求解即可． 【解答】解：已知双曲线的两个焦点分别是F1与F2，焦距为4； 则2c＝4， 即c＝2， 即a2＝4﹣3＝1， 即a＝1， 又M是双曲线上的一点，且|MF1|＝3， 则||MF1|﹣|MF2||＝2， 则|MF2|＝5或|MF2|＝1， 又|MF2|＝1时，M、F1、F2三点共线，不满足题意， 则|MF2|＝5， 又|F1F2|＝4， 又32+42＝52， 即△MF1F2为直角三角形， 则△MF1F2的面积是． 故答案为：6． 【点评】本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的定义及勾股定理，属基础题． 六．求双曲线的渐近线方程（共6小题） 26．已知双曲线M：y2﹣x2＝1，则下列选项正确的是（　　） A．M的离心率为e＝2 B．M的渐近线方程为x±y＝0 C．M的焦点坐标为和 D．M的焦点到渐近线的距离为 【考点】求双曲线的渐近线方程；求双曲线的离心率．版权所有 【分析】根据已知条件，可知双曲线的焦点在y轴上，，结合双曲线的性质判断A，B，C，根据点到直线的距离求出即可判断D． 【解答】解：由已知双曲线的焦点在y轴上，且a2＝1，b2＝1，则c2＝2， 所以a＝1，b＝1，， 离心率，故A错误； 渐近线方程为y﹣x＝0与y+x＝0，故B正确； M的焦点坐标为和，故C错误； 焦点到渐近线±y+x＝0的距离为，故D错误． 故选：B． 【点评】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的渐近线方程，是基础题． 27．已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】求双曲线的渐近线方程；由双曲线的离心率求解方程或参数．版权所有 【分析】根据已知条件，结合双曲线的性质，即可求解． 【解答】解：双曲线的离心率为， 则，解得m＝﹣4， 双曲线的焦点位于y轴， 故a，b＝2， 则． 故选：B． 【点评】本题主要考查双曲线的性质，属于基础题． 28．已知双曲线的左焦点为F，直线y＝kx（k≠0）与C的左、右两支分别交于点A，B，若，则C的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】求双曲线的渐近线方程．版权所有 【分析】由题意得出四边形FAF′B为矩形，利用双曲线定义求出|AF′|，进而在直角△AFF′中利用勾股定理求出，从而求出即可求解． 【解答】解：已知双曲线的左焦点为F，直线y＝kx（k≠0）与C的左、右两支分别交于点A，B， 若， 设C的右焦点为F′，由题意知四边形FAF′B为平行四边形． 因为，所以FA⊥FB，故四边形FAF′B为矩形， 由双曲线定义得，在直角△AFF′中，， 由|AF′|2+|AF|2＝|FF′|2，得，解得， 所以， 所以C的渐近线方程为． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的几何特征相关知识，属于中档题． 29．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（　　） A． B． C．x±2y＝0 D．2x±y＝0 【考点】求双曲线的渐近线方程．版权所有 【分析】根据双曲线的离心率与a，b，c的关系化简求解渐近线方程即可． 【解答】解：已知双曲线的离心率为， 则e＝ ， 即c＝ ， 可得b＝ ， 由题意得双曲线的渐近线方程为y＝±， 即为y＝±， 即为． 故选：A． 【点评】本题考查了双曲线的性质，属基础题． 30．已知O为坐标原点，双曲线C：的右焦点为F，点M在C上，且M在x轴上的射影为F，若，则C的渐近线方程为（　　） A． B．y＝±2x C． D． 【考点】求双曲线的渐近线方程．版权所有 【分析】由题意不妨设M（c，），结合列式即可求解． 【解答】解：由题意不妨设M（c，）， 又，∴， 即5b4＝16a2（a2+b2），∴5， 解得或（舍去）， 则． ∴C的渐近线方程为y＝±2x． 故选：B． 【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题． 31．设双曲线，的离心率分别为e1，e2，若e2＝2e1，则双曲线C1的渐近线方程为（　　） A．y＝±2x B．y＝±x C． D． 【考点】求双曲线的渐近线方程．版权所有 【分析】根据C2方程可求出e2，根据e2＝2e1，可求得e1，从而求得双曲线C1方程中的a和渐近线方程． 【解答】解：由已知，e2，所以e1， 即，解得a＝2，所以双曲线C1的渐近线方程为y＝±x． 故选：C． 【点评】本题主要考查求双曲线的渐近线方程，属于基础题． 七．由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数（共1小题） 32．已知双曲线的一条渐近线与直线2x+y﹣3＝0垂直，则双曲线的焦距为（　　） A． B． C． D． 【考点】由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数．版权所有 【分析】根据垂直关系解得参数a的值，再根据a，b，c的关系得可得焦距． 【解答】解：双曲线的渐近线方程为， 双曲线的一条渐近线与直线2x+y﹣3＝0垂直， 所以，解得a＝4， 因此，双曲线的焦距为． 故选：D． 【点评】本题主要考查双曲线的性质，以及直线垂直的性质，属于基础题． 八．双曲线的几何特征（共9小题） 33．设O为坐标原点，F1，F2为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则|OP|＝（　　） A． B．3 C． D． 【考点】双曲线的几何特征．版权所有 【分析】结合双曲线的定义和余弦定理得，在△POF1和△POF2中，由余弦定理得，求解即可． 【解答】解：由O为坐标原点，F1，F2为双曲线的两个焦点，点P在C上，， 可得c3， 故|F1F2|＝6，||PF1|﹣|PF2||＝2a＝4，所以①， 在△F1PF2中，由余弦定理得， 即②，联立①②，解得， 因为cos∠POF1+cos∠POF2＝0， 所以在△POF1和△POF2中，由余弦定理，得， 结合|F1F2|＝2|OF1|＝2|OF2|，可得， 所以， 所以， 所以，得， 所以4|OP|2+36＝80， 所以|OP|2＝11，解得． 故选：A． 【点评】本题主要考查双曲线的性质应用，考查计算能力，属于中档题． 34．已知双曲线的离心率为，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为（　　） A． B．2 C．4 D． 【考点】双曲线的几何特征．版权所有 【分析】根据方程及离心率可得b，即双曲线C的焦点到渐近线的距离． 【解答】解：由已知，a＝1，离心率e，所以b， 所以双曲线C的焦点到渐近线的距离为b． 故选：A． 【点评】本题主要考查双曲线的方程和离心率，属于基础题． 35．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝3相切，则双曲线C的离心率为（　　） A． B．2 C． D．4 【考点】双曲线的几何特征．版权所有 【分析】由题意，则圆心（2，0）到渐近线y的距离d，化简整理即可求出e． 【解答】解：由题意，双曲线C：1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝3相切， 则圆心（2，0）到渐近线y的距离d， ∴， ∴11， ∴e2， 故选：B． 【点评】本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离，属于基础题． 36．已知点P为双曲线右支上的一个动点，则点P到直线l：y＝2x+4的距离的取值范围为（　　） A． B． C．（2，+∞） D． 【考点】双曲线的几何特征．版权所有 【分析】把所求问题转化为求点到直线y＝2x+5的最小距离，结合渐近线和与之平行线间的距离公式可求． 【解答】解：双曲线C的渐近线方程为y＝±2x， 直线y＝2x+4与其中一条渐近线y＝2x平行， 二者之间的距离d，且直线y＝2x+4在直线y＝2x的左边， 由题意知点P到直线y＝2x+4的距离大于， 点P到直线l：y＝2x+4的距离的取值范围为（，+∞）． 故选：B． 【点评】本题考查双曲线的性质，考查两平行线之间的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 37．已知双曲线Γ：的左焦点为F，点A，B在Γ的右支上，且|AB|＝6，则|FA|+|FB|的最小值为（　　） A．4 B．6 C．10 D．14 【考点】双曲线的几何特征．版权所有 【分析】根据双曲线的定义，将|FA|与FB进行转化，再结合三角形三边关系求出|FA|+|FB|的最小值． 【解答】解：对于双曲线，根据双曲线的标准方程， 可得a2＝1，b2＝3，则a＝1， 设双曲线的右焦点为F2，由双曲线的定义可知，点A在双曲线的右支上， 则|FA|﹣|F2A|＝2a＝2， 即FA|＝|F2A|+2， 同理，点B在双曲线的右支上， 则FB|﹣|F2B|＝2a＝2，即|FB|＝|F2B|+2， 所以|FA|+|FB|＝（|F2A|+2）+（|F2B|+2）＝|F2A|+|F2B|+4， 根据三角形三边关系，|F2A|+|F2B|≥|AB|，当且仅当A，B，F2三点共线时，等号成立， 又|AB|＝6，则|F2A|+|F2B|+4≥|AB|+4＝6+4＝10，即|FA|+|FB|≥10， 所以|FA|+|FB|的最小值为10． 故选：C． 【点评】本题考查双曲线方程的应用，属于中档题． 38．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线C的右支上，MF1⊥MF2，若MF1与C的一条渐近线l垂直，垂足为N，且|NF1|﹣|ON|＝2，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】双曲线的几何特征．版权所有 【分析】利用中位线的性质得到，且，根据|NF1|﹣|ON|＝2得到a＝2，然后利用点到直线的距离公式得到|NF1|＝b，最后再直角三角形F1NO中利用勾股定理列方程得到b＝4，即可得到双曲线方程． 【解答】解：因为MF1⊥MF2，ON⊥NF1，且O为F1F2中点，所以，且， 因为|NF1|﹣|ON|＝2，所以|MF1|﹣|MF2|＝2（|NF1|﹣|ON|）＝4＝2a，解得a＝2， 直线l的方程为，所以，则|ON|＝b﹣a， 在直角三角形F1NO中利用勾股定理得b2+（b﹣a）2＝c2，解得b＝2a＝4， 所以双曲线的标准方程为． 故选：C． 【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题． 39．已知双曲线C：y2＝1（a＞0）的右焦点为F，点A（0，﹣a），若双曲线的左支上存在一点P，使得|PA|+|PF|＝7．则双曲线C的离心率的取值范围是（　　） A．（1，] B．（1，] C．[，+∞） D．[，+∞） 【考点】双曲线的几何特征．版权所有 【分析】根据双曲线定义求出|PA|+|PF|的最小值m，令m≤7即可得出e的范围． 【解答】解：A（0，﹣a），设双曲线的左焦点为F′，则|FP|﹣|PF′|＝2a， 故而|PA|+|PF|＝2a+|PF′|+|PA|≥2a+|F′A|， ∴|PA|+|PF|的最小值为2a+|F′A|＝2a， ∵C的左支上存在一点P，使得|PA|+|PF|＝7， ∴2a7，即7﹣2a， ∴c2+a2≤4a2﹣28a+49，又c2＝a2+1， 可得a2﹣14a+24≥0⇒a≥12（舍）或a≤2， ∴a2≤4＝4（c2﹣a2）， 可得e， ∴离心率的取值范围是：[，+∞）． 故选：C． 【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题． 40．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1作x轴的垂线交双曲线C于A、B两点，且△ABF2为等边三角形，则双曲线C的离心率是（　　） A． B． C． D． 【考点】双曲线的几何特征．版权所有 【分析】求出双曲线的通径，利用三角形是正三角形，列出方程，求出双曲线的离心率即可． 【解答】解：F1是双曲线的左焦点， 由题意可知通径长为：|AB|， ∵△ABF2为正三角形，所以2c，即b2＝2ac， ∴（c2﹣a2）＝2ac，可得e22e＝0， 解得双曲线C的离心率为：e（舍去）或e． 故选：C． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． 41．已知双曲线C：的离心率为，C的一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，则|AB|＝（　　） A． B． C． D． 【考点】双曲线的几何特征．版权所有 【分析】利用双曲线的离心率，求解渐近线方程，然后求解圆的圆心到直线的距离，转化求解|AB|即可． 【解答】解：双曲线C：的离心率为， 可得ca，所以b＝2a， 所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x， 一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1， 圆的圆心到直线y＝2x的距离为：， 所以|AB|＝2． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，属中档题． 九．双曲线的离心率（共1小题） 42．已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B分别在C的左支和右支上，且满足AF1∥BF2，5|AF1|＝3|BF2|，|BF1|＝2|AF1|，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【考点】双曲线的离心率．版权所有 【分析】由题意，设O为坐标原点，延长BF2交双曲线C于点D，连接DF1，根据双曲线的对称性可知AF1∥DF2，由双曲线的定义结合余弦定理求解即可； 【解答】解：设O为坐标原点，延长BF2交双曲线C于点D， 连接DF1， 因为AF1∥BF2，点O为F1F2的中点， 由双曲线的对称性可知AF1∥DF2，|AF1|＝|DF2|， 因为5|AF1|＝3|BF2|， 设|AF1|＝|DF2|＝3t， 此时|BF2|＝5t， 所以|BF1|＝2a+|BF2|＝2a+5t，|DF1|＝2a+|DF2|＝2a+3t， 因为BF1|＝2|AF1|， 所以2a+5t＝2×3t， 解得t＝2a， 所以|BF1|＝12a，|BF2|＝10a，|DF2|＝6a，|DF1|＝8a， 在△BF1D中，， 在△BF1F2中，， 所以， 解得． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的离心率，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题． 十．求双曲线的离心率（共5小题） 43．已知A，B，F分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【考点】求双曲线的离心率．版权所有 【分析】利用过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，求出圆的标准方程，再利用点A在圆上，坐标适合方程即可求解． 【解答】解：如图， 由已知可得，F（c，0），A（a，0），B（0，b）， 线段AF的垂直平分线方程为， 因为过A，B，F三点的圆恰与y轴相切， 所以圆心坐标为，圆的半径为， 所以所求圆的方程为， 因为A（a，0）在圆上，所以， 整理得b2＝ac，所以a2﹣c2＝ac，即c2+ac﹣a2＝0， 整理得e2+e﹣1＝0，由0＜e＜1，解得． 故选：B． 【点评】本题主要考查求椭圆的离心率，属于中档题． 44．已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点P，若|PF1|＝3|PF2|，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 【考点】求双曲线的离心率．版权所有 【分析】设点P在第一象限，先根据条件求出P（a，b），再根据|PF1|＝3|PF2|即可化简得出离心率． 【解答】解：F1（﹣c，0），F2（c，0），渐近线方程为， 因|PF1|＝3|PF2|，不妨设点P在第一象限， 则由，得，即P（a，b）， 因|PF1|＝3|PF2|，则（a+c）2+b2＝9[（a﹣c）2+b2]， 结合c2＝a2+b2，得． 故选：A． 【点评】本题考查了双曲线的性质，属于基础题． 45．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D．2 【考点】求双曲线的离心率．版权所有 【分析】由双曲线的方程可得渐近线的方程，再由双曲线的渐近线方程可得a，b的关系，由a，b，c之间的关系进而求出离心率． 【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线为：y， 所以由题意可得：， 所以离心率e2， 故选：D． 【点评】考查双曲线的性质，渐近线方程以及离心率的求法，属于基础题． 46．已知F是双曲线C：的右焦点，直线4x﹣3y＝0与C交于P，Q两点，若以PQ为直径的圆经过点F，则C的离心率为（　　） A．2 B． C．3 D． 【考点】求双曲线的离心率．版权所有 【分析】根据双曲线与直线的对称性即可求解． 【解答】解：设P（x1，y1），由双曲线与直线的对称性，Q（﹣x1，﹣y1）， 因为以PQ为直径的圆过F（c，0），则， 即， 又P在双曲线和直线上，将代入，得， 再代入双曲线方程：， 由b2＝c2﹣a2，设，化简得：9e4﹣50e2+25＝0， 令u＝e2，解得舍去，因e＞1），故． 故选：B． 【点评】本题考查了双曲线与直线的对称性，属于基础题． 47．设F1，F2为双曲线曲线的左、右焦点，过F1直线l与C第一象限相交于点P，|F1P|＝|F1F2|且直线l倾斜角的余弦值为，C的离心率为（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【考点】求双曲线的离心率．版权所有 【分析】由双曲线的定义以及|F1P|＝|F1F2|可将△PF1F2的三边用a，c表示出来，再由余弦定理和倾斜角的余弦值列关于a，c的方程，即可得到离心率的值． 【解答】解：如图， P在第一象限内，且|F1P|＝|F1F2|，得|F1P|＝|F1F2|＝2c， 由双曲线的定义可得|F2P|＝2c﹣2a， 则cos∠PF1F2， 整理得3c2﹣8ac+4a2＝0，即3e2﹣8e+4＝0， 解得e＝2或 （舍去）． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线离心率的求法，是中档题． 十一．双曲线相关动点轨迹（共5小题） 48．已知定点P（m，0），动点Q在圆O：x2+y2＝16上，PQ的垂直平分线交直线OQ于M点，若动点M的轨迹是双曲线，则m的值可以是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】双曲线相关动点轨迹．版权所有 【分析】当P在圆内时，由几何性质可得|MP|+|MO|＝4＞|OP|＝|m|，此时点M的轨迹是以O，P为焦点的椭圆，当点P在圆上时，线段PQ的中垂线交线段OQ于圆心O，当点P在圆外时， |MP|﹣|MO|＝4＜|OP|＝|m|，此时点M的轨迹是以O，P为焦点的双曲线的一支，从而得到答案． 【解答】解：当P在圆内，设PQ与圆的另一交点为N，设点H为弦NQ的中点， 则OH⊥PQ，线段PQ的中点E在线段HQ内， 则线段PQ的中垂线交线段OQ于点M，如图1， 连接MP，则|QM|＝|MP|， 所以|MP|+|MO|＝|MQ|+|MO|＝|OQ|＝4， 则|MP|+|MO|＝4＞|OP|＝|m|， 此时M的轨迹是以O，P为焦点的椭圆， 当点P在圆上时，线段PQ的中垂线交线段OQ于圆心O， 当点P在圆外时，设PQ与圆的另一交点为N， 设点H为弦NQ的中点，则OH⊥PQ，线段PQ的中点E在线段HP内， 则线段PQ的中垂线交线段QO的延长线于点M，如图2， 连接MP，则|QM|＝|MP|， 所以|MP|﹣|MO|＝|MQ|﹣|MO|＝|OQ|＝4， 则|MP|﹣|MO|＝4＜|OP|＝|m|， 此时点M的轨迹是以O，P为焦点的双曲线的一支， 同理当Q在圆上运动时，还会得到|MO|﹣|MP|＝4＜|OP|＝|m|， 所以动点M的轨迹是双曲线，则点P在圆外，所以|m|＞r＝4． 综上可得，|m|＞4． 故选：D． 【点评】本题考查了动点轨迹方程的求解，椭圆与双曲线定义的应用，求解动点轨迹的常见方法有：直接法、定义法、代入法、消元法、交轨法等，属于中档题． 49．已知动点M（x，y）的坐标满足方程8，则M的轨迹方程是（　　） A．1 B．1 C．（x＞0） D．（y＞0） 【考点】双曲线相关动点轨迹．版权所有 【分析】由动点P（x，y）的轨迹方程及两点间的距离公式，得到其轨迹是以（±5，0）为焦距，以8为实轴长的双曲线的右支，进而得到对应标准方程． 【解答】M解：设A（﹣5，0），B（5，0） 由于动点P（x，y）的轨迹方程为8， 则|MB|﹣|MA|＝8，故点P到定点B（﹣5，0）与到定点A（5，0）的距离差为8， 则动点M（x，y）的轨迹是以（±5，0）为焦距，以8为实轴长的双曲线的右支， 由于2a＝8，c＝5，则b2＝c2﹣a2＝25﹣16＝9， 故M的轨迹的标准方程为：（x＞0）． 故选：C． 【点评】本题考查求点的轨迹方程的方法，两点间距离公式的应用，判断动点M（x，y）的轨迹是以（±5，0）为焦距，以8为实轴长的双曲线的右支，是解题的关键． 50．设常数a＞0，动点M（x，y）（y≠0）分别与两个定点F1（﹣a，0），F2（a，0）的连线的斜率之积为定值λ，若动点M的轨迹是渐近线斜率为2的双曲线，则λ＝（　　） A．﹣3 B．4 C． D．3 【考点】双曲线相关动点轨迹．版权所有 【分析】根据题意可分别表示出动点P与两定点的连线的斜率，再由已知可得x和y的关系式，再由M的轨迹是渐近线斜率为2的双曲线列式求得λ值． 【解答】解：依题意可知，•λ，整理得y2﹣λx2＝﹣λa2， 当λ＞0时，M的轨迹为双曲线． ∴b2＝λa2，则． 即λ＝4． 故选：B． 【点评】本题考查双曲线的标准方程与几何性质，考查轨迹方程的求法，是基础题． 51．设P是以F1，F2为焦点的双曲线上的动点，则△F1PF2的重心G的轨迹方程是（　　） A． B． C． D．（y≠0） 【考点】双曲线相关动点轨迹．版权所有 【分析】设G（x，y），在P（3x，3y），代入双曲线方程化简即可． 【解答】解：∵G是△PF1F2的重心，∴OP＝3OG， 设G（x，y）（y≠0），则P（3x，3y）， 代入双曲线方程可得：1． 故选：A． 【点评】本题考查了双曲线的性质，三角形重心的性质，属于中档题． 52．双曲线M：实轴的两个顶点为A，B，点P为双曲线M上除A，B外的一个动点，若QA⊥PA，QB⊥PB，则动点Q的轨迹方程是 　且y≠0　 ． 【考点】双曲线相关动点轨迹．版权所有 【分析】根据动点满足的条件，利用向量的坐标运算，即可得出轨迹方程． 【解答】解：设P（m，n），Q（x，y）， 由双曲线方程知，实轴的两个顶点A（﹣2，0），B（2，0）， ， ∵QA⊥PA，∴（﹣x﹣2）•（﹣m﹣2）+ny＝0， 可得， 同理根据QB⊥PB，可得，两式相乘可得， ∵点P（m，n）为双曲线M上除A、B外的一个动点， ∴，整理得， ∴，化简可得，由P点不与A，B重合，知y≠0， ∴动点Q的轨迹方程是且y≠0． 故答案为：且y≠0． 【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$